نظرية الدوال الجبرية للعديد من المتغيرات. مفهوم وظيفة عدة متغيرات

عند دراسة العديد من الأنماط في العلوم الطبيعية والاقتصاد، يواجه المرء وظائف لمتغيرين مستقلين (أو أكثر).

التعريف (للدالة ذات متغيرين).يترك X , ي و ز - الجموع. إذا كان كل زوجين (س, ذ) عناصر من مجموعات على التوالي X و ي بموجب بعض القوانين و يطابق عنصرًا واحدًا فقط ض من كثير ز ، ثم يقولون ذلك يتم إعطاء وظيفة من متغيرين ض = و(س, ذ) .

على العموم مجال دالة ذات متغيرين يمكن تمثيلها هندسيًا بمجموعة معينة من النقاط ( س; ذ) طائرة xOy .

التعريفات الأساسية المتعلقة بوظائف العديد من المتغيرات هي تعميم للمتغيرات المقابلة تعريفات دالة ذات متغير واحد .

كثير دمُسَمًّى مجال الوظيفة ض، والمجموعة ه – معانيها كثيرة. المتغيرات سو ذفيما يتعلق بالوظيفة ضوتسمى حججها. عامل ضيسمى المتغير التابع .

القيم الخاصة للحجج

يتوافق مع القيمة الخاصة للوظيفة

مجال دالة متعددة المتغيرات

لو وظيفة عدة متغيرات (على سبيل المثال، متغيرين) تعطى بواسطة الصيغة ض = و(س, ذ) ، الذي - التي مجال تعريفه هي مجموعة كل هذه النقاط في المستوى x0y، والتي التعبير و(س, ذ) منطقي ويقبل القيم الحقيقية. القواعد العامة لمجال دالة ذات عدة متغيرات مستمدة من القواعد العامةل مجال تعريف دالة ذات متغير واحد. الفرق هو أنه بالنسبة لوظيفة اثنين منطقة المتغيراتالتعريف هو مجموعة معينة من النقاط على المستوى، وليس خطا مستقيما، كما هو الحال بالنسبة لدالة لمتغير واحد. بالنسبة لدالة مكونة من ثلاثة متغيرات، فإن مجال التعريف هو مجموعة النقاط المقابلة في مساحة ثلاثية الأبعاد، وبالنسبة للدالة نالمتغيرات - مجموعة النقاط المقابلة للملخص ن-مساحة الأبعاد.

مجال دالة مكونة من متغيرين مع جذر نالدرجة العاشرة

في الحالة التي يتم فيها إعطاء دالة لمتغيرين بواسطة الصيغة و ن - عدد طبيعي :

لو نهو عدد زوجي، فإن مجال تعريف الدالة هو مجموعة نقاط المستوى المقابلة لجميع قيم التعبير الجذري التي تكون أكبر من أو تساوي الصفر، أي

لو نإذا كان رقمًا فرديًا، فإن مجال تعريف الدالة هو مجموعة أي قيم، أي المستوى بأكمله x0y .

مجال دالة القوة لمتغيرين مع الأس الصحيح

:

لو أ- موجب، فإن مجال تعريف الدالة هو المستوى بأكمله x0y ;

لو أ- سالب، فإن مجال تعريف الدالة هو مجموعة القيم المختلفة عن الصفر: .

مجال دالة القوة لمتغيرين مع الأس الكسرى

في الحالة التي يتم فيها إعطاء الوظيفة بواسطة الصيغة :

إذا كانت موجبة، فإن مجال تعريف الدالة هو مجموعة تلك النقاط في المستوى التي تأخذ فيها قيمًا أكبر من أو تساوي الصفر: ؛

إذا - كان سلبيا، فإن مجال تعريف الدالة هو مجموعة تلك النقاط في المستوى الذي تأخذ فيه قيمًا أكبر من الصفر: .

