Преобразование сигналов в линейных цепях и системах. Преобразование сигналов линейными параметрическими цепями
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Преобразование сигналов линейными цепями с постоянными параметрами
1. Общие сведения
5.1 Цепи интегрирующего типа (фильтры нижних частот)
5.2 Цепи дифференцирующего типа (фильтры верхних частот)
5.3 Частотно-избирательные цепи
Литература
1. Общие сведения
Электронная цепь представляет собой совокупность элементов, обеспечивающих прохождение и преобразование постоянных и переменных токов в широком интервале частот. Она включает источники электрической энергии (источники питания), ее потребители и накопители, а также соединительные провода. Элементы цепей можно разделить на активные и пассивные.
В активных элементах возможно преобразование токов или напряжений и одновременное увеличение их мощности. К ним относятся, например, транзисторы, операционные усилители и др.
В пассивных элементах преобразование токов или напряжений увеличением мощности не сопровождается, а, как правило, наблюдается ее уменьшение.
Источники электрической энергии характеризуются величиной и направлением электродвижущей силы (э.д.с.) и величиной внутреннего сопротивления. При анализе электронных цепей пользуются понятиями идеальных источников (генераторов) э.д.с. Е г (рис. 1,а) и тока I г (рис. 1,б). Они подразделяются на источники э.д.с. (источники напряжения) и источники тока, называемые соответственно генераторами э.д.с. (генераторами напряжения) и генераторами тока.
Под источником э.д.с. понимают такой идеализированный источник питания, э.д.с которого не зависит от протекающего через него тока. Внутреннее сопротивление R г этого идеализированного источника питания равно нулю
Генератором тока называют такой идеализированный источник питания, который отдает ток I г в нагрузку, не зависящий от величины ее сопротивления R н. Для того чтобы ток I г источника тока не зависел от сопротивления нагрузки R н, внутреннее сопротивление его и его э.д.с. теоретически должны стремиться к бесконечности.
Реальные источники напряжения и источники тока имеют внутреннее сопротивление R г конечной величины (рис. 2).
К пассивным элементам радиотехнических цепей относятся электрические сопротивления (резисторы), конденсаторы и катушки индуктивности.
Резистор является потребителем энергии. Основной параметр резистора - активное сопротивление R . Сопротивление выражают в омах (Ом), килоомах (кОм) и мегомах (МОм).
К накопителям энергии относятся конденсатор (накопитель электрической энергии) и катушка индуктивности (накопитель магнитной энергии).
Основной параметр конденсатора - емкость С . Емкость измеряется в фарадах (Ф), микрофарадах (мкФ), нанофарадах (нФ), пикофарадах (пФ).
Основным параметром катушки индуктивности является ее индуктивность L . Величину индуктивности выражают в генри (Гн), миллигенри (мГн), микрогенри (мкГн) или наногенри (нГн).
При анализе схем обычно предполагают, что все эти элементы являются идеальными, для которых справедливы следующие соотношения между падением напряжения u на элементе и протекающим через него током i :
Если параметры элементов R , L и С не зависят от внешних воздействий (напряжений и тока) и не могут увеличивать энергию действующего в цепи сигнала, то их называют не только пассивными, но и линейными элементами. Цепи, содержащие такие элементы, называют пассивными линейными цепями, линейными цепями с постоянными параметрами или стационарными цепями.
Цепь, в которой активное сопротивление, емкость и индуктивность отнесены к определенным ее участкам, называется цепью с сосредоточенными параметрами. Если параметры цепи распределены вдоль нее, ее считают цепью с распределенными параметрами.
Параметры элементов цепей могут изменяться с течением времени по определенному закону в результате дополнительных воздействий, не связанных с напряжениями или токами в цепи. Такие элементы (и составленные из них цепи) называют параметрическими:
К параметрическим элементам относятся терморезистор, сопротивление которого является функцией температуры, порошковый угольный микрофон с управляемым под действием давления воздуха сопротивлением и др.
Элементы, параметры которых зависят от величины проходящих по ним токов или напряжений на элементах, а взаимосвязи между токами и напряжениями описываются, нелинейными уравнениями, называют нелинейным, а цепи, содержащие такие элементы - нелинейными цепями.
Процессы, происходящие в цепях с сосредоточенными параметрами, описываются соответствующими дифференциальными уравнениями, связывающими между собой входной и выходной сигналы через параметры цепей.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами a 0 ,a 1 ,a 2 …a n ,b 0 ,b 1 ,..,b m характеризует линейную цепь с постоянными параметрами
Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами описывают линейные цепи с переменными параметрами.
Наконец, процессы, происходящие в нелинейных цепях, описываются нелинейными дифференциальными уравнениями.
В линейных параметрических системах хотя бы один из параметров изменяется по какому-либо заданному закону. Результат преобразования сигнала такой системой может быть получен путем решения соответствующего дифференциального уравнения с переменными коэффициентами, связывающего между собой входной и выходной сигналы.
2. Свойства линейных цепей с постоянными параметрами
Как уже указывалось, процессы, происходящие в линейных цепях с постоянными сосредоточенными параметрами, описываются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Методику составления таких уравнений рассмотрим на примере простейшей линейной цепи, состоящей из последовательно соединенных элементов R , L и C (рис. 3). Цепь возбуждается идеальным источником напряжения произвольной формы u (t ). Задача анализа заключается в определении протекающего через элементы цепи тока.
В соответствии со вторым законом Кирхгофа напряжение u (t ) равно сумме падений напряжений на элементах R , L и C
Ri +L = u(t).
Продифференцировав это уравнение, получим
Решение полученного неоднородного линейного дифференциального уравнения позволяет определить искомую реакцию цепи - i (t ).
Классический метод анализа преобразования сигналов линейными цепями заключается в нахождении общего решения таких уравнений, равного сумме частного решения исходного неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.
Общее решение однородного дифференциального уравнения не зависит от внешнего воздействия (так как правая часть исходного уравнения, характеризующая это воздействие, принята равной нулю) и целиком определяется структурой линейной цепи и начальными условиями. Поэтому процесс, описываемый этой составляющей общего решения, получил название свободным процессом, а сама составляющая - свободной составляющей.
Частное решение неоднородного дифференциального уравнения определяется видом возбуждающей функции u (t ). Поэтому она называется вынужденной (принужденной) составляющей, что указывает на ее полную зависимость от внешнего возбуждения.
Таким образом, процесс, происходящий в цепи, можно рассматривать состоящим из двух накладывающихся друг на друга процессов - принужденного, который как бы наступил сразу, и свободного, имеющего место лишь только во время переходного режима. Благодаря свободным составляющим и достигается в переходном процессе непрерывное приближение к принужденному (стационарному) режиму (состоянию) линейной цепи. В стационарном состоянии закон изменения всех токов и напряжений в линейной цепи с точностью до постоянных величин совпадает с законом изменения напряжения внешнего источника.
Одним из самых важных свойств линейных цепей, вытекающим из линейности дифференциального уравнения, описывающего поведение цепи, является справедливость принципа независимости или наложения (суперпозиции). Суть этого принципа может быть сформулирована следующим образом: при действии на линейную цепь нескольких внешних сил поведение цепи можно определять путем наложения решений, найденных для каждой из сил в отдельности. Другими словами, в линейной цепи сумма реакций этой цепи от различных воздействий совпадает с реакцией цепи от суммы воздействий. При этом предполагается, что цепь свободна от начальных запасов энергии.
Из теории интегрирования линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами следует еще одно фундаментальное свойство линейных цепей. При любом сколь угодно сложном воздействии в линейной цепи с постоянными параметрами не возникает новых частот. Это означает, что ни одно из преобразований сигналов, сопровождающихся появлением новых частот (т. е. частот, отсутствующих в спектре входного сигнала), не может в принципе быть осуществлено с помощью линейной цепи с постоянными параметрами.
3. Анализ преобразования сигналов линейными цепями в частотной области
Классический метод анализа процессов в линейных цепях часто оказывается связанным с необходимостью проведения громоздких преобразований.
Альтернативой классическому методу является операторный (операционный) метод. Его сущность состоит в переходе посредством интегрального преобразования над входным сигналом от дифференциального уравнения к вспомогательному алгебраическому (операционному) уравнению. Затем находится решение этого уравнения, из которого с помощью обратного преобразования получают решение исходного дифференциального уравнения.
В качестве интегрального преобразования наиболее часто используют преобразование Лапласа, которое для функции s (t ) дается формулой:
где p - комплексная переменная: . Функция s (t ) называется оригиналом, а функция S (p ) - ее изображением.
Обратный переход от изображения к оригиналу осуществляется с помощью обратного преобразования Лапласа
Выполнив преобразование Лапласа обеих частей уравнения (*), получим:
Отношение изображений Лапласа выходного и входного сигналов носит название передаточной характеристики (операторного коэффициента передачи) линейной системы:
Если передаточная характеристика системы известна, то для нахождения выходного сигнала по заданному входному сигналу необходимо:
· - найти изображение Лапласа входного сигнала;
· - найти изображение Лапласа выходного сигнала по формуле
· - по изображению S вых (p ) найти оригинал (выходной сигнал цепи).
В качестве интегрального преобразования для решения дифференциального уравнения может использоваться также преобразование Фурье, являющееся частным случаем преобразования Лапласа, когда переменная p содержит только мнимую часть. Отметим, что для того чтобы к функции можно было применить преобразование Фурье, она должна быть абсолютно интегрируемой. Это ограничение снимается в случае преобразования Лапласа.
Как известно, прямое преобразование Фурье сигнала s (t ), заданного во временной области, является спектральной плотностью этого сигнала:
Выполнив преобразование Фурье обеих частей уравнения (*), получим:
Отношение изображений Фурье выходного и входного сигналов, т.е. отношение спектральных плотностей выходного и входного сигналов, называется комплексным коэффициентом передачи линейной цепи:
Если линейной системы известен, то нахождение выходного сигнала для заданного входного сигнала производят в следующей последовательности:
· определяют с помощью прямого преобразования Фурье спектральную плотность входного сигнала;
· определяют спектральную плотность выходного сигнала:
· с помощью обратного преобразования Фурье находят выходной сигнал, как функцию времени
Если для входного сигнала существует преобразование Фурье, то комплексный коэффициент передачи может быть получен из передаточной характеристики заменой р на j .
Анализ преобразования сигналов в линейных цепях с использованием комплексного коэффициента передачи называется методом анализа в частотной области (спектральным методом).
На практике К (j ) часто находят методами теории цепей на основании принципиальных схем, не прибегая к составлению дифференциального уравнения. Эти методы базируются на том, что при гармоническом воздействии комплексный коэффициент передачи может быть выражен в виде отношения комплексных амплитуд выходного и входного сигналов
линейный цепь сигнал интегрирующий
Если входной и выходной сигналы являются напряжениями, то K (j ) является безразмерным, если соответственно током и напряжением, то K (j ) характеризует частотную зависимость сопротивления линейной цепи, если напряжением и током, то - частотную зависимость проводимости.
Комплексный коэффициент передачи K (j ) линейной цепи связывает между собой спектры входного и выходного сигналов. Как и любая комплексная функция, он может быть представлен в трех формах (алгебраической, показательной и тригонометрической):
где - зависимость от частоты модуля
Зависимость фазы от частоты.
В общем случае комплексный коэффициент передачи можно изобразить на комплексной плоскости, откладывая по оси действительных величин, - по оси мнимых значений. Полученная при этом кривая называется годографом комплексного коэффициента передачи.
На практике большей частью зависимости К () и k () рассматриваются отдельно. При этом функция К () носит название амплитудно-частотной характеристики (АЧХ), а функция k () - фазо-частотной характеристики (ФЧХ) линейной системы. Подчеркнем, что связь между спектром входного и выходного сигналов существует только в комплексной области.
