Duhamel integral.

Poznavanje odgovora kola na jedan uznemirujući uticaj, tj. funkciju prelazne provodljivosti i/ili funkcije prelaznog napona, možete pronaći odgovor kola na uticaj proizvoljnog oblika. Metoda, metoda proračuna pomoću Duhamelovog integrala, zasniva se na principu superpozicije.

Kada se koristi Duhamelov integral za razdvajanje varijable nad kojom se vrši integracija i varijable koja određuje trenutak u kojem se određuje struja u kolu, prva se obično označava kao , a druga kao t.

Pustiti u trenutku vremena na kolo sa nultim početnim uslovima (pasivna mreža sa dva terminala PD na sl. 1) priključen je izvor napona proizvoljnog oblika. Da bismo pronašli struju u kolu, originalnu krivulju zamijenimo korakom jedan (vidi sliku 2), nakon čega, uzimajući u obzir da je kolo linearan, zbrojimo struje od početnog skoka napona i sve naponske korake do trenutka t, koji stupaju na snagu sa vremenskim zakašnjenjem.

U trenutku t, komponenta ukupne struje određena početnim naponom jednaka je .

U tom trenutku dolazi do skoka napona , koji će, uzimajući u obzir vremenski interval od početka skoka do vremenske tačke t, odrediti trenutnu komponentu.

Ukupna struja u trenutku t očito je jednaka zbiru svih komponenti struje iz pojedinačnih napona, uzimajući u obzir, tj.

Zamjena intervala prirasta konačnog vremena sa beskonačno malim, tj. prelazeći od zbira do integrala, pišemo

.

(1)

Relacija (1) se zove Duhamel integral.

Treba napomenuti da se napon može odrediti i korištenjem Duhamelovog integrala. U ovom slučaju, umjesto prijelazne provodljivosti, (1) će uključivati ​​funkciju prijelaznog napona.

Redoslijed proračuna korištenjem
Duhamel integral

Kao primjer korištenja Duhamelovog integrala, određujemo struju u kolu na sl. 3, izračunato u prethodnom predavanju pomoću formule inkluzije.

Početni podaci za obračun: , , .

1. Tranzijentna provodljivost

.

18. Transfer funkcija.

Odnos operatora utjecaja prema njegovom vlastitom operatoru naziva se funkcija prijenosa ili prijenosna funkcija u obliku operatora.

Veza opisana jednadžbom ili jednačinama u simboličkom ili operatorskom obliku može se okarakterizirati s dvije funkcije prijenosa: prijenosnom funkcijom za ulaznu vrijednost u; i prijenosnu funkciju za ulaznu veličinu f.

I

Koristeći prijenosne funkcije, jednačina se zapisuje kao . Ova jednadžba je uslovni, kompaktniji oblik pisanja originalne jednadžbe.

Uz funkciju prijenosa u obliku operatora, široko se koristi prijenosna funkcija u obliku Laplaceovih slika.

Prijenosne funkcije u obliku Laplaceovih slika i oblika operatora poklapaju se do notacije. Prijenosna funkcija u obliku Laplaceove slike može se dobiti iz prijenosne funkcije u obliku operatora, ako se u potonjem izvrši zamjena p=s. U opštem slučaju, ovo proizilazi iz činjenice da diferencijacija originala - simboličko množenje originala sa p - pod nultim početnim uslovima odgovara množenju slike kompleksnim brojem s.

Sličnost između prijenosnih funkcija u obliku Laplaceove slike i u obliku operatora je čisto vanjska, a javlja se samo u slučaju stacionarnih veza (sistema), tj. samo pod nultim početnim uslovima.

Razmotrimo jednostavno RLC (serijsko) kolo, njegova prijenosna funkcija W(p)=U OUT /U IN

Fourierov integral.

Funkcija f(x), definirana na cijeloj brojevnoj pravoj naziva se periodično, ako postoji broj takav da za bilo koju vrijednost X jednakost važi . Broj T pozvao period funkcije.

Napomenimo neka svojstva ove funkcije:

1) Zbir, razlika, proizvod i količnik periodičnih funkcija perioda T je periodična funkcija perioda T.

2) Ako je funkcija f(x) tačka T, zatim funkciju f(ax)ima menstruaciju.

3) Ako f(x) - periodična funkcija perioda T, tada bilo koja dva integrala ove funkcije, uzeta u intervalima dužine T(u ovom slučaju integral postoji), tj. za bilo koje a I b jednakost je istinita .

Trigonometrijski niz. Fourierova serija

Ako f(x) je proširen na segment u uniformno konvergentan trigonometrijski niz: (1)

Tada je ova ekspanzija jedinstvena i koeficijenti su određeni formulama:

Gdje n=1,2, . . .

Trigonometrijski niz (1) razmatranog tipa sa koeficijentima se zove trigonometrijski Fourierov red.

Kompleksni oblik Fourierovog reda

Izraz se naziva kompleksnim oblikom Fourierovog reda funkcije f(x), ako je definisano jednakošću

, Gdje

Prijelaz iz Fourierovog niza u složenom obliku na niz u realnom obliku i nazad se vrši pomoću formula:

(n=1,2, . . .)

Fourierov integral funkcije f(x) je integral oblika:

, Gdje .

Frekventne funkcije.

Ako se primjenjujete na ulaz sistema s prijenosnom funkcijom W(p) harmonijski signal

tada će se nakon završetka procesa tranzicije uspostaviti harmonijske oscilacije na izlazu

sa istom frekvencijom, ali različitom amplitudom i fazom, u zavisnosti od frekvencije poremećenog uticaja. Po njima se mogu suditi o dinamičkim osobinama sistema. Odnosi koji povezuju amplitudu i fazu izlaznog signala sa frekvencijom ulaznog signala nazivaju se frekvencijske karakteristike(CH). Analiza frekvencijskog odziva sistema u cilju proučavanja njegovih dinamičkih svojstava naziva se analiza frekvencija.

Zamijenimo izraze za u(t) I y(t) u jednačinu dinamike

(aop n + a 1 pn - 1 + a 2 p n - 2 + ... + a n)y = (bop m + b 1 p m-1 + ... + b m)u.

Uzmimo to u obzir

pnu = pnU m ejwt = U m (jw)nejwt = (jw)nu.

