Fourierova analiza. Spektralna analiza zasnovana na brzoj Fourierovoj transformaciji Fourierove studije
Spektralna analiza
Spektralna analiza je široka klasa metoda obrade podataka zasnovanih na njihovoj frekvencijskoj reprezentaciji ili spektru. Spektar se dobija dekomponovanjem originalne funkcije, koja zavisi od vremena (vremenske serije) ili prostornih koordinata (na primer, slika), na osnovu neke periodične funkcije. Najčešće se za spektralnu obradu koristi Fourierov spektar, dobijen na bazi sinusne osnove (Fourierova dekompozicija, Fourierova transformacija).
Glavno značenje Fourierove transformacije je da je originalna neperiodična funkcija proizvoljnog oblika, koja se ne može analitički opisati i stoga je teško obraditi i analizirati, predstavljena kao skup sinusa ili kosinusa različitih frekvencija, amplituda i početnih faze.
Drugim riječima, složena funkcija se transformira u mnogo jednostavnijih. Svaki sinusni val (ili kosinusni val) određene frekvencije i amplitude, dobijen kao rezultat Fourierovog proširenja, naziva se spektralna komponenta ili harmonic. Spektralne komponente se formiraju Fourierov spektar.
Vizualno, Fourierov spektar je predstavljen u obliku grafikona na kojem je kružna frekvencija, označena grčkim slovom "omega", ucrtana duž horizontalne ose, a amplituda spektralnih komponenti, obično označena latiničnim slovom A. , iscrtava se duž vertikalne ose. Tada se svaka spektralna komponenta može prikazati kao broj, položaj koji horizontalno odgovara njenoj frekvenciji, a visina – njenoj amplitudi. Harmonik sa nultom frekvencijom se naziva konstantna komponenta(u vremenskom prikazu ovo je prava linija).
Čak i jednostavna vizuelna analiza spektra može mnogo reći o prirodi funkcije na osnovu koje je dobijen. Intuitivno je jasno da brze promjene u početnim podacima dovode do komponenti u spektru s visoko frekvencije, a spore - sa nisko. Stoga, ako se amplituda njegovih komponenti brzo smanjuje s povećanjem frekvencije, tada je originalna funkcija (na primjer, vremenska serija) glatka, a ako spektar sadrži visokofrekventne komponente sa velikom amplitudom, tada će originalna funkcija sadržavati oštre fluktuacije . Dakle, za vremensku seriju, ovo može ukazivati na veliku nasumične komponente, nestabilnost procesa koje opisuje ili prisustvo šuma u podacima.
Spektralna obrada se zasniva na manipulaciji spektrom. Zaista, ako smanjite (pritisnete) amplitudu visokofrekventnih komponenti, a zatim, na osnovu promijenjenog spektra, vratite prvobitnu funkciju izvođenjem inverzne Fourierove transformacije, tada će ona postati glatkija zbog uklanjanja visokofrekventne komponenta.
Za vremensku seriju, na primjer, to znači uklanjanje informacija o dnevnoj prodaji, koje su vrlo osjetljive na slučajne faktore, i ostavljanje konzistentnijih trendova, kao što je sezonalnost. Možete, naprotiv, potisnuti niskofrekventne komponente, što će ukloniti spore promjene i ostaviti samo brze. U slučaju vremenske serije, to će značiti potiskivanje sezonske komponente.
Korištenjem spektra na ovaj način možete postići željenu promjenu u originalnim podacima. Najčešća upotreba je izglađivanje vremenskih serija uklanjanjem ili smanjenjem amplitude visokofrekventnih komponenti u spektru.
Za manipulaciju spektra koriste se filteri - algoritmi koji mogu kontrolirati oblik spektra, potisnuti ili poboljšati njegove komponente. Main imovine bilo koji filter je njegov amplitudno-frekvencijski odziv (AFC), čiji oblik određuje transformaciju spektra.
Ako filter propušta samo spektralne komponente sa frekvencijom ispod određene granične frekvencije, onda se naziva niskopropusni filter (LPF) i može se koristiti za izglađivanje podataka, čišćenje od šuma i anomalnih vrijednosti.
Ako filter propušta spektralne komponente iznad određene granične frekvencije, onda se naziva visokopropusni filter (HPF). Može se koristiti za suzbijanje sporih promjena, kao što je sezonalnost u serijama podataka.
Osim toga, koriste se i mnoge druge vrste filtera: mid-pass filteri, band-stop filteri i bandpass filteri, kao i oni složeniji koji se koriste u obradi signala u radio elektronici. Odabirom vrste i oblika frekvencijskog odziva filtera možete postići željenu transformaciju izvornih podataka spektralnom obradom.
Prilikom izvođenja frekventnog filtriranja podataka u svrhu izglađivanja i uklanjanja šuma, potrebno je ispravno specificirati propusni opseg niskopropusnog filtera. Ako ga odaberete previsoko, stepen izglađivanja će biti nedovoljan, a šum neće biti potpuno potisnut. Ako je preusko, onda uz buku, i promjene koje donose korisne informacije. Ako u tehničkim primjenama postoje strogi kriteriji za određivanje optimalnih karakteristika filtera, onda je u analitičkim tehnologijama potrebno koristiti uglavnom eksperimentalne metode.
Spektralna analiza je jedna od najefikasnijih i dobro razvijenih metoda obrade podataka. Filtriranje frekvencije je samo jedna od njegovih brojnih primjena. Osim toga, koristi se u korelacionoj i statističkoj analizi, sintezi signala i funkcija, izgradnji modela itd.
Svaki talas složenog oblika može se predstaviti kao zbir jednostavnih talasa.
Joseph Fourier je bio veoma zainteresovan da matematičkim terminima opiše kako toplota prolazi kroz čvrste objekte ( cm. Izmjena toplote). Njegovo zanimanje za vrućinu možda je bilo podstaknuto dok je bio u sjevernoj Africi: Fourier je pratio Napoleona u francuskoj ekspediciji u Egipat i tamo živio neko vrijeme. Da bi postigao svoj cilj, Fourier je morao razviti nove matematičke metode. Rezultati njegovog istraživanja objavljeni su 1822. godine u djelu “Analitička teorija topline” ( Théorie analytique de la chaleur), gdje je objasnio kako analizirati složene fizičke probleme razlažući ih na niz jednostavnijih.
Metoda analize zasnivala se na tzv Fourierova serija. U skladu s principom interferencije, serija počinje razlaganjem složenog oblika na jednostavne - na primjer, promjena zemljine površine objašnjava se potresom, promjena orbite komete je posljedica utjecaja Od privlačenja nekoliko planeta, promjena toka topline nastaje zbog njenog prolaska kroz prepreku nepravilnog oblika napravljenu od toplotnoizolacionog materijala. Fourier je pokazao da se složeni talasni oblik može predstaviti kao zbir jednostavnih talasa. Po pravilu, jednadžbe koje opisuju klasične sisteme mogu se lako riješiti za svaki od ovih jednostavnih valova. Nadalje, Fourier je pokazao kako ovi jednostavna rješenja mogu se sumirati kako bi se dobilo rješenje cijelog kompleksnog problema u cjelini. (Matematički gledano, Fourierov niz je metoda predstavljanja funkcije kao sume harmonika - sinusnih i kosinusnih valova, zbog čega je Fourierova analiza bila poznata i kao "harmonička analiza.")
Prije pojave kompjutera sredinom dvadesetog vijeka, Fourierove metode i njima slične bile su najbolje oružje u naučnom arsenalu za napad na složenost prirode. Od pojave složenih Fourierovih metoda, naučnici su bili u mogućnosti da ih koriste za rješavanje ne samo jednostavnih problema koji se mogu riješiti direktnom primjenom Newtonovih zakona mehanike i drugih fundamentalnih jednačina. Mnoga od velikih dostignuća Njutnove nauke u 19. veku bila bi zapravo nemoguća bez upotrebe metoda koje je pionir Fourier. Nakon toga, ove metode su korištene za rješavanje problema u različitim oblastima - od astronomije do mašinstva.
Jean-Baptiste Joseph FOURIE
Jean-Baptiste Joseph Fourier, 1768-1830
francuski matematičar. Rođen u Auxerreu; sa devet godina ostao je siroče. Već u mladosti pokazao je sklonost prema matematici. Fourier se školovao u crkvenoj i vojnoj školi, a zatim je radio kao nastavnik matematike. Tokom svog života aktivno se bavio politikom; je uhapšen 1794. godine zbog odbrane žrtava terora. Nakon Robespierreove smrti pušten je iz zatvora; učestvovao u stvaranju čuvene Politehničke škole (Ecole Polytechnique) u Parizu; njegova pozicija mu je pružila odskočnu dasku za napredovanje pod Napoleonovim režimom. Pratio je Napoleona u Egipat i bio je imenovan za guvernera Donjeg Egipta. Po povratku u Francusku 1801. godine postavljen je za guvernera jedne od provincija. Godine 1822. postao je stalni sekretar Francuske akademije nauka, uticajne pozicije u francuskom naučnom svetu.
