Glavna numerička karakteristika kvadratne matrice je njena determinanta. Razmotrimo kvadratnu matricu drugog reda

Determinanta ili determinanta drugog reda je broj izračunat prema sljedećem pravilu

na primjer,

Razmotrimo sada kvadratnu matricu trećeg reda

.

Determinanta trećeg reda je broj izračunat korištenjem sljedećeg pravila

Kako bi zapamtili kombinaciju pojmova uključenih u izraze za određivanje determinante trećeg reda, obično koriste Sarusovo pravilo: prvi od tri člana uključena na desnoj strani sa znakom plus je proizvod elemenata koji se nalaze na glavnoj dijagonali matrice, a svaki od druga dva je proizvod elemenata koji leže paralelno s ovom dijagonalom i elementa iz suprotnog ugla matrice.

Posljednja tri člana, uključena sa predznakom minus, određuju se na sličan način, samo u odnosu na sekundarnu dijagonalu.

primjer:

Osnovna svojstva matričnih determinanti

1. Vrijednost determinante se ne mijenja kada se matrica transponira.

2. Kada preuređujete redove ili stupce matrice, determinanta samo mijenja predznak, zadržavajući apsolutnu vrijednost.

3. Odrednica koja sadrži proporcionalne redove ili stupce jednaka je nuli.

4. Zajednički faktor elemenata određenog reda ili kolone može se izvaditi iz predznaka determinante.

5. Ako su svi elementi određenog reda ili kolone jednaki nuli, tada je i sama determinanta jednaka nuli.

6. Ako elementima posebnog reda ili stupca determinante dodamo elemente drugog reda ili stupca, pomnožene proizvoljnim nedegeneriranim faktorom, tada se vrijednost determinante neće promijeniti.

Minor Matrica je determinanta dobijena brisanjem istog broja kolona i redova iz kvadratne matrice.

Ako su svi minori reda većeg od , koji se mogu sastaviti iz matrice, jednaki nuli, a među minorima reda najmanje jedan je različit od nule, tada se broj naziva rang ovu matricu.

Algebarski komplement elementom determinante reda nazvat ćemo njegov manji red, koji se dobije precrtavanjem odgovarajućeg reda i stupca na čijem se presjeku nalazi element uzet sa znakom plus ako je zbroj indeksa jednak parnom broju i sa inače znak minus.

Dakle

,

gdje je odgovarajući manji red.

Izračunavanje determinante matrice proširenjem reda ili stupca

Determinanta matrice jednaka je zbroju proizvoda elemenata bilo kojeg reda (bilo kojeg stupca) matrice odgovarajućim algebarskim komplementama elemenata ovog reda (ovog stupca). Prilikom izračunavanja determinante matrice na ovaj način, trebali biste se voditi sljedećim pravilom: odaberite red ili stupac s najvećim brojem nula elemenata. Ova tehnika vam omogućava da značajno smanjite količinu proračuna.

primjer: .

Prilikom izračunavanja ove determinante koristili smo tehniku ​​njenog razlaganja na elemente prvog stupca. Kao što se vidi iz gornje formule, nema potrebe računati posljednju od determinanti drugog reda, jer množi se sa nulom.

Izračunavanje inverzne matrice

Prilikom rješavanja matričnih jednadžbi, inverzna matrica se široko koristi. U određenoj mjeri zamjenjuje operaciju dijeljenja, koja nije eksplicitno prisutna u matričnoj algebri.

Kvadratne matrice istog reda, čiji proizvod daje matricu identiteta, nazivaju se recipročne ili inverzne. Inverzna matrica je označena i za nju vrijedi sljedeće:

Moguće je izračunati inverznu matricu samo za matricu za koju .

Klasični algoritam za izračunavanje inverzne matrice

1. Zapišite matricu transponovanu u matricu.

2. Zamijenite svaki element matrice determinantom dobivenom precrtavanjem reda i stupca na čijem se presjeku nalazi ovaj element.

3. Ovu determinantu prati znak plus ako je zbir indeksa elementa paran, a u suprotnom znak minus.

4. Podijelite rezultujuću matricu sa determinantom matrice.

Neka nam je data tabela (nazvana matrica) koja se sastoji od četiri broja:

Matrica ima dva reda i dvije kolone. Brojevi koji čine ovu matricu označeni su slovom sa dva indeksa. Prvi indeks označava broj reda, a drugi broj kolone u kojoj se navedeni broj pojavljuje. Na primjer, znači broj u prvom redu i drugoj koloni; broj u drugom redu i prvoj koloni. Brojeve ćemo nazvati elementima matrice.