Slični odnosi se mogu napisati za lijevu stranu jednačine. dobijamo:

Po analogiji s prijenosnom funkcijom možemo napisati:

W(j), jednak omjeru izlaznog i ulaznog signala kada se ulazni signal promijeni prema harmonijskom zakonu, naziva se funkcija prijenosa frekvencije. Lako je vidjeti da se može dobiti jednostavnom zamjenom p sa j u izrazu W(p).

W(j) je kompleksna funkcija, dakle:

gdje je P() - realni frekvencijski odziv (RFC); Q() - imaginarni frekvencijski odziv (ICH); A() - amplitudno frekvencijski odziv (AFC): () - fazni frekvencijski odziv (PFC). Frekvencijski odziv daje omjer amplituda izlaznog i ulaznog signala, fazni odziv daje fazni pomak izlazne veličine u odnosu na ulaz:

;

Ako je W(j) predstavljen kao vektor na kompleksnoj ravni, tada će pri promjeni od 0 do + njegov kraj nacrtati krivulju tzv. vektorski hodograf W(j), ili amplitudno-fazni frekvencijski odziv (APFC)(Sl. 48).

AFC grana pri promjeni od - do 0 može se dobiti preslikavanjem ove krive u odnosu na realnu osu.

TAU se široko koristi logaritamske frekvencijske karakteristike (LFC)(Sl.49): logaritamski amplitudski frekvencijski odziv (LAFC) L() i logaritamski fazni frekvencijski odziv (LPFC) ().

Dobivaju se uzimanjem logaritma prijenosne funkcije:

LFC se dobija iz prvog člana, koji se množi sa 20 radi skaliranja, a ne koristi se prirodni logaritam, već decimalni, odnosno L() = 20lgA(). Vrijednost L() je iscrtana duž ordinatne ose u decibela.

Promjena nivoa signala za 10 dB odgovara promjeni njegove snage za 10 puta. Budući da je snaga harmonijskog signala P proporcionalna kvadratu njegove amplitude A, promjena signala za 10 puta odgovara promjeni njegovog nivoa za 20 dB, jer

log(P 2 /P 1) = log(A 2 2 /A 1 2) = 20log(A 2 /A 1).

Osa apscisa prikazuje frekvenciju w u logaritamskoj skali. To jest, jedinični intervali duž ose apscise odgovaraju promjeni w za faktor 10. Ovaj interval se zove decenija. Pošto je log(0) = -, osa ordinata se crta proizvoljno.

LPFC dobijen iz drugog člana razlikuje se od faznog odziva samo u skali duž ose. Vrijednost () je iscrtana duž ordinatne ose u stepenima ili radijanima. Za elementarne veze ne ide dalje od: - +.

Frekventne karakteristike su sveobuhvatne karakteristike sistema. Poznavajući frekvencijski odziv sistema, možete vratiti njegovu funkciju prijenosa i odrediti njegove parametre.

Povratne informacije.

Općenito je prihvaćeno da je veza pokrivena povratnom spregom ako se njen izlazni signal dovodi na ulaz preko neke druge veze. Štoviše, ako se povratni signal oduzme od ulazne akcije (), tada se povratna informacija naziva negativnom. Ako se povratni signal doda ulaznoj akciji (), tada se povratna informacija naziva pozitivnom.

Prijenosna funkcija zatvorene petlje s negativnom povratnom spregom - veza pokrivena negativnom povratnom spregom - jednaka je prijenosnoj funkciji naprijed petlje podijeljenoj s jedan plus prijenosnoj funkciji otvorene petlje

Prijenosna funkcija zatvorene petlje s pozitivnom povratnom spregom jednaka je prijenosnoj funkciji naprijed petlje podijeljenoj s jedan minus prijenosnoj funkciji otvorene petlje

22. 23. Kvadrupolni.

Prilikom analize električna kola u problemima proučavanja odnosa između varijabli (struja, napona, snaga, itd.) dvaju grana kola široko se koristi teorija mreža sa četiri terminala.

Quadrupole- Ovo je dio kola bilo koje konfiguracije koji ima dva para terminala (otuda i njegovo ime), koji se obično nazivaju ulaz i izlaz.

Primjeri mreže s četiri terminala su transformator, pojačalo, potenciometar, dalekovod i drugi električni uređaji u kojima se mogu razlikovati dva para polova.

Općenito, kvadripolovi se mogu podijeliti na aktivan,čija struktura uključuje izvore energije, i pasivno, grane koje ne sadrže izvore energije.

Za pisanje jednadžbi mreže sa četiri priključka, u proizvoljnom kolu biramo granu sa jedini izvor energije i bilo koje druge grane sa određenim otporom (vidi sliku 1, a).

U skladu sa principom kompenzacije originalni otpor zamjenjujemo izvorom sa naponom (vidi sliku 1,b). Zatim, na osnovu metode superpozicije za kolo na Sl. 1b se može napisati

Jednačine (3) i (4) su osnovne jednačine četveropola; nazivaju se i kvadripolne jednadžbe u A-oblici (vidi tabelu 1). Uopšteno govoreći, postoji šest oblika pisanja jednačina pasivnog četveropola. Zaista, mrežu sa četiri terminala karakteriziraju dva napona i i dvije struje i. Bilo koje dvije veličine mogu se izraziti u terminima ostalih. Budući da je broj kombinacija četiri po dva šest, moguće je šest oblika pisanja jednadžbi pasivnog četveropola, koje su date u tabeli. 1. Pozitivni pravci struja za različite oblike pisanja jednačina prikazani su na sl. 2. Imajte na umu da je izbor jednog ili drugog oblika jednadžbi određen površinom i vrstom problema koji se rješava.

Tabela 1. Oblici pisanja jednačina pasivnog četveropola

Forma	Jednačine	Veza sa koeficijentima osnovnih jednačina
A-oblik	; ;
Y-oblik	; ;	; ; ; ;
Z-oblik	; ;	; ; ; ;
H-oblik	; ;	; ; ; ;
G-oblik	; ;	; ; ; ;
B-oblik	; .	; ; ; .

Karakteristična impedansa i koeficijent
širenje simetričnog četveropola

U telekomunikacijama se široko koristi način rada simetrične mreže sa četiri terminala, u kojem je njen ulazni otpor jednak otporu opterećenja, tj.

.

Ovaj otpor je označen kao i tzv karakterističan otpor simetričnu mrežu sa četiri priključka, te način rada mreže sa četiri priključka, za koji to vrijedi

,

Da bi procenili mogućnosti električnih uređaja koji primaju i prenose ulazne uticaje, oni pribegavaju proučavanju njihovih prolaznih i impulsnih karakteristika.

Odgovor na korak h(t) linearnog kola koje ne sadrži nezavisne izvore numerički je jednako odgovoru kola na uticaj jednog skoka struje ili napona u obliku jednostepene funkcije 1( t) ili 1( t – t 0) pri nultim početnim uslovima (slika 14). Dimenzija prelazne karakteristike jednaka je omjeru dimenzije reakcije i dimenzije udara. Može biti bezdimenzionalan, imati dimenziju Ohm, Siemens (Cm).

Rice. 14

Impulsni odgovor k(t) linearnog kola koje ne sadrži nezavisne izvore numerički je jednako odgovoru kola na djelovanje jednog impulsa u obliku d( t) ili d( t – t 0) funkcije sa nultim početnim uslovima. Njegova dimenzija je jednaka omjeru dimenzije reakcije prema proizvodu dimenzije udarca i vremena, tako da može imati dimenzije c –1, Ohms –1, Sms –1.

Impulsna funkcija d( t) može se smatrati derivacijom jedinične funkcije koraka d( t) = d 1(t)/dt. U skladu s tim, impulsni odziv je uvijek vremenski derivat koraka odziva: k(t) = h(0 +)d( t) + dh(t)/dt. Ovaj odnos se koristi za određivanje impulsnog odziva. Na primjer, ako za neki lanac h(t) = 0,7e –100t, To k(t) = 0,7d( t) – 70e –100 t. Prolazni odziv se može odrediti klasičnom ili operatorskom metodom izračunavanja prolaznih procesa.

Postoji veza između vremenskih i frekvencijskih karakteristika kola. Poznavajući funkciju prijenosa operatora, možete pronaći sliku reakcije kola: Y(s) = W(s)X(s), tj. prijenosna funkcija sadrži pune informacije o svojstvima kola kao sistema za prenos signala sa njegovog ulaza na izlaz pod nultim početnim uslovima. U ovom slučaju, priroda udara i reakcije odgovara onima za koje je određena prijenosna funkcija.

Prijenosna funkcija za linearna kola ne ovisi o vrsti ulaznog djelovanja, tako da se može dobiti iz prijelaznog odziva. Dakle, kada funkcija jediničnog koraka 1( t) prijenosna funkcija uzimajući u obzir činjenicu da je 1( t) = 1/s, je jednako

W(s) = L [h(t)] / L = L [h(t)] / (1/s), Gdje L [f(t)] - oznaka direktne Laplaceove transformacije nad funkcijom f(t). Koračni odziv se može odrediti kroz prijenosnu funkciju korištenjem inverzne Laplaceove transformacije, tj. h(t) = L –1 [W(s)(1/s)], Gdje L –1 [F(s)] - oznaka inverzne Laplaceove transformacije nad funkcijom F(s). Dakle, prolazni odgovor h(t) je funkcija čija je slika jednaka W(s) /s.

Kada funkcija jednog impulsa d( t) prijenosna funkcija W(s) = L [k(t)] / L = L [k(t)] / 1 = L [k(t)]. Dakle, impulsni odziv kola k(t) je original funkcije prijenosa. Iz poznate operatorske funkcije kola, koristeći inverznu Laplaceovu transformaciju, može se odrediti impulsni odziv: k(t) W(s). To znači da impulsni odziv kola jedinstveno određuje frekvencijske karakteristike kola i obrnuto, budući da

W(j w) = W(s)s = j w. Budući da se prolazni odziv kola može pronaći iz poznatog impulsnog odziva (i obrnuto), potonji je također jedinstveno određen frekvencijskim karakteristikama kola.

Primjer 8. Izračunajte prelazne i impulsne karakteristike kola (slika 15) za ulaznu struju i izlazni napon na date parametre elementi: R= 50 Ohm, L 1 = L 2 = L= 125 mH,
WITH= 80 µF.

Rice. 15

Rješenje. Koristimo klasičnu metodu proračuna. Karakteristična jednačina Zin = R + pL +
+ 1 / (pC) = 0 za date parametre elemenata ima kompleksne konjugirane korijene: str 1,2 =
= – d j w A 2 = – 100 j 200, koji određuje oscilatornu prirodu procesa tranzicije. U ovom slučaju, zakoni promjena struja i napona i njihovi derivati ​​općenito se pišu na sljedeći način:

y(t) = (M sosw A 2 t+ N sinw A 2 t)e–d t + y out; dy(t) / dt =

=[(–M d+ N w A 2) cos w A 2 t – (M w A 2 + N d) sinw A 2 t]e–d t + dy van / dt, gdje je w A 2 frekvencija slobodnih oscilacija; y van - forsirana komponenta procesa tranzicije.

Prvo, pronađimo rješenje za u C(t) I iC(t) = C du C(t) / dt, koristeći gornje jednačine, a zatim pomoću Kirchhoffovih jednačina odredit ćemo potrebne napone, struje i, shodno tome, prolazne i impulsne karakteristike.

Za određivanje integracijskih konstanti potrebne su početne i prisilne vrijednosti naznačenih funkcija. Njihove početne vrijednosti su poznate: u C(0 +) = 0 (iz definicije h(t) I k(t)), jer iC(t) = i L(t) = i(t), To iC(0 +) = i L(0 +) = 0. Prinudne vrijednosti određujemo iz jednačine sastavljene prema drugom Kirchhoffovom zakonu za t 0 + : u 1 = R i(t) + (L 1 + L 2) i(t) / dt + u C(t), u 1 = 1(t) = 1 = konst,

odavde u C() = u C out = 1, iC() = iC out = i() = 0.

Kreirajmo jednačine za određivanje integracijskih konstanti M, N:

u C(0 +) = M + u C van (0 +), iC(0 +) = WITH(–M d+ N w A 2) + iC out(0+); ili: 0 = M + 1; 0 = –M 100 + N 200; odavde: M = –1, N= –0,5. Dobijene vrijednosti nam omogućavaju da zapišemo rješenja u C(t) I iC(t) = i(t): u C(t) = [–cos200 t– -0,5sin200 t)e –100t+ 1] B, iC(t) = i(t) = e –100 t] = 0,02
sin200 t)e –100 t A. Prema drugom Kirhofovom zakonu,

u 2 (t) = u C(t) + u L 2 (t), u L 2 (t) = u L(t) = Ldi(t) / dt= (0,5cos200 t– 0.25sin200 t) e –100t B. Onda u 2 (t) =

=(–0,5sos200 t– 0,75sin200 t) e –100t+ 1 = [–0,901 sin(200 t + 33,69) e –100t+ 1] B.

