Duhamelův integrál.

Znalost odezvy obvodu na jediný rušivý vliv, tzn. funkce přechodové vodivosti a/nebo funkce přechodného napětí, můžete zjistit odezvu obvodu na vliv libovolného tvaru. Metoda, metoda výpočtu využívající Duhamelův integrál, je založena na principu superpozice.

Při použití Duhamelova integrálu k oddělení proměnné, přes kterou se provádí integrace, a proměnné, která určuje časový okamžik, ve kterém je určen proud v obvodu, se první obvykle označuje jako , a druhá jako t.

Pusťte v okamžiku do obvodu s nulovými počátečními podmínkami (pasivní dvousvorková síť PD na Obr. 1) je připojen zdroj s napětím libovