تحليل فورييه. التحليل الطيفي على أساس دراسة فورييه تحويل فورييه السريع
التحليل الطيفي
التحليل الطيفي هو فئة واسعة من طرق معالجة البيانات بناءً على تمثيل التردد أو الطيف. يتم الحصول على الطيف عن طريق تحليل الوظيفة الأصلية، التي تعتمد على الوقت (السلاسل الزمنية) أو الإحداثيات المكانية (على سبيل المثال، صورة)، إلى أساس بعض الوظائف الدورية. في أغلب الأحيان، للمعالجة الطيفية، يتم استخدام طيف فورييه الذي تم الحصول عليه على أساس الجيب (تحلل فورييه، تحويل فورييه).
المعنى الرئيسي لتحويل فورييه هو أن الوظيفة الأصلية غير الدورية ذات الشكل التعسفي، والتي لا يمكن وصفها تحليليًا وبالتالي يصعب معالجتها وتحليلها، يتم تمثيلها كمجموعة من الجيب أو جيب التمام بترددات وسعة وترددات أولية مختلفة. مراحل.
وبعبارة أخرى، يتم تحويل وظيفة معقدة إلى العديد من الوظائف الأكثر بساطة. تسمى كل موجة جيبية (أو موجة جيب التمام) ذات تردد وسعة معينة، يتم الحصول عليها نتيجة لتوسع فورييه، المكون الطيفيأو متناسق. تشكل المكونات الطيفية طيف فورييه.
بصريًا، يتم عرض طيف فورييه في شكل رسم بياني يُرسم عليه التردد الدائري، الذي يُشار إليه بالحرف اليوناني "أوميغا"، على طول المحور الأفقي، وسعة المكونات الطيفية، التي يُشار إليها عادةً بالحرف اللاتيني A ، يتم رسمها على طول المحور الرأسي، ثم يمكن تمثيل كل مكون طيفي كعدد، والموضع الذي يتوافق أفقيًا مع تردده، والارتفاع - سعته. يسمى التوافقي ذو التردد الصفري مكون ثابت(في التمثيل الزمني هذا خط مستقيم).
حتى التحليل البصري البسيط للطيف يمكن أن يخبرنا كثيرًا عن طبيعة الوظيفة التي تم الحصول عليها على أساسها. ومن الواضح بشكل بديهي أن التغيرات السريعة في البيانات الأولية تؤدي إلى ظهور مكونات في الطيف عاليالتردد، والبطيئة - مع قليل. ولذلك، إذا انخفض سعة مكوناته بسرعة مع زيادة التردد، فإن الوظيفة الأصلية (على سبيل المثال، سلسلة زمنية) تكون سلسة، وإذا كان الطيف يحتوي على مكونات عالية التردد ذات سعة كبيرة، فإن الوظيفة الأصلية ستحتوي على تقلبات حادة . وبالتالي، بالنسبة لسلسلة زمنية، قد يشير ذلك إلى وجود مكون عشوائي كبير، أو عدم استقرار العمليات التي يصفها، أو وجود تشويش في البيانات.
تعتمد المعالجة الطيفية على التلاعب بالطيف. في الواقع، إذا قمت بتقليل (قمع) سعة المكونات عالية التردد، ثم، بناءً على الطيف المتغير، استعدت الوظيفة الأصلية عن طريق إجراء تحويل فورييه معكوس، فسوف يصبح أكثر سلاسة بسبب إزالة التردد العالي عنصر.
بالنسبة لسلسلة زمنية، على سبيل المثال، يعني هذا إزالة المعلومات المتعلقة بالمبيعات اليومية، والتي تكون شديدة التأثر بالعوامل العشوائية، وترك وراءها اتجاهات أكثر اتساقًا، مثل الموسمية. يمكنك، على العكس من ذلك، قمع المكونات ذات التردد المنخفض، مما سيؤدي إلى إزالة التغييرات البطيئة وترك سريعة فقط. وفي حالة وجود سلسلة زمنية، فإن هذا يعني قمع المكون الموسمي.
وباستخدام الطيف بهذه الطريقة، يمكنك تحقيق التغيير المطلوب في البيانات الأصلية. الاستخدام الأكثر شيوعًا هو تسهيل السلاسل الزمنية عن طريق إزالة أو تقليل سعة المكونات عالية التردد في الطيف.
لمعالجة الأطياف، يتم استخدام المرشحات - وهي خوارزميات يمكنها التحكم في شكل الطيف أو قمع مكوناته أو تحسينها. رئيسي ملكيةأي فلترهي استجابة السعة والتردد (AFC)، والتي يحدد شكلها تحويل الطيف.
إذا مرر المرشح فقط المكونات الطيفية بتردد أقل من تردد قطع معين، فإنه يطلق عليه مرشح الترددات المنخفضة (LPF)، ويمكن استخدامه لتسهيل البيانات، ومسحها من الضوضاء والقيم الشاذة.
إذا قام المرشح بتمرير مكونات طيفية فوق تردد قطع معين، فإنه يسمى مرشح التمرير العالي (HPF). ويمكن استخدامه لمنع التغييرات البطيئة، مثل الموسمية في سلسلة البيانات.
بالإضافة إلى ذلك، يتم استخدام العديد من أنواع المرشحات الأخرى: مرشحات التمرير المتوسط، ومرشحات إيقاف النطاق، ومرشحات تمرير النطاق، بالإضافة إلى المرشحات الأكثر تعقيدًا المستخدمة في معالجة الإشارات في الإلكترونيات الراديوية. من خلال تحديد نوع وشكل استجابة التردد للمرشح، يمكنك تحقيق التحويل المطلوب للبيانات الأصلية من خلال المعالجة الطيفية.
عند إجراء تصفية التردد للبيانات بغرض تجانس وإزالة الضوضاء، من الضروري تحديد عرض النطاق الترددي لمرشح التردد المنخفض بشكل صحيح. إذا قمت بتحديده بدرجة عالية جدًا، فلن تكون درجة التجانس كافية، ولن يتم قمع الضوضاء تمامًا. إذا كانت ضيقة جدًا، فمع الضوضاء، ستحدث التغييرات معلومات مفيدة. إذا كانت هناك معايير صارمة في التطبيقات التقنية لتحديد الخصائص المثالية للمرشحات، فمن الضروري في التقنيات التحليلية استخدام الأساليب التجريبية بشكل أساسي.
يعد التحليل الطيفي أحد أكثر طرق معالجة البيانات فعالية وتطورًا. تصفية الترددهو مجرد واحد من تطبيقاته العديدة. بالإضافة إلى ذلك، يتم استخدامه في الارتباط والتحليل الإحصائي، وتوليف الإشارات والوظائف، وبناء النماذج، وما إلى ذلك.
يمكن تمثيل أي موجة ذات شكل معقد كمجموع موجات بسيطة.
كان جوزيف فورييه حريصًا على أن يصف بطريقة رياضية كيفية مرور الحرارة عبر الأجسام الصلبة ( سم.التبادل الحراري). ربما يكون اهتمامه بالحرارة قد نشأ أثناء وجوده في شمال إفريقيا: فقد رافق فورييه نابليون في الحملة الفرنسية إلى مصر وعاش هناك لبعض الوقت. لتحقيق هدفه، كان على فورييه تطوير أساليب رياضية جديدة. ونشرت نتائج بحثه عام 1822 في كتاب "النظرية التحليلية للحرارة" ( النظرية التحليلية للسعر)، حيث شرح كيفية تحليل المشكلات الجسدية المعقدة عن طريق تقسيمها إلى سلسلة من المشكلات الأبسط.
واستندت طريقة التحليل على ما يسمى سلسلة فورييه. وفقا لمبدأ التداخل، تبدأ السلسلة بتحلل شكل معقد إلى أشكال بسيطة - على سبيل المثال، التغير في سطح الأرض يفسر بالزلزال، التغير في مدار المذنب يفسر بالتأثير من عوامل جذب عدة كواكب أن التغير في تدفق الحرارة يرجع إلى مرورها عبر حاجز غير منتظم الشكل مصنوع من مادة عازلة للحرارة. أظهر فورييه أنه يمكن تمثيل شكل موجة معقد كمجموع موجات بسيطة. وكقاعدة عامة، يمكن بسهولة حل المعادلات التي تصف الأنظمة الكلاسيكية لكل من هذه الموجات البسيطة. وعلاوة على ذلك، أظهر فورييه كيف هذه حلول بسيطةويمكن تلخيصها للحصول على حل للمشكلة المعقدة برمتها. (من الناحية الرياضية، فإن متسلسلة فورييه هي طريقة لتمثيل دالة كمجموع التوافقيات - موجات الجيب وجيب التمام، ولهذا السبب يُعرف تحليل فورييه أيضًا باسم "التحليل التوافقي".)
قبل ظهور أجهزة الكمبيوتر في منتصف القرن العشرين، كانت أساليب فورييه وأمثالها أفضل الأسلحة في الترسانة العلمية عند مهاجمة تعقيدات الطبيعة. منذ ظهور طرق فورييه المعقدة، تمكن العلماء من استخدامها لحل ليس فقط المشكلات البسيطة التي يمكن حلها من خلال التطبيق المباشر لقوانين نيوتن في الميكانيكا والمعادلات الأساسية الأخرى. في الواقع، كان العديد من الإنجازات العظيمة التي حققها العلم النيوتوني في القرن التاسع عشر مستحيلة دون استخدام الأساليب التي ابتكرها فورييه. وفي وقت لاحق، تم استخدام هذه الأساليب لحل المشاكل في مختلف المجالات - من علم الفلك إلى الهندسة الميكانيكية.
جان بابتيست جوزيف فوري
جان بابتيست جوزيف فورييه، 1768-1830
عالم الرياضيات الفرنسي. ولد في أوكسير. في سن التاسعة ترك يتيمًا. بالفعل في سن مبكرة أظهر الكفاءة في الرياضيات. تلقى فورييه تعليمه في مدرسة الكنيسة والمدرسة العسكرية، ثم عمل مدرسًا للرياضيات. طوال حياته كان يشارك بنشاط في السياسة. اعتقل عام 1794 لدفاعه عن ضحايا الإرهاب. بعد وفاة روبسبير أطلق سراحه من السجن. شارك في إنشاء مدرسة البوليتكنيك الشهيرة (Ecole Polytechnique) في باريس؛ وقد وفر له منصبه نقطة انطلاق للتقدم في ظل نظام نابليون. رافق نابليون إلى مصر وعُين حاكماً على مصر السفلى. عند عودته إلى فرنسا عام 1801، تم تعيينه حاكمًا لإحدى المقاطعات. وفي عام 1822، أصبح أمينًا دائمًا للأكاديمية الفرنسية للعلوم، وهو منصب مؤثر في عالم العلوم الفرنسي.