Mathcad ima ugrađene alate Fast Fourier Transform (FFT) koji uvelike pojednostavljuju proceduru za približnu spektralnu analizu.
FFT- brzi algoritam za prijenos informacija o određenoj funkciji 2 m(m- cjelobrojni) uzorci u vremenskom domenu, u frekvencijskom domenu.
elementi:
Slika 3 Spektralna analiza korišćenjem FFT
Funkcija fft( v )implementira naprijed FFT vraća naprijed FFT 2 m-dimenzionalni vektor v, Gdje v- vektor čiji elementi pohranjuju uzorke funkcija f(t). Rezultat će biti vektor A dimenzije 1+2 m- 1 sa kompleksnim elementima - uzorci u frekvencijskom domenu. U stvari, stvarni i imaginarni dijelovi vektora su Fourierovi koeficijenti a k I b k, što uvelike pojednostavljuje njihov prijem.
Funkcija ifft( v) implements inverse FFT - vraća inverzni FFT vektora v sa složenim elementima. Vector v ima 1 + 2 m – 1
Filtracija analogni signali
Ø Filtriranje definicija- izdvajanje korisnog signala iz njegove mješavine sa ometajućim signalom - šum. Najčešći tip filtriranja je frekvencijsko filtriranje. Ako je poznat frekventni opseg koji zauzima korisni signal, dovoljno je izolovati ovo područje i potisnuti ona područja koja su okupirana šumom.
Koristeći naprijed FFT, šumni signal se konvertuje iz vremenske domene u frekvencijski domen, stvarajući vektor f od 64 frekvencijske komponente.
Zatim se vrši transformacija filtera pomoću funkcije Heaviside
F (X) - Heaviside step funkcija.
Vraća 1 if X 0; inače 0.
Filtrirani signal (vektorski g) je podvrgnut inverznom FFT i proizvodi izlazni vektor h.
Usporedba vremenskih ovisnosti izvornog i izlaznog signala pokazuje da izlazni signal gotovo u potpunosti ponavlja ulazni signal i da je u velikoj mjeri oslobođen visokofrekventnih smetnji koje maskiraju korisni signal
Fig.4. Filtriranje analognih signala
Slika 4 ilustruje tehniku filtriranja koristeći FFT Prvo se sintetiše originalni signal, predstavljen sa 128 uzoraka vektora v. Šum se tada dodaje ovom signalu pomoću generatora slučajnih brojeva ( funkcija rnd ) i formira se vektor od 128 uzoraka šumnog signala.
.
Procedura za izvođenje laboratorijskih radova
Zadatak 1. Izračunajte prvih šest parova koeficijenata proširenja funkcije u Fourierov red f(t) na segmentu.
Nacrtajte grafikone 1., 2. i 3. harmonika.
Izvršite harmonijsku sintezu funkcije f(t) za 1., 2. i 3. harmonike. Rezultati sinteze su prikazani grafički.
Opcije zadatka 1
| № | f(t) | Opcija br. | f(t) | Opcija br. | f(t) |
| cos e |sin 3 t| |
Zadatak 2. Izvršiti klasičnu spektralnu analizu i sintezu funkcija f(t). Grafički prikazati spektre amplituda i faza, rezultat spektralne sinteze funkcije f(t).
Zadatak 3. Izvršiti numeričku spektralnu analizu i sintezu funkcija f(t). Da biste to učinili, morate postaviti originalnu funkciju f(t) diskretno u 32 uzorka. Grafički prikazati spektre amplituda i faza, rezultat spektralne sinteze funkcije f(t).
Zadatak 4. Izvršite spektralnu analizu i sintezu funkcija f(t) koristeći FFT. Da biste to uradili potrebno vam je:
· postavite početnu funkciju f(t) diskretno u 128 uzoraka;
izvršiti direktni FFT koristeći funkciju fft i grafički prikazati pronađene spektre amplituda i faza prvih šest harmonika;
izvršiti inverzni FFT koristeći funkciju ifft i grafički prikazati rezultat spektralne sinteze funkcije f(t).
Zadatak 5. Funkcija filtera f(t) koristeći FFT:
· sintetizirati funkciju f(t) u obliku korisnog signala predstavljenog sa 128 vektorskih uzoraka v;
na koristan signal v pričvrstite šum pomoću funkcije rnd (rnd(2) - 1) i formiraju vektor od 128 uzoraka šumnog signala s;
Pretvorite signal sa šumom s iz vremenske domene u frekventnu domenu koristeći naprijed FFT (funkcija fft). Rezultat će biti signal f od 64 frekvencijske komponente;
· izvršiti transformaciju filtriranja koristeći Heaviside funkciju (parametar filtriranja = 2);
koristeći funkciju ifft izvršiti inverzni FFT i dobiti izlazni vektor h;
· izgraditi grafikone korisnog signala v i signal dobijen filtriranjem šumnog signala s.
Tema 1. “Propoziciona logika”
Vježbajte
1. Odredite da li ovu formulu identično istinito.
2. Napišite ovu izjavu u obliku propozicione logičke formule. Konstruirajte negaciju ove tvrdnje u obliku formule koja ne sadrži vanjske znakove negacije. Prevedite na prirodni jezik.
3. Utvrditi da li je ovo rezonovanje ispravno (provjeriti da li zaključak proizlazi iz spoja premisa).
Opcije za individualne zadatke na temu LP
Opcija #1
3. Ako je osoba donijela neku odluku, i pravilno je vaspitana, onda će nadvladati sve suprotstavljene želje. Čovjek je donio odluku, ali nije savladao konkurentske želje. Stoga je pogrešno vaspitan.
Opcija br. 2
2. Pada kiša i snijeg.
3. Ako je ova pojava mentalna, onda je uzrokovana vanjskim utjecajem na tijelo. Ako je fiziološka, onda je i posljedica vanjskih utjecaja na tijelo. Ovaj fenomen nije ni mentalni ni fiziološki. Shodno tome, nije uzrokovana vanjskim utjecajima na tijelo.
Opcija #3
2. Dobar je učenik ili dobar sportista.
3. Ako je osumnjičeni počinio krađu, onda je ili bila pažljivo pripremljena, ili je imao saučesnike. Da je krađa pažljivo pripremljena, onda da je bilo saučesnika, mnogo bi bilo pokradeno. Malo je ukradeno. To znači da je osumnjičeni nevin.
Opcija br. 4
2. Ako se čelični točak zagreje, njegov prečnik će se povećati.
3. Ako cijena hartija od vrijednosti poraste ili kamatna stopa padne, onda cijena dionica opada. Ako se kamatna stopa smanji, onda ili cijena dionica ne pada ili cijena dionica ne raste. Cijena dionica pada. Shodno tome, kamatna stopa se smanjuje.
Opcija br. 5
3. Ili svjedok nije bio zastrašen, ili je, ako je Henry izvršio samoubistvo, poruka pronađena. Ako je svjedok bio zastrašen, onda Henry nije izvršio samoubistvo. Bilješka je pronađena. Shodno tome, Henry je izvršio samoubistvo.
Opcija #6
2. Studira na institutu ili pohađa kurseve stranih jezika.
3. Ako je filozof dualist, onda on nije materijalista. Ako nije materijalista, onda je dijalektičar ili metafizičar. On nije metafizičar. Stoga je on dijalektičar ili dualista.
Opcija br. 7
2. Sposoban je i marljiv.
3. Ako investicije ostanu konstantne, državna potrošnja će se povećati ili će doći do nezaposlenosti. Ako se državna potrošnja ne poveća, porezi će se smanjiti. Ako se porezi smanje, a investicije ostanu konstantne, nezaposlenost se neće povećati. Nezaposlenost se neće povećati. Shodno tome, državna potrošnja će se povećati.
Opcija br. 8
2. Ova knjiga je teška i nezanimljiva.
3. Ako su izvorni podaci ispravni i program radi ispravno, onda se dobija ispravan rezultat. Rezultat je netačan. Shodno tome, ulazni podaci su netačni ili program ne radi ispravno.
Opcija br. 9
2. On je i kosac, i Šveđanin, i trubač.
3. Ako su cijene visoke, onda su i plate visoke. Cijene su visoke ili se primjenjuje kontrola cijena. Ako se primjenjuje kontrola cijena, onda nema inflacije. Postoji inflacija. Dakle, plate su visoke..
Opcija br. 10
2. Ako se voda ohladi, njen volumen će se smanjiti.
3. Ako sam umoran, želim da idem kući. Ako sam gladan, želim da idem kući ili u restoran. Umoran sam i gladan. Zato želim da idem kući.
Opcija br. 11
2. Ako se broj završava na nulu, on je djeljiv sa 5.
3. Ako sutra bude hladno, nosiću toplu jaknu ako se popravi rukav. Sutra će biti hladno i rukav se neće popravljati. Tako da neću nositi toplu jaknu.