4. Анализ преобразования сигналов линейными цепями во временной области
Принцип суперпозиции может быть использован для определения реакции, лишенной начальных запасов энергии линейной цепи, на произвольное входное воздействие. Расчеты при этом оказываются наиболее простыми, если исходить из представления возбуждающего сигнала в виде суммы однотипных стандартных составляющих, изучив предварительно реакцию цепи на выбранную стандартную составляющую. В качестве стандартных составляющих входного сигнала часто используется единичная функция (единичный скачок) 1(t - t 0) и дельта-импульс (единичный импульс) (t - t 0).
Реакция линейной цепи на единичный скачок называется ее переходной характеристикой h (t ).
Реакция линейной цепи на дельта-импульс называется импульсной характеристикой g(t) этой цепи.
Так как единичный скачок является интегралом от дельта-импульса, то функции h(t ) и g(t ) связаны между собой следующими соотношениями:
Любой входной сигнал линейной цепи может быть представлен в виде совокупности дельта-импульсов, умноженных на значение сигнала в моменты времени, соответствующие положению этих импульсов на временной оси. В этом случае связь между выходным и входным сигналами линейной цепи дается интегралом свертки (интегралом Дюамеля):
Входной сигнал можно представить также в виде совокупности единичных скачков, взятых с весами, соответствующими производной сигнала в точке начала единичного скачка. Тогда
Анализ преобразования сигналов с использованием импульсной или переходной характеристики называется методом анализа во временной области (метод интеграла наложения).
Выбор временного или спектрального метода анализа преобразования сигналов линейными системами диктуется, главным образом, удобством получения исходных данных о системе и простотой вычислений.
Преимуществом спектрального метода является оперирование со спектрами сигналов, в результате чего можно хотя бы качественно по изменению спектральной плотности входного сигнала сделать суждение об изменении его форм на выходе системы. При использовании метода анализа во временной области в общем случае такую качественную оценку сделать крайне сложно
5. Простейшие линейные цепи и их характеристики
Поскольку анализ линейных цепей можно проводить в частотной или во временной области, то результат преобразования сигнала такими системами можно трактовать двояким образом. Анализ во временной области позволяет выяснить изменение формы входного сигнала. В частотной области этот результат будет выглядеть как преобразование над функцией частоты, приводящее к изменению спектрального состава входного сигнала, которое в конечном итоге определяет форму выходного сигнала, во временной области - как соответствующее преобразование над функцией времени.
Характеристики простейших линейных цепей представлены в табл.4.1.
5.1 Цепи интегрирующего типа (фильтры нижних частот)
Преобразование сигнала по закону
где m - коэффициент пропорциональности, - значение выходного сигнала в момент t = 0, носит название интегрирования сигнала.
Операция интегрирования однополярных и биполярных прямоугольных импульсов, выполняемая идеальным интегратором, иллюстрируется рис. 4.
Комплексный коэффициент передачи такого устройства амплитудно-частотная характеристика фазо-частотная характеристика переходная характеристика h(t) = t, для t 0.
Идеальным элементом для интегрирования входного тока i является идеальный конденсатор (рис. 5), для которого
Обычно ставится задача интегрирования выходного напряжения. Для этого достаточно преобразовать источник входного напряжения U вх в генератор тока i . Близкий к этому результат можно получить, если последовательно с конденсатором включить резистор достаточно большого сопротивления (рис. 6), при котором ток i = (U вх - U вых)/R почти не зависит от напряжения U вых. Это будет справедливо при условии U вых U вх. Тогда выражение для выходного напряжения (при нулевых начальных условиях U вых (0) = 0)
можно заменить приближенным выражением
где - выражаемая определенным интегралом алгебраическая (т.е. с учетом знака) площадь под сигналом на интервале (0,t ), - результат точного интегрирования сигнала.
Степень приближе-ния реального выходного сигнала к функции зависит от степени выполнения неравенства U вых U вх или, что почти то же самое, от степени выполнения неравенства U вх . Величина обратно пропорциональна величине = RC , которая получила название постоянной времени RC - цепи. Следовательно, для возможности использования RC- цепи в качестве интегрирующей необходимо, чтобы постоянная времени была достаточно велика.
Комплексный коэффициент передачи RC -цепи интегрирующего типа
Сравнив эти выражения с выражениями и для идеального интегратора, найдем, что для удовлетворительного интегрирования требуется выполнение условия " 1.
Это неравенство должно удовлетворяться для всех составляющих спектра входного сигнала, в том числе и для самых малых.
Переходная характеристика RC - цепи интегрирующего типа
Таким образом, RC-цепь интегрирующего типа может осуществлять преобразование сигналов. Однако очень часто возникает необходимость разделения электрических колебаний различных частот. Эта задача решается с помощью электрических устройств, называемых фильтрами. Из спектра поданных на вход фильтра электрических колебаний он выделяет (пропускает на выход) колебания в заданной области частот (называемой полосой пропускания), и подавляет (ослабляет) все остальные составляющие. По виду АЧХ различают фильтры:
- нижних частот , пропускающие колебания с частотами не выше некоторой граничной частоты 0 (полоса пропускания? = 0 0);
- верхних частот , пропускающих колебания с частотами выше 0 (полоса пропускания? = 0);
- полосовые , которые пропускают колебания в конечном интервале частот 1 2 (полоса пропускания? = 1 2);
- режекторные заграждающие , задерживающие колебания в заданной частотной полосе (полоса непропускания? = 1 2).
Вид АЧХ RC -цепи интегрирующего типа (рис 4.6.б ) показывает, что мы имеем дело с цепью, эффективно пропускающей низкие частоты. Поэтому RC -цепь такого типа можно классифицировать как фильтр нижних частот (ФНЧ). При соответствующем выборе постоянной времени можно существенно ослабить (отфильтровать) высокочастотные составляющие входного сигнала и практически выделить постоянную составляющую (если она имеется). За граничную частоту такого фильтра принимают частоту, на которой, т.е. коэффициент передачи мощности сигнала снижается в 2 раза. Эту частоту часто называют частотой среза с (граничной частотой 0 ). Частота среза
Дополнительный фазовый сдвиг, вносимый RC -цепью интегрирующего типа на частоте с, составляет - /4 .