يحتوي Mathcad على أدوات تحويل فورييه السريع (FFT) المضمنة التي تعمل على تبسيط إجراءات التحليل الطيفي التقريبي إلى حد كبير.
تحويل فوري مباشر- خوارزمية سريعة لنقل المعلومات حول وظيفة محددة 2 م(م- عدد صحيح) عينات في المجال الزمني، في مجال التردد.
عناصر:
الشكل 3 التحليل الطيفي باستخدام FFT
وظيفة قدم( ضد ) تنفذ إرجاع FFT للأمام إلى الأمام FFT 2 م-ناقل الأبعاد ضد، أين ضد- ناقل تقوم عناصره بتخزين عينات الوظائف و(ر). وستكون النتيجة ناقلات أالأبعاد 1 + 2 م- 1 ذات العناصر المعقدة – عينات في المجال الترددي. في الواقع، الأجزاء الحقيقية والتخيلية للمتجه هي معاملات فورييه كو ب ك، مما يبسط استلامهم إلى حد كبير.
وظيفة إفت( ضد) تنفذ FFT معكوس - تقوم بإرجاع FFT معكوس للمتجه ضدمع العناصر المعقدة. ناقل ضدلديه 1 + 2 م – 1
الترشيح الإشارات التناظرية
Ø تصفية التعريف- فصل الإشارة المفيدة عن خليطها بإشارة تداخلية - ضوضاء. النوع الأكثر شيوعا من التصفية هو تصفية التردد. إذا كان نطاق التردد الذي تشغله الإشارة المفيدة معروفًا، فيكفي عزل هذه المنطقة وقمع تلك المناطق التي تشغلها الضوضاء.
باستخدام تحويل فورييه السريع للأمام، يتم تحويل الإشارة المزعجة من المجال الزمني إلى مجال التردد، مما يؤدي إلى إنشاء متجه ومن 64 مكونات التردد.
ثم يتم إجراء تحويل المرشح باستخدام وظيفة Heaviside
ف (X) - وظيفة الخطوة هيفيسايد.
إرجاع 1 إذا X 0; وإلا 0.
إشارة تمت تصفيتها (ناقلات ز) يخضع لـ FFT معكوس وينتج متجه إخراج ح.
توضح مقارنة التبعيات الزمنية لإشارات المصدر والخرج أن إشارة الخرج تكرر إشارة الإدخال بشكل كامل تقريبًا وتكون خالية إلى حد كبير من تداخل الضوضاء عالي التردد الذي يخفي الإشارة المفيدة
الشكل 4. تصفية الإشارات التناظرية
ويوضح الشكل 4 تقنية الترشيح باستخدام التحويل السريع FFT. أولاً، يتم تصنيع الإشارة الأصلية، ممثلة بـ 128 عينة متجهة ضد. ثم تتم إضافة الضوضاء إلى هذه الإشارة باستخدام مولد أرقام عشوائي ( وظيفة rnd ) ويتم تشكيل ناقل من 128 عينة من الإشارة الصاخبة.
.
إجراءات أداء العمل المختبري
المهمة 1.احسب الأزواج الستة الأولى من معاملات توسيع متسلسلة فورييه للدالة و(ر) على المقطع .
إنشاء الرسوم البيانية للتوافقيات الأول والثاني والثالث.
إجراء التوليف التوافقي للدالة و(ر) للتوافقيات الأول والثاني والثالث. يتم عرض نتائج التوليف بيانيا.
خيارات المهمة 1
| № | و(ر) | رقم الخيار | و(ر) | رقم الخيار | و(ر) |
| كوس ه |الخطيئة 3 ر| |
المهمة 2.إجراء التحليل الطيفي الكلاسيكي وتوليف الوظائف و(ر). عرض بيانيا أطياف السعات والأطوار، نتيجة التوليف الطيفي للوظيفة و(ر).
المهمة 3.إجراء التحليل الطيفي العددي وتوليف الوظائف و(ر). للقيام بذلك، تحتاج إلى تعيين الوظيفة الأصلية و(ر) بشكل منفصل في 32 عينة. عرض بيانيا أطياف السعات والمراحل، نتيجة التوليف الطيفي للوظيفة و(ر).
المهمة 4.إجراء التحليل الطيفي وتوليف الوظائف و(ر) باستخدام تحويل فورييه السريع. للقيام بذلك تحتاج:
· ضبط الوظيفة الأولية و(ر) بشكل منفصل في 128 عينة؛
تنفيذ FFT المباشر باستخدام الوظيفة قدموعرض الأطياف التي تم العثور عليها بيانيًا لسعة وأطوار التوافقيات الستة الأولى؛
تنفيذ FFT معكوس باستخدام الوظيفة com.ifftوعرض بيانياً نتيجة التوليف الطيفي للوظيفة و(ر).
المهمة 5.وظيفة التصفية و(ر) باستخدام تحويل فورييه السريع:
· تركيب دالة و(ر) في شكل إشارة مفيدة ممثلة بـ 128 عينة متجهة ضد;
إلى إشارة مفيدة ضدإرفاق الضوضاء باستخدام الوظيفة rnd (rnd(2) - 1) وتشكل ناقلاً لـ 128 عينة من الإشارة المزعجة ق;
تحويل إشارة مع الضوضاء قمن المجال الزمني إلى مجال التردد باستخدام تحويل فورييه السريع (وظيفة قدم). وستكون النتيجة إشارة ومن 64 مكونًا للتردد؛
· إجراء تحويل الترشيح باستخدام وظيفة Heaviside (معامل الترشيح = 2)؛
باستخدام الوظيفة com.ifftقم بإجراء FFT معكوس واحصل على متجه الإخراج ح;
· بناء الرسوم البيانية للإشارة المفيدة ضدوالإشارة التي تم الحصول عليها عن طريق تصفية الإشارة الصاخبة ق.
الموضوع 1. "المنطق المقترح"
يمارس
1. تحديد ما إذا كان هذه الصيغةصحيح تماما.
2. اكتب هذه العبارة في صورة صيغة منطقية افتراضية. قم ببناء نفي هذه العبارة في شكل صيغة لا تحتوي على علامات النفي الخارجية. ترجمة إلى اللغة الطبيعية.
3. تحديد ما إذا كان هذا المنطق صحيحًا (تحقق مما إذا كان الاستنتاج يأتي من اقتران المباني).
خيارات للمهام الفردية حول موضوع LP
الخيار رقم 1
3. إذا اتخذ الإنسان قراراً ما، وتربيته بشكل صحيح، فسوف يتغلب على كل الرغبات المتنافسة. اتخذ الرجل قرارا، لكنه لم يتغلب على الرغبات المتنافسة. لذلك نشأ بشكل غير صحيح.
الخيار رقم 2
2. إنها تمطر وتتساقط الثلوج.
3. إذا كانت هذه الظاهرة عقلية فهي ناتجة عن تأثير خارجي على الجسم. وإذا كان فسيولوجيًا، فهو أيضًا بسبب التأثيرات الخارجية على الجسم. هذه الظاهرة ليست عقلية ولا فسيولوجية. لذلك، لا يحدث بسبب تأثيرات خارجية على الجسم.
الخيار رقم 3
2. أن يكون طالباً جيداً أو رياضياً جيداً.
3. إذا ارتكب المشتبه به السرقة فإما أنها أعدت بعناية أو كان له شركاء. لو تم إعداد السرقة بعناية، فلو كان هناك شركاء، لكان قد سُرق الكثير. لقد سرق القليل. وهذا يعني أن المشتبه به بريء.
الخيار رقم 4
2. إذا تم تسخين العجلة الفولاذية، فسيزداد قطرها.
3. إذا ارتفع سعر الأوراق المالية أو انخفض سعر الفائدة، انخفض سعر الأسهم. إذا انخفض سعر الفائدة، فإما أن سعر السهم لا ينخفض أو أن سعر السهم لا يرتفع. سعر السهم ينخفض. وبالتالي، ينخفض سعر الفائدة.
الخيار رقم 5
3. إما أن الشاهد لم يتعرض للترهيب، أو إذا انتحر هنري، فقد تم العثور على المذكرة. إذا تم تخويف الشاهد، فإن هنري لم ينتحر. تم العثور على المذكرة. ونتيجة لذلك، انتحر هنري.
الخيار رقم 6
2. يدرس في المعهد أو يأخذ دورات في اللغة الأجنبية.
3. إذا كان الفيلسوف ثنائيا، فهو ليس ماديا. إذا لم يكن ماديا فهو جدلي أو ميتافيزيقي. إنه ليس ميتافيزيقيا. لذلك فهو جدلي أو ثنائي.
الخيار رقم 7
2. أن يكون قادراً ومجتهداً.
3. إذا ظل الاستثمار ثابتا، فإن الإنفاق الحكومي سيزيد أو ستحدث البطالة. وإذا لم يزيد الإنفاق الحكومي، فسيتم تخفيض الضرائب. وإذا تم تخفيض الضرائب وظل الاستثمار ثابتا، فلن ترتفع البطالة. البطالة لن تزيد. وبالتالي فإن الإنفاق الحكومي سيزداد.
الخيار رقم 8
2. هذا الكتاب صعب وغير مثير للاهتمام.
3. إذا كانت بيانات المصدر صحيحة وكان البرنامج يعمل بشكل صحيح، فسيتم الحصول على النتيجة الصحيحة. النتيجة غير صحيحة. ولذلك، فإن بيانات الإدخال غير صحيحة أو أن البرنامج لا يعمل بشكل صحيح.
الخيار رقم 9
2. إنه حاصد الأرواح وسويدي وعازف بوق.
3. إذا كانت الأسعار مرتفعة، فإن الأجور مرتفعة. الأسعار مرتفعة أو يتم تطبيق ضوابط الأسعار. إذا تم تطبيق ضوابط الأسعار، فلن يكون هناك تضخم. هناك التضخم. ولذلك الأجور مرتفعة..