مجال تعريف الدالة اللوغاريتمية لمتغيرين

دالة لوغاريتمية لمتغيرين يتم تعريفه بشرط أن تكون حجته موجبة، أي أن مجال تعريفه هو مجموعة نقاط المستوى التي يأخذ عندها قيمًا أكبر من الصفر: .

مجال تعريف الدوال المثلثية لمتغيرين

مجال الوظيفة - الطائرة بأكملها x0y .

مجال الوظيفة - الطائرة بأكملها x0y .

مجال تعريف الوظيفة هو المستوى بأكمله x0y

مجال الوظيفة - الطائرة بأكملها x0yباستثناء أزواج الأرقام التي لها قيم.

مجال تعريف الدوال المثلثية العكسية لمتغيرين

مجال الوظيفة .

مجال الوظيفة - مجموعة النقاط على المستوى الذي منها .

مجال الوظيفة - الطائرة بأكملها x0y .

مجال الوظيفة - الطائرة بأكملها x0y .

مجال تعريف الكسر كدالة لمتغيرين

إذا تم إعطاء دالة بواسطة الصيغة، فإن مجال تعريف الدالة هو جميع نقاط المستوى الذي فيه.

مجال دالة خطية ذات متغيرين

إذا كانت الدالة معطاة بصيغة النموذج ض = الفأس + بواسطة + ج ، فإن مجال تعريف الدالة هو المستوى بأكمله x0y .

مثال 1.

حل. وفقا لقواعد مجال التعريف، فإننا نشكل متباينة مزدوجة

نحن نضرب عدم المساواة بأكملها ونحصل عليها

يحدد التعبير الناتج مجال تعريف هذه الوظيفة لمتغيرين.

مثال 2.أوجد مجال دالة ذات متغيرين.

المحاضرة الأولى نظرية الدوال ذات المتغيرين والمتغيرات المتعددة (TFNP). 1. مفهوم FNP. 2. حد FNP. 3. استمرارية الحزب الوطني التقدمي. 4. المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى. 5. مشتق من وظيفة معقدة. 6. مشتق من وظيفة ضمنية. 7. المشتقات ذات الترتيب العالي.

1. مفهوم FNP. لتكن المجموعة D منطقة على المستوى. تعريف. إذا كان الرقم مرتبطا، فيقولون أن الوظيفة العددية D يتم تقديمها في المجموعة D - مجال تعريف الوظيفة.

إذا كانت هناك نقطة، فسيتم تحديد التعيين بإحداثيتين، دالة مكونة من متغيرين. سيكون الرسم البياني لهذه الوظيفة عبارة عن مجموعة من النقاط بإحداثيات x، y، z - سطح في الفضاء.

التفسير الهندسي لـ f(x, y). D - جزء من المستوى 0 HY z D - إسقاط الرسم البياني للدالة f(x, y) على المستوى 0 HY z f О x D x y y الرسم البياني للدالة هو سطح في الفضاء.

2. حد دالة من متغيرين. دع نقطة تسمى مجموعة من النقاط بحيث تكون جوارًا لنقطة ما

تعريف. دع النقطة إذاً فإن النقطة P تسمى نقطة داخلية للمجموعة D. التعريف. إذا كانت جميع النقاط D داخلية لهذه المجموعة، فإنها تسمى مفتوحة. تعريف. أي مجموعة مفتوحة تحتوي على نقطة تسمى جوارها.

تعريف. تسمى المجموعة المكونة من أي نقطتين يمكن توصيلهما بمنحنى مستمر يقع في هذه المجموعة متصلة. تعريف. تسمى المجموعة المتصلة المفتوحة المنطقة.

دع الدالة الموجودة في جوار نقطة ما يتم تعريفها عند البعض (وليس بالضرورة عند النقطة نفسها). ويسمى الرقم A حد الدالة كما تميل إذا

تعيين. تعليق. يمكن أن يحدث الطموح وفقًا لأي قانون واتجاه، في حين أن جميع القيم الحدية موجودة وتساوي A.

مثال. دعونا نفكر في الدالة دعونا نفكر في الاتجاه الذي يمر عبر t (0، 0): على طول الخطوط المستقيمة، تعتمد قيمة A على الكيفية.