Determinanta (ili determinanta) drugog reda koja odgovara datoj matrici je broj koji se dobije na sljedeći način:

Odrednica je označena simbolom

dakle,

Brojevi se nazivaju elementi determinante.

Predstavimo svojstva determinante drugog reda.

Svojstvo 1. Determinanta se ne mijenja ako se njeni redovi zamjene odgovarajućim stupcima, tj.

Nekretnina 2.

Prilikom preuređivanja dva reda (ili kolone), determinanta će promijeniti svoj predznak u suprotan, zadržavajući apsolutnu vrijednost, tj.

Svojstvo 3. Determinanta sa dva identična reda (ili kolone) jednaka je nuli.

Svojstvo 4. Zajednički faktor svih elemenata reda (ili kolone) može se izvaditi iz predznaka determinante:

Svojstvo 5. Ako su svi elementi reda (ili kolone) jednaki nuli, tada je determinanta jednaka nuli.

Svojstvo 6. Ako bilo kojem redu (ili koloni) determinante dodamo odgovarajuće elemente drugog reda (ili kolone), pomnožene istim brojem y, tada determinanta neće promijeniti svoju vrijednost, tj.

Da biste pomnožili matricu brojem, morate svaki element matrice pomnožiti tim brojem.

Posljedica. Zajednički faktor svih matričnih elemenata može se izvaditi iz predznaka matrice.

Na primjer, .

Kao što vidite, radnje sabiranja, oduzimanja matrice i množenja matrice brojem su slične akcijama na brojevima. Množenje matrice je specifična operacija.

Proizvod dvije matrice.

Ne mogu se sve matrice pomnožiti. Proizvod dvije matrice A I IN navedenim redoslijedom AB moguće samo kada je broj kolona prvog faktora A jednak broju redova drugog faktora IN.

Na primjer, .

Veličina matrice A 33, veličina matrice IN 23. Rad AB nemoguće, rad VA Možda.

Umnožak dviju matrica A i B je treća matrica C, čiji je element C ij jednak zbroju parnih proizvoda elemenata i-tog reda prvog faktora i j-tog stupca drugog faktor.

Pokazalo se da u u ovom slučaju moguć je proizvod matrica VA

Iz pravila postojanja proizvoda dvije matrice slijedi da je proizvod dvije matrice u opšti slučaj ne poštuje komutativni zakon, tj. AB? VA. Ako se u konkretnom slučaju ispostavi da AB = BA, tada se takve matrice nazivaju permutabilne ili komutativne.

U matričnoj algebri, proizvod dvije matrice može biti nulta matrica čak i kada nijedna od faktorskih matrica nije nula, suprotno običnoj algebri.

Na primjer, pronađimo proizvod matrica AB, Ako

Možete pomnožiti više matrica. Ako možete množiti matrice A, IN a proizvod ovih matrica može se pomnožiti sa matricom WITH, tada je moguće sastaviti proizvod ( AB) WITH I A(Ned). U ovom slučaju se dešava kombinacijski zakon koji se odnosi na množenje ( AB) WITH = A(Ned).

Ovdje ćemo opisati ona svojstva koja se obično koriste za izračunavanje determinanti u standardni kurs višu matematiku. Ovo je pomoćna tema na koju ćemo se po potrebi pozivati ​​iz drugih odjeljaka.

Dakle, neka određena kvadratna matrica $A_(n\puta n)=\left(\begin(array) (cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) dati & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \\ \ end( niz) \desno)$. Svaka kvadratna matrica ima karakteristiku koja se zove determinanta (ili determinanta). Ovdje neću ulaziti u suštinu ovog koncepta. Ako je potrebno pojašnjenje, pišite o tome na forumu, a ja ću se detaljnije dotaknuti ovog pitanja.

Determinanta matrice $A$ je označena kao $\Delta A$, $|A|$ ili $\det A$. Determinantni poredak jednak broju redova (kolona) u njemu.

1. Vrijednost determinante se neće promijeniti ako se njeni redovi zamijene odgovarajućim stupcima, tj. $\Delta A=\Delta A^T$.

   prikaži\sakrij

   Zamijenimo redove kolonama u njemu po principu: "bio je prvi red - bio je prvi stupac", "bio je drugi red - bio je drugi stupac":

   Izračunajmo rezultujuću determinantu: $\left| \begin(niz) (cc) 2 & 9 \\ 5 & 4 \end(niz) \right|=2\cdot 4-9\cdot 5=-37$. Kao što vidite, vrijednost determinante se nije promijenila zbog zamjene.