الخيار رقم 10
2. إذا تم تبريد الماء، فإن حجمه سيقل.
3. إذا كنت متعبا، أريد العودة إلى المنزل. إذا كنت جائعة، أريد العودة إلى المنزل أو الذهاب إلى المطعم. أنا متعب وجائع. لهذا السبب أريد العودة إلى المنزل.
الخيار رقم 11
2. إذا كان العدد ينتهي بصفر فإنه يقبل القسمة على 5.
3. إذا كان الجو باردًا غدًا، سأرتدي سترة دافئة إذا تم إصلاح الكم. غدا سيكون الجو باردا ولن يتم إصلاح الأكمام. لذلك لن أرتدي سترة دافئة.
الخيار رقم 12
2. يسقط الجسم المحروم من الدعم على الأرض.
3. إذا تساقطت الثلوج، سيكون من الصعب قيادة السيارة. إذا كان من الصعب القيادة، سأتأخر إذا لم أغادر مبكرًا. إنها تثلج وسأغادر مبكراً لذلك لن أتأخر.
الخيار رقم 13
2. إيفان وبيتر يعرفان فيدور.
3. إذا كذب الإنسان فهو مخطئ أو يتعمد تضليل الآخرين. هذا الرجل يكذب ومن الواضح أنه ليس مخطئا. وهذا يعني أنه يتعمد تضليل الآخرين.
الخيار رقم 14
2. هذا الكتاب مفيد ومثير للاهتمام.
3. لو كان ذكيا لرأى خطأه. ولو كان صادقا لاعترف لها. ومع ذلك، فهو ليس ذكيا ولا صادقا. وبالتالي فهو إما لن يرى خطأه أو لن يعترف به.
الخيار رقم 15
2. هذا الممثل يلعب في المسرح ولا يلعب في الأفلام.
3. إذا كان الإنسان ماديًا فإنه يعترف بقابلية معرفة العالم، وإذا أدرك الإنسان معرفة العالم فهو ليس ملحدًا. لذلك، إذا لم يكن الشخص ماديًا ثابتًا، فهو لا أدري.
الخيار رقم 16
2. إذا تم مضايقة كلب فسوف يعض.
3. إذا كان هناك عدالة في العالم، فلن يكون الأشرار سعداء. إذا كان العالم من صنع عبقري شرير، فيمكن أن يكون الأشرار سعداء. هذا يعني أنه إذا كانت هناك عدالة في العالم، فلا يمكن أن يكون العالم من صنع عبقري شرير
الخيار رقم 17
2. إذا كنت تملك إنجليزي، يمكنك التعامل مع هذه المهمة.
3. إذا عمل إيفانوف، فإنه يحصل على راتب. إذا درس إيفانوف، فإنه يحصل على منحة دراسية. لكن إيفانوف لا يحصل على راتب أو راتب. ولذلك فهو لا يعمل ولا يدرس.
الخيار رقم 18
2. إذا كانت الدالة فردية فإن رسمها البياني يكون متماثلا بالنسبة لنقطة الأصل.
3. إذا ذهبت إلى السرير، فلن أنجح في الامتحان. إذا كنت أدرس في الليل، فلن أنجح في الامتحان أيضًا. ولذلك لن أنجح في الامتحان.
الخيار رقم 19
2. إذا كان الرقم يقبل القسمة على 3، فإن مجموع أرقامه يقبل القسمة على 3.
3. إذا ذهبت إلى المحاضرة الأولى غدا، فسوف أضطر إلى الاستيقاظ مبكرا. إذا ذهبت إلى الديسكو في المساء، فسوف أذهب إلى السرير متأخرا. إذا ذهبت إلى الفراش متأخرًا واستيقظت مبكرًا، فسوف أشعر بالسوء. لذلك يجب أن أفوّت المحاضرة الأولى أو لا أذهب إلى الديسكو.
الخيار رقم 20
2. إذا وضعت كلمة في بداية الجملة، فإنها تكتب بحرف كبير.
3. إذا س 0 و ذ 0 إذن س 2 + ذ 2 > 0. إذا س= 0 و ذ= 0، ثم التعبير ( س – ذ):(س + ذ) لا معنى له. ليس صحيحا أن س 2 + ذ 2 > 0. وبالتالي فإن التعبير ( س – ذ):(س + ذ).
الخيار رقم 21
2. إيفان وماريا يحبان بعضهما البعض.
3. إذا كان الكتاب الذي أقرأه عديم الفائدة، فهو ليس بالأمر الصعب. إذا كان الكتاب صعبًا، فهو ليس مثيرًا للاهتمام. هذا الكتاب معقد ومثير للاهتمام. لذلك فهو مفيد.
الخيار رقم 22
2. الجندي السيئ هو الذي لا يحلم بأن يصبح جنرالا.
3. إذا هطل المطر غدًا، سأرتدي معطفًا واقًا من المطر. إذا كانت هناك رياح، سأرتدي سترة. لذلك، إذا لم يكن هناك مطر ورياح، فلن أرتدي معطف واق من المطر أو سترة.
الخيار رقم 23
2. إذا تقاربت المتسلسلة فإن حدها المشترك يميل إلى الصفر.
3. إذا لم يكن جباناً فإنه يتصرف وفق قناعاته. فإذا كان صادقاً فهو ليس جباناً. ومن لم يكن صادقا فلن يعترف بخطئه. واعترف بخطئه. لذا فهو ليس جبانًا.
الخيار رقم 24
2. لا إيفان ولا فيدور طلاب ممتازون.
3. إذا كان عنيدًا فيمكن أن يخطئ. وإذا كان صادقاً فهو ليس عنيداً. إذا لم يكن عنيدًا فلا يمكنه ألا يخطئ ويكون صادقًا في نفس الوقت. لذلك فهو ليس عنيدًا.
الخيار رقم 25
2. إما أن إيفان أو بيتر يعرف فيدور.
3. إذا تم دفع الرواتب في الوقت المحدد، فمن المتوقع إجراء انتخابات أو احتجاج. تم دفع الراتب في الوقت المحدد. ومن غير المتوقع إجراء انتخابات. وهذا يعني أن الاحتجاج متوقع.
الخيار رقم 26
2. إذا قمت بإنشاء خوارزمية وكتابة برنامج، فيمكنك حل هذه المشكلة.
3. إذا مارس الإنسان الرياضة فهو يتمتع بصحة جيدة. إذا كان الإنسان يتمتع بصحة جيدة فهو سعيد ويمارس الرياضة. لذلك فهو سعيد.
الخيار رقم 27
2. في المساء سنذهب للعب الهوكي أو نشاهده على شاشة التلفزيون.
3. أنطون مرهق أو مريض. إذا كان مرهقا أكثر من اللازم، فإنه يصبح غاضبا. لا ينزعج. ولذلك فهو مريض.
الخيار رقم 28
2. إذا لم أحصل على قسط كافٍ من النوم أو كنت جائعًا، فلن أستطيع ممارسة الرياضة.
3. إذا كانت الشركة تركز على تعزيز التسويق، فإنها تنوي تحقيق أرباح كبيرة من خلال إطلاق منتجات جديدة. إذا كانت الشركة تخطط لتوسيع شبكة التوزيع الخاصة بها، فإنها تنوي تحقيق أرباح كبيرة من زيادة المبيعات. تخطط الشركة لتعزيز التسويق أو ستقوم بتوسيع شبكة التوزيع الخاصة بها، لذلك تعتزم تحقيق أرباح كبيرة.
الخيار رقم 29
2. إذا لم يتم تخفيض الضرائب، فسوف يفلس صغار المنتجين ويتركون الإنتاج.
3. سيتم تنفيذ العقد فقط إذا تم الانتهاء من المنزل في فبراير. إذا تم الانتهاء من المنزل في فبراير، فيمكننا الانتقال في مارس. سيتم تنفيذ العقد، وبالتالي يمكننا الانتقال في مارس.
الخيار رقم 30
2. إذا لم يحتل فريقنا المركز الأول، فسنبقى في المنزل ونتدرب.
3. سينجح البرنامج المقصود إذا أخذ العدو على حين غرة أو إذا كان الدفاع عن مواقعه ضعيفا. يمكنك أن تفاجئه إذا كان مهملاً. لن يكون مهملاً إذا تم الدفاع عن مواقفه بشكل سيء. وهذا يعني أن البرنامج سوف يفشل.
الموضوع 2. الانحدار الزوجي الخطي
يتضمن هذا الموضوع ستة أعمال مختبرية مخصصة لبناء ودراسة معادلة الانحدار الخطي من الشكل
مثال 1.1.
لتحديد العلاقة بين إنتاج الفحم المتغير لكل عامل (متغير ي، تقاس بالطن) وسمك خط الفحم (متغير X(تقاس بالأمتار) أجريت دراسات على 10 مناجم، وتظهر نتائجها في جدول.
| أنا | ||||||||||
| × ط | ||||||||||
| ذ ط |
العمل المختبري رقم 1
حساب معاملات معادلة LR
الغرض من العملحساب معاملات معادلة الانحدار الخطي من عينة مكانية.
نسب الحساب. المعاملات المحددة على أساس طريقة المربعات الصغرى هي الحل لنظام المعادلات
حل هذا النظام من المعادلات، نحصل على
,
أين م س ص- قيمة عينة لحظة الارتباط، التي تحددها الصيغة:
,
- قيمة العينة لتباين الكمية X، تحددها الصيغة:
حل
لنحسب هذه المعاملات باستخدام معالج جداول البيانات Excel. تظهر الصورة قطعة وثيقة اكسل، فيها:
أ) يتم ترحيل بيانات الجدول؛
ب) تتم برمجة حساب معاملات النظام؛
ج) الحساب مبرمج ب 0 , ب 1 بواسطة الصيغ.
لاحظ أن دالة Excel AVERAGE ( نطاق الخلايا).
ونتيجة لإجراء الحسابات المبرمجة نحصل على
ب 0 = –2.75; ب 1 = 1.016,
ومعادلة الانحدار نفسها سوف تأخذ الشكل
يمارس. باستخدام معادلة الانحدار التي تم الحصول عليها، حدد إنتاجية عمل عامل المنجم إذا كان سمك طبقة الفحم:
أ) 8.5 متر (استيفاء البيانات)؛
ب) 14 مترًا (استقراء البيانات).