3. استمرارية الحزب الوطني التقدمي. تسمى الدالة مستمرة عند نقطة ما إذا تم انتهاك أحد الشروط 1 -3 على الأقل، فهي نقطة انقطاع.

يمكن عزل نقاط الاستراحة وتشكيل خطوط فاصلة وأسطح فاصلة. مثال. أ) نقطة الفاصل – (معزولة) ب) – خط الفاصل

تعريف. ويسمى الفرق بالزيادة الكلية للدالة. تعريف. تسمى الحدود المشتقات الجزئية للدالة (على افتراض وجودها).

تتوافق قواعد حساب المشتقات الجزئية لـ FNP مع القواعد المقابلة لدالة متغير واحد. تعليق. عند حساب مشتق FNP بالنسبة لأحد المتغيرات، تعتبر جميع المتغيرات الأخرى ثوابت. مثال.

تعريف. يُطلق على الجزء الرئيسي (الخطي) من الزيادة الإجمالية للدالة عند نقطة ما التفاضل الكلي للدالة عند تلك النقطة.

5. مشتق من وظيفة معقدة. دعونا نفكر في الوظيفة التي يكون فيها z دالة معقدة لـ x وy. يتم حساب المشتقات الجزئية للدالة المركبة بالنسبة للمتغيرين x و y على النحو التالي: (كما في حالة الدالة المركبة لمتغير واحد).

إجمالي المشتق أ) حيث على سبيل المثال، z هي دالة معقدة لوسيطة واحدة t. ثم هو المشتق الإجمالي للدالة فيما يتعلق بالوسيطة t.

عند النظر في دوال متغير واحد، أشرنا إلى أنه عند دراسة العديد من الظواهر، فإننا نواجه دوال لمتغيرين مستقلين أو أكثر. دعونا نعطي بعض الأمثلة.

مثال 1. يتم التعبير عن المساحة S للمستطيل الذي تساوي أطواله x و y بالصيغة. كل زوج من القيم x و y يتوافق مع قيمة معينة للمنطقة S؛ S هي دالة لمتغيرين.

مثال 2. يتم التعبير عن الحجم V لمتوازي مستطيل ذو حواف تساوي أطوالها x بواسطة الصيغة. هنا V هي دالة لثلاثة متغيرات x.

مثال 3. المدى R للقذيفة التي تم إطلاقها بسرعة أولية . من مسدس يميل ماسورةه نحو الأفق بزاوية يعبر عنها بالصيغة إذا أهملت مقاومة الهواء). وهنا تسارع الجاذبية. لكل زوج من القيم، تعطي هذه الصيغة قيمة محددة لـ R، أي أن R هي دالة لمتغيرين

مثال 4. وهنا دالة من أربعة متغيرات

التعريف 1. إذا كان كل زوج من قيم متغيرين مستقلين x و y من منطقة معينة من تباينهما D يتوافق مع قيمة معينة من الكمية، فنقول أن هناك دالة لمتغيرين مستقلين x و y محددين في المنطقة

رمزياً، يُشار إلى دالة ذات متغيرين على النحو التالي:

يمكن تحديد دالة لمتغيرين، على سبيل المثال، باستخدام جدول أو تحليليا - باستخدام صيغة، كما حدث في الأمثلة الأربعة التي تمت مناقشتها أعلاه. بناءً على الصيغة، يمكنك إنشاء جدول قيم الوظائف لبعض أزواج قيم المتغيرات المستقلة. نعم ل

بالنسبة للمثال الأول، يمكنك إنشاء الجدول التالي:

في هذا الجدول، عند تقاطع صف وعمود يتوافق مع قيم معينة لـ x وy، تتم الإشارة إلى قيمة الدالة المقابلة

إذا تم الحصول على الاعتماد الوظيفي نتيجة لقياس قيمة z أثناء الدراسة التجريبية لظاهرة ما، فسيتم الحصول على الفور على جدول يعرف z كدالة لمتغيرين. في هذه الحالة، يتم تحديد الوظيفة فقط من خلال الجدول.