Opcija br. 12
2. Tijelo, lišeno oslonca, pada na tlo.
3. Ako padne snijeg, biće teško voziti auto. Ako je teško voziti, zakasniću ako ne odem ranije. Pada snijeg i otići ću ranije. Tako da neću zakasniti.
Opcija br. 13
2. Ivan i Petar poznaju Fedora.
3. Ako neko laže, onda je u zabludi ili namjerno obmanjuje druge. Ovaj čovjek laže i očito se ne vara. To znači da on namjerno obmanjuje druge.
Opcija br. 14
2. Ova knjiga je korisna i zanimljiva.
3. Da je pametan, uvideo bi svoju grešku. Da je bio iskren, priznao bi joj. Međutim, on nije ni pametan ni iskren. Shodno tome, on ili neće vidjeti svoju grešku ili je neće priznati.
Opcija br. 15
2. Ovaj glumac igra u pozorištu i ne igra u filmovima.
3. Ako je osoba materijalista, onda ona priznaje spoznatljivost svijeta. Stoga, ako osoba nije dosljedan materijalista, onda je agnostik.
Opcija br. 16
2. Ako psa zadirkuju, on će ugristi.
3. Ako postoji pravda u svijetu, onda zli ljudi ne mogu biti sretni. Ako je svijet kreacija zlog genija, onda zli ljudi mogu biti sretni. To znači da ako u svijetu postoji pravda, onda svijet ne može biti kreacija zlog genija
Opcija br. 17
2. Ako posjedujete engleski, možete se nositi s ovim poslom.
3. Ako Ivanov radi, onda prima platu. Ako Ivanov studira, dobija stipendiju. Ali Ivanov ne prima platu niti prima stipendiju. Dakle, ne radi i ne uči.
Opcija br. 18
2. Ako je funkcija neparna, tada je njen graf simetričan u odnosu na ishodište.
3. Ako odem u krevet, neću položiti ispit. Ako učim noću, neću položiti ni ispit. Stoga neću položiti ispit.
Opcija br. 19
2. Ako je broj djeljiv sa 3, tada je zbir njegovih cifara djeljiv sa 3.
3. Ako sutra idem na prvo predavanje, morat ću rano ustati. Ako idem u diskoteku uveče, idem kasno na spavanje. Ako odem kasno na spavanje i rano ustanem, osjećat ću se loše. Zato moram propustiti prvo predavanje ili ne idem u diskoteku.
Opcija br. 20
2. Ako se riječ stavi na početak rečenice, onda se piše velikim slovom.
3. Ako x 0 i y 0, onda x 2 + y 2 > 0. Ako x= 0 i y= 0, tada je izraz ( x – y):(x + y) nema smisla. To nije tačno x 2 + y 2 > 0. Dakle, izraz ( x – y):(x + y).
Opcija br. 21
2. Ivan i Marija se vole.
3. Ako je knjiga koju čitam beskorisna, onda nije teško. Ako je knjiga teška, onda nije zanimljiva. Ova knjiga je složena i zanimljiva. Tako da je korisno.
Opcija br. 22
2. Loš vojnik je onaj koji ne sanja da postane general.
3. Ako sutra pada kiša, nosiću kabanicu. Ako bude vjetra, nosiću jaknu. Stoga, ako nema kiše i vjetra, neću obući kabanicu ili jaknu.
Opcija br. 23
2. Ako se niz konvergira, tada njegov zajednički član teži nuli.
3. Ako nije kukavica, onda će se ponašati u skladu sa svojim ubjeđenjima. Ako je pošten, nije kukavica. Ako nije pošten, onda neće priznati svoju grešku. On je priznao svoju grešku. Dakle, on nije kukavica.
Opcija br. 24
2. Ni Ivan ni Fedor nisu odlični učenici.
3. Ako je tvrdoglav, onda može i pogriješiti. Ako je pošten, nije tvrdoglav. Ako nije tvrdoglav, onda ne može ne pogriješiti i istovremeno biti iskren. Dakle, nije tvrdoglav.
Opcija br. 25
2. Ivan ili Petar poznaju Fedora.
3. Ako se plate isplaćuju na vrijeme, onda se očekuju ili izbori ili protest. Plata je isplaćena na vrijeme. Ne očekuju se izbori. To znači da se očekuje protest.
Opcija br. 26
2. Ako kreirate algoritam i napišete program, možete riješiti ovaj problem.
3. Ako se osoba bavi sportom, onda je zdrava. Ako je osoba zdrava, onda je sretna. Ova osoba se bavi sportom. Tako da je sretan.
Opcija br. 27
2. Uveče idemo na hokej ili gledamo na TV-u.
3. Anton je preumoran ili bolestan. Ako je preumoran, postaje iziritiran. On se ne nervira. Stoga je bolestan.
Opcija br. 28
2. Ako ne spavam dovoljno ili sam gladan, ne mogu vježbati.
3. Ako je kompanija fokusirana na jačanje marketinga, onda namjerava ostvariti veliki profit puštanjem novih proizvoda. Ako kompanija planira proširiti svoju distributivnu mrežu, onda namjerava ostvariti veliki profit od povećane prodaje. Kompanija namjerava ojačati marketing ili će proširiti svoju distributivnu mrežu, stoga namjerava ostvariti veliki profit.
Opcija br. 29
2. Ako se porezi ne smanje, mali proizvođači će bankrotirati i napustiti proizvodnju.
3. Ugovor će biti ispunjen ako i samo ako kuća bude završena u februaru. Ako je kuća gotova u februaru, onda se možemo useliti u martu. Ugovor će biti ispunjen, tako da se možemo preseliti u martu.
Opcija br. 30
2. Ako naš tim ne zauzme prvo mjesto ostat ćemo kod kuće i trenirati.
3. Planirani program će uspjeti ako je neprijatelj iznenađen ili ako su njegovi položaji slabo branjeni. Možete ga iznenaditi ako je nemaran. Neće biti nemaran ako su njegove pozicije loše branjene. To znači da program neće uspjeti.
Tema 2. Linearna parna regresija
Ova tema uključuje realizaciju šest laboratorijskih radova posvećenih konstrukciji i proučavanju jednačine linearne regresije oblika
Primjer 1.1.
Odrediti odnos između smjenske proizvodnje uglja po radniku (varijabla Y, mjereno u tonama) i debljina sloja uglja (promjenjiva X, mjereno u metrima) istraživanja su provedena na 10 rudnika, čiji su rezultati prikazani u tabeli.
| i | ||||||||||
| x i | ||||||||||
| y i |
Laboratorijski rad br.1
Proračun koeficijenata LR jednačine
Svrha rada Izračunavanje koeficijenata jednačine linearne regresije iz prostornog uzorka.
Računski omjeri. Koeficijenti određeni na osnovu metode najmanjih kvadrata rješenje su sistema jednačina
Rješavajući ovaj sistem jednačina, dobijamo
,
Gdje m XY– vrijednost uzorka korelacionog momenta, određena formulom:
,
– vrijednost uzorka varijanse količine X, određena formulom:
Rješenje
Izračunajmo ove koeficijente koristeći Excel procesor tabela. Na slici je prikazan fragment Excel dokument, u kojem:
a) podaci tabele su knjiženi;
b) programiran je proračun koeficijenata sistema;
c) proračun je programiran b 0 , b 1 po formulama.
Imajte na umu da Excel funkcija PROSJEČNO ( raspon ćelija).
Kao rezultat izvođenja programiranih proračuna dobijamo
b 0 = –2.75; b 1 = 1.016,
a sama jednačina regresije će poprimiti oblik
Vježbajte. Koristeći rezultirajuću jednadžbu regresije, odredite produktivnost rada rudara ako je debljina sloja uglja:
a) 8,5 metara (interpolacija podataka);
b) 14 metara (ekstrapolacija podataka).
Rice. 1.Izračunavanje koeficijenata linearne regresije
Laboratorijski rad br. 2
Proračun koeficijenta korelacije uzorka
Svrha rada. Izračunavanje koeficijenta korelacije uzorka iz prostornog uzorka.
Računski omjeri. Koeficijent korelacije uzorka određen je relacijom
Gdje 
, 
, .
Rješenje
Fragment Excel dokumenta koji izračunava vrijednosti: koeficijenta korelacije
Rice. 2. Proračun koeficijenta korelacije
Laboratorijski rad br.3
Proračun procjena varijansi uparenih LR
Svrha rada. Izračunajte procjene za varijanse koeficijenata b 0 , b 1 ,.
Računski omjeri. Procjene varijanse koeficijenta određuju se formulama:
, 
Gdje 
- procjena disperzije.
Rješenje. Slika 3 prikazuje fragment Excel dokumenta u kojem su izračunate procjene varijanse. Imajte na umu da
· vrijednosti koeficijenata su preuzete iz laboratorijskog rada br. 1 i ćelije (B1, B2) u kojima se nalaze imaju apsolutno adresiranje ($B$1, $B$2) u izrazima koji izračunavaju vrijednosti regresije;
· vrijednost (ćelija B19) preuzeta je iz laboratorijskog rada br. 1. Dobijamo sljedeće vrijednosti:
.
Rice. 3. Proračun procjena za varijanse koeficijenata
Laboratorijski rad br. 4
Excel funkcije za uparene LR koeficijente
Svrha rada. Izračunajte koeficijente jednačine linearne regresije iz prostornog uzorka koristeći Excel funkcije.
Evo nekih statističkih funkcija Excel-a koje su korisne pri izgradnji uparene linearne regresije.
CUT funkcija.
SEGMENT( raspon_vrijednosti ; raspon_vrijednosti ).
TILT funkcija. Izračunava koeficijent i inverzija ima oblik
NAKLON ( raspon_vrijednosti ; raspon_vrijednosti ).
FORECAST funkcija. Izračunava vrijednost linearne parne regresije za datu vrijednost nezavisne varijable (označene sa ) i inverzija ima oblik
PREDICTION(; raspon_vrijednosti ;raspon_vrijednosti_ ).
Funkcija STOSYX. Izračunava procjenu za standardnu devijaciju poremećaja i inverzija ima oblik (YX - latinična slova):
STOSHYX( raspon_vrijednosti ; raspon_vrijednosti ).
Rješenje. Dat je fragment Excel dokumenta koji izračunava potrebne vrijednosti. Obratite pažnju na upotrebu apsolutnog adresiranja prilikom izračunavanja.
Rice. 4. Korištenje Excel funkcija
Vježbajte. Uporedite izračunate vrednosti sa vrednostima dobijenim u laboratorijama #1 i #3.
Laboratorijski rad br.5
Konstrukcija procjene intervala za uparenu LR funkciju
Svrha rada. Izrada intervalne procjene za funkciju regresije 
sa pouzdanošću od g = 0,95, koristeći u tu svrhu regresionu jednačinu konstruisanu u laboratorijskom radu br.
Računski omjeri. Procjena intervala (interval povjerenja) za (za datu vrijednost) sa pouzdanošću (vjerovatnošću povjerenja) jednakom g određuje se izrazom
Procjena varijanse funkcije ima oblik
,
Gdje - procjena disperzije.
Dakle, dvije količine (ovisno o ) i , izračunate pomoću Excel funkcije:
STUDISCOVER().
Rješenje. Izračunat ćemo vrijednosti donje i gornje granice intervala za 
.
Fragment dokumenta koji izvodi ove proračune prikazan je na slici
Fig.5. Izrada intervalne procjene za
Vrijednosti, , (ćelije B16:B18) i koeficijenti (B1:B2) su preuzeti iz prethodnog laboratorijskog rada. Magnituda = STUDASCOVER() = 2,31.
Laboratorijski rad br. 6
Provjera značaja LR jednadžbe korištenjem Fisherovog kriterija
Svrha rada. Prema tabeli, procijenite značaj regresione jednačine na nivou a = 0,05
,
ugrađen u laboratorijski rad br.1.
Računski omjeri. Jednačina parne regresije je značajna na nivou značajnosti a ako vrijedi sljedeća nejednakost:
Gdje F g; 1; n-2 – kvantilne vrijednosti nivoa g F-distribucije sa brojevima stepeni slobode k 1 = 1 i k 2 = n – 2.
Za izračunavanje kvantila možete koristiti sljedeći izraz
FDISC().
Iznosi su određeni izrazima:
,
.
Kriterijum se često naziva Fisherov kriterijum ili F-test.
Rješenje. Evo fragmenta Excel dokumenta koji izračunava vrijednosti Q e, i kriterij F. U koloni D vrijednosti se izračunavaju pomoću formule. Vrijednosti koeficijenta su preuzete iz laboratorijskog rada br.
Dobijene su sljedeće vrijednosti: , , . Izračunavanje kvantila F 0,95; 1; 8 = 5,32. Nejednakost je zadovoljena od 24.04 > 5.32 i stoga je jednačina regresije značajan sa nivoom značajnosti a = 0,05.
Rice. 6. Proračun F vrijednosti - kriterij
Tema 3 Nelinearna parna regresija
Ova tema uključuje dvije laboratorije koje se fokusiraju na konstruiranje nelinearne parne regresijske jednačine. Prostorni uzorak za konstruisanje regresije uzet je iz sljedećeg primjera.
Primjer U tabeli su prikazane vrijednosti nezavisne varijable (porodični prihod u hiljadama rubalja) i vrijednosti zavisne varijable (udio rashoda na trajna dobra kao postotak ukupnih rashoda).
| 13.4 | 15.4 | 16.5 | 18.6 | 19.1 |
Laboratorijski rad br. 7
Izgradnja nelinearne regresije koristeći
Dodajte komande linije trenda
Svrha rada Koristeći prostorno uzorkovanje, potrebno je konstruisati jednačinu nelinearne regresije oblika pomoću naredbe „Dodaj liniju trenda“ i izračunati koeficijent determinacije.
Komanda „Dodaj liniju trenda“. Koristi se za isticanje trendova (sporih promjena) u analizi vremenskih serija.
Međutim, ova naredba se također može koristiti za konstruiranje jednadžbe nelinearne regresije, uzimajući vrijeme kao nezavisnu varijablu.
Ova naredba vam omogućava da izgradite sljedeće regresijske jednačine:
linearno
polinom 
();
logaritamski
· snaga;
· eksponencijalna.
Da biste izgradili jednu od navedenih regresija, morate izvršiti sljedeće korake:
Korak 1. U odabranom Excel list unesite izvorne podatke po kolonama 
.
Korak 2. Koristeći ove podatke, konstruirajte graf u Dekartovom koordinatnom sistemu.
Korak 3. Postavite kursor na iscrtani grafikon i kliknite desni klik iu pojavio kontekstni meni izvrši naredbu Dodajte liniju trenda
Korak 4. U dijaloškom okviru koji se pojavi, aktivirajte karticu “Type” i odaberite željenu jednadžbu regresije.
Rice. 2.1. Iscrtavanje grafikona na osnovu izvornih podataka
Rice. 2.2. Odabir tipa regresione jednadžbe
Korak 5. Aktivirajte karticu "Opcije" i "omogućite" Opcije koje su nam potrebne su:
· "Prikaži jednačinu na dijagramu" - na dijagramu će biti prikazana odabrana jednačina regresije sa izračunatim koeficijentima;
Rice. 2.3. Postavljanje opcija izlaza informacija
· “Postavite vrijednost pouzdanosti aproksimacije (R^2) na dijagram” - dijagram će pokazati vrijednost koeficijenta determinacije (za nelinearnu regresiju - indeks determinacije), izračunat po formuli
· Ako je potrebno napraviti prognozu na osnovu konstruisane regresione jednadžbe, tada je potrebno navesti broj perioda prognoze.
Svrha drugih opcija je jasna iz njihovih naziva.
Korak 6. Nakon postavljanja svih navedenih opcija, kliknite na dugme “OK” i na dijagramu će se pojaviti formula konstruisane regresione jednačine i vrednost indeksa determinacije (označeno senčenjem).
Rice. 2.4. Grafikon i jednadžba konstruirane regresije
Rješenje.
Konstruiramo jednačinu koristeći gore opisane korake. Dobijamo jednačinu
,
za koje je koeficijent determinacije jednak . Ova vrijednost ukazuje na dobru korespondenciju konstruirane jednadžbe sa originalnim podacima.
Laboratorijski rad br.8
Odabir najbolje nelinearne regresije
Svrha rada. Koristeći prostorno uzorkovanje i naredbu „Dodaj liniju trenda“, konstruirajte šest nelinearnih regresijskih jednačina (polinomska jednačina se konstruira sa i ), odredite za svaku jednačinu koeficijent determinacije (vrijednost se prikazuje), smanjeni koeficijent determinacije (vrijednost izračunava se) i, koristeći maksimalnu vrijednost, pronađite najbolju jednačinu nelinearne regresije.
Smanjeni koeficijent determinacije. Koeficijent determinacije karakteriše bliskost konstruisane regresije sa originalnim podacima, koji sadrže „nepoželjnu” slučajnu komponentu. Očigledno, konstruiranjem polinoma 5. reda iz podataka dobijamo „idealnu“ vrijednost, ali takva jednačina sadrži ne samo nezavisnu varijablu, već i komponentu, što umanjuje točnost korištenja konstruirane jednačine za prognozu.
Stoga, prilikom odabira jednadžbe regresije, potrebno je uzeti u obzir ne samo vrijednost, već i „složenost“ regresione jednačine, koja je određena brojem koeficijenata jednačine.