К цепям интегрирующего типа относится также LR -цепь с сопротивлением на выходе (рис. 6). Постоянная времени такой цепи =L /R .
5.2 Цепи дифференцирующего типа (фильтры верхних частот)
Дифференцирующей называется цепь, для которой выходной сигнал пропорционален производной входного сигнала
где m - коэффициент пропорциональности. Комплексный коэффициент передачи идеального дифференцирующего устройства амплитудно-частотная характеристика фазо-частотная характеристика переходная характеристика h (t ) = (t ).
Идеальным элементом для преобразования приложенного к нему напряжения в ток I , изменяющийся пропорционально производной, является идеальный конденсатор (рис. 4.7).
Чтобы получить напряжение, пропорциональное входному напряжению, достаточно преобразовать протекающий в цепи ток i в напряжение, пропорциональное этому току. Для этого достаточно последовательно с конденсатором включить резистор R (рис. 8, б ) настолько малого сопротивления, что закон изменения тока почти не изменится (i ? CdU вх /dt ).
Однако в действительности для RC -цепи, представленной на рис. 4.8,а , выходной сигнал
и приближенное равенство U вх (t ) ? RCdU вх /dt будет справедливо лишь при условии
С учетом предыдущего выражения получим:
Выполнению этого неравенства будет способствовать уменьшение постоянной времени = RC , но при этом будет уменьшаться и величина выходного сигнала U вых, которая также пропорциональна.
Более детальный анализ возможности использования RC -цепи в качестве дифференцирующей можно провести в частотной области.
Комплексный коэффициент передачи для RC -цепи дифференцирующего типа определяется из выражения
АЧХ и ФЧХ (рис. 4.8,в ) даются соответственно выражениями:
Сравнивая последние выражения с АЧХ и ФЧХ идеального дифференциатора, можно заключить, что для дифференцирования входного сигнала должно выполняться неравенство Оно должно удовлетворяться для всех частотных составляющих спектра входного сигнала.
Переходная характеристика RC -цепи дифференцирующего типа
Характер поведения АЧХ RC -цепи дифференцирующего типа показывает, что такая цепь эффективно пропускает высокие частоты, поэтому ее можно классифицировать как фильтр верхних частот (ФВЧ). За граничную частоту такого фильтра принимают частоту, на которой. Ее часто называют частотой среза с (граничной частотой 0 ). Частота среза
При больших постоянных времени ф RC -цепи дифференцирующего типа напряжение на резисторе повторяет переменную составляющую входного сигнала, а его постоянная составляющая полностью подавляется. RC -цепь в этом случае называется разделительной.
Такими же характеристиками обладает RL -цепь (рис.4.8,б), постоянная времени которой ф = L / R .
5.3 Частотно-избирательные цепи
Частотно-избирательные цепи пропускают на выход только колебания с частотами, лежащими в относительно узкой полосе вокруг центральной частоты. Такие цепи часто называют линейными полосовыми фильтрами. Простейшими полосовыми фильтрами являются колебательные контуры, образованные элементами L , C и R , причем в реальных контурах сопротивление R (сопротивление потерь) обычно является активным сопротивлением реактивных элементов.
Колебательные контуры в зависимости от соединения образующих их элементов по отношению к выходным зажимам подразделяются на последовательные и параллельные.
Схема последовательного колебательного контура, когда выходным сигналом является напряжение, снимаемое с емкости, приведена на рис.9,а .
Комплексный коэффициент передачи такого контура
Если в последовательном колебательном контуре напряжение снимать с индуктивности (рис. 4.9,б ), то
На некоторой частоте входных колебаний в последовательном колебательном контуре имеет место резонанс напряжений, выражающийся в том, что реактивные сопротивления емкости и индуктивности становятся равными по величине и противоположными по знаку. При этом общее сопротивление контура становится чисто активным, а ток в контуре имеет максимальное значение. Частоту, удовлетворяющую условию
называют резонансной частотой 0:
Величина:
представляет собой модуль сопротивления любого из реактивных элементов колебательного контура на резонансной частоте и называется характеристическим (волновым) сопротивлением контура.
Отношение активного сопротивления к характеристическому сопротивлению называют затуханием контура:
Обратную d величину именуют добротностью контура:
На резонансной частоте
Это означает, что напряжение на каждом из реактивных элементов контура при резонансе в Q раз превосходит напряжение источника сигнала.
При нахождении добротности реального (включенного в какую-либо цепь) последовательного колебательного контура необходимо учитывать внутреннее (выходное) сопротивление R с источника входного сигнала (это сопротивление будет включаться последовательно с активным сопротивлением контура) и активное сопротивление R н нагрузки (которое окажется подключенным параллельно выходному реактивному элементу). С учетом этого эквивалентная добротность
Отсюда следует, что резонансные свойства последовательного колебательного контура лучше всего проявляются при низкоомных источниках сигнала и при высокоомных нагрузках.
Общая схема параллельного колебательного контура приведена на рис.10. В приведенной схеме R - активное сопротивление индуктивности, R1 - активное сопротивление конденсатора.
Входным сигналом такого контура может быть только токовый сигнал, поскольку в случае, когда источником сигнала является генератор напряжения, будет происходить шунтирование контура.
Наибольший интерес представляет случай, когда сопротивление R 1 конденсатора С постоянному току равно бесконечности. Схема такого контура приведена на рис. 4.10,б . В этом случае комплексный коэффициент передачи
Комплексный коэффициент передачи параллельного колебательного контура (т.е. общее сопротивление контура) является вещественным на резонансной частоте р, удовлетворяющей условию
где - резонансная частота последовательного колебательного контура.
На резонансной частоте р
Отметим, что на этой частоте токи, протекающие через конденсатор С и катушку индуктивности L , сдвинуты по фазе на, равны по величине и в Q раз превышают ток I вх источника сигнала.
Из-за конечности внутреннего сопротивления R с источника сигнала добротность параллельного контура уменьшается:
Отсюда следует, что резонансные свойства параллельного колебательного контура лучше всего проявляются при источниках сигналов с большим выходным сопротивлением (R с "), т.е. генераторах тока.