كما في حالة متغير مستقل واحد، لا توجد دالة لمتغيرين، بشكل عام، لأي قيم x وy.

التعريف 2. تسمى مجموعة أزواج القيم التي يتم تعريف الوظيفة من أجلها بمجال التعريف أو مجال وجود هذه الوظيفة.

يتم توضيح مجال تعريف الدالة بشكل هندسي واضح. إذا قمنا بتصوير كل زوج من القيم x و y كنقطة في المستوى، فسيتم تصوير مجال تعريف الدالة كمجموعة معينة من النقاط على المستوى. وسنسمي أيضًا مجموعة النقاط هذه مجال تعريف الدالة. على وجه الخصوص، يمكن أن يكون مجال التعريف المستوى بأكمله. وفيما يلي سنتناول هذه المناطق بشكل رئيسي، وهي أجزاء من المستوى تحدها خطوط. سيتم تسمية الخط الذي يحد هذه المنطقة بحدود المنطقة. نقاط المنطقة التي لا تقع على الحدود ستسمى النقاط الداخلية للمنطقة. المنطقة التي تتكون من نقاط داخلية فقط تسمى مفتوحة أو غير مغلقة. إذا كانت النقاط الحدودية تنتمي أيضًا إلى المنطقة، فتسمى المنطقة مغلقة. تسمى المنطقة محدودة إذا كان هناك ثابت C بحيث تكون مسافة أي نقطة M في المنطقة من أصل الإحداثيات O أقل من C، أي.

مثال 5: تحديد المجال الطبيعي للدالة

التعبير التحليلي منطقي لأي قيم x و y. وبالتالي، فإن المجال الطبيعي لتعريف الدالة هو المستوى بأكمله

مثال 6. .

لكي تكون له قيمة حقيقية، يجب أن يكون للجذر عدد غير سالب، أي أن x وy يجب أن يحققا المتراجحة أو

جميع النقاط التي تحقق إحداثياتها المتباينة المحددة تقع في دائرة نصف قطرها 1 ومركزها عند نقطة الأصل وعلى حدود هذه الدائرة.

مثال 7. .

وبما أن اللوغاريتمات محددة فقط للأرقام الموجبة، فيجب استيفاء عدم المساواة.

وهذا يعني أن مجال تعريف الدالة هو نصف المستوى الواقع فوق الخط المستقيم، ولا يشمل الخط المستقيم نفسه (الشكل 166).

مثال 8: مساحة المثلث 5 هي دالة للقاعدة والارتفاع

ومجال تعريف هذه الدالة هو المساحة مثل قاعدة المثلث وارتفاعها لا يمكن أن يكون سالبًا ولا صفرًا). لاحظ أن مجال تعريف الوظيفة قيد النظر لا يتطابق مع المجال الطبيعي لتعريف التعبير التحليلي الذي تحدد به الوظيفة، حيث أن المجال الطبيعي لتعريف التعبير هو، بوضوح، مستوى أوكسي بأكمله.

V. حساب التفاضل والتكامل

وظائف العديد من المتغيرات

مفهوم وظيفة عدة متغيرات

في السابق، تم النظر في وظيفة متغير مستقل واحد. ولكن عند حل مسائل عملية محددة يواجه الباحث بشكل عام ظواهر تعتمد على عدة متغيرات مستقلة في وقت واحد. كأكثر أمثلة بسيطةقد يؤدي هذا إلى الحاجة إلى حساب مساحة المستطيل أو حجم متوازي السطوح. وبالفعل يتم تحديد مساحة المستطيل بكميتين مستقلتين عن بعضهما البعض - أطوال أضلاع المستطيل و:

يتم تحديد حجم متوازي السطوح بثلاث كميات مستقلة - أطوال حوافه، :

ويمكن إعطاء أمثلة أكثر تعقيدا. وبعبارة أخرى، يمكن أن يكون عدد المتغيرات المستقلة أي شيء. في هذه الحالات، يقولون أن الكمية المطلوبة هي دالة لمتغيرين أو ثلاثة أو أكثر.