Takvo računovodstvo se uspješno implementira u tzv dati koeficijent determinacije:
,
gdje je broj izračunatih koeficijenata regresije. Može se vidjeti da, pri konstantnim vrijednostima, povećanje smanjuje vrijednost . Ako je broj koeficijenata upoređenih regresijskih jednačina isti (na primjer, ), tada se odabir najbolje regresije može izvršiti po vrijednosti . Ako se broj koeficijenata u regresijskim jednačinama promijeni, onda je takav odabir odgovarajući u smislu vrijednosti.
Rješenje. Za konstruiranje svake jednačine izvodimo korake 2 – 6 (za prvu jednačinu također korak 1) i postavljamo šest prozora u jedan dokument u kojem su prikazane pronađene jednačine regresije i vrijednost. Zatim unosimo formulu jednadžbe u tabelu. Zatim izračunavamo smanjeni koeficijent determinacije i unosimo ove vrijednosti u tablicu.
Kao „najbolju“ jednačinu regresije biramo jednačinu koja ima najveći smanjeni koeficijent determinacije. Takva jednadžba je funkcija stepena (u tabeli je red sa ovom funkcijom označen sivom bojom).
,
ima vrijednost = 0,9901.
| № | Jednačina | ||
 | 0.949 | 0.938 | |
| 0.9916 | 0.9895 | ||
| (polinom, ) | 0.9896 | 0.9827 | |
 (polinom, ) | 0.9917 | 0.9792 | |
| | 0.9921 | 0.9901 | |
 | 0.9029 | 0,8786 |
Vježbajte. Odredite “najgoru” jednadžbu regresije na osnovu njene vrijednosti.
Tema 4. Linearna višestruka regresija
Ova tema uključuje laboratorijske radove posvećene konstrukciji i proučavanju linearne višestruke regresijske jednačine oblika
Prostorni uzorak korišten za konstruiranje ove jednadžbe uzet je iz sljedećeg primjera.
Primjer Podaci o smjenskoj proizvodnji uglja po radniku (varijabilna Y), debljina rezervoara (promjenjiva X 1 i stepena mehanizacije rada u rudniku (prom X 2) karakterizacija procesa eksploatacije uglja u 10 rudnika data je u tabeli. Pod pretpostavkom da postoji linearna veza između varijabli Y, X 1, X 2, potrebno je pronaći analitički izraz za ovu vezu, tj. konstruisati jednacinu linearne regresije.
| Broj rudnika i | x i 1 | x i 2, tj. matrica a) kontakt Funkcija Master i odaberite željenu kategoriju funkcije, zatim odredite naziv funkcije i postavite odgovarajuće raspone ćelija, b) unesite naziv funkcije sa tastature i postavite odgovarajuće opsege ćelija. Matrix Transpose vrši se pomoću funkcije TRANSPORT (kategorija funkcija – Linkovi i nizovi TRANSPA ( raspon ćelija), gdje je parametar raspon ćelija specificira sve elemente matrice (ili vektora) koji se transponuju. Množenje matrice vrši se pomoću VIŠE funkcije (kategorija funkcija – Matematički).Poziv funkcije ima oblik: MUMNO( raspon_1;doseg_2), gdje je parametar raspon_1 specificira elemente prve od pomnoženih matrica i parametar raspon_2 – elemente druge matrice. U ovom slučaju, matrice koje se množe moraju imati odgovarajuće veličine (ako je prva matrica, druga je, onda će rezultat biti matrica). Inverzija matrice (izračunavanje inverzne matrice) vrši se pomoću MOBR funkcije (kategorija funkcija – Matematički). Poziv funkcije izgleda ovako: MOBR ( raspon ćelija), gdje je parametar raspon ćelija specificira sve elemente invertibilne matrice, koja mora biti kvadratna i nedegenerirana. Kada koristite ove funkcije Mora se poštovati sljedeća procedura: · odaberite fragment ćelije, u koji će se unijeti rezultat izvršavanja matričnih funkcija (u ovom slučaju potrebno je uzeti u obzir veličine originalnih matrica); · unesite aritmetički izraz, koji sadrži pristup matrici Excel funkcije; · pritisnite tastere istovremeno. Ako se to ne uradi, onda samo jedan element će biti izračunat rezultirajuća matrica ili vektor. Module Regression Mode Analiza podataka. Excel tabela sadrži modul Analiza podataka. Ovaj modul vam omogućava da izvršite statističku analizu uzoraka podataka (konstrukcija histograma, izračunavanje numeričkih karakteristika, itd.). Način rada Regresija Ovaj modul izračunava linearne koeficijente višestruke regresije sa varijablama, konstruiše intervale pouzdanosti i testira značaj jednačine regresije. Za pozivanje moda Regresija modul Analiza podataka potrebno: · pristupite stavku menija Servis; · u meniju koji se pojavi, izvršite naredbu Analiza podataka; · u listi modova rada modula Analiza podataka odaberite način rada Regresija i kliknite na dugme Ok . Nakon poziva moda Regresija Na ekranu se pojavljuje dijaloški okvir u kojem se postavljaju sljedeći parametri: 1. Interval unosa Y – unosi se raspon adresa ćelija koje sadrže vrijednosti (ćelije moraju činiti jednu kolonu).
Rice. 3.2. Okvir za dijalog Regresion mode 2. Interval unosa X – unosi se raspon adresa ćelija koje sadrže vrijednosti nezavisnih varijabli. Vrijednosti svake varijable su predstavljene u jednoj koloni. Broj varijabli nije veći od 16 (tj. ). 3. Oznake – omogućeno ako prvi red u rasponu unosa sadrži naslov. U ovom slučaju, standardni nazivi će se kreirati automatski. 4. Nivo pouzdanosti – Omogućavanje ove opcije određuje pouzdanost prilikom konstruisanja intervala pouzdanosti. 5. Konstanta-nula– kada je ovaj parametar uključen, koeficijent je . 6. Izlazni interval – kada je uključeno, aktivira se polje u koje morate unijeti adresu gornje lijeve ćelije izlaznog raspona, koja sadrži ćelije s rezultatima proračuna načina rada Regresija. 7. Novi radni list – kada je ova opcija omogućena, otvara se novi list, u koji se, počevši od ćelije A1, ubacuju rezultati moda Regresija. 8. Nova radna sveska- kada je ovaj parametar omogućen, otvara se nova knjiga na čiji prvi list se, počevši od ćelije A1, ubacuju rezultati moda Regresija. 9. Ostaci – kada je uključen, izračunava se kolona koja sadrži ostatke 10. Standardizovana stanja – kada je omogućeno, izračunava se kolona koja sadrži standardizirane ostatke. Nakon ovog moda Regresija a u dijalog box-u ćemo postaviti potrebne parametre. Imajte na umu da zbog velike „širine“ tabela u kojima se prikazuju rezultati režima regresija, Neki od rezultata se stavljaju u druge ćelije. Dajemo kratku interpretaciju indikatora čije se vrijednosti izračunavaju u režimu Regresija. Prvo, pogledajmo indikatore ujedinjene imenom Statistika regresije(vidi sliku 3.3). Višestruko - kvadratni korijen koeficijenta determinacije. kvadrat– koeficijent determinacije.
Rice. 3.3. Rezultati režima Regresije Normalizovano kvadrat– smanjeni koeficijent determinacije (vidi formulu (2.1)). Standardna greška– procjena standardne devijacije. Zapažanja– broj zapažanja. Odjeljak Uvodni pregled razmatra dva vrlo jednostavni primjeri(preuzeto od Shumway, 1988) da bi se ilustrovala priroda spektralne analize i interpretacije rezultata. Ako niste upoznati s ovom metodom, preporučuje se da prvo pogledate ovaj odjeljak ovog poglavlja. Pregled i fajl sa podacima. Fajl Sunspot.sta sadrži dio poznatih brojeva sunčevih pjega (Wolfer) od 1749. do 1924. (Anderson, 1971.). Ispod je lista prvih nekoliko podataka iz datoteke primjera. Pretpostavlja se da broj sunčevih pjega utiče na vrijeme na zemlji, kao i na poljoprivredu, telekomunikacije itd. Koristeći ovu analizu, može se pokušati otkriti da li je aktivnost sunčevih pjega zaista ciklična (u stvari i jeste; o ovim podacima se u literaturi naširoko raspravlja; vidi, na primjer, Bloomfield, 1976. ili Shumway, 1988.). Definicija analize. Nakon što pokrenete analizu, otvorite datoteku podataka Sunspot.sta. Kliknite na dugme Variables i izaberite varijablu Spots (imajte na umu da ako je datoteka Sunspot.sta sa podacima trenutna otvori datoteku podataka, a varijabla Spots je jedina varijabla u ovoj datoteci, onda kada se otvori dijaloški okvir Analiza vremenske serije, Spotovi će biti odabrani automatski). Sada kliknite na dugme Fourier (spektralna) analiza da otvorite okvir za dijalog Fourier (spektralna) analiza.
Prije primjene spektralne analize, prvo nacrtajte broj sunčevih pjega. Imajte na umu da datoteka Sunspot.sta sadrži odgovarajuće godine kao nazive zapažanja. Da biste koristili ova imena u linijskim grafikonima, kliknite na karticu Prikaz serije i odaberite Nazivi slučajeva u odjeljku Tačke oznake. Također, odaberite Postavi skalu osi X ručno i Min. = 1 i Korak = 10. Zatim kliknite na dugme Graf pored dugmeta za izbor prikaza. varijabla.
Čini se da broj sunčevih pjega slijedi ciklički obrazac. Trend nije vidljiv, pa se vratite u prozor Spectralna analiza i poništite odabir opcije Ukloni linearni trend u grupi Transform Source Series. Očigledno je da je prosjek serije veći od 0 (nula). Stoga ostavite odabranu opciju Oduzmi srednju vrijednost [inače će periodogram biti „začepljen“ vrlo velikim vrhom na frekvenciji 0 (nula)]. Sada ste spremni za početak analize. Sada kliknite OK (jednodimenzionalna Fourierova analiza) da biste prikazali okvir za dijalog Fourier Spectral Analysis Results.
Pogledaj rezultate. Odeljak sa informacijama na vrhu dijaloškog okvira prikazuje neke zbirne statistike za seriju. Takođe prikazuje pet najvećih vrhova u periodogramu (po učestalosti). Tri najveća vrha su na frekvencijama 0,0852, 0,0909 i 0,0114. Ove informacije su često korisne kada se analiziraju vrlo velike serije (na primjer, s više od 100.000 opservacija) koje nije lako nacrtati na jednom grafikonu. U ovom slučaju, međutim, lako je vidjeti vrijednosti periodograma; klikom na dugme Periodogram u odjeljku Periodogram i Grafovi spektralne gustine.
Grafikon periodograma pokazuje dva jasna vrha. Maksimum je na frekvenciji od približno 0,9. Vratite se na prozor Spectral Analysis Results i kliknite na dugme Summary da vidite sve vrednosti periodograma (i druge rezultate) u tabeli rezultata. Ispod je dio tabele rezultata s najvećim vrhom identificiranim iz periodograma.
Kao što je objašnjeno u odeljku Uvodni pregled, učestalost je broj ciklusa po jedinici vremena (gde je svako posmatranje jedna jedinica vremena). Dakle, Frekvencija 0,0909 odgovara vrijednosti od 11 Perioda (broj vremenskih jedinica potrebnih za puni ciklus). Budući da podaci o sunčevim pjegama u Sunspot.sta predstavljaju godišnja zapažanja, može se zaključiti da postoji jasan 11-godišnji (možda nešto duži od 11-godišnji) ciklus u aktivnosti sunčevih pjega. Spektralna gustina. Tipično, da bi se izračunale procjene spektralne gustine, periodogram se izglađuje kako bi se uklonile nasumične fluktuacije. Tip ponderisanog pokretnog prosjeka i širina prozora mogu se odabrati u odeljku Spectral Windows. Odjeljak Uvodni pregled detaljno razmatra ove opcije. Za naš primjer, ostavit ćemo odabrani zadani prozor (Hamming širina 5) i odabrati graf spektralne gustoće.
Dva vrha su sada još jasnija. Pogledajmo vrijednosti periodograma po periodima. Odaberite polje Period u odjeljku Raspored. Sada odaberite graf spektralne gustine.
Opet se može vidjeti da postoji jasan 11-godišnji ciklus aktivnosti sunčevih pjega; Štaviše, postoje znaci postojanja dužeg ciklusa od otprilike 80-90 godina. |
FOURIEROVA TRANSFORMACIJA I KLASIČNA DIGITALNA SPEKTRALNA ANALIZA. Uvod Spektralna analiza je jedna od metoda obrade signala koja vam omogućava da karakterizirate frekventni sastav mjerenog signala. Fourierova transformacija je matematički okvir koji povezuje vremenski ili prostorni signal (ili neki model tog signala) sa njegovom reprezentacijom u frekvencijskom domenu. Statističke metode igraju važnu ulogu u spektralnoj analizi, jer su signali, po pravilu, nasumični ili šumni tokom širenja ili mjerenja. Kada bi osnovne statističke karakteristike signala bile precizno poznate, ili bi se mogle odrediti iz konačnog intervala ovog signala, tada bi spektralna analiza predstavljala granu „egzaktne nauke“. Međutim, u stvarnosti, iz segmenta signala može se dobiti samo procjena njegovog spektra. Stoga je praksa spektralne analize vrsta zanata (ili umjetnosti?) prilično subjektivne prirode. Razlika između spektralnih procjena dobijenih kao rezultat obrade istog segmenta signala različitim metodama može se objasniti razlikom u pretpostavkama koje se odnose na podatke, na razne načine ,
(1) Hajde da ukratko razgovaramo o različitim tipovima Fourierove transformacije (za više detalja pogledajte).
Reverzna konverzija
Manje restriktivan dovoljan uslov je konačnost energije signala
Predstavimo niz osnovnih svojstava Fourierove transformacije i funkcija korištenih u nastavku, uz napomenu da je pravokutni prozor definiran izrazom
Funkcija uzorkovanja vremenske domene je data sa
Još jedno važno svojstvo utvrđeno je Parsevalovom teoremom za dvije funkcije g(t) i h(t):
Ako stavimo g(t) = h(t), onda se Parsevalov teorem svodi na teoremu za energiju
Izraz (9) je, u suštini, jednostavno formulacija zakona održanja energije u dva domena (vreme i frekvencija). U (9) lijevo je ukupna energija signala, dakle funkcija
opisuje frekvencijsku distribuciju energije za deterministički signal h(t) i stoga se naziva spektralna gustoća energije (SED). Korištenje izraza
mogu se izračunati amplituda i fazni spektri signala h(t). Operacije uzorkovanja i ponderiranja U sljedećem odjeljku ćemo predstaviti Fourierov red s diskretnim vremenom (DTFS) ili na drugi način diskretnu Fourierovu transformaciju (DFT) kao poseban slučaj kontinuirane vremenske Fourierove transformacije (CTFT) koristeći dvije osnovne operacije obrada signala - uzimanje uzoraka ( uzorkovanje) I vaganje koristeći prozor. Ovdje razmatramo utjecaj ovih operacija na signal i njegovu transformaciju. Tabela 2 navodi funkcije koje vrše ponderiranje i uzorkovanje. Za ujednačena očitavanja sa intervalom od T sekundi, frekvencija uzorkovanja F je jednaka 1/T Hz. Imajte na umu da su težinska funkcija i funkcija uzorkovanja u vremenskom domenu označene kao TW (vremenski prozor) i TS (vremensko uzorkovanje), respektivno, au frekvencijskom domenu - FW (frekvencijski prozor) i FS (uzorkovanje frekvencije).
Pretpostavimo da su uzeti uzorci kontinuiranog realnog signala x(t) sa ograničenim spektrom, čija je gornja frekvencija jednaka F0. NVFT realnog signala je uvijek simetrična funkcija s punom širinom od 2F0, vidi sliku 1.
Slika 1 - ilustracija teoreme uzorkovanja u vremenskoj domeni za stvarni signal sa ograničenim spektrom:
Konvolucija X(f) sa Fourierovom transformacijom funkcije uzorka F (TS)=Y1/T(f) jednostavno se periodično nastavlja na X(f) sa frekvencijskim intervalom od 1/T Hz. Stoga je XS(f) periodično prošireni spektar X(f). Općenito, uzorci u jednom domenu (na primjer, vrijeme) dovode do periodičnog nastavka u domenu transformacije (na primjer, frekvencija). Ako je brzina uzorkovanja odabrana dovoljno niska (F< 2Fo), то периодически продолженные
спектры будут перекрываться с соседними. Это перекрытие носит название
эффекта наложения в частотной области.