2. Ako zamijenite dva reda (kolone) determinante, predznak determinante će se promijeniti u suprotan.

   Primjer korištenja ovog svojstva: show\hide

   Razmotrimo determinantu $\left| \begin(niz) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(niz) \right|$. Nađimo njegovu vrijednost koristeći formulu br. 1 iz teme izračunavanja determinanti drugog i trećeg reda:

   $$\left| \begin(array) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(array) \right|=2\cdot 4-5\cdot 9=-37.$$

   Sada zamenimo prvi i drugi red. Dobijamo determinantu $\left| \begin(niz) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(niz) \right|$. Izračunajmo rezultujuću determinantu: $\left| \begin(niz) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(niz) \right|=9\cdot 5-4\cdot 2=37$. Dakle, vrijednost originalne determinante je bila (-37), a vrijednost determinante sa promijenjenim redoslijedom je $-(-37)=37$. Predznak determinante se promijenio u suprotan.

3. Determinanta za koju su svi elementi reda (kolone) jednaki nuli jednaka je nuli.

   Primjer korištenja ovog svojstva: show\hide

   Pošto je u determinanti $\left| \begin(niz) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(array) \right|$ svi elementi treće kolone su nula, tada determinanta je nula, tj. $\left| \begin(niz) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(niz) \right|=0$.

4. Determinanta za koju su svi elementi određenog reda (kolone) jednaki odgovarajućim elementima drugog reda (kolone) jednaka je nuli.

   Primjer korištenja ovog svojstva: show\hide

   Pošto je u determinanti $\left| \begin(niz) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(niz) \right|$ svi elementi prvog reda su jednaki odgovarajućim elemenata drugog reda, tada je determinanta jednaka nuli, tj. $\left| \begin(niz) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(niz) \right|=0$.

5. Ako su u determinanti svi elementi jednog reda (kolone) proporcionalni odgovarajućim elementima drugog reda (kolone), onda je takva determinanta jednaka nuli.

   Primjer korištenja ovog svojstva: show\hide

   Pošto je u determinanti $\left| \begin(niz) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(niz) \right|$ Drugi i treći red su proporcionalni, tj. $r_3=-3\cdot(r_2)$, tada je determinanta jednaka nuli, tj. $\left| \begin(niz) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(niz) \right|=0$.

6. Ako svi elementi reda (kolone) imaju zajednički faktor, onda se ovaj faktor može izbaciti iz predznaka determinante.

   Primjer korištenja ovog svojstva: show\hide

   Razmotrimo determinantu $\left| \begin(niz) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(niz) \right|$. Obratite pažnju da su svi elementi u drugom redu djeljivi sa 3:

   $$\left| \begin(niz) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(niz) \right|=\left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(array) \right|$$

   Broj 3 je zajednički faktor svih elemenata drugog reda. Uzmimo tri iz predznaka determinante:

   $$\left| \begin(niz) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(niz) \right|=\left| \begin(niz) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(array) \right|= 3\cdot \left| \begin(niz) (cc) -7 & 10 \\ -3 & 7 \end(niz) \right| $$

7. Odrednica se neće promijeniti ako svim elementima određenog reda (kolone) dodamo odgovarajuće elemente drugog reda (kolone), pomnožene proizvoljnim brojem.

   Primjer korištenja ovog svojstva: show\hide

   Razmotrimo determinantu $\left| \begin(niz) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(niz) \right|$. Dodajmo elementima drugog reda odgovarajuće elemente trećeg reda, pomnožene sa 5. Ova akcija se piše na sljedeći način: $r_2+5\cdot(r_3)$. Drugi red će biti promijenjen, preostali redovi će ostati nepromijenjeni.

   $$\left| \begin(niz) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(niz) \right| \begin(niz) (l) \phantom(0)\\ r_2+5\cdot(r_3)\\ \phantom(0) \end(array)= \left| \begin(niz) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9+5\cdot 2 & 21+5\cdot (-3) & 4+5\cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \end (niz) \desno|= \lijevo| \begin(niz) (ccc) -7 & 10 & 0\\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \end(niz) \right|. $$

8. Ako je određeni red (kolona) u determinanti linearna kombinacija drugih redova (kolona), tada je determinanta jednaka nuli.