غالبًا ما يحاولون حذف المتغيرات الثانوية وترك متغير واحد فقط، وهو المتغيرات الرئيسية، أي أنهم يحاولون الحصول على دالة لمتغير واحد. ولكن هذا ليس ممكنا دائما. غالبًا ما يعطي تبسيط التعبير دالة مكونة من متغيرين أو ثلاثة متغيرات. وتجدر الإشارة على الفور إلى أن دراسة وظائف العديد من المتغيرات لها طرق مماثلة. لذلك، من أجل التبسيط، سوف نقوم بدراسة وظائف متغيرين، وإذا لزم الأمر، تعميم النتائج التي تم الحصول عليها على حالة تعسفية.

في حالة واحدة وظيفة متغيرةكان عاملاً يعين لكل عنصر من المجموعة عنصرًا واحدًا فقط من المجموعة.

كيف يتم تحديد وسيطة دالة لمتغيرين؟ وبما أننا ندرس دوال الحجج الحقيقية، فإن قيمة هذه الدالة تعتمد على زوج من الرقمين الحقيقيين. من وجهة نظر نظرية المجموعات، هذا ليس أكثر من نتاج مجموعتين و، التي تنتمي إليها المتغيرات.

التعريف 5.1.1 . دع ، ثم يعطي المنتج مجموعة جديدة، يحتوي كل عنصر منها على زوج من الأرقام.

ويترتب على التعريف 5.1.1 أنه من خلال معرفة مجموعة القيم والوظائف لمتغيرين، يمكن للمرء العثور على مجال تعريفه. ومن الواضح أن هذا سيكون الجميع مجموعات ممكنةو .

منتج مجموعتين من الأعداد الحقيقية يشكل مجموعة في الفضاء. التمثيل الرسومي لهذا العمل هو مستوى أو جزء من هذا المستوى.

التعريف 5.1.2 . الدالة المكونة من متغيرين هي علاقة تعين رقمًا واحدًا فقط لكل زوج من الأرقام.

إذا كانت هناك دالة للمتغيرات، فإن مجال تعريفها سيكون الفضاء أو جزء منه. لم تعد هذه المجموعة قابلة للتمثيل بيانياً.

يمكن تمثيل دوال متغيرين، بالإضافة إلى دوال متغير واحد، باستخدام جدول أو رسم بياني أو تعبير تحليلي. الطريقة الجدولية هي الأقل ملاءمة، ومع ذلك، عند تحديد قيمة الدالة تجريبيًا، قد تكون هي الطريقة الوحيدة. تعد المواصفات الرسومية والتحليلية للوظيفة أكثر إفادة. في هذه الحالة، الطريقة الأخيرة هي الأكثر ملاءمة، لأنها تجعل من الممكن إجراء دراسة كاملة لهذا المفهوم.

لتمثيل دوال متغيرين بيانياً، ارسم نظام إحداثيات ثلاثي الأبعاد، على سبيل المثال، نظام ديكارتي مستطيل. يتم توضيح مجال تعريف دالة معينة على المستوى. عند كل نقطة من مجال التعريف، يتم استعادة عمودي، والذي يساوي طوله قيمة الدالة عند هذه النقطة. من خلال الجمع بين جميع النقاط التي تم الحصول عليها، يتم الحصول على سطح معين (الشكل 5.1.1). وبالتالي، بيانيا، دالة لمتغيرين هي سطح معين. لتصوير وظائف عدد أكبر من المتغيرات، لم تعد الطريقة الرسومية قابلة للتطبيق.

عند تحديد دالة لمتغيرين بشكل تحليلي، يتم كتابة صيغة يتم من خلالها العثور على قيمة الدالة بناءً على القيم المعطاة للمتغيرات المستقلة. زيادة عدد المتغيرات عند تحديد دالة تحليليا لا يخلق مشاكل ( ).