Provjerimo ispravnost dobivenog rezultata koristeći početnu vrijednost: s jedne strane, u 2 (0 +) = –0,901 sin (33,69) + 1 = 0,5, a s druge strane, u 2 (0 +) = u C (0 +) + u L(0 +) = 0 + 0,5 - vrijednosti su iste.

Ministarstvo obrazovanja i nauke Ukrajine

Donjeck nacionalni univerzitet

Izvještaj

na temu: Radiotehnička kola i signali

Redovni student 3. godine NF-3

Razvio student:

Aleksandrovič S. V.

Provjereno od strane nastavnika:

Dolbeshchenkov V.V.

UVOD

"Radiotehnička kola i signali" (RTC i S)– kurs koji je nastavak kursa „Osnove teorije kola“. Njegov cilj je proučavanje osnovnih zakona vezanih za prijem signala, njihov prijenos preko komunikacijskih kanala, obradu i konverziju u radio krugovima. Metode analize signala i radiotehničkih kola predstavljene u okviru predmeta "RTC i C" koriste matematičke i fizičke informacije, uglavnom poznate studentima iz prethodnih disciplina. Važan cilj predmeta "RTC i S" je da nauči studente da odaberu matematički aparat koji je adekvatan problemu sa kojim se susreću, te da pokaže kako ovaj aparat radi pri rješavanju konkretnih problema iz oblasti radiotehnike. Jednako je važno naučiti učenike da vide blisku vezu između matematičkog opisa i fizičke strane fenomena koji se razmatra, kako bi mogli sastaviti matematički modeli procesi koji se proučavaju.

Glavni dijelovi koji se izučavaju na predmetu "Radiotehnička kola i signali":

1. Vremenska analiza kola zasnovana na konvoluciji;

2. Spektralna analiza signali;

3. Radio signali sa amplitudnom i kutnom modulacijom;

4. Korelaciona analiza signala;

5. Aktivna linearna kola;

6. Analiza prolaska signala kroz uskopojasna kola;

7. Negativno povratne informacije u linearnim kolima;

8. Sinteza filtera;

9. Nelinearna kola i metode njihove analize;

10. Krugovi sa promjenjivim parametrima;

11. Principi generisanja harmonijskih oscilacija;

12. Principi obrade diskretnih vremenskih signala;

13. Slučajni signali;

14. Analiza prolaska slučajnih signala kroz linearna kola;

15. Analiza prolaska slučajnih signala kroz nelinearna kola;

16. Optimalno filtriranje determinističkih signala u šumu;

17. Optimalno filtriranje slučajnih signala;

18. Numeričke metode za proračun linearnih kola.

ANALIZA VREMENSKOG KRUGOVA ZASNOVANA NA KONVOLUCIJI

Korak i impulsni odziv

Metoda vremena zasniva se na konceptu prolaznih i impulsnih karakteristika kola. Odgovor na korak lanci su odgovor lanca na uticaj u obliku jedinične funkcije. Označava prolaznu reakciju kola g(t).Impulsni odgovor kola se nazivaju odgovor kola na jednu impulsnu funkciju (d-funkcija). Označava impulsni odgovor h(t). Štaviše, g(t) I h(t) određuju se pri nultim početnim uslovima u kolu. U zavisnosti od vrste reakcije i vrste udara (struja ili napon), prolazne i impulsne karakteristike mogu biti bezdimenzionalne veličine, ili imati dimenzije A/B ili V/A.

Korištenje koncepta prijelaznih i impulsnih karakteristika kola nam omogućava da smanjimo proračun odziva kola sa djelovanja neperiodičnog signala proizvoljnog oblika na određivanje odziva kola na najjednostavniji udar kao što je jedan 1( t) ili impulsna funkcija d( t), uz pomoć kojih se aproksimira originalni signal. U ovom slučaju, rezultirajuća reakcija linearnog lanca nalazi se (koristeći princip superpozicije) kao zbir reakcija lanca na elementarne utjecaje 1( t) ili d( t).

Između prelaznih g(t) i puls h(t) postoji određena veza između karakteristika linearnog pasivnog kola. Može se ustanoviti ako predstavimo jediničnu impulsnu funkciju kroz prolaz do granice razlike dvije jedinične funkcije veličine 1/t, pomaknute jedna u odnosu na drugu za vrijeme t:

tj. funkcija jediničnog impulsa jednaka je derivaciji jedinične funkcije. Budući da je krug koji se razmatra pretpostavlja da je linearan, odnos ostaje isti za impulsne i prolazne reakcije kola

tj. impulsni odziv je derivat koraka odziva kola.

Jednačina vrijedi za slučaj kada g(0) = 0 (nula početni uslovi za kolo). Ako g(0) ¹ 0, zatim predstavljanje g(t) u formi g(t) = , gdje je = 0, dobijamo spregu za ovaj slučaj:

Da biste pronašli prolazne i impulsne karakteristike kola, možete koristiti i klasične i operatorske metode. Suština klasične metode je da se odredi vremenski odgovor kola (u obliku napona ili struje u pojedinim granama kola) na uticaj jednog 1( t) ili impuls d( t) funkcije. Obično je zgodno odrediti prolazni odziv klasičnom metodom g(t), i impulsni odziv h(t) pronalaženje pomoću jednačina spajanja ili metode operatora.

Treba napomenuti da je vrijednost I(r)V jednačina je numerički jednaka slici tranzijentne provodljivosti. Slična slika impulsnog odziva je numerički jednaka operatorskoj vodljivosti kola

Na primjer, za RS-lanci koje imamo:

Prijavljujem se na Y(str) teorema ekspanzije, dobijamo:

U tabeli 1.1 sumira vrijednosti prolaznih i impulsnih karakteristika struje i napona za neka kola prvog i drugog reda.

Impulsni odgovor(težinska funkcija) je odgovor sistema na jedan beskonačan impuls (delta funkcija ili Dirac funkcija) pod nultim početnim uvjetima. Delta funkcija je definirana jednakostima

, .

Ovo generička funkcija– matematički objekat koji predstavlja idealan signal, br pravi uređaj nije u stanju da ga reprodukuje. Delta funkcija se može smatrati granicom pravokutnog impulsa jedinične površine sa središtem na tački dok širina impulsa teži nuli.

Sada moramo analizirati granice ovog iznosa. Dakle, moramo koristiti integrale da bismo pravilno razumjeli ovu vrstu sistema. Za ovo nam je potrebna konvolucija! Za ovaj problem pretpostavite da je \\ veći od nule. Isprobajte sljedeće dvije funkcije.

,

gdje je prijenosna funkcija sistema, što je Laplaceova transformacija za. Impulsni odziv sistema sa jednim integratorom teži konstantnoj vrednosti jednakoj statičkom koeficijentu prenosa sistema bez integratora. Za sistem sa dva integratora, impulsni odziv asimptotski teži pravoj liniji, sa tri integratora - paraboli itd.

Odgovarajući diskretni signal je niz. Razmotrimo Fourierovu transformaciju kontinuiranog signala. Aproksimacija Fourierove transformacije se dobiva iz diskretnog signala korištenjem metode kutije.

Kada se zbroj zaustavi na konačnom rangu, nalazimo.

Linearni sistem sa konačnim impulsnim odzivom

Ovaj sistem se naziva kauzalnim jer izlazno stanje zavisi samo od prethodnih ulaznih stanja. Definiran diskretni signal.

Za ulazni impuls, linearni sistem daje signal.

Treba napomenuti da je izlazni signal rezultat konvolviranja ulaznog signala s impulsnim odzivom.

8. Vremenska metoda za analizu prolaznih procesa u linearnim električnim kolima

8.1. Prijelazne i impulsne karakteristike električnih kola

Metoda vremena zasniva se na konceptu prolaznih i impulsnih karakteristika kola. Odgovor na korak lanci su odgovor lanca na uticaj u obliku jedinične funkcije (7.19). Označava prolaznu reakciju kola g(t).Impulsni odgovor kola se nazivaju odgovor kola na uticaj jedinične impulsne funkcije (d-funkcija) (7.21). Označava impulsni odgovor h(t). g(tŠtaviše, h(t) ) I

određuju se pri nultim početnim uslovima u kolu. U zavisnosti od vrste reakcije i vrste udara (struja ili napon), prolazne i impulsne karakteristike mogu biti bezdimenzionalne veličine, ili imati dimenzije A/B ili V/A.

Ovaj sistem je filter sa konačnim impulsnim odzivom. Što je diskretna Fourierova transformacija impulsnog odziva. Smatrajte kao jednostavan primjer

filter koji implementira aritmetičku sredinu dvije uzastopne ulazne vrijednosti. t Korištenje koncepta prijelaznih i impulsnih karakteristika kola nam omogućava da smanjimo proračun odziva kola sa djelovanja neperiodičnog signala proizvoljnog oblika na određivanje odziva kola na najjednostavniji udar kao što je jedan 1( t) ili impulsna funkcija d( t) ili d( t).

), uz pomoć kojih se aproksimira originalni signal. U ovom slučaju, rezultirajuća reakcija linearnog lanca nalazi se (koristeći princip superpozicije) kao zbir reakcija lanca na elementarne utjecaje 1(

Srednji filter je niskopropusni filter. Fazni pomak varira linearno sa frekvencijom. Ovo je potvrđeno sljedećim izrazom frekvencijskog odziva. Da biste simulirali učinak ovog filtera na signal, razmotrite sljedeći kontinuirani signal i njegov uzorak. Da se filtrira diskretni signal

Sve frekvencije signala prolaze kroz filter kroz isti pomak τ. τ - vrijeme propagacije.

Između prelaznih g(t) i puls h(t) postoji određena veza između karakteristika linearnog pasivnog kola. Može se uspostaviti predstavljanjem jedinične impulsne funkcije kroz prolaz do granice razlike između dvije jedinične funkcije veličine 1/t, pomaknute jedna u odnosu na drugu za vrijeme t (vidi sliku 7.4):

tj. funkcija jediničnog impulsa jednaka je derivaciji jedinične funkcije. Budući da se smatra da je krug koji se razmatra linearan, relacija (8.1) je sačuvana i za impulsne i prolazne reakcije kola

Oblik signala se ne mijenja propusnim filtriranjem. Izolacijom pojma koji sadrži fazu, frekvencijski odziv se zapisuje prema izrazu. Nakon promjene varijable, izraz dobitka se ispisuje u zbroju. Frekvencijski odziv je zapisan. Uzimajući u obzir ograničenje, dobijamo.

Dobija se linearni fazni filter sa beskonačnim impulsnim odzivom. Ova metoda je ekvivalentna primjeni pravokutnog prozora na Fourierove koeficijente.

Fourierovi koeficijenti ove funkcije.

Rezultat se može izraziti upotrebom sinusne kardinalne funkcije i ovisi samo o omjeru granične frekvencije i frekvencije uzorkovanja.

tj. impulsni odziv je derivat koraka odziva kola.

Jednačina (8.2) vrijedi za slučaj kada g(0) = 0 (nula početni uslovi za kolo). Ako g(0) ¹ 0, zatim predstavljanje g(t) u formi g(t) = , gdje je = 0, dobijamo spregu za ovaj slučaj:

Sljedeća funkcija se koristi za dobivanje frekvencijskog odziva. Evo grafikona pojačanja i faze filtera. Može se vidjeti da je faza zaista linearna u propusnom opsegu, ali pojačanje ima vrlo jake talase. Postoje diskontinuiteti u π fazi u oslabljenom pojasu. Naravno, razlike u pogledu željene funkcije prijenosa su posljedica skraćenja impulsnog odziva.

Pokušajmo skratiti s Hannah prozorom. Valovi u propusnom i oslabljenom pojasu su značajno smanjeni. Fazna linearnost u propusnom opsegu je uvijek osigurana. Ako kašnjenje τ treba da ostane fiksno, brzina uzorkovanja mora se istovremeno povećati. Odabran je šumni signal.

Da biste pronašli prolazne i impulsne karakteristike kola, možete koristiti i klasične i operatorske metode. Suština klasične metode je da se odredi vremenski odgovor kola (u obliku napona ili struje u pojedinim granama kola) na uticaj jednog 1( t) ili impuls d( t) funkcije. Obično je zgodno odrediti prolazni odziv klasičnom metodom g(t), i impulsni odziv h(t) pronaći pomoću jednačina veze (8.2), (8.3) ili operatorske metode.