Для используемых на практике параллельных колебательных контуров с высокой добротностью активное сопротивление потерь R значительно меньше индуктивного сопротивления L , поэтому для комплексного коэффициента K (j ) будем иметь:
Как следует из этих выражений, резонансная частота высокодобротного параллельного колебательного контура
Импульсная характеристика такого контура
его переходная характеристика
Для идеального параллельного колебательного контура (контура без потерь, т.е. R = 0)
Полоса пропускания колебательных контуров вводится аналогично полосе пропускания RC -цепей, т.е. как область частот, в пределах которой модуль комплексного коэффициента передачи превышает уровень от максимального (при резонансе) значения. При больших добротностях контуров и небольших отклонениях (расстройках) частот относительно резонансной частоты АЧХ последовательного и параллельного колебательных контуров практически совпадают. Это позволяет получить хотя и приближенное, но вполне приемлемое на практике соотношение между полосой пропускания и параметрами контура
Литература
Зайчик М.Ю. и др. Сборник учебно-контрольных задач по теории электрических цепей. - М.: Энергоиздат, 1981.
Борисов Ю.М. Электротехника: учеб. пособие для вузов / Ю.М. Борисов, Д.Н. Липатов, Ю.Н. Зорин. - Изд.3-е, перераб. и доп. ; Гриф МО. - Минск: Высш. шк. А, 2007. - 543 с
Григораш О.В. Электротехника и электроника: учеб. для вузов / О.В. Григораш, Г.А. Султанов, Д.А. Нормов. - Гриф УМО. - Ростов н/Д: Феникс, 2008. - 462 с
Лоторейчук Е.А. Теоретические основы электротехники: учеб. для студ. учреждений сред. проф. образования / Е.А. Лоторейчук. - Гриф МО. - М. : Форум: Инфра-М, 2008. - 316 с.
Федорченко А. А. Электротехника с основами электроники: учеб. для учащ. проф. училищ, лицеев и студ. колледжей / А. А. Федорченко, Ю. Г. Синдеев. - 2-е изд. - М. : Дашков и К°, 2010. - 415 с.
Катаенко Ю. К. Электротехника: учеб. пособие / Ю. К. Катаенко. - М. : Дашков и К° ; Ростов н/Д: Академцентр, 2010. - 287 с.
Москаленко В.В. Электрический привод: Учеб. пособие для сред. проф. образования / В.В. Москаленко. - М. : Мастерство, 2000. - 366 с.
Савилов Г.В. Электротехника и электроника: курс лекций / Г.В. Савилов. - М. : Дашков и К°, 2009. - 322 с.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Знакомство с моделью двухпроводной линии передачи. Характеристика цепей с распределенными параметрами. Рассмотрение способов решения телеграфных уравнений. Особенности линий передачи электрических сигналов. Анализ эквивалентной схемы участка линии.
презентация , добавлен 20.02.2014
Анализ свойств цепей, методов их расчета применительно к линейным цепям с постоянными источниками. Доказательство свойств линейных цепей с помощью законов Кирхгофа. Принцип эквивалентного генератора. Метод эквивалентного преобразования электрических схем.
презентация , добавлен 16.10.2013
Разветвленная магнитная цепь: понятие и структура, элементы и принципы их взаимодействия. Схема замещения магнитной цепи. Методика расчета магнитных напряжений. Расчет цепей с линейными и нелинейными индуктивными элементами, определение коэффициентов.
презентация , добавлен 28.10.2013
Определение операторной функции ARC-фильтра. Расчет амплитудного и фазного спектров реакции. Построение графика функции времени реакции цепи. Определение переходной и импульсной функции фильтра. Реакция цепи на непериодический прямоугольный импульс.
курсовая работа , добавлен 30.08.2012
Способы преобразования звука. Применение преобразования Фурье в цифровой обработке звука. Свойства дискретного преобразования Фурье. Медианная фильтрация одномерных сигналов. Применение вейвлет-анализа для определения границ речи в зашумленном сигнале.
курсовая работа , добавлен 18.05.2014
Формулировка законов Кирхгофа. Расчет цепей с последовательным, параллельным и смешанным соединениями резистивных элементов. Передаточная функция цепи и ее связь с импульсной, переходной и частотными характеристиками цепи. Определение токов в ветвях цепи.
контрольная работа , добавлен 08.01.2013
Мгновенные значения величин. Векторная диаграмма токов и топографическая диаграмма напряжений. Расчет показателей ваттметров, напряжения между заданными точками. Анализ переходных процессов в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами.
реферат , добавлен 30.08.2012
Схема замещения электрической цепи и положительные направления токов линий и фаз. Баланс мощностей для рассчитанной фазы. Активная, реактивная и полная мощность 3-х фазной цепи. Соотношения между линейными и фазными величинами в симметричной системе.
контрольная работа , добавлен 03.04.2009
Основные понятия и определения систем передачи дискретных сообщений. Сигнальные созвездия при АФМ и квадратурная АМ. Спектральные характеристики сигналов с АФМ. Модулятор и демодулятор сигналов, помехоустойчивость когерентного приема сигналов с АФМ.
дипломная работа , добавлен 09.07.2013
Понятие и примеры простых резистивных цепей. Методы расчета простых резистивных цепей. Расчет резистивных электрических цепей методом токов ветвей. Метод узловых напряжений. Описание колебания в резистивных цепях линейными алгебраическими уравнениями.
И фазовыми сдвигами
.
(1.3.1)
Коэффициенты 
-
вещественные амплитуды гармоник с их знаками – можно вычислить по спектрам
одиночных сигналов:
, (1.3.2)
где - запаздывание (смещение) центра сигналов относительно начала координат , равное в конкретном случае половине длительности импульсов.
Спектры одиночных прямоугольного и треугольного импульсов амплитудой и длительностью соответственно равны
; 
(1.3.3)
1.4. Преобразование сигналов в линейных цепях
Амплитудные и фазовые искажения в линейных цепях определяются их амплитудно-частотной (частотной) и фазочастотной (фазовой) характеристиками. Амплитуды k-х гармоник изменяются в раз, а начальные фазы смещаются на . Следовательно, на выходе линейной цепи получаем новые значения амплитуд гармоник и фазовых сдвигов: . Синтезируемый сигнал принимает вид
. (1.4.1)
Частотная и фазовая характеристики линейных цепей первого порядка
, (1.4.2)
где Т0 – постоянная времени цепи.