Kao rezultat (vidi sliku 1 d), originalna Fourierova transformacija je obnovljena. . (15) Koristeći teoreme konvolucije u domenima vremena i frekvencije, dobijamo Izraz (15) je matematička notacija teoreme uzorkovanja u vremenskom domenu (teorema Whittakera, Kotelnikova, Shannon - UKSH), koja kaže da se korištenjem interpolacijske formule (15) može precizno vratiti pravi signal ograničenog spektra beskonačnim brojem poznati vremenski uzorci uzeti sa frekvencijom F = 2F0. Dvostruka teorema (15) je teorema uzorci u frekvencijskom domenu , (16) Operacije u vremenskom domenu, slične (14), opisuju se izrazom
a odgovarajuće transformacije su izrazi Dakle, NVPF X(f) nekog signala ograničenog trajanja može se nedvosmisleno vratiti iz ekvidistantnih uzoraka spektra takvog signala ako odabrani interval uzorkovanja frekvencije zadovoljava uvjet F1/2T 0 Hz, gdje je T 0 signal trajanje. Odnosi između kontinuiranih i diskretnih transformacija Par transformacija za konvencionalnu definiciju diskretne Fourierove transformacije u N-tačkama (DFT) vremenska sekvenca Fourierove transformacijske sekvence X[k] je dato izrazima
Da bismo dobili spektralne procjene iz uzoraka podataka u odgovarajućim jedinicama energije ili snage, pišemo Fourierov niz sa diskretnim vremenom (DTFS), koji se može smatrati nekom aproksimacijom Fourierove transformacije kontinuiranog vremena (CTFT), zasnovan na korištenje konačnog broja uzoraka podataka:
Kako bi se pokazala priroda usklađenosti sa DVRF ( diskretno funkcije u vremenskom i frekvencijskom domenu) i CVDF (kontinuirane funkcije u vremenskom i frekvencijskom domenu), potreban nam je niz od četiri linearne komutativne operacije: ponderiranje u vremenskom i frekvencijskom domenu i uzorkovanje ili uzorkovanje kako u vremenskom tako i u frekvencijskom domenu. Ako se operacija ponderisanja izvrši u jednom od ovih regiona, tada će, prema teoremu konvolucije, odgovarati operaciji filtriranja (konvolucije) u drugom regionu sa sinc funkcijom.
Slično, ako se diskretizacija vrši u jednom regionu, onda se periodična operacija nastavljanja izvodi u drugom. Budući da su vaganje i uzimanje uzoraka linearne i komutativne operacije, mogući su različiti načini njihovog poređenja, dajući isti konačni rezultat sa različitim međurezultatima. Slika 2 prikazuje dvije moguće sekvence za izvođenje ove četiri operacije.
(22)
Dakle, DVFT je jednostavno Z-transformacija izračunata na jediničnom krugu i pomnožena sa T.
gdje je k=-N/2, . . . ,N/2-1
gdje je n=0, . . . ,N-1 ,
i karakterizira energiju niza od N uzoraka podataka. Oba niza x[n] i X[k] su periodični po modulu N, pa se (28) može zapisati u obliku
gdje je 0 n N. Faktor T u (27) - (30) je neophodan tako da su (27) i (28) zapravo aproksimacija integralne transformacije u domeni integracije
Zero padding Kroz proces tzv popunjavanje nulama, Fourierov red s diskretnim vremenom može se modificirati da interpolira između N vrijednosti originalne transformacije. Neka se dostupni uzorci podataka x,...,x dopune nultim vrijednostima x[N],...X. DVRF ovog niza podataka od 2N tačaka sa nulom podstavljenog će biti dat sa
(32) pri čemu je gornja granica sume na desnoj strani modificirana kako bi se prilagodila prisutnost nultih podataka. Neka je k=2m, dakle
gdje je m=0,1,...,N-1, definira parne vrijednosti X[k]. Ovo pokazuje da se za parne vrijednosti indeksa k, Fourierov niz s diskretnim vremenom od 2N tačaka svodi na diskretno-vremenski niz s N tačaka. Neparne vrijednosti indeksa k odgovaraju interpoliranim DVRF vrijednostima lociranim između vrijednosti originalne N-tačke DVRF. Kako se sve više i više nula dodaje originalnom nizu N tačaka, može se dobiti još više interpoliranih podataka. U graničnom slučaju beskonačnog broja ulaznih nula, DVRF se može smatrati Fourierovom transformacijom u diskretnom vremenu niza podataka u N-tačkama:
Transformacija (34) odgovara čvoru 6 na slici 2.
Fig.3.
Može se pokazati da su ekvivalentno trajanje prozora (ili bilo kojeg drugog signala) i ekvivalentna širina pojasa njegove transformacije međusobno inverzne veličine: TeBe=1. Brza Fourierova transformacija Brza Fourierova transformacija (FFT) nije još jedan tip Fourierove transformacije, već naziv brojnih efektivnih algoritmi, dizajniran za brzo izračunavanje Fourierove serije sa diskretnim vremenom. Glavni problem koji se javlja u praktičnoj implementaciji DVRF-a leži u velikom broju računskih operacija proporcionalnih N2. Iako je mnogo prije pojave kompjutera predloženo nekoliko efikasnih računskih shema koje su mogle značajno smanjiti broj računskih operacija, pravu revoluciju je napravilo objavljivanje članka Coolyja i Tukeya 1965. godine s praktičnim algoritmom za brzu (broj operacija). Nlog 2 N) proračuni DVRF . Nakon toga, razvijene su mnoge varijante, poboljšanja i dodaci osnovne ideje, čineći klasu algoritama poznatih kao brza Fourierova transformacija. Osnovna ideja FFT-a je podijeliti DVRF u N-tačkama na dva ili više manjih DVRF-a, od kojih se svaki može zasebno izračunati i zatim linearno zbrojiti s ostalima kako bi se dobio DVRF originalne sekvence N-tačaka.
gdje se vrijednost W N =exp(-j2 /N) naziva faktor okretanja (u daljem tekstu u ovom dijelu, period uzorkovanja je T=1). Odaberimo elemente sa parnim i neparnim brojevima iz niza x[n]
Ali od tada , (37) gdje je svaki član transformacija dužine N/2 (38) Imajte na umu da je niz (WN/2) nk periodičan u k sa periodom N/2. Stoga, iako broj k u izrazu (37) poprima vrijednosti od 0 do N-1, svaki od suma se računa za vrijednosti k od 0 do N/2-1. Moguće je procijeniti broj složenih operacija množenja i sabiranja potrebnih za izračunavanje Fourierove transformacije u skladu sa algoritmom (37)-(38). Dvije Fourierove transformacije N/2 tačke prema formulama (38) uključuju izvođenje 2(N/2) 2 množenja i približno istog broja sabiranja. Kombinovanje dve transformacije N/2 tačke korišćenjem formule (37) zahteva još N množenja i N sabiranja. Dakle, za izračunavanje Fourierove transformacije za svih N vrijednosti k, potrebno je izvršiti N+N 2 /2 množenja i sabiranja. Istovremeno, direktno izračunavanje pomoću formule (35) zahtijeva N 2 množenja i sabiranja. Već za N>2 nejednakost N+N 2 /2 je zadovoljena< N 2 , и, таким образом, вычисления по алгоритму (37)-(38) требуют меньшего числа математических операций по сравнению с прямым вычислением преобразования Фурье по формуле (35). Так как вычисление N-точечного преобразования Фурье через два N/2-точечных приводит к экономии вычислительных операций, то каждое из N/2-точечных ДПФ следует вычислять путем сведения их к N/4-точечным преобразованиям: ,
(39)
(41) gdje su "transformacije u jednoj tački" X 1 jednostavno uzorci signala x[n]: X 1 = x[q]/N, q=0,1,...,N-1. (42) Kao rezultat, možemo napisati FFT algoritam, koji se iz očiglednih razloga zove : algoritam za smanjenje vremena X 2 = (x[p] + W k 2 x) / N, gdje je k=0,1, p=0,1,...,N/2 -1; X 2N/M =X N/M + W k 2N/M X N/M , gdje je k=0,1,...,2N/M -1, p=0,1,...,M/2 -1; X[k] = X N [k] =X N/2 + W k N X N/2 , (43) gdje je k=0,1,...,N-1 Slučajni procesi i spektralna gustina snage Diskretni slučajni proces x može se smatrati određenim skupom, ili ansamblom, realnih ili složenih diskretnih vremenskih (ili prostornih) sekvenci, od kojih se svaki može promatrati kao rezultat nekog eksperimenta (n je vremenski indeks, i je broj zapažanja). Niz dobijen kao rezultat jednog od posmatranja biće označen sa x[n]. Operacija usrednjavanja po ansamblu (tj. statističko usrednjavanje) će biti označen operatorom<>. dakle, Slučajni proces se naziva stacionarnim u u širem smislu, ako je njegova prosječna vrijednost konstantna (neovisna o vremenu), a autokorelacija ovisi samo o razlici vremenskih indeksa m=n1-n2 (vremenski pomak ili kašnjenje između uzoraka). Dakle, široko stacionarni diskretni slučajni proces x[n] karakterizira konstantna prosječna vrijednost r xx [m] =< xx*[n] >. (44) Zapazimo sljedeće karakteristike automatskog mjenjača: r xx |r xx [m]| , r xx [-m] = r* xx [m] , (45)
Spektralna gustina snage (PSD) je definirana kao Fourierova transformacija diskretnog vremena (DTFT) autokorelacijske sekvence
PSD, čija se širina pretpostavlja da je ograničena na ±1/2T Hz, je periodična funkcija frekvencije sa periodom od 1/T Hz. PSD funkcija opisuje frekvencijsku distribuciju snage slučajnog procesa. Da biste potvrdili ime odabrano za njega, razmotrite inverzni DVFT
izračunato na m=0 Autokorelacija pri pomaku nule karakteriše slučajni proces. Prema (48), površina ispod krive P xx (f) karakterizira prosječnu snagu, pa je P xx (f) funkcija gustine (snaga po jediničnoj frekvenciji) koja karakterizira frekventnu distribuciju snage. Par transformacija (46) i (47) se često naziva Wiener-Khinchinova teorema
za slučaj diskretnog vremena. Pošto je r xx [-m]=r* xx [m], onda PSD mora biti striktno realna pozitivna funkcija. Ako je ACP striktno realna funkcija, tada je r xx [-m]=r xx [m] i PSD se može napisati u obliku Fourierove kosinusne transformacije
. Svojstvo koje omogućava da se izvrši takva zamena naziva se ergodičnost. Za slučajni proces se kaže da je ergodičan ako se, sa vjerovatnoćom jednakom jedan, sve njegove statističke karakteristike mogu predvidjeti iz jedne realizacije iz ansambla korištenjem vremenskog prosjeka. Drugim riječima, vremenski prosjeci gotovo svih mogućih implementacija procesa konvergiraju sa vjerovatnoćom jedan na istu konstantnu vrijednost - prosjek ansambla
(51) Slično, posmatrajući vrijednost proizvoda procesnih uzoraka x[n] u dvije vremenske tačke, može se očekivati da će prosječna vrijednost biti jednaka . (52) Ovaj ekvivalentni oblik PSD-a se dobija statističkim usrednjavanjem DVFT modula ponderisanog skupa podataka podeljenog sa dužinom zapisa podataka, za slučaj kada se broj uzoraka povećava do beskonačnosti.