Primjer. Upotrijebimo klasičnu metodu da pronađemo naponski prijelazni odziv za kolo prikazano na Sl. 8.1. Brojčano g u(t) za dato kolo poklapa se s naponom na kapacitivnosti kada je spojen u ovom trenutku t= 0 na izvor napona U 1 = l V:

Zakon promjene napona uC(t) određena je jednačinom (6.27), gdje je potrebno staviti U= l V:

Prilikom pronalaženja karakteristika g(tŠtaviše, h(t) koristeći metodu operatora, slike funkcija 1( t), d( t) i metodologiju za proračun prolaznih procesa iz pogl. 7.

Primjer. Odredimo prijelaznu karakteristiku pomoću metode operatora g u(t) RS-lanci (vidi sliku 8.1). Za ovaj lanac, u skladu sa Ohmovim zakonom, u obliku operatora (7.35) možemo napisati:

Konačno dobijamo

Odavde, koristeći teoremu ekspanzije (7.31), nalazimo

odnosno ista vrijednost kao što je dobijena klasičnom metodom.

Treba napomenuti da je vrijednost I(r)V jednačina (8.4) je numerički jednaka slici prelazne provodljivosti. Slična slika impulsnog odziva je numerički jednaka operatorskoj provodljivosti kola

Na primjer, za RS-lanac (vidi sliku 8.1) imamo:

Prijavljujem se na Y(str) teorema ekspanzije (7.30), dobijamo:

Treba napomenuti da formula (8.5) određuje slobodnu komponentu reakcije kola pod dejstvom jednog impulsa. U opštem slučaju, u lančanoj reakciji, pored eksponencijalnih komponenti slobodnog moda at t> 0 postoji pulsni izraz koji odražava efekat kada t= 0 jedinični impuls. Zaista, ako to uzmemo u obzir za RS- strujna prolazna karakteristika strujnog kruga (vidi sliku 8.1). U= 1(t) prema (6.28) će biti

onda nakon diferencijacije (8.6) prema (8.2) dobijamo impulsni odziv RS-lanci h i(t) u formi

odnosno reakcija hi(t) sadrži dva pojma - impulsni i eksponencijalni.

Fizičko značenje prvog člana u (8.7) znači da kada t= 0 kao rezultat uticaja na kolo impulsnog napona d( t) struja punjenja trenutno dostiže beskonačno veliku vrijednost, dok se za vrijeme od 0 – do 0 + kapacitivnom elementu prenosi konačno punjenje i naglo se puni do napona I/R.C.. t Drugi član određuje slobodni proces u lancu at t> 0 i nastaje zbog pražnjenja kondenzatora kroz kratkospojeni ulaz (od kada t> 0 d( R.C.) = 0, što je ekvivalentno ulaznom kratkom spoju) sa vremenskom konstantom t = t. RS- kolo prekida kontinuitet naelektrisanja na kapacitivnosti (drugi zakon komutacije). Slično, uvjet kontinuiteta struje u induktivnosti (prvi zakon komutacije) je narušen ako se napon u obliku d( t).

U tabeli 8.1 sumira vrijednosti prolaznih i impulsnih karakteristika struje i napona za neka kola prvog i drugog reda.

8.2. Duhamel integral

Duhamelov integral se može dobiti aproksimacijom primijenjene sile f 1 (t)With koristeći jedinične funkcije pomjerene jedna u odnosu na drugu za vrijeme Dt (slika 8.2).

Reakcija kruga na svaki efekat korakaće se odrediti kao

Rezultirajuća reakcija kola na sistem postepenih uticaja može se naći na osnovu principa superpozicije:

Gdje p - broj aproksimativnih sekcija na koje je podijeljen interval 0 ... t.

Množenjem i dijeljenjem izraza pod predznakom zbira sa Dt i prelaskom na granicu, uzimajući to u obzir, dobijamo jedan od oblika Duhamelovog integrala:

Jednačina (8.8) odražava reakciju kola na dati udar, budući da aproksimirajuća funkcija teži izvornoj. Drugi oblik Duhamelovog integrala može se dobiti korištenjem teoreme konvolucije (vidi): , b), tada se reakcija kola određuje klasičnom ili operatorskom metodom kada je dotična grana povezana na aktivnu mrežu s dva terminala (Sl. 8.4, V

). Rezultirajuća reakcija se nalazi kao zbir reakcija: .

8.3. Integral nametanja h(t Prilikom pronalaženja odziva kola pomoću integrala superpozicije, koristi se impulsni odziv kola f 1 (t). d Da bismo dobili opšti izraz za integral superpozicije, aproksimiramo ulazni signal f) koristeći sistem jednokratnih impulsa f t, amplitude d 1 (t) i površina

1(t)

t (sl. 8.5). Izlazni odgovor kola na svaki pojedinačni impuls Koristeći princip superpozicije, nije teško dobiti ukupni odgovor kola na sistem pojedinačnih impulsa: Integral (8.12) se zove integral nametanja. Između superpozicije i Duhamelovih integrala postoji h(t) jednostavno povezivanje g(t, određen odnosom (8.3) između impulsa h(t i prelazni

Primjer.) karakteristike kola. Zamjena, na primjer, vrijednosti RS) iz (8.3) u formulu (8.12), uzimajući u obzir svojstvo filtriranja d-funkcije (7.23), dobijamo Duhamelov integral u obliku (8.11). U Na ulazu

- strujno kolo (vidi sliku 8.1) je primijenjen udar napona h1. Odredite odziv kola na izlazu koristeći superpozicijske integrale (8.12) i Duhamel (8.11).(t Impulsni odziv ovog kola je jednak (vidi tabelu 8.1): t / u) = = (1/RC)e – h1. Odredite odziv kola na izlazu koristeći superpozicijske integrale (8.12) i Duhamel (8.11).(t R.C. . Zatim, zamena– t) = (1/RC)e –( u u formulu (8.12), dobijamo:

Sličan rezultat dobijamo kada koristimo funkciju prijelaza ovog kola i Duhamelovog integrala (8.11):

Ako se početak utjecaja ne poklapa s početkom odbrojavanja vremena, tada integral (8.12) poprima oblik

Integrali superpozicije (8.12) i (8.13) predstavljaju konvoluciju ulaznog signala sa impulsnim odzivom kola i široko se koriste u teoriji električnih kola i teoriji prenosa signala. Njegovo fizičko značenje je ulazni signal f 1 (t) se, takoreći, vaga pomoću funkcije h(t- t): što se sporije smanjuje s vremenom h(t), veći uticaj na izlazni signal ima vrednost ulaznog uticaja koja je udaljenija od trenutka posmatranja.