عند دراسة دالة مكونة من متغيرين أو أكثر، تنشأ نفس المفاهيم بالنسبة لدالة ذات متغير واحد: الحد، الاستمرارية، الزيادات، المشتقة.

دعونا نفكر أولاً في أقسام السطح حسب المستويات و (الشكل 5.1.2).

وبما أنه ثابت على السطر، فإنه يتغير فقط تبعا للتغير. إذا قمت بتعيين زيادة عند نقطة ما، فسوف تنتقل إلى هذه النقطة . سيكون الفرق بين التطبيقات عند هذه النقاط مساوياً للتغير في قيمة الدالة، والذي لن يعتمد على المتغير.

وهكذا، بإعطاء زيادة، نحصل على زيادة، وهو ما يسمى بواسطة الزيادة الجزئية بواسطة ويشار إليه .

ويتم تحديد الزيادة الجزئية بالمثل من خلال: .

من خلال إعطاء زيادات للمتغيرات و في نفس الوقت، نحصل على الزيادة الكاملة للدالة: . ويجب أن يؤخذ في الاعتبار ذلك .

دعونا الآن نقدم مفهوم مجاورة نقطة على المستوى.

التعريف 5.1.3 . - مجاورة نقطة نصف قطرها هي مجموعة جميع النقاط التي تحقق المتراجحة ، أو بعبارة أخرى، مجموعة جميع النقاط التي تقع داخل دائرة نصف قطرها مركز عند نقطة (الشكل 5.1.3).

بناءً على تعريف الجوار، يمكننا تقديم مفهوم حد دالة ذات متغيرين. دع الوظيفة محددة في منطقة معينة (الشكل 5.1.3). لنأخذ نقطة ما في هذا المجال. إلى هذه النقطة؛

3) محددة في جميع النقاط، ولكن .

التحميل من موقع Depositfiles

محاضرات 1-4

وظائف العديد من المتغيرات.

أسئلة الاختبار.

الزيادة الجزئية والكلية لدالة متعددة المتغيرات (FNP).

حدود دالة متعددة المتغيرات. خصائص حدود FNP.

استمرارية الحزب الوطني التقدمي. خصائص الدوال المستمرة.

المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى.

تعريف : إذا كانت كل مجموعة من القيم المتغيرة تتوافق مع قيمة متغيرة معينةث، ثم سوف نتصلث وظيفة المتغيرات المستقلة:

(1)

تعريف : مجال التعريفد ( و ) الدالة (1) عبارة عن مجموعة من هذه المجموعات من الأرقام
، والتي تم تعريف الوظيفة (1) لها.

منطقة د ( و ) يمكن أن تكون مفتوحة أو مغلقة. على سبيل المثال لوظيفة:

د (و ) ستكون هناك جميع النقاط في الفضاء التي تنطبق عليها المتباينة (الكرة المغلقة)، وللدالة (الكرة المفتوحة).

في ما يلي، سننظر بشكل أساسي في وظائف متغيرين، لأن أولاً، لا يوجد فرق جوهري بين متغيرين أو أكثر؛ فزيادة عدد المتغيرات لا تؤدي إلا إلى حسابات مرهقة. ثانياً، تسمح حالة المتغيرين بتفسير هندسي واضح.

التمثيل الهندسي لدالة لمتغيرين
هو بعض السطح الذي يمكن تحديده بشكل صريح أو ضمني. على سبيل المثال:أ )
- مهمة صريحة (مكافئ الدوران)، ب)
— مهمة ضمنية (المجال).

عند إنشاء الرسم البياني، غالبا ما يتم استخدام الوظائفطريقة القسم .

مثال . إنشاء رسم بياني للوظيفة.
دعونا نستخدم طريقة القسم.

– في الطائرة
- القطع المكافئ.

– في الطائرة
-القطع المكافئ.

– في الطائرة
- دائرة.

السطح المطلوب هو القطع المكافئ للثورة.