2. Моделирование искажений сигналов в линейных цепях
1. Установить параметры (целесообразно нормированные) прямоугольного и треугольного сигналов, расположенных в начале координат (при t=0): амплитуда А=1, период следования Т=1, длительность t в пределах (0.1….0.5)Т. При этом следует иметь ввиду, что в описании представлены формулы, а не операторы системы.
2. Ввести спектры прямоугольного и треугольного сигналов согласно (1.3.3) .
3. Задать
число определяемых гармоник в пределах 
.
где - смещение (запаздывание) центра сигналов относительно начала координат (t=0), равное в данном случае половине длительности импульсов.
5. Построить гистограммы массивов коэффициентов и фаз .
6. Синтезировать сигнал рядом Фурье:
.
7. Синтезировать сигнал на выходе линейной цепи:
8. Синтезировать сигнал на выходе линейной цепи при равной нулю фазовой характеристики цепи с целью оценки амплитудных искажений:
.
9. Синтезировать
сигнал на выходе линейной цепи при постоянном коэффициенте передачи (
и наличии только фазовых сдвигов в
цепи с целью оценки фазовых искажений:
.
10. Построить графики и сравнить исходные и синтезированные сигналы
при разных значениях числа гармоник.
отклонения) синтезированного сигнала на выходе цепи. Общая
расчетная формула для оценки погрешностей
.
12. Изменяя длительности импульсов и постоянную времени цепи изучить
зависимости искажений от сигналов от параметров цепи.
13. Повторить анализ преобразования, амплитудных и фазовых искажений
сигналов в линейной цепи второго порядка при различных значениях собственной частоты и степени затухания :
.
Контрольные вопросы
1. Ортогональные и ортонормированные системы базисных функций. Типовые системы ортогональных функций.
2. Представление сигналов ортогональными системами функций и определение коэффициентов.
3. Представление сигналов рядом и интегралом Фурье. Области применения.
4. Принцип построения спектральных диаграмм базисных функций.
5. Основные принципы анализа и синтеза сигналов.
6. Частотные и фазовые характеристики линейных цепей.
7. Оценка амплитудных и фазовых искажений сигналов в линейных цепях.
Библиографический список
1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Высшая школа, 1988. С. 38-55, 184-202.
2. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Радио и связь, 1986. С. 16-67.
3. Гутников В.С. Фильтрация измерительных сигналов.
Л.: Энергоатомиздат, 1990.
4. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы.
М.: Наука, 1978.
5. Орнатский П.П. Теоретические основы информационно-измерительной техники. Киев: Вища школа, 1983. С. 190-197.
6. Садовский Г.А. Аналитическое описание сигналов. Рязань: РРТИ,1987.
7. Харкевич А.А. Спектры и анализ. М.: Физматгиз, 1962. С. 9-33.
Лабораторная работа №2. Спектры модулированных сигналов
1. Теоретическая часть
1.1. Модуляция и демодуляция
Для передачи измерительной информации параметры сигнала-носителя подвергаются модуляции. Процесс управления (изменения) параметров несущего сигнала в соответствии со значением измеряемой (передаваемой, преобразуемой) величины называется модуляцией, управляющая величина - модулирующей, а сигнал-носитель - модулированным. Если модуляции подвергается только один параметр сигнала-носителя, имеет место однопараметрическая модуляция, в противном случае – многопараметрическая. Преобразователи, в которых осуществляется модуляция сигнала, называются модуляторами. Выделение модулирующей функции из модулированного сигнала – демодуляция, а преобразователи модулированного сигнала в модулирующий называются демодуляторами.
Непрерывный гармонический сигнал-носитель описывается функцией
где амплитуда, 
круговая (угловая) частота (
циклическая частота, период), начальная
фаза – постоянные параметры гармонического сигнала. Изменению (модуляции) могут
подвергаться амплитуда амплитудная модуляция
(АМ), частота частотная модуляция
(ЧМ), фаза фазовая модуляция (ФМ).
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ
Кафедра основ радиотехники и защиты информации
КУРСОВАЯ РАБОТА
Анализ характеристик линейных цепей
И линейных преобразований сигналов
Выполнил:
Руководитель:
Илюхин Александр Алексеевич
Москва 2015
1. Цели курсовой работы. 3
2. Индивидуальное задание. 3
3.Расчеты 4
4. Программа по расчёту и построению амплитудно-частотной, фазо-частотной, переходной и импульсной характеристик цепи при заданных параметрах 10
5. Программа расчёта и построения реакция заданной цепи на заданный сигнал 11
6. Графики 13
1. Цели курсовой работы.
1. Изучить характер переходных процессов в линейных цепях.
2. Закрепить аналитические методы расчета частотных и временных характеристик линейных цепей.
3. Освоить суперпозиционный анализ сигналов.
4. Овладеть суперпозиционным методом расчета реакций линейных цепей.
5. Уяснить влияние параметров цепи на вид ее реакции.
2. Индивидуальное задание.
Вариант 27 (цепь № 7, сигнал № 3).
Рис.1.Электрическая цепь
Рис.2.Сигнал
E =2 В
t и =10 мкс
R =4 кОм
C =1000 пФ
Операторную передаточную характеристику цепи;
Комплексную частотную характеристику цепи;
Амплитудно-частотную характеристику цепи;
Фазо-частотную характеристику цепи;
Переходную характеристику цепи;
Импульсную характеристику цепи.
2. Выполнить суперпозиционный анализ сигнала.
4. Составить программу по расчету и построению амплитудно-частотной, фазочастотной, переходной и импульсной характеристик цепи при заданных ее параметрах.
5. Составить программу расчета и построения реакции заданной цепи на заданный сигнал.
6. Вычислить характеристики и реакцию цепи, указанные в п.п. 4 и 5, построить их графики.