Na sl. 8.6, A prikazan signal f 1(t) i impulsni odziv h(t- t), što je zrcalna slika h(t), a na Sl. 8.6, b prikazana je konvolucija signala f 1(t) With funkcija h(t- t) (osenčeni dio), brojčano jednak reakciji lanca u ovom trenutku t.

Od sl. 8.6 pokazuje da odziv na izlazu kola ne može biti kraći od ukupnog trajanja signala t 1 i impulsni odziv t h. Dakle, da se izlazni signal ne bi izobličio, impulsni odziv kola mora težiti d-funkciji.

Očigledno je i da u fizički ostvarenom lancu reakcija ne može nastupiti prije udara.

To znači da impulsni odziv fizički implementiranog kola mora zadovoljiti uvjet

Za fizički ostvarivo stabilno kolo, pored toga, mora biti zadovoljen uslov apsolutne integrabilnosti impulsnog odziva:

Ako ulazna akcija ima složen oblik ili je specificirana grafički, tada se za izračunavanje reakcije kola umjesto integrala konvolucije (8.12) koriste grafičko-analitičke metode.

Pitanja i zadaci za samotestiranje

1. Definirajte prijelazne i impulsne karakteristike kola.

2. Navedite odnos između impulsnih i prolaznih karakteristika.

3. Kako odrediti prolaznu i impulsnu reakciju kola?

4. Koja je razlika između prolaznih karakteristika, objasniti njihovo fizičko značenje.

5. Kako odrediti koja od četiri tipa prolaznih ili impulsnih karakteristika mora biti primijenjena u svakom konkretnom slučaju pri izračunavanju odziva kola? g(t) I h(t)?

6. Koja je suština izračunavanja prolaznih procesa koristeći

7. Kako odrediti reakciju lanca ako je efekat složenog oblika?

8. Koje uslove mora zadovoljiti kolo kada se koristi Duhamelov integral?

10. Da li izračunavanje reakcije lanca korištenjem Duhamelovih i superpozicijskih integrala dovodi do istih ili različitih rezultata?

11. Odredite prolaznu provodljivost kola formiranog od otpora i induktivnosti povezanih u seriju.

12. Definirajte kolo formirano od otpora i kapacitivnosti povezanih u seriju.

odgovor: .

13. Dobiti treći oblik Duhamelovog integrala (8.10) iz jednačine konvolucije (8.10).

Akademija Rusije

Odsjek za fiziku

Predavanje

Prijelazne i impulsne karakteristike električnih kola

Eagle 2009

Vaspitno-obrazovni ciljevi:

Objasniti studentima suštinu prolaznih i impulsnih karakteristika električnih kola, pokazati vezu između karakteristika, obratiti pažnju na upotrebu razmatranih karakteristika za analizu i sintezu električnih kola, te imati za cilj kvalitetnu pripremu za praktičnu upotrebu. obuku.

Raspodjela vremena predavanja

Uvodni dio………………………………………………………5 min.

Pitanja za učenje:

1. Prijelazne karakteristike električnih kola………………15 min.

2. Duhamel integrali…………………………………………………………………………...25 min.

3. Impulsne karakteristike električnih kola. Odnos između karakteristika………………………………………………………………...25 min.

4. Integrali konvolucije………………………………………….15 min.

Zaključak………………………………………………………5 min.

1. Prijelazne karakteristike električnih kola

Prolazni odziv kola (poput pulsnog odziva) odnosi se na privremene karakteristike kola, tj. izražava određeni prolazni proces pod unapred određenim uticajima i početnim uslovima.

Da bismo uporedili električna kola po njihovom odgovoru na ove uticaje, potrebno je kola postaviti u iste uslove. Najjednostavniji i najpogodniji su nulti početni uslovi.

Prolazni odziv kola je omjer reakcije lanca na postupni udar prema veličini ovog udara pri nultim početnim uslovima.

po definiciji,

gdje je lančani odgovor na postepeni udar;

– veličina efekta koraka [B] ili [A].

Budući da je i podijeljeno veličinom udara (ovo je pravi broj), tada u stvari - reakcija kola na efekat jednog koraka.

Ako je prolazni odziv kruga poznat (ili se može izračunati), tada iz formule možete pronaći reakciju ovog kola na postupni učinak na nuli NL

.

Uspostavimo vezu između funkcije prijenosa operatora kola, koja je često poznata (ili se može naći), i prolaznog odziva ovog kola. Da bismo to učinili, koristimo uvedeni koncept funkcije prijenosa operatora:

.

Omjer Laplace-transformirane reakcije lanca prema veličini udarca je operatorska prolazna karakteristika lanca:

Stoga .

Odavde se operatorska tranzicijska karakteristika kola nalazi pomoću funkcije prijenosa operatora.

Da bi se odredio prolazni odziv kola, potrebno je primijeniti inverznu Laplaceovu transformaciju:

koristeći tablicu korespondencije ili (preliminarno) teorem o dekompoziciji.

Primjer: odrediti prijelazni odziv za reakciju napona na kondenzatoru u serijskom kolu (slika 1):

Evo reakcije na postepeni efekat veličine:

,

odakle dolazi karakteristika tranzicije:

.

Tranzijentne karakteristike najčešće susrećenih kola nalaze se i daju u referentnoj literaturi.

2. Duhamel integrali

Prolazni odgovor se često koristi za pronalaženje odgovora kola na složeni stimulus. Hajde da uspostavimo ove odnose.

Složimo se da je utjecaj kontinuirana funkcija i primjenjuje se na krug u trenutku , a početni uvjeti su nula.

Dati udar se može predstaviti kao zbir postupnog udara primijenjenog na strujno kolo u trenutku i beskonačno velikog broja infinitezimalnih postupnih udara, koji neprekidno slijede jedan za drugim. Jedan od ovih elementarnih utjecaja koji odgovara trenutku primjene prikazan je na slici 2.

Nađimo vrijednost lančane reakcije u nekom trenutku.