أرز. 1.حساب معاملات الانحدار الخطي
العمل المختبري رقم 2
حساب معامل ارتباط العينة
الغرض من العمل.حساب معامل ارتباط العينة من العينة المكانية.
نسب الحساب. يتم تحديد معامل ارتباط العينة من خلال العلاقة
أين 
, 
, .
حل
جزء من مستند Excel يحسب قيم: معامل الارتباط
أرز. 2. حساب معامل الارتباط
العمل المختبري رقم 3
حساب تقديرات فروق LR المقترنة
الغرض من العمل.حساب التقديرات لتباينات المعاملات ب 0 , ب 1 ,.
نسب الحساب.يتم تحديد تقديرات تباينات المعاملات بواسطة الصيغ:
, 
أين 
- تقدير التشتت.
حل.يوضح الشكل 3 جزءًا من مستند Excel الذي تم فيه حساب تقديرات التباين. لاحظ أن
· قيم المعاملات مأخوذة من العمل المعملي رقم 1 والخلايا (B1, B2) التي تقع فيها لها عنونة مطلقة ($B$1, $B$2) في التعبيرات التي تحسب قيم الانحدار؛
· القيمة (الخلية B19) مأخوذة من العمل المعملي رقم 1 ونحصل على القيم التالية:
.
أرز. 3. حساب التقديرات لفروق المعاملات
العمل المختبري رقم 4
وظائف Excel لمعاملات LR المقترنة
الغرض من العمل.حساب معاملات معادلة الانحدار الخطي من عينة مكانية باستخدام وظائف Excel.
فيما يلي بعض وظائف Excel الإحصائية المفيدة عند إنشاء انحدار خطي مقترن.
وظيفة القطع.
شريحة( range_of_values ; range_of_values ).
وظيفة الميل.يحسب المعامل والانعكاس له النموذج
انحدر( range_of_values ; range_of_values ).
وظيفة التنبؤ.يحسب قيمة الانحدار الزوجي الخطي لقيمة معينة للمتغير المستقل (يُشار إليه بـ ) ويكون الانعكاس على الشكل
تنبؤ(؛ range_of_values ;نطاق_القيم_ ).
وظيفة ستوسيكس.يتم حساب تقدير للانحراف المعياري للاضطرابات ويكون الانعكاس على الشكل (YX - الحروف اللاتينية):
ستوشيكس( range_of_values ; range_of_values ).
حل.يتم إعطاء جزء من مستند Excel بحساب القيم المطلوبة. لاحظ استخدام العنونة المطلقة عند الحساب.
أرز. 4. استخدام وظائف Excel
يمارس. مقارنة القيم المحسوبة مع القيم التي تم الحصول عليها في المعملين رقم 1 ورقم 3.
العمل المختبري رقم 5
بناء تقدير الفاصل الزمني لوظيفة LR المقترنة
الغرض من العمل.بناء تقدير الفاصل الزمني لدالة الانحدار 
بموثوقية g = 0.95، باستخدام معادلة الانحدار التي تم إنشاؤها في العمل المختبري رقم 1 لهذا الغرض.
نسب الحساب.تقدير الفاصل الزمني (فاصل الثقة) ل (لقيمة معينة) مع الموثوقية (احتمالية الثقة) التي تساوي g يتم تحديدها بواسطة التعبير
تقدير تباين الدالة له الشكل
,
أين - تقدير التشتت.
وبالتالي، يتم حساب كميتين (اعتمادًا على ) و ، باستخدام دالة Excel:
اكتشف الدراسة().
حل.سنقوم بحساب قيم الحدود الدنيا والعليا للفاصل الزمني 
.
يظهر في الشكل جزء من المستند الذي يقوم بهذه الحسابات
الشكل 5. بناء تقدير الفاصل الزمني ل
القيم، (الخلايا B16:B18) والمعاملات (B1:B2) مأخوذة من العمل المعملي السابق. الحجم = ستوداسكوفر () = 2.31.
العمل المختبري رقم 6
التحقق من أهمية معادلة LR باستخدام معيار فيشر
الغرض من العمل.وفقاً لبيانات الجدول، قم بتقدير أهمية معادلة الانحدار عند المستوى a = 0.05
,
بنيت في العمل المختبري رقم 1.
نسب الحساب.تعتبر معادلة الانحدار الزوجي مهمة عند مستوى الأهمية أ إذا كانت عدم المساواة التالية موجودة:
أين فز؛ 1؛ ن-2 – القيم الكمية للمستوى g ف-التوزيعات بأعداد درجات الحرية ك 1 = 1 و ك 2 = ن – 2.
لحساب الكمية يمكنك استخدام التعبير التالي
فديسك ().
يتم تحديد المبالغ من خلال العبارات:
,
.
غالبا ما يسمى المعيار معيار فيشرأو اختبار F.
حل.فيما يلي جزء من مستند Excel الذي يقوم بحساب القيم س ه، والمعيار ف. في العمود ديتم حساب القيم باستخدام الصيغة. قيم المعامل مأخوذة من العمل المختبري رقم 1.
تم الحصول على القيم التالية: , . حساب الكمية ف 0.95؛ 1؛ 8 = 5.32. يتم تحقيق عدم المساواة منذ 24.04> 5.32 وبالتالي معادلة الانحدار هامة مع مستوى الأهمية أ = 0.05.
أرز. 6. حساب قيمة F - المعيار
الموضوع 3 الانحدار الزوجي غير الخطي
يتضمن هذا الموضوع معملين يركزان على بناء معادلة الانحدار الزوجي غير الخطية. العينة المكانية لبناء الانحدار مأخوذة من المثال التالي.
مثالويبين الجدول قيم المتغير المستقل (دخل الأسرة بآلاف الروبل) وقيم المتغير التابع (حصة النفقات على السلع المعمرة كنسبة مئوية من إجمالي النفقات).
| 13.4 | 15.4 | 16.5 | 18.6 | 19.1 |
العمل المختبري رقم 7
بناء الانحدار غير الخطي باستخدام
إضافة أوامر خط الاتجاه
الغرض من العملباستخدام أخذ العينات المكانية، من الضروري إنشاء معادلة انحدار غير خطية للنموذج باستخدام أمر "إضافة خط الاتجاه" وحساب معامل التحديد.
أمر "إضافة خط الاتجاه".يستخدم لتسليط الضوء على الاتجاهات (التغيرات البطيئة) في تحليل السلاسل الزمنية.
ومع ذلك، يمكن أيضًا استخدام هذا الأمر لإنشاء معادلة انحدار غير خطية، مع الأخذ في الاعتبار الوقت كمتغير مستقل.
يتيح لك هذا الأمر إنشاء معادلات الانحدار التالية:
خطي
متعدد الحدود 
();
لوغاريتمي
· قوة؛
· الأسي.
لإنشاء أحد الانحدارات المدرجة، يجب عليك تنفيذ الخطوات التالية:
الخطوة 1.في المختارة ورقة اكسلأدخل البيانات المصدر عن طريق الأعمدة 
.
الخطوة 2.باستخدام هذه البيانات، أنشئ رسمًا بيانيًا في نظام الإحداثيات الديكارتية.
الخطوة 3.ضع المؤشر على الرسم البياني المرسوم وانقر انقر بزر الماوس الأيمنوفي الظاهر قائمة السياقتنفيذ الأمر أضف خط الاتجاه
الخطوة 4.في مربع الحوار الذي يظهر، قم بتنشيط علامة التبويب "النوع" وحدد معادلة الانحدار المطلوبة.
أرز. 2.1. رسم رسم بياني بناءً على بيانات المصدر
أرز. 2.2. اختيار نوع معادلة الانحدار
الخطوة 5.قم بتنشيط علامة التبويب "خيارات" و"تمكين" الخيارات التي نحتاجها هي:
· "إظهار المعادلة على الرسم البياني" -سيظهر الرسم البياني معادلة الانحدار المحددة مع المعاملات المحسوبة؛
أرز. 2.3. ضبط خيارات إخراج المعلومات
· "ضع قيمة الموثوقية التقريبية (R^2) على الرسم البياني" -سيوضح الرسم البياني قيمة معامل التحديد (للانحدار غير الخطي - مؤشر التحديد)، محسوبًا بالصيغة
· إذا كان من الضروري إجراء تنبؤ بناءً على معادلة الانحدار التي تم إنشاؤها، فأنت بحاجة إلى الإشارة إلى عدد فترات التنبؤ.
الغرض من الخيارات الأخرى واضح من أسمائها.
الخطوة 6.بعد تحديد جميع الخيارات المدرجة، انقر فوق الزر "موافق" وستظهر على الرسم البياني صيغة معادلة الانحدار التي تم إنشاؤها وقيمة مؤشر التحديد (المظللة بالتظليل).
أرز. 2.4. الرسم البياني ومعادلة الانحدار المبني
حل.
نقوم ببناء المعادلة باستخدام الخطوات الموضحة أعلاه. نحصل على المعادلة
,
الذي يساوي معامل التحديد . تشير هذه القيمة إلى توافق جيد للمعادلة المبنية مع البيانات الأصلية.
العمل المختبري رقم 8
اختيار أفضل الانحدار غير الخطي
الغرض من العمل.باستخدام أخذ العينات المكانية وأمر "إضافة خط الاتجاه"، أنشئ ست معادلات انحدار غير خطية (يتم إنشاء المعادلة متعددة الحدود باستخدام و)، وحدد لكل معادلة معامل التحديد (يتم عرض القيمة)، ومعامل التحديد المخفض (القيمة يتم حسابها) وباستخدام القيمة القصوى، ابحث عن أفضل معادلة انحدار غير خطية.
انخفاض معامل التحديد.يميز معامل التحديد مدى قرب الانحدار المبني من البيانات الأصلية التي تحتوي على مكون عشوائي "غير مرغوب فيه". من الواضح أنه من خلال إنشاء متعدد الحدود من الدرجة الخامسة من البيانات، نحصل على القيمة "المثالية"، ولكن مثل هذه المعادلة لا تحتوي على متغير مستقل فحسب، بل تحتوي أيضًا على مكون، وهذا يقلل من دقة استخدام المعادلة المبنية للتنبؤ.