3.Расчеты
3.1. Расчёт характеристик цепи
1. Операторная передаточная характеристика
Рис.3. Обобщённая схема цепи
Для заданной схемы:
Согласно формуле:
Для заданной схемы, изображённой на рис.1,
Где θ=RC – постоянная времени.
2. Комплексная частотная характеристика
Комплексная частотная характеристика определяется из соотношения:
3. Амплитудно-частотная характеристика(АЧХ)
4. Фазочастотная характеристика(ФЧХ)
У данной цепи:
5. Переходная характеристика
У данной цепи:
Т.к. , где x 1 и x 2 – корни уравнения x 2 + bx + c = 0 ,
Пусть на входе линейного четырехполюсника (рис. 7.1) с передаточной функцией и импульсной характеристикой действует случайный процесс с заданными статистическими характеристиками; требуется найти статистические характеристики процесса на выходе четырехполюсника.
В гл. 4 были рассмотрены основные характеристики случайного процесса: распределение вероятностей; корреляционная функция; спектральная плотность мощности.
Определение последних двух характеристик является наиболее простой задачей. Иначе обстоит дело с определением закона распределения случайного процесса на выходе линейной цепи. В общем случае при произвольном распределении процесса на входе отыскание распределения на выходе инерционной цепи представляет собой весьма сложную задачу.
Рис. 7.1. Линейный четырехполюсник с постоянными параметрами
Лишь при нормальном распределении входного процесса задача упрощается, так как при любых линейных операциях с гауссовским процессом (усилении, фильтрации, дифференцировании, интегрировании и т. д.) распределение остается нормальным, изменяются лишь функции .
Поэтому, если задана плотность вероятности входного процесса (с нулевым средним)
то плотность вероятности на выходе линейной цепи
Дисперсия легко определяется по спектру или по корреляционной функции. Таким образом, анализ передачи гауссовских процессов через линейные цепи по существу сводится к спектральному (или корреляционному) анализу.
Последующие четыре параграфа посвящены преобразованию только спектра и корреляционной функции случайного процесса. Это рассмотрение справедливо при любом законе распределения вероятностей. Вопрос же о преобразовании закона распределения при негауссовских входных процессах рассматривается в § 7.6-7.7.
Интересными и полезными для радиотехнических приложений свойствами обладают линейные системы, которые описываются нестационарными системными операторами зависящими от времени. Закон преобразования входного сигнала здесь имеет вид
причем благодаря линейности системы
при любых постоянных
Цепи, описываемые равенством (12.1), называются параметрическими. Термин связан с тем, что в составе таких цепей обязательно присутствуют элементы, параметры которых зависят от времени. В радиотехнических цепях находят применение следующие параметрические резисторы конденсаторы и индуктивности
Отличительная черта линейной параметрической системы - наличие вспомогательного источника колебаний, управляющего параметрами элементов.
Важная роль, отводимая в радиотехнике параметрическим цепям, обусловлена их способностью преобразовывать спектры входных сигналов, а также возможностью создания малошумящих параметрических усилителей.
12.1. Прохождение сигналов через резистивные параметрические цепи
Параметрическую цепь называют резистивной, если ее системный оператор имеет числа , зависящего от времени и служащего коэффициентом пропорциональности между входным и выходным сигналами:
Простейшей системой такого вида служит параметрический резистор с сопротивлением . Закон, связывающий мгновенные значения напряжения и тока в этом двухполюснике, таков:
Параметрический резистивный элемент может описываться также переменнойво времени проводимостью
Реализация параметрических резистивных элементов.
На практике параметрически управляемые резисторы создают следующим образом.
На вход безынерционного нелинейного двухполюсника с вольт-амперной характеристикой подают сумму даух колебаний: управляющего напряжения и напряжения сигнала При этом управляющее напряжение значительно превышает по амплитуде полезный сигнал. Ток в нелинейном двухполюснике можно записать, разложив вольт-амперную характеристику в ряд Тейлора относительно мгновенного значения управляющего напряжения:
Амплитуду сигнала выбирают столь малой, что в формуле (12.5) можно пренебречь вторыми и более высокими степенями величины Обозначив через приращение тока в двухполюснике, вызванное наличием сигнала, получим
Ниже будут изучены важные применения параметрических резистивных элементов рассмотренного вида.
Преобразование частоты.
Так называют трансформацию модулированного сигнала, связанную с переносом его спектра из окрестности несущей частоты в окрестность некоторой промежуточной частоты совершаемую без изменения закона модуляции.
Преобразователь частоты состоит из смесителя - параметрического безынерционного элемента, и гетеродина - вспомогательного генератора гармонических колебаний с частотой служащего для параметрического управления смесителем. Под действием напряжения гетеродина дифференциальная крутизна вольт-амперной характеристики смесителя периодически изменяется во времени по закону
Если на входе преобразователя частоты действует напряжение АМ-сигнала , в соответствии с выражениями (12.6) и (12.7) в выходном токе появляется составляющая ПО см
В качестве промежуточной принято выбирать частоту ток на промежуточной частоте
является АМ-колебанием с тем же законом модуляции, что и входной сигнал.
Для выделения составляющих спектра с частотами, близкими к промежуточной частоте, в выходную цепь преобразователя включают колебательный контур, настроенный на частоту
Рис. 12.1. Структурная схема супергетеродинного приемника
Преобразование частоты широко используется в радиоприемных устройствах - так называемых супергетеродинах. Структурная схема супергетеродинного приемника изображена на рис. 12.1.
Сигнал, принятый антенной, через фильтрующие входные цепи и усилитель радиочастоты (УРЧ) поступает на преобразователь. Выходной сигнал преобразователя является модулированным колебанием с несущей частотой, равной промежуточной частоте приемника. Основное усиление приемника и его частотная избирательность, т. е. способность выделять полезный сигнал из помех с другими частотами, обеспечиваются узкополосным усилителем промежуточной частоты (УПЧ).