Postepeni efekat s razlikom u trenutku vremena uzrokuje reakciju jednaku umnošku razlike vrijednosti prolaznog odziva kola na , tj. jednaku:

Infinitezimalni postupni učinak s razlikom uzrokuje beskonačno malu reakciju , gdje je vrijeme proteklo od trenutka primjene utjecaja do trenutka posmatranja. Pošto je po uslovu funkcija kontinuirana, onda:

U skladu sa principom superpozicije, reakcija će biti jednaka zbiru reakcija izazvanih ukupnošću uticaja koji prethode trenutku posmatranja, tj.

.

Obično je u posljednjoj formuli jednostavno zamjenjuju sa , budući da je pronađena formula ispravna za bilo koje vremenske vrijednosti:

.

Ili, nakon nekoliko jednostavnih transformacija:

.

Bilo koja od ovih relacija rješava problem izračunavanja odziva linearnog električnog kola na dato kontinuirano djelovanje korištenjem poznatog prolaznog odziva kola. Ove relacije se nazivaju Duhamelovim integralima.

3. Impulsne karakteristike električnih kola

Impulsni odziv kola je omjer odziva kruga na impulsno djelovanje prema području ovog djelovanja pod nultim početnim uvjetima.

po definiciji,

gdje je odgovor kola na impulsno djelovanje;

– područje udarnog pulsa.

Koristeći poznati impulsni odziv kola, može se pronaći odgovor kola na dati uticaj: .

Jedan impulsni efekat, koji se također naziva delta funkcija ili Diracova funkcija, često se koristi kao funkcija utjecaja.

Delta funkcija je funkcija jednaka nuli svuda osim , a njena površina je jednaka jedinici ():

.

Do koncepta delta funkcije može se doći razmatranjem granice pravougaonog impulsa visine i trajanja kada (slika 3):

Uspostavimo vezu između prijenosne funkcije kola i njegovog impulsnog odziva, za što koristimo metodu operatora.

po definiciji:

.

Ako se uticaj (original) smatra najvećim opšti slučaj u obliku proizvoda pulsnog područja delta funkcijom, tj. u obliku, tada slika ovog efekta prema tablici korespondencije ima oblik:

.

Zatim, s druge strane, omjer Laplace-transformirane reakcije kola i površine udarnog impulsa je operatorski impulsni odziv kola:

.

Dakle, .

Da biste pronašli impulsni odziv kola, potrebno je primijeniti inverznu Laplaceovu transformaciju:

To je, zapravo.

Uopštavajući formule, dobijamo vezu između funkcije prenosa operatora kola i operatorskih prolaznih i impulsnih karakteristika kola:

Dakle, znajući jednu od karakteristika kruga, možete odrediti bilo koje druge.

Izvršimo identičnu transformaciju jednakosti dodavanjem srednjem dijelu.

Onda ćemo imati .

Pošto je to slika derivacije prelazne karakteristike, originalna jednakost se može prepisati kao:

Prelazeći na područje originala, dobijamo formulu koja nam omogućava da odredimo impulsni odziv kola iz njegovog poznatog prolaznog odziva:

Ako, onda.

Inverzni odnos između ovih karakteristika ima oblik:

.

Koristeći prijenosnu funkciju, lako je odrediti prisustvo pojma u funkciji.

Ako su potencije brojnika i nazivnika isti, tada će dotični član biti prisutan. Ako je funkcija pravi razlomak, onda ovaj termin neće postojati.

Primjer: odredite karakteristike impulsa za napone i u serijskom kolu prikazanom na slici 4.

Hajde da definišemo:

Koristeći tabelu korespondencije, prijeđimo na original:

.

Grafikon ove funkcije prikazan je na slici 5.

Rice. 5

Transfer funkcija:

Prema tabeli korespondencije imamo:

.

Grafikon rezultirajuće funkcije prikazan je na slici 6.

Istaknimo da se isti izrazi mogu dobiti korištenjem relacija koje uspostavljaju vezu između i .

Impulsni odziv u svom fizičkom značenju odražava proces slobodnih oscilacija i iz tog razloga se može tvrditi da u realnim kolima uvijek mora biti zadovoljen sljedeći uvjet:

4. Konvolucijski (preklapajući) integrali

Razmotrimo postupak za određivanje odziva linearnog električnog kola na složeni uticaj ako je poznat impulsni odziv ovog kola. Pretpostavit ćemo da je udar djelomično kontinuirana funkcija prikazana na slici 7.

Neka je potrebno pronaći vrijednost reakcije u nekom trenutku. Rješavajući ovaj problem, zamislimo udar kao zbir pravokutnih impulsa beskonačno malog trajanja, od kojih je jedan, koji odgovara trenutku u vremenu, prikazan na slici 7. Ovaj impuls karakteriziraju trajanje i visina.

Iz prethodno razmatranog materijala poznato je da se reakcija kola na kratak impuls može smatrati jednakom umnošku impulsnog odziva kruga i površine impulsnog djelovanja. Prema tome, infinitezimalna komponenta reakcije zbog ovog impulsnog djelovanja u trenutku će biti jednaka:

budući da je površina pulsa jednaka , a vrijeme prolazi od trenutka njegove primjene do trenutka promatranja.

Koristeći princip superpozicije, ukupna reakcija kola može se definirati kao zbir beskonačno velikog broja infinitezimalnih komponenti uzrokovanih nizom beskonačno male površine impulsa koji prethode trenutku u vremenu.

ovako:

.

Ova formula vrijedi za sve vrijednosti, tako da se varijabla obično jednostavno označava. onda:

.

Rezultirajuća relacija naziva se konvolucijski integral ili integral superpozicije. Funkcija koja se nalazi kao rezultat izračunavanja integrala konvolucije naziva se konvolucija i .

Možete pronaći drugi oblik integrala konvolucije ako promijenite varijable u rezultirajućem izrazu:

.

Primjer: pronađite napon na kapacitivnosti serijskog kola (slika 8), ako na ulaz djeluje eksponencijalni impuls oblika:

Koristimo integral konvolucije:

.

Izraz za je ranije primljeno.

dakle, , And .

Isti rezultat se može dobiti primjenom Duhamelovog integrala.

književnost:

Beletsky A.F. Teorija linearnih električnih kola. – M.: Radio i veze, 1986. (Udžbenik)

Bakalov V.P. i dr. – M.: Radio i komunikacije, 1998. (Udžbenik);

Kachanov N. S. i dr. Linearni radiotehnički uređaji. M.: Vojska. objavljeno, 1974. (Udžbenik);

Popov V.P. Osnovi teorije kola - M.: Viša škola, 2000. (Udžbenik)