لذلك، عند اختيار معادلة الانحدار، من الضروري أن تأخذ في الاعتبار ليس فقط القيمة، ولكن أيضًا "تعقيد" معادلة الانحدار، التي يحددها عدد معاملات المعادلة.
يتم تنفيذ هذه المحاسبة بنجاح في ما يسمى معامل التحديد المحدد:
,
أين هو عدد معاملات الانحدار المحسوبة. ويمكن ملاحظة أنه عند القيم الثابتة، فإن الزيادة تقلل من قيمة . إذا كان عدد معاملات معادلات الانحدار المقارنة هو نفسه (على سبيل المثال، )، فيمكن إجراء اختيار أفضل الانحدار وفقًا للقيمة. إذا تغير عدد المعاملات في معادلات الانحدار، فإن هذا الاختيار مناسب من حيث القيمة.
حل.لإنشاء كل معادلة، نقوم بتنفيذ الخطوات من 2 إلى 6 (للمعادلة الأولى أيضًا الخطوة 1) ونضع ستة نوافذ في مستند واحد يتم فيه عرض معادلات الانحدار التي تم العثور عليها والقيمة. ثم ندخل صيغة المعادلة في الجدول. بعد ذلك، نحسب معامل التحديد المخفض وندخل هذه القيم في الجدول.
باعتبارها معادلة الانحدار "الأفضل"، نختار المعادلة التي تحتوي على أكبر معامل تحديد مخفض. هذه المعادلة هي دالة قوة (في الجدول، يتم تمييز الصف الذي يحتوي على هذه الوظيفة باللون الرمادي).
,
قيمتها = 0.9901.
| № | معادلة | ||
 | 0.949 | 0.938 | |
| 0.9916 | 0.9895 | ||
| (متعددة الحدود، ) | 0.9896 | 0.9827 | |
 (متعددة الحدود، ) | 0.9917 | 0.9792 | |
| | 0.9921 | 0.9901 | |
 | 0.9029 | 0,8786 |
يمارس.حدد معادلة الانحدار "الأسوأ" بناءً على قيمتها.
الموضوع 4. الانحدار الخطي المتعدد
يتضمن هذا الموضوع العمل المخبري المخصص لبناء ودراسة معادلة الانحدار الخطي المتعدد بالشكل
العينة المكانية المستخدمة لبناء هذه المعادلة مأخوذة من المثال التالي.
مثال بيانات عن إنتاج الفحم المتغير لكل عامل (متغير ي) ، سمك الخزان (متغير X 1 ومستوى ميكنة العمل في المنجم (متغير X 2) يوضح الجدول وصف عملية استخراج الفحم في 10 مناجم. بافتراض وجود علاقة خطية بين المتغيرات Y، X 1، X 2، فمن الضروري إيجاد تعبير تحليلي لهذه العلاقة، أي. بناء معادلة الانحدار الخطي.
| رقم الألغام أنا | س ط 1 | س ط 2، أي. مصفوفة أ) الاتصال سيد الوظيفة وحدد فئة الوظيفة المطلوبة، ثم حدد اسم الوظيفة وقم بتعيين نطاقات الخلايا المقابلة، ب) أدخل اسم الوظيفة من لوحة المفاتيح وقم بتعيين نطاقات الخلايا المقابلة. تبديل المصفوفة يتم تنفيذها باستخدام وظيفة TRANSPORT (فئة الوظائف – الروابط والمصفوفات ترانسبا ( نطاق الخلايا), أين هي المعلمة نطاق الخلايايحدد جميع عناصر المصفوفة (أو المتجه) التي سيتم نقلها. ضرب المصفوفة يتم تنفيذها باستخدام وظيفة MULTIPLE (فئة الوظائف - رياضي).استدعاء الوظيفة له النموذج: مومنو( range_1;range_2), أين هي المعلمة range_1يحدد عناصر أول المصفوفات المضاعفة والمعلمة النطاق_2 –عناصر المصفوفة الثانية. في هذه الحالة، يجب أن يكون للمصفوفات التي يتم ضربها الأحجام المناسبة (إذا كانت المصفوفة الأولى هي الثانية، فستكون النتيجة هي المصفوفة). انقلاب المصفوفة (حساب المصفوفة العكسية) يتم باستخدام وظيفة MOBR (فئة الوظائف – رياضي). يبدو استدعاء الوظيفة كما يلي: موبر ( نطاق الخلايا), أين هي المعلمة نطاق الخلايايحدد جميع عناصر المصفوفة القابلة للعكس، والتي يجب أن تكون مربعة وغير متدهورة. عند استخدام هذه الميزات ويجب اتباع الإجراء التالي: · حدد جزء الخلية، حيث سيتم إدخال نتيجة تنفيذ وظائف المصفوفة (في هذه الحالة، من الضروري مراعاة أحجام المصفوفات الأصلية)؛ · أدخل تعبيرًا حسابيًا، تحتوي على الوصول إلى المصفوفة وظائف اكسل; · اضغط على المفاتيح في وقت واحد. إذا لم يتم ذلك، ثم سيتم حساب عنصر واحد فقطالمصفوفة أو المتجه الناتج. وضع انحدار الوحدة النمطية تحليل البيانات. يحتوي جدول بيانات Excel على وحدة نمطية تحليل البيانات. تسمح لك هذه الوحدة بإجراء تحليل إحصائي لبيانات العينة (إنشاء الرسوم البيانية، وحساب الخصائص العددية، وما إلى ذلك). وضع التشغيل الانحدارتحسب هذه الوحدة معاملات الانحدار الخطي المتعدد مع المتغيرات، وتبني فترات الثقة وتختبر أهمية معادلة الانحدار. لاستدعاء الوضع الانحداروحدة تحليل البيانات ضروري: · الوصول إلى عنصر القائمة خدمة; · في القائمة التي تظهر، قم بتنفيذ الأمر تحليل البيانات؛ · في قائمة أوضاع تشغيل الوحدة تحليل البيانات حدد الوضع الانحداروانقر على الزر نعم . بعد استدعاء الوضع الانحداريظهر مربع حوار على الشاشة يتم فيه تعيين المعلمات التالية: 1. الفاصل الزمني للإدخال Y –يتم إدخال نطاق من عناوين الخلايا التي تحتوي على قيم (يجب أن تشكل الخلايا عمودًا واحدًا).
أرز. 3.2. مربع حوار وضع الانحدار 2. الفاصل الزمني للإدخال X –يتم إدخال مجموعة من عناوين الخلايا التي تحتوي على قيم المتغيرات المستقلة. يتم تمثيل قيم كل متغير في عمود واحد. عدد المتغيرات لا يزيد عن 16 (أي ). 3. العلامات –يتم تمكينه إذا كان الصف الأول في نطاق الإدخال يحتوي على عنوان. في هذه الحالة، سيتم إنشاء الأسماء القياسية تلقائيًا. 4. مستوى الموثوقية -يؤدي تمكين هذا الخيار إلى تحديد الموثوقية عند إنشاء فترات الثقة. 5. الصفر الثابت- عند تمكين هذه المعلمة، يكون المعامل . 6. الفاصل الزمني للإخراج –عند تشغيله، يتم تنشيط حقل يجب عليك إدخال عنوان الخلية اليسرى العلوية لنطاق الإخراج، والذي يحتوي على الخلايا التي تحتوي على نتائج حسابات الوضع الانحدار. 7. ورقة عمل جديدة –عند تمكين هذا الخيار، يتم فتحه ورقة جديدة، حيث يتم إدراج نتائج الوضع بدءًا من الخلية A1 الانحدار. 8. مصنف جديد- عند تمكين هذه المعلمة، يتم فتح كتاب جديد على الورقة الأولى منه، بدءًا من الخلية A1، يتم إدراج نتائج الوضع الانحدار. 9. بقايا الطعام –عند تضمينها، يتم حساب العمود الذي يحتوي على البقايا 10. الأرصدة الموحدة –عند التمكين، يتم حساب عمود يحتوي على القيم المتبقية القياسية. بعد هذا الوضع الانحداروفي مربع الحوار سنقوم بتعيين المعلمات الضرورية. لاحظ أنه بسبب "العرض" الكبير للجداول التي يتم فيها عرض نتائج الوضع الانحدار,يتم وضع بعض النتائج في خلايا أخرى. دعونا نعطي تفسيرا موجزا للمؤشرات التي يتم حساب قيمها في الوضع الانحدار.أولاً، دعونا نلقي نظرة على المؤشرات الموحدة بالاسم إحصائيات الانحدار(انظر الشكل 3.3). عديد - الجذر التربيعي لمعامل التحديد. مربع- معامل التحديد.
أرز. 3.3. نتائج وضع الانحدار تطبيع مربع– انخفاض معامل التحديد (انظر الصيغة (2.1)). خطأ قياسي- تقدير الانحراف المعياري. الملاحظات- عدد الملاحظات. يناقش قسم النظرة العامة التمهيدية أمرين للغاية أمثلة بسيطة(مأخوذ من شومواي، 1988) لتوضيح طبيعة التحليل الطيفي وتفسير النتائج. إذا لم تكن معتادا على هذه الطريقة، فمن المستحسن أن تنظر إلى هذا القسم من هذا الفصل أولا. مراجعة وملف البيانات. يحتوي الملف Sunspot.sta على جزء من أرقام البقع الشمسية المعروفة (Wolfer) من 1749 إلى 1924 (Anderson, 1971). فيما يلي قائمة بالبيانات القليلة الأولى من ملف المثال. ومن المفترض أن عدد البقع الشمسية يؤثر على الطقس على الأرض، وكذلك الزراعة والاتصالات وغيرها. باستخدام هذا التحليل، يمكن للمرء أن يحاول معرفة ما إذا كان نشاط البقع الشمسية دوريًا بالفعل بطبيعته (في الواقع، تمت مناقشة هذه البيانات على نطاق واسع في الأدبيات؛ انظر، على سبيل المثال، Bloomfield, 1976, أو Shumway, 1988). تعريف التحليل. بعد تشغيل التحليل، افتح ملف بيانات Sunspot.sta. انقر فوق الزر Variables وحدد متغير Spots (لاحظ أنه إذا كان ملف بيانات Sunspot.sta هو الملف الحالي ملف مفتوحالبيانات، ومتغير البقع هو المتغير الوحيد في هذا الملف، فعند فتح مربع حوار تحليل السلاسل الزمنية، سيتم تحديد البقع تلقائيًا). انقر الآن على زر تحليل فورييه (الطيفي) لفتح مربع حوار تحليل فورييه (الطيفي).