مسافة بين نقطتين تعسفيتين
و
الفضاءات (الإقليدية).
اتصل بالرقم

مجموعة النقاط تسمىدائرة مفتوحة نصف القطر تتمركز في نقطة ما , – محيط نصف القطر مع المركز عند النقطة.

فتح دائرة نصف قطرها مع المركز عند نقطة ما يسمى-المحيط النقاط

عن

عزيمة. النقطة تسمىنقطة داخلية مجموعات ، إذا كان هناك حي
نقطة تنتمي بالكامل إلى المجموعة (أي
).

تعريف . النقطة تسمىنقطة الحدود من مجموعة إذا كان أي من أحياءها يحتوي على نقاط تنتمي إلى المجموعة ولا تنتمي إليها.

النقطة الحدودية لمجموعة قد تنتمي أو لا تنتمي إلى هذه المجموعة.

تعريف . المجموعة تسمىيفتح إذا كانت جميع نقاطها داخلية.

تعريف . المجموعة تسمىمغلق إذا كان يحتوي على جميع نقاط حدوده. مجموعة جميع النقاط الحدودية للمجموعة تسمىحدود (وغالبًا ما يُشار إليه بالرمز
). لاحظ أن المجموعة
مغلق ويسمىإغلاق المجموعة.

مثال . إذا، ثم. في نفس الوقت.

الزيادة الجزئية والكلية للوظيفة.

إذا كان هناك متغير مستقل (على سبيل المثال،X ) يتم زيادتها X ، ولم يتغير المتغير الآخر، فتزداد الدالة:

وهو ما يسمى الزيادة الجزئية للدالة بواسطة الوسيطةX .

إذا تلقت جميع المتغيرات زيادات، فستتلقى الدالة زيادة كاملة:

على سبيل المثال، بالنسبة للوظيفة
سيكون لدينا:

حدود دالة متعددة المتغيرات.

تعريف . سنقول أن تسلسل النقاط
يتقارب في
إلى هذه النقطة
، إذا كان في .

في هذه الحالة النقطة
مُسَمًّىحد التسلسل المحدد والكتابة:
في
.

من السهل إظهار أنه إذا وفقط إذا كان كلاهما
,
(أي أن تقارب سلسلة من النقاط في الفضاء متكافئالتقارب المنسق ).

تعريف . الرقم يسمى حد وظائف
في
، إذا ل

مثل هذا
، بمجرد.

في هذه الحالة يكتبون
أو
في
.

على الرغم من التشابه الكامل الواضح بين مفاهيم حد دوال المتغير الواحد والمتغيرين، إلا أن هناك فرقًا عميقًا بينهما. في حالة وجود دالة ذات متغير واحد، لوجود نهاية عند نقطة ما، فإن مساواة رقمين فقط ضرورية وكافية - الحدود في اتجاهين: إلى يمين وإلى يسار نقطة النهاية . بالنسبة لدالة ذات متغيرين، الميل إلى نقطة النهاية
على المستوى يمكن أن يحدث في عدد لا نهائي من الاتجاهات (وليس بالضرورة على طول خط مستقيم)، وبالتالي فإن شرط وجود حد لدالة مكونة من متغيرين (أو عدة) يكون "أكثر صرامة" مقارنة بوظيفة ذات متغيرين متغير واحد.

مثال . يجد
.

دع الرغبة في النقطة المحددة
يحدث في خط مستقيم
. ثم
.

من الواضح أن الحد غير موجود، لأن العدد
يعتمد على .

خصائص حدود FNP:

إذا كان هناك
، الذي - التي:، المشتق الجزئي فيما يتعلق وتم تقديم تدوينه.

من السهل أن نرى أن المشتق الجزئي هو مشتق دالة لمتغير واحد عندما تكون قيمة المتغير الآخر ثابتة. ولذلك، يتم حساب المشتقات الجزئية وفقا لنفس القواعد التي يتم بها حساب مشتقات الدوال لمتغير واحد.

مثال . البحث عن المشتقات الجزئية للوظائف
.

لدينا:
,
.