   Primjer korištenja ovog svojstva: show\hide

   Dozvolite mi da odmah objasnim šta znači izraz "linearna kombinacija". Neka imamo s redova (ili kolona): $A_1$, $A_2$,..., $A_s$. Izraz

   $$ k_1\cdot A_1+k_2\cdot A_2+\ldots+k_s\cdot A_s, $$

   gdje se $k_i\in R$ naziva linearna kombinacija redova (kolona) $A_1$, $A_2$,..., $A_s$.

   Na primjer, razmotrite sljedeću odrednicu:

   $$\left| \begin(niz) (cccc) -1 & 2 & 3 & 0\\ -2 & -4 & -5 & 1\\ 5 & 0 & 7 & 10 \\ -13 & -8 & -16 & -7 \end(niz) \desno| $$

   U ovoj odrednici, četvrti red se može izraziti kao linearna kombinacija prva tri reda:

   $$ r_4=2\cdot(r_1)+3\cdot(r_2)-r_3 $$

   Dakle, predmetna determinanta je jednaka nuli.

9. Ako je svaki element određenog k-tog reda (k-tog stupca) determinante jednak zbiru dva člana, onda je takva determinanta jednaka zbroju determinanti, od kojih je prva u k-tom redu ( kth kolona) imaju prve članove, a druga determinanta ima druge članove u k-tom redu (k-toj koloni). Ostali elementi ovih determinanti su isti.

   Primjer korištenja ovog svojstva: show\hide

   Razmotrimo determinantu $\left| \begin(niz) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(niz) \right|$. Zapišimo elemente druge kolone ovako: $\left| \begin(niz) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(niz) \right|$. Tada je takva determinanta jednaka zbroju dvije determinante:

   $$\left| \begin(niz) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(niz) \right|= \left| \begin(niz) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(niz) \right|= \left| \begin(niz) (ccc) -7 & 3 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \end(niz) \right|+ \left| \begin(niz) (ccc) -7 & 7 & 0\\ -9 & 0 & 4 \\ 2 & -8 & 1 \end(niz) \right| $$

10. Determinanta proizvoda dvije kvadratne matrice istog reda jednaka je proizvodu determinanti ovih matrica, tj. $\det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B$. Iz ovog pravila možemo dobiti sljedeću formulu: $\det \left(A^n \right)=\left(\det A \right)^n$.
11. Ako je matrica $A$ nesingularna (tj. njena determinanta nije jednaka nuli), onda je $\det \left(A^(-1)\right)=\frac(1)(\det A)$.

Formule za izračunavanje determinanti

Za determinante drugog i trećeg reda ispravne su sljedeće formule:

\begin(jednačina) \Delta A=\lijevo| \begin(array) (cc) a_(11) & a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \end(array) \right|=a_(11)\cdot a_(22)-a_( 12)\cdot a_(21) \end(jednačina) \begin(jednačina) \begin(poravnano) & \Delta A=\lijevo| \begin(niz) (ccc) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_(32) & a_(33) \end(array) \right|= a_(11)\cdot a_(22)\cdot a_(33)+a_(12)\cdot a_(23)\cdot a_(31)+a_(21 )\cdot a_(32)\cdot a_(13)-\\ & -a_(13)\cdot a_(22)\cdot a_(31)-a_(12)\cdot a_(21)\cdot a_(33 )-a_(23)\cdot a_(32)\cdot a_(11)\end(poravnano)\end(jednačina)

Primjeri korištenja formula (1) i (2) nalaze se u temi "Formule za izračunavanje determinanti drugog i trećeg reda. Primjeri izračunavanja determinanti".

Determinanta matrice $A_(n\puta n)$ može se proširiti i-ti red koristeći sljedeću formulu:

\begin(jednačina)\Delta A=\sum\limits_(j=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(i1)A_(i1)+a_(i2)A_(i2)+\ ldots+a_(in)A_(in) \end(jednačina)

Analog ove formule postoji i za kolone. Formula za proširenje determinante u j-tom stupcu je sljedeća:

\begin(equation)\Delta A=\sum\limits_(i=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(1j)A_(1j)+a_(2j)A_(2j)+\ ldots+a_(nj)A_(nj) \end(jednadžba)

Pravila izražena formulama (3) i (4) detaljno su ilustrovana primjerima i objašnjena u temi Redukcija reda determinante. Dekompozicija determinante u nizu (kolona).