قبل تطبيق التحليل الطيفي، قم أولاً برسم عدد البقع الشمسية. لاحظ أن ملف Sunspot.sta يحتوي على السنوات المقابلة كأسماء مراقبة. لاستخدام هذه الأسماء في الرسوم البيانية الخطية، انقر فوق علامة التبويب عرض السلسلة وحدد أسماء الحالات في قسم نقاط التسمية. أيضًا، حدد تعيين مقياس المحور السيني يدويًا وحدد الحد الأدنى. = 1، والخطوة = 10. ثم انقر فوق الزر "رسم بياني" بجوار الزر "عرض التحديد". عامل.
يبدو أن عدد البقع الشمسية يتبع نمطًا دوريًا. الاتجاه غير مرئي، لذا ارجع إلى نافذة التحليل الطيفي وقم بإلغاء تحديد خيار إزالة الاتجاه الخطي في مجموعة تحويل سلسلة المصدر. ومن الواضح أن متوسط السلسلة أكبر من 0 (صفر). لذلك، اترك خيار طرح المتوسط محددًا [وإلا سيتم "انسداد" المخطط الدوري بذروة كبيرة جدًا عند التردد 0 (صفر)]. أنت الآن جاهز لبدء تحليلك. الآن انقر فوق موافق (تحليل فورييه أحادي البعد) لعرض مربع الحوار نتائج تحليل فورييه الطيفي.
عرض النتائج. يعرض قسم المعلومات الموجود أعلى مربع الحوار بعض الإحصائيات الموجزة للسلسلة. كما يُظهر أيضًا أكبر خمس قمم في المخطط الدوري (حسب التردد). القمم الثلاث الكبرى تقع عند الترددات 0.0852، 0.0909 و0.0114. غالبًا ما تكون هذه المعلومات مفيدة عند تحليل سلاسل كبيرة جدًا (على سبيل المثال، مع أكثر من 100000 ملاحظة) والتي لا يمكن رسمها بسهولة على رسم بياني واحد. ومع ذلك، في هذه الحالة، من السهل رؤية قيم المخطط الدوري؛ من خلال النقر على زر مخطط الدورة الشهرية في قسم مخطط الدورة الشهرية والرسوم البيانية للكثافة الطيفية.
يظهر الرسم البياني الدوري ذروتين واضحتين. الحد الأقصى عند تردد حوالي 0.9. ارجع إلى نافذة نتائج التحليل الطيفي وانقر على زر الملخص لرؤية جميع قيم المخطط الدوري (والنتائج الأخرى) في جدول النتائج. يوجد أدناه جزء من جدول النتائج مع أكبر قمة تم تحديدها من مخطط الدورة الشهرية.
كما تمت مناقشته في قسم المراجعة التمهيدية، فإن التكرار هو عدد الدورات لكل وحدة زمنية (حيث تمثل كل ملاحظة وحدة زمنية واحدة). وبالتالي فإن التردد 0.0909 يتوافق مع قيمة 11 فترة (عدد الوحدات الزمنية المطلوبة دورة كاملة). نظرًا لأن بيانات البقع الشمسية في Sunspot.sta تمثل ملاحظات سنوية، فيمكن استنتاج أن هناك دورة مميزة مدتها 11 عامًا (وربما أطول قليلاً من 11 عامًا) في نشاط البقع الشمسية. الكثافة الطيفية. عادةً، لحساب تقديرات الكثافة الطيفية، يتم تحسين المخطط الدوري لإزالة التقلبات العشوائية. يمكن تحديد نوع المتوسط المتحرك المرجح وعرض النافذة في قسم النوافذ الطيفية. يناقش قسم النظرة العامة التمهيدية هذه الخيارات بالتفصيل. على سبيل المثال، دعونا نترك النافذة الافتراضية محددة (عرض هامينج 5) ونحدد الرسم البياني للكثافة الطيفية.
أصبحت القمتان الآن أكثر تميزًا. دعونا نلقي نظرة على قيم الفترة الزمنية حسب الفترة. حدد حقل الفترة في قسم الجدول. الآن حدد الرسم البياني للكثافة الطيفية.
ومرة أخرى يمكن ملاحظة أن هناك دورة واضحة مدتها 11 عامًا في نشاط البقع الشمسية؛ علاوة على ذلك، هناك دلائل على وجود دورة أطول، حوالي 80-90 سنة. |
تحويل فورييه والتحليل الطيفي الرقمي الكلاسيكي. مقدمة يعد التحليل الطيفي أحد طرق معالجة الإشارات التي تسمح لك بتوصيف تكوين تردد الإشارة المقاسة. تحويل فورييه هو إطار رياضي يربط الإشارة الزمنية أو المكانية (أو بعض نماذج تلك الإشارة) بتمثيل مجال التردد الخاص بها. تلعب الأساليب الإحصائية دورًا مهمًا في التحليل الطيفي، نظرًا لأن الإشارات، كقاعدة عامة، تكون عشوائية أو مزعجة أثناء الانتشار أو القياس. إذا كانت الخصائص الإحصائية الأساسية للإشارة معروفة بدقة، أو كان من الممكن تحديدها من خلال فترة زمنية محدودة لهذه الإشارة، فإن التحليل الطيفي يمثل فرعًا من "العلم الدقيق". ومع ذلك، في الواقع، لا يمكن الحصول من مقطع الإشارة إلا على تقدير لطيفها. لذلك، فإن ممارسة التحليل الطيفي هي نوع من الحرفة (أو الفن؟) ذات طبيعة ذاتية إلى حد ما.يمكن تفسير الفرق بين التقديرات الطيفية التي تم الحصول عليها نتيجة معالجة نفس مقطع الإشارة بطرق مختلفة من خلال الاختلاف في الافتراضات المتعلقة بالبيانات، بطرق مختلفة ,
(1) دعونا نناقش بإيجاز أنواع مختلفة من تحويلات فورييه (لمزيد من التفاصيل، انظر).
عكس التحويل
الشرط الكافي الأقل تقييدًا هو محدودية طاقة الإشارة
دعونا نقدم عددًا من الخصائص الأساسية لتحويل فورييه والدوال المستخدمة أدناه، مع ملاحظة أن النافذة المستطيلة يتم تعريفها بواسطة التعبير
يتم إعطاء وظيفة أخذ عينات المجال الزمني بواسطة
تم إنشاء خاصية أخرى مهمة بواسطة نظرية بارسيفال لوظيفتين g(t) وh(t):
إذا وضعنا g(t) = h(t)، فإن نظرية بارسيفال تُختزل إلى نظرية الطاقة
التعبير (9) هو في جوهره مجرد صياغة لقانون حفظ الطاقة في مجالين (الزمن والتردد). في (9) على اليسار توجد طاقة الإشارة الإجمالية، وبالتالي الوظيفة
يصف توزيع تردد الطاقة للإشارة الحتمية h(t) ولذلك يطلق عليه كثافة الطاقة الطيفية (SED). استخدام التعبيرات
ويمكن حساب أطياف السعة والطور للإشارة h(t). عمليات أخذ العينات والوزن في القسم التالي، سوف نقدم متسلسلة فورييه الزمنية المنفصلة (DTFS) أو تحويل فورييه المنفصل (DFT) كحالة خاصة لتحويل فورييه الزمني المستمر (CTFT) باستخدام اثنين العمليات الأساسيةمعالجة الإشارات - أخذ العينات ( أخذ العينات) و وزنباستخدام نافذة. هنا نعتبر تأثير هذه العمليات على الإشارة وتحولها. يسرد الجدول 2 الوظائف التي تؤدي عملية الوزن وأخذ العينات. بالنسبة للقراءات الموحدة بفاصل زمني قدره T ثانية، فإن تردد أخذ العينات F يساوي 1/T هرتز. لاحظ أن وظيفة الترجيح ووظيفة أخذ العينات في المجال الزمني تم تحديدهما بـ TW (نوافذ الوقت) وTS (أخذ عينات زمنية)، على التوالي، وفي مجال التردد - FW (نوافذ التردد) وFS (أخذ عينات التردد).
لنفترض أنه تم أخذ عينات من إشارة حقيقية مستمرة x(t) ذات طيف محدود، وترددها العلوي يساوي F0. إن NVFT للإشارة الحقيقية تكون دائمًا دالة متماثلة بعرض كامل قدره 2F0، انظر الشكل 1.
الشكل 1 - رسم توضيحي لنظرية أخذ العينات في المجال الزمني لإشارة حقيقية ذات طيف محدود:
إن التفاف X(f) مع تحويل فورييه لدالة العينة F (TS)=Y1/T(f) يستمر بشكل دوري في X(f) مع فاصل تردد قدره 1/T هرتز. ولذلك فإن XS(f) هو طيف ممتد دوريًا لـ X(f). وبشكل عام، تؤدي العينات الموجودة في مجال واحد (مثلاً، الزمن) إلى استمرار دوري في مجال التحويل (مثلاً، التردد). إذا تم تحديد معدل العينة منخفضًا بدرجة كافية (F< 2Fo), то периодически продолженные
спектры будут перекрываться с соседними. Это перекрытие носит название
эффекта наложения в частотной области.