Большое достоинство супергетеродина - неизменность промежуточной частоты; для настройки приемника приходится перестраивать лишь гетеродин и в некоторых случаях колебательные системы, которые имеются во входных цепях и в УРЧ.
Отметим, что преобразователь частоты одинаково реагирует на сигналы с частотами радиотехнике говорят, что возможен прием как по основному, так и по зеркальному каналу. Во избежание неоднозначности настройки приемника требуется обеспечить такую избирательность резонансных систем, включенных между антенной и преобразователем частоты, чтобы практически подавить сигналы зеркального канала.
Крутизна преобразования.
Эффективность работы преобразователя частоты принято характеризовать особым параметром - крутизной преобразования которая служит коэффициентом пропорциональности между амплитудой тока промежуточной частоты и амплитудой немодулированного напряжения сигнала, т. е. Как следует из соотношения (12.8),
Итак, крутизна преобразования равна половине амплитуды первой гармоники дифференциальной крутизны параметрического элемента.
Предположим, что вольт-амперная характеристика нелинейного элемента, входящего в преобразователь частоты, квадратична: . В отсутствие сигнала к элементу приложена сумма напряжений смещения и гетеродина:
Дифференциальная крутизна преобразователя изменяется во времени по закону
Обращаясь к формуле (123), видим, что в данном случае
(12.11)
Таким образом, при постоянном уровне полезного сигнала на входе амплитуда выходного сигнала преобразователя пропорциональна амплитуде напряжения гетеродина.
Пример 12.1. В преобразователе частоты использован нелинейный элемент (транзистор) с характеристикой имеющей параметр Резонансное сопротивление колебательного контура в коллекторной цепи . Амплитуда смодулированного входного сигнала амплитуда напряжения гетеродина . Найти значение - амплитуду напряжения промежуточной частоты на выходе преобразователя.
По формуле (12.11) вычисляем крутизну преобразования Амплитуда тока промежуточной частоты в цепи коллектора . Полагая выходное сопротивление транзистора достаточно высоким, гак что можно пренебречь его шунтирующим действием на колебательный контур, находим
Синхронное детектирование.
Предположим, что в преобразователе частоты гетеродин настроен точно на частоту сигнала, поэтому дифференциальная крутизна изменяется во времени по закону
Подав на вход такого устройства АМ-сигнала , получаем выражение для тока обусловленного сигналом:
Выражение, стоящее здесь в квадратных скобках, содержит постоянную составляющую которая зависит от сдвига фазы между сигналом гетеродина и несущим колебанием входного сигнала. Поэтому в спектре выходного тока появится низкочастотная составляющая
этот ток пропорционален переменной амплитуде АМ-сигнала.
Синхронным детектором называют преобразователь частоты, работающий при условии ; для выделения полезного сигнала на выходе включен ФНЧ, например, параллельная RC-цепь.
При использовании синхронных детекторов на практике между несущим колебанием входного сигнала и колебанием гетеродина должно поддерживаться жесткое фазовое соотношение.
Наиболее благоприятен режим работы при если же , то полезный выходной сигнал отсутствует. Чувствительность синхронного детектора к сдвигу фаз позволяет использовать его для измерения фазовых соотношений между двумя когерентными колебаниями.
Ниже показана конкретная методика расчета синхронного детектора.
Пример 12.2. В синхронном детекторе использован транзистор, характеристика которого аппроксимируется двумя отрезками прямых. Параметры аппроксимации: . Амплитуда напряжения гетеродина , постоянное напряжение смещения отсутствует Немодулированное напряжение полезного сигнала с амплитудой сдвинуто по фазе относительно колебаний гетеродина на угол . Определить изменение уровня постоянного напряжения на выходе синхронного детектора, вызванное полезным сигналом, если сопротив ление резистора .
При данном виде вольт-амперной характеристики нелинейного элемента дифференциальная крутизна может принимать лишь два значения:
Поэтому график изменения дифференциальной крутизны во времени представляет собой периодическую последовательность прямоугольных видеоимпульсов. Угол отсечки тока , определяющий длительность этих импульсов, найдем по формуле (см. гл. 2)
Разлагая функцию в ряд Фурье, вычисляем амплитуду первой гармоники крутизны:
Полезный сигнал вызывает согласно (12.13) приращение тока через транзистор на величину . Отсюда находим изменение уровня постоянного напряжения на выходе синхронного детектора:
Спектр сигнала на выходе параметрического резистивного элемента.
Анализ работы преобразователя частоты и синхронного детектора убеждает, что в параметрическом резистивном элементе возникают спектральные составляющие, которые отсутствуют на входе этого элемента.
Рассмотрим параметрическое преобразование вида (12.3) с общих позиций спектрального анализа. Очевидно, параметрический резистивный элемент функционирует как перемножитель входного сигнала и управляющего колебания
Запишем следующее соответствие между сигналами и их преобразованиями Фурье:
На основании теоремы о спектре произведения сигналов (см. гл. 2) спектральная плотность выходного сигнала представляет собой свертку
(12.14)
В прикладном отношении большой интерес представляет случай, когда управляющее колебание является периодическим с некоторым заданным периодом и может быть представлено рядом Фурье
(12.15)
где - угловая частота управляющего сигнала.
Как известно, подобный неинтегрируемый сигнал имеет спектральную плотность, отличную от нуля лишь в дискретных точках на оси частот:
(12.16)
Подставив данное выражение в формулу (12.14), получим спектр сигнала на выходе параметрического элемента:
(12.17)
Спектр стробированного сигнала.
Анализ общей формулы (12.17) удобно провести применительно к частному, но широко распространенному на практике случаю. Пусть управляющая функция на протяжении каждого периода равна единице в пределах отрезка времени длительностью ; в остальные моменты времени функция равна нулю.
В радиотехнике операцию умножения сигнала на функцию подобного вида называют стробированием сигнала.
Легко убедиться, что коэффициенты комплексного ряда Фурье (12.15) применительно к рассматриваемой стробирующей функции выражаются следующим образом:
(12.18)
где - скважность стробирукяцей последовательности.
Подстановка этого результата в формулу (12.17) приводит к выводу о том, что спектральная плотность стробированного сигнала