Naznačimo još jednu formulu za izračunavanje determinanti gornje trouglaste i donje trouglaste matrice (za objašnjenje ovih pojmova vidi temu „Matrice. Vrste matrica. Osnovni pojmovi”). Odrednica takve matrice jednaka je umnošku elemenata na glavnoj dijagonali. primjeri:

\begin(poravnano) &\lijevo| \begin(niz) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \end(niz) \desno|= 2\cdot 9\cdot 4\cdot (-6)=-432.\\ &\left| \begin(niz) (cccc) -3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 10 \end(niz) \ desno|= -3\cdot 0\cdot 1 \cdot 10=0. \end (poravnano)

Većina matematičkih modela u ekonomiji opisana je korištenjem matrica i matričnog računa.

Matrix je pravokutna tablica koja sadrži brojeve, funkcije, jednadžbe ili druge matematičke objekte raspoređene u redove i stupce.

Pozivaju se objekti koji čine matricu elementi . Matrice su označene velikim latiničnim slovima

a njihovi elementi su malim slovima.

Simbol
znači da je matrica ima
linije i kolone, element na raskrsnici -ti red i -th kolona
.

.

Kažu da je matrica A jednaka matrici IN : A=B, ako imaju istu strukturu (tj. isti broj redova i stupaca) i njihovi odgovarajući elementi su identično jednaki
, za sve
.

Posebne vrste matrica

U praksi se vrlo često susreću matrice posebnog tipa. Neke metode također uključuju transformacije matrica iz jednog tipa u drugi. Najčešći tipovi matrica su dati u nastavku.

Matrični elementi sa jednakim brojevima redova i kolona, ​​tj a iičine glavnu dijagonalu matrice.

Operacije na matricama.

.

Svojstva operacija nad matricama

Specifična svojstva operacija

Ako je proizvod matrica
– postoji, onda rad
možda ne postoji. generalno govoreći,
. To jest, množenje matrice nije komutativno. Ako
, To I nazivaju se komutativnim. Na primjer, dijagonalne matrice istog reda su komutativne.

Ako
, zatim opciono
ili
. To jest, proizvod matrica koje nisu nula može dati nultu matricu. Na primjer

Operacija eksponencijaliranja definirano samo za kvadratne matrice. Ako
, To

.

Po definiciji vjeruju
, i to je lako pokazati
,
. Imajte na umu da od
to ne sledi
.

Eksponencijacija po elementima A. m =
.

Transponovana operacija matrica se sastoji od zamjene redova matrice njenim stupcima:

,

Na primjer

,
.

Transponirajte svojstva:

Determinante i njihova svojstva.

Za kvadratne matrice koncept se često koristi odrednica – broj koji se izračunava iz elemenata matrice koristeći strogo definisana pravila. Ovaj broj je važna karakteristika matrice i označava se simbolima

.

Matrična determinanta
je njegov element .

Matrična determinanta
izračunato prema pravilu:

tj. proizvod elemenata dodatne dijagonale oduzima se od umnožaka elemenata glavne dijagonale.

Za izračunavanje determinanti višeg reda (
) potrebno je uvesti pojmove molskog i algebarskog komplementa elementa.

Minor
element je determinanta koja se dobija iz matrice , precrtavanje -ti red i th column.

Razmotrite matricu veličina
:

,

onda, na primjer,

Algebarski komplement element oni to zovu minor pomnožen sa
.

,

Laplaceova teorema: Determinanta kvadratne matrice jednaka je zbroju proizvoda elemenata bilo kojeg reda (stupca) njihovim algebarskim komplementima.

Na primjer, raspadanje
na osnovu elemenata prvog reda dobijamo:

Posljednja teorema pruža univerzalni način izračunavanja determinanti bilo kojeg reda, počevši od drugog. Red (kolona) se uvijek bira da bude onaj sa najvećim brojem nula. Na primjer, trebate izračunati determinantu četvrtog reda

U ovom slučaju, možete proširiti determinantu duž prvog stupca:

ili zadnji red:

Ovaj primjer također pokazuje da je determinanta gornje trokutaste matrice jednaka umnošku njenih dijagonalnih elemenata. Lako je dokazati da ovaj zaključak vrijedi za sve trokutaste i dijagonalne matrice.

Laplaceov teorem omogućava smanjenje izračunavanja determinante -ti red koji treba izračunati odrednice
reda i, konačno, na izračunavanje determinanti drugog reda.