ونتيجة لذلك (انظر الشكل 1 د)، تتم استعادة تحويل فورييه الأصلي. . (15) باستخدام نظريات الالتفاف في مجالات الوقت والتردد، نحصل على التعبير (15) هو تدوين رياضينظريات أخذ العينات المجال الزمني (نظرية ويتاكر، كوتيلنيكوف، شانون - UKSH)، والتي تنص على أنه باستخدام صيغة الاستيفاء (15) يمكن استعادة إشارة حقيقية ذات طيف محدود بدقةبواسطة عدد لا نهائي عينات زمنية معروفة مأخوذة بتردد F = 2F0. ثنائي النظرية (15) هو النظريةالعينات في مجال التردد , (16) يتم وصف العمليات في المجال الزمني، المشابهة لـ (14)، بالتعبير
والتحولات المقابلة هي تعبيرات وبالتالي، يمكن استعادة NVPF X(f) لبعض الإشارات ذات المدة المحدودة بشكل لا لبس فيه من عينات متساوية البعد من طيف هذه الإشارة إذا كان الفاصل الزمني لأخذ عينات التردد المحدد يفي بالشرط F1/2T 0 هرتز، حيث T 0 هي الإشارة مدة. العلاقات بين التحولات المستمرة والمنفصلة زوج من التحويلات للتعريف التقليدي لتحويل فورييه المنفصل ذو النقطة N (DFT)التسلسل الزمني تسلسل تحويل فورييهيتم إعطاء X[k] بواسطة التعبيرات
من أجل الحصول على تقديرات طيفية من عينات البيانات في وحدات الطاقة أو القدرة المقابلة، نكتب متسلسلة فورييه للزمن المنفصل (DTFS)، والتي يمكن اعتبارها بمثابة تقدير تقريبي لتحويل فورييه للزمن المستمر (CTFT)، بناءً على استخدام عدد محدود من عينات البيانات:
من أجل إظهار طبيعة الالتزام بـ DVRF ( منفصلةوظائف في كل من مجالات الوقت والتردد) و CVDFs (وظائف مستمرة في مجالات الوقت والتردد)، نحتاج إلى سلسلة من أربع عمليات تبادلية خطية: الترجيح في مجالات الوقت والتردد و أخذ العينات أو أخذ العيناتسواء في المجال الزمني أو الترددي. إذا تم إجراء عملية الترجيح في إحدى هذه المناطق، فوفقًا لنظرية الالتواء، فإنها ستتوافق مع عملية الترشيح (الالتفاف) في منطقة أخرى باستخدام دالة sinc.
وبالمثل، إذا تم تنفيذ التمييز في منطقة واحدة، فسيتم تنفيذ عملية استمرار دورية في منطقة أخرى. نظرًا لأن الوزن وأخذ العينات عبارة عن عمليات خطية وإبدالية، فمن الممكن استخدام طرق مختلفة لترتيبها، مما يعطي نفس النتيجة النهائية مع نتائج وسيطة مختلفة. ويبين الشكل 2 تسلسلين محتملين لتنفيذ هذه العمليات الأربع.
(22)
لذا فإن DVFT هو ببساطة التحويل Z المحسوب على دائرة الوحدة ومضروبًا في T.
حيث ك=-N/2، . . . ، ن/2-1
حيث ن = 0، . . . ,ن-1 ,
ويصف طاقة سلسلة من عينات البيانات N. كلا التسلسلين x[n] وX[k] هما معامل دوري N، لذلك يمكن كتابة (28) في النموذج
حيث 0 n N. العامل T في (27) - (30) ضروري بحيث يكون (27) و (28) في الواقع تقريبيًا للتحول التكاملي في مجال التكامل
حشوة صفر من خلال عملية تسمى الحشو مع الأصفار، يمكن تعديل سلسلة فورييه المنفصلة للوقت للاستيفاء بين قيم N للتحويل الأصلي. دع عينات البيانات المتاحة x،...،x تستكمل بقيم صفرية x[N]،...X. سيتم توفير DVRF لتسلسل البيانات 2N-dot المبطن الصفري بواسطة
(32) حيث يتم تعديل الحد الأعلى للمجموع على اليمين لاستيعاب وجود بيانات فارغة. دع k = 2m، هكذا
حيث m=0,1,...,N-1، يحدد القيم الزوجية لـ X[k]. يوضح هذا أنه بالنسبة للقيم الزوجية للمؤشر k، يتم تقليل سلسلة فورييه ذات الوقت المنفصل ذات 2N نقطة إلى سلسلة زمنية منفصلة ذات نقطة N. تتوافق القيم الفردية للمؤشر k مع قيم DVRF المحرفة الموجودة بين قيم DVRF الأصلية ذات النقطة N. ومع إضافة المزيد والمزيد من الأصفار إلى تسلسل N-dot الأصلي، يمكن الحصول على المزيد من البيانات المحرفة. في الحالة المحدودة لعدد لا نهائي من أصفار المدخلات، يمكن اعتبار DVRF بمثابة تحويل فورييه منفصل لتسلسل بيانات N-point:
يتوافق التحويل (34) مع العقدة 6 في الشكل 2.
الشكل 3.
ويمكن إثبات أن المدة المكافئة للنافذة (أو أي إشارة أخرى) وعرض النطاق المكافئ لتحويلها هما كميات معكوسة بشكل متبادل: TeBe=1. تحويل فورييه السريع تحويل فورييه السريع (FFT) ليس نوعًا آخر من تحويلات فورييه، ولكنه اسم لعدد من التحويلات الفعالة خوارزميات، مصممة لحساب سريع لسلسلة فورييه المنفصلة. تكمن المشكلة الرئيسية التي تنشأ في التنفيذ العملي لـ DVRF في العدد الكبير من العمليات الحسابية المتناسبة مع N2. على الرغم من أنه قبل وقت طويل من ظهور أجهزة الكمبيوتر، تم اقتراح العديد من مخططات الحوسبة الفعالة التي يمكن أن تقلل بشكل كبير من عدد العمليات الحسابية، فقد حدثت ثورة حقيقية من خلال نشر مقال بقلم كولي وتوكي في عام 1965 حول خوارزمية عملية للسرعة (عدد العمليات) Nlog 2 N) حسابات DVRF . بعد ذلك، تم تطوير العديد من المتغيرات والتحسينات والإضافات على الفكرة الأساسية، لتشكل فئة من الخوارزميات تعرف باسم تحويل فورييه السريع. الفكرة الأساسية لـ FFT هي تقسيم DVRF ذو النقطة N إلى اثنين أو أكثر من DVRFs الأصغر، يمكن حساب كل منها بشكل منفصل ثم جمعها خطيًا مع الآخرين للحصول على DVRF لتسلسل النقطة N الأصلي.
حيث تسمى القيمة W N =exp(-j2 /N) بعامل التحويل (فيما يلي في هذا القسم، فترة أخذ العينات هي T=1). دعونا نختار العناصر ذات الأرقام الزوجية والفردية من التسلسل x[n]
ولكن منذ ذلك الحين , (37) حيث كل حد هو تحويل للطول N/2 (38) لاحظ أن التسلسل (WN/2) nk دوري في k مع الفترة N/2. لذلك، على الرغم من أن الرقم k في التعبير (37) يأخذ قيمًا من 0 إلى N-1، إلا أن كل مجموع يتم حسابه لقيم k من 0 إلى N/2-1. من الممكن تقدير عدد عمليات الضرب والجمع المعقدة المطلوبة لحساب تحويل فورييه وفقاً للخوارزمية (37)-(38). تتضمن تحويلات فورييه ذات النقطة N/2 وفقًا للصيغة (38) إجراء عمليات ضرب 2(N/2) 2 ونفس عدد الإضافات تقريبًا. يتطلب الجمع بين تحويلين من N/2 باستخدام الصيغة (37) مضاعفات N أخرى وإضافات N. لذلك، لحساب تحويل فورييه لجميع قيم N لـ k، من الضروري إجراء عمليات الضرب والجمع N+N 2 /2. وفي الوقت نفسه، فإن الحساب المباشر باستخدام الصيغة (35) يتطلب ضرب وجمع N 2. بالفعل بالنسبة لـ N>2 فإن عدم المساواة N+N 2 /2 قد تم استيفاءه< N 2 , и, таким образом, вычисления по алгоритму (37)-(38) требуют меньшего числа математических операций по сравнению с прямым вычислением преобразования Фурье по формуле (35). Так как вычисление N-точечного преобразования Фурье через два N/2-точечных приводит к экономии вычислительных операций, то каждое из N/2-точечных ДПФ следует вычислять путем сведения их к N/4-точечным преобразованиям: ,
(39)
(41) حيث "التحويلات ذات النقطة الواحدة" X 1 هي ببساطة عينات من الإشارة x[n]: X 1 = x[q]/N, q=0,1,...,N-1. (42) نتيجة لذلك، يمكننا كتابة خوارزمية FFT، والتي تسمى لأسباب واضحة : خوارزمية ترقق الوقت X 2 = (x[p] + W k 2 x) / N, حيث k=0.1, p=0.1,...,N/2 -1; X 2N/M =X N/M + W ك 2N/M X N/M، حيث k=0.1,...,2N/M -1, p=0.1,...,M/2 -1; X[k] = X N [k] =X N/2 + W k N X N/2 , (43) حيث ك=0,1,...,ن-1 العمليات العشوائية والكثافة الطيفية للطاقة يمكن اعتبار العملية العشوائية المنفصلة x مجموعة معينة، أو مجموعة، من تسلسلات زمنية (أو مكانية) منفصلة حقيقية أو معقدة، يمكن ملاحظة كل منها كنتيجة لبعض التجارب (n هو مؤشر الوقت، i هو رقم الملاحظة). سيتم الإشارة إلى التسلسل الذي تم الحصول عليه نتيجة إحدى الملاحظات بواسطة x[n]. عملية المتوسط على المجموعة (أي. المتوسط الإحصائي) سيتم الإشارة إليه من قبل المشغل<>. هكذا، تسمى العملية العشوائية بالثابتة بالمعنى الواسع، إذا كانت قيمته المتوسطة ثابتة (مستقلة عن الوقت)، ويعتمد الارتباط الذاتي فقط على الفرق في مؤشرات الوقت m=n1-n2 (التحول الزمني أو التأخير بين العينات). وبالتالي، فإن العملية العشوائية المنفصلة الثابتة على نطاق واسع x[n] تتميز بقيمة متوسطة ثابتة ص س س [م] =< xx*[n] >. (44) دعونا نلاحظ الخصائص التالية لناقل الحركة الأوتوماتيكي: r xx |r xx [m]| , ص س س [-م] = ص* س س [م] , (45)
يتم تعريف الكثافة الطيفية للقدرة (PSD) على أنها تحويل فورييه المنفصل (DTFT) لتسلسل الارتباط الذاتي
إن PSD، الذي يُفترض أن يقتصر عرضه على ± 1/2T هرتز، هو دالة دورية للتردد بفترة قدرها 1/T هرتز. تصف وظيفة PSD التوزيع التكراري لقوة العملية العشوائية. لتأكيد الاسم المختار له، ضع في الاعتبار معكوس DVFT
محسوبة في م = 0 يتميز الارتباط التلقائي عند التحول الصفريعملية عشوائية. ووفقاً لـ (48)، فإن المنطقة الواقعة تحت المنحنى P xx (f) تميز متوسط القدرة، لذا فإن P xx (f) هي دالة كثافة (قدرة لكل وحدة تردد) تميز التوزيع الترددي للقدرة. غالبًا ما يتم استدعاء زوج التحويلات (46) و (47).نظرية وينر-خينشين
في حالة الوقت المنفصل. بما أن r xx [-m]=r* xx [m]، فيجب أن تكون PSD دالة إيجابية حقيقية تمامًا. إذا كانت ACP دالة حقيقية تمامًا، فيمكن كتابة r xx [-m]=r xx [m] و PSD في شكل تحويل فورييه لجيب التمام
. الخاصية التي تسمح بإجراء مثل هذا الاستبدال تسمى ergodicity. يقال إن العملية العشوائية هي عملية إذا كان من الممكن التنبؤ بجميع خصائصها الإحصائية، مع احتمال يساوي واحدًا، من خلال تطبيق واحد من المجموعة باستخدام متوسط الوقت. بمعنى آخر، تتقارب المتوسطات الزمنية لجميع التطبيقات الممكنة للعملية تقريبًا مع احتمال واحد لنفس القيمة الثابتة - متوسط المجموعة
(51) وبالمثل، بملاحظة قيمة منتج عينات العملية x[n] عند نقطتين زمنيتين، يمكن للمرء أن يتوقع أن القيمة المتوسطة ستكون مساوية لـ . (52) يتم الحصول على هذا النموذج المكافئ لـ PSD عن طريق حساب المتوسط الإحصائي لمعامل DVFT لمجموعة البيانات الموزونة مقسومًا على طول سجل البيانات، في الحالة التي يزيد فيها عدد العينات إلى ما لا نهاية.