Statističko prosječenje je ovdje neophodno jer je sam DVFT slučajna varijabla koja se mijenja za svaku realizaciju x[n]. Da bismo pokazali da je (52) ekvivalentno Wiener-Khinchinovoj teoremi, kvadrat DVFT modula predstavljamo kao proizvod dva niza i mijenjamo redosljed operacija sumiranja i statističkog usrednjavanja: , (54)
relacija (53) se može svesti na sljedeće:
Napominjemo da je u posljednjoj fazi derivacije (55) korištena pretpostavka da se autokorelacioni niz „raspada“, tako da
Ako u izrazu (52) ne uzmemo u obzir operaciju matematičkog očekivanja, dobijamo SPM procjenu koji se zove.
spektar uzorka Rice. 4. Odnos između dvije metode za procjenu spektralne gustine snage Periodogramska metoda spektralne procjene Iznad smo uveli dvije formalne ekvivalentne metode za određivanje spektralne gustine snage (PSD). Indirektni metod se zasniva na upotrebi beskonačnog niza podataka za izračunavanje autokorelacionog niza, čija Fourierova transformacija daje željeni PSD. Direktna metoda za određivanje PSD-a zasniva se na izračunavanju kvadratnog modula Fourierove transformacije za beskonačan niz podataka korištenjem odgovarajućeg statističkog prosječenja. PSD dobijen bez takvog usrednjavanja ispada nezadovoljavajućim, jer je srednja kvadratna greška takve procene uporediva sa njenom prosečnom vrednošću. Sada ćemo razmotriti metode usrednjavanja koje daju glatke i statistički stabilne spektralne procjene za konačan broj uzoraka. SPD procjene zasnovane na direktnoj transformaciji podataka i naknadnom usrednjavanju nazivaju se periodogrami. PSD procjene, za koje se prvo formiraju procjene korelacije iz početnih podataka, nazivaju se. Kada koristi bilo koju metodu PSD procjene, korisnik mora donijeti mnoge kompromisne odluke kako bi dobio statistički stabilne spektralne procjene sa najvećom mogućom rezolucijom iz konačnog broja uzoraka. Ovi kompromisi uključuju, ali nisu ograničeni na, izbor prozora za ponderisanje podataka i procene korelacije i parametara usrednjavanja u vremenskom domenu i frekvencijskom domenu koji balansiraju zahteve smanjenja bočnih režnjeva usled ponderisanja, izvođenja efikasnog usrednjavanja i obezbeđivanja prihvatljiva spektralna rezolucija. Na sl. Slika 5 prikazuje dijagram koji prikazuje glavne faze periodogram
Rice. 5. Glavne faze procjene PSD metodom periodograma
Primjena metode počinje prikupljanjem N uzoraka podataka, koji se uzimaju u intervalu od T sekundi po uzorku, nakon čega (opcionalno) slijedi korak detrendiranja. Da bi se dobila statistički stabilna spektralna procjena, raspoloživi podaci moraju biti podijeljeni u segmente koji se preklapaju (ako je moguće) i naknadno usrednjeni spektri uzorka dobijeni za svaki takav segment. Parametri ovog usrednjavanja se menjaju odgovarajućim odabirom broja uzoraka po segmentu (NSAMP) i broja uzoraka za koji se početak sledećeg segmenta mora pomeriti (NSHIFT), vidi sl. 6. Broj segmenata se bira u zavisnosti od potrebnog stepena glatkoće (disperzije) spektralne procjene i tražene spektralne rezolucije. Mala vrijednost NSAMP parametra rezultira više segmenata na kojima će se vršiti usrednjavanje, pa će se stoga dobiti procjene sa manjom varijansom, ali i manjom frekvencijskom rezolucijom. Povećanje dužine segmenta (NSAMP parametar) povećava rezoluciju, prirodno zbog povećanja varijanse procjene zbog manjeg broja prosjeka. Strelica za povratak na slici 5 ukazuje na potrebu za nekoliko ponovljenih prolaza kroz podatke na različitim dužinama i brojem segmenata, što nam omogućava da dobijemo više informacija o procesu koji se proučava. Fig.6. Podjela podataka na segmente za izračunavanje periodograma, koji je zajednički za sve klasične metode spektralne procjene, povezan je s ponderisanjem podataka. Prozor se koristi za kontrolu efekata bočnih režnja u spektralnim procjenama. Imajte na umu da je zgodno smatrati postojeći konačni zapis podataka kao dio odgovarajućeg beskonačnog niza, vidljivog kroz primijenjeni prozor. Dakle, niz posmatranih podataka x 0 [n] iz N uzoraka može se matematički napisati kao proizvod beskonačnog niza x[n] i pravokutne funkcije prozora
X 0 [n]=x[n] pravokutni[n]. X 0 (f)=X(f)*D N (f) , gdje je Funkcija D N (f), nazvana diskretna sinc funkcija, ili Dirichletovo jezgro, je DCFT pravokutne funkcije. Transformacija posmatranog konačnog niza je iskrivljena verzija transformacije beskonačnog niza. Uticaj pravougaonog prozora na sinusoidu diskretnog vremena sa frekvencijom f 0 ilustrovan je na slici 7.
Fig.7. Ilustracija pristranosti Fourierove transformacije diskretnog vremena zbog curenja zbog ponderisanja podataka: a, b - originalne i ponderisane sekvence; b, d - njihove Fourierove transformacije. transformacije prozora će promijeniti amplitude susjednih spektralnih vrhova (ponekad se nazivaju propuštanjem). Budući da je DVFT periodična funkcija, preklapanje bočnih režnjeva iz susjednih perioda može dovesti do dodatne pristranosti. Povećanjem stope uzorkovanja smanjuje se efekat aliasinga bočnog režnja. Slična izobličenja će se prirodno uočiti u slučaju nesinusoidnih signala. Krvarenje ne samo da unosi amplitudne greške u spektre diskretnih signala, već može i prikriti prisustvo slabih signala. Postoji niz drugih karakteristika prozora koje se mogu ponuditi i koje mogu smanjiti bočne režnjeve u odnosu na pravokutni prozor.
Tablica 3. Definicije tipičnih prozora s diskretnim vremenom u N-tačkama Maks. nivo bočnog režnja, dB -31,5 Korelogramska metoda procjena PSD-a je jednostavno supstituiranje u izraz (46) konačnog niza vrijednosti za procjenu autokorelacije ( korelogrami ) umjesto beskonačnog niza nepoznatih pravih vrijednosti autokorelacije. Više informacija o korelogramskoj metodi spektralne procjene možete pronaći u. Književnost 4. Otnes R., Enokson L. Primijenjena analiza vremenskih serija - M.: Mir, 1982. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
.
. (2)
. (3)
. (4)
(5)
(6)
(7)
. (8)
. (9)
(11)
(12)
. (13)
,
(18)
. (19)
(23)
(24)
, (27)
,
(28)
,
(29)
, (30)
.(31)
,
(33)
.
(34)
gdje je W(f) Fourierova transformacija funkcije prozora s diskretnim vremenom, na primjer, pravokutne (5). Slično, možete ući ekvivalentno trajanje prozora
, (35)
.
(46)
(47)
(48)
,
. (49)
. (50)
(53)
(55)
.
(56)
, (57)
. (46)