يعد المتوسط الإحصائي ضروريًا هنا لأن DVFT نفسه هو متغير عشوائي يتغير لكل تحقيق لـ x[n]. من أجل إظهار أن (52) يعادل نظرية وينر-خينشين، نمثل مربع معامل DVFT كمنتج لسلسلتين ونغير ترتيب عمليات الجمع والمتوسط الإحصائي: , (54)
يمكن اختزال العلاقة (53) إلى ما يلي:
لاحظ أنه في المرحلة الأخيرة من الاشتقاق (55) تم استخدام الافتراض بأن تسلسل الارتباط الذاتي "يضمحل"، بحيث
إذا لم نأخذ في الاعتبار في التعبير (52) عملية التوقع الرياضي، فإننا نحصل على تقدير SPM الذي يسمى.
طيف العينة أرز. 4. العلاقة بين طريقتين لتقدير الكثافة الطيفية للقدرة طريقة الدورة الشهرية للتقدير الطيفي قدمنا أعلاه طريقتين رسميتين مكافئتين لتحديد الكثافة الطيفية للقدرة (PSD). تعتمد الطريقة غير المباشرة على استخدام تسلسل لا نهائي من البيانات لحساب تسلسل الارتباط الذاتي، والذي يعطي تحويل فورييه PSD المطلوب. تعتمد الطريقة المباشرة لتحديد PSD على حساب المعامل التربيعي لتحويل فورييه لتسلسل لا نهائي من البيانات باستخدام المتوسط الإحصائي المناسب. وتبين أن PSD التي تم الحصول عليها دون هذا المتوسط غير مرضية، حيث أن خطأ الجذر التربيعي لمثل هذا التقدير يمكن مقارنته بمتوسط قيمته. سننظر الآن في طرق حساب المتوسط التي توفر تقديرات طيفية سلسة ومستقرة إحصائيًا على عدد محدود من العينات. تسمى تقديرات SPD المستندة إلى التحويل المباشر للبيانات والمتوسط اللاحق بالمخططات الدورية. تسمى تقديرات PSD، والتي يتم تشكيل تقديرات الارتباط لها أولاً من البيانات الأولية. عند استخدام أي طريقة لتقدير PSD، يجب على المستخدم اتخاذ العديد من قرارات المقايضة من أجل الحصول على تقديرات طيفية مستقرة إحصائيًا بأعلى دقة ممكنة من عدد محدود من العينات. تشمل هذه المقايضات، على سبيل المثال لا الحصر، اختيار نافذة لترجيح البيانات وتقديرات الارتباط، ومعلمات متوسط المجال الزمني ومجال التردد التي توازن متطلبات تقليل الفصوص الجانبية بسبب الترجيح، وإجراء المتوسط الفعال، و توفير دقة طيفية مقبولة. في الشكل. ويبين الشكل 5 رسما تخطيطيا يوضح المراحل الرئيسية مخطط الفترة
أرز. 5. المراحل الرئيسية لتقدير PSD باستخدام طريقة الفترة الزمنية
يبدأ تطبيق الطريقة بجمع عينات بيانات N، والتي يتم أخذها بفاصل زمني قدره T ثانية لكل عينة، تليها خطوة اتجاه (اختيارية). ومن أجل الحصول على تقدير طيفي مستقر إحصائيا، يجب تقسيم البيانات المتاحة إلى شرائح متداخلة (إن أمكن) ومن ثم حساب متوسط أطياف العينة التي تم الحصول عليها لكل قطعة من هذا القبيل. يتم تغيير معلمات هذا المتوسط عن طريق الاختيار المناسب لعدد العينات لكل مقطع (NSAMP) وعدد العينات التي يجب من خلالها تحويل بداية المقطع التالي (NSHIFT)، انظر الشكل 1. 6. يتم اختيار عدد المقاطع حسب درجة السلاسة (التشتت) المطلوبة للتقدير الطيفي والاستبانة الطيفية المطلوبة. تؤدي القيمة الصغيرة لمعلمة NSAMP إلى عدد أكبر من المقاطع التي سيتم إجراء المتوسط عليها، وبالتالي سيتم الحصول على تقديرات ذات تباين أقل، ولكن أيضًا دقة تردد أقل. تؤدي زيادة طول المقطع (معلمة NSAMP) إلى زيادة الدقة، وذلك بطبيعة الحال بسبب زيادة تباين التقدير بسبب انخفاض عدد المتوسطات. يشير سهم العودة في الشكل 5 إلى الحاجة إلى عدة تمريرات متكررة عبر البيانات بأطوال وأعداد مختلفة من المقاطع، مما يسمح لنا بالحصول على مزيد من المعلومات حول العملية قيد الدراسة. الشكل 6. تقسيم البيانات إلى شرائح لحساب مخطط الفترة، وهو أمر شائع في جميع طرق التقدير الطيفي الكلاسيكية، ويرتبط بوزن البيانات. يتم استخدام النوافذ للتحكم في تأثيرات الفص الجانبي في التقديرات الطيفية. لاحظ أنه من الملائم اعتبار سجل البيانات المحدودة الحالي جزءًا من التسلسل اللانهائي المقابل، والذي يمكن رؤيته من خلال النافذة المطبقة. وبالتالي، يمكن كتابة تسلسل البيانات المرصودة x 0 [n] من N عينات رياضيًا كمنتج لتسلسل لا نهائي x[n] ودالة نافذة مستطيلة
X 0 [ن]=س[ن] مستقيم[ن]. X 0 (f)=X(f)*D N (f) , حيث الدالة D N (f)، التي تسمى دالة sinc المنفصلة، أو نواة Dirichlet، هي DCFT لدالة مستطيلة. إن تحويل تسلسل محدود مرصود هو نسخة مشوهة من تحويل تسلسل لا نهائي. يوضح الشكل 7 تأثير نافذة مستطيلة على شكل جيبي منفصل بتردد f 0.
الشكل 7. رسم توضيحي لتحيز تحويل فورييه في الوقت المنفصل بسبب التسرب بسبب ترجيح البيانات: أ، ب - التسلسلات الأصلية والمرجحة؛ ب، د - تحويلات فورييه الخاصة بهم.ستؤدي تحويلات النافذة إلى تغيير سعة القمم الطيفية المجاورة (التي تسمى أحيانًا التسييل). نظرًا لأن DVFT هي وظيفة دورية، فإن تداخل الفصوص الجانبية من الفترات المجاورة يمكن أن يؤدي إلى تحيز إضافي. تؤدي زيادة معدل أخذ العينات إلى تقليل تأثير التعرج في الفص الجانبي. ومن الطبيعي أن نلاحظ تشوهات مماثلة في حالة الإشارات غير الجيبية. لا يؤدي النزيف إلى حدوث أخطاء في السعة في أطياف الإشارات المنفصلة فحسب، بل يمكنه أيضًا إخفاء وجود إشارات ضعيفة. هناك عدد من ميزات النافذة الأخرى التي يمكن تقديمها والتي يمكن أن تقلل من مستوى الفصوص الجانبية مقارنة بالنافذة المستطيلة.
الجدول 3. تعريفات نوافذ الوقت المنفصل النموذجية لـ N-pointMax.مستوى الفص الجانبي، ديسيبل -31.5 طريقة الارتباطإن تقدير PSD هو ببساطة استبدال التعبير (46) بتسلسل محدود من القيم لتقدير الارتباط التلقائي ( مخططات الارتباط ) بدلاً من تسلسل لا نهائي من قيم الارتباط التلقائي الحقيقية غير المعروفة. يمكن العثور على مزيد من المعلومات حول طريقة الارتباط للتقدير الطيفي في. الأدب 4. أوتنيس ر.، إنوكسون إل. التحليل التطبيقي للسلاسل الزمنية - م: مير، 1982. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
.
. (2)
. (3)
. (4)
(5)
(6)
(7)
. (8)
. (9)
(11)
(12)
. (13)
,
(18)
. (19)
(23)
(24)
, (27)
,
(28)
,
(29)
, (30)
.(31)
,
(33)
.
(34)
حيث W(f) هو تحويل فورييه في الوقت المنفصل لدالة النافذة، على سبيل المثال، المستطيل (5). وبالمثل، يمكنك الدخول مدة النافذة المكافئة
, (35)
.
(46)
(47)
(48)
,
. (49)
. (50)
(53)
(55)
.
(56)
, (57)
. (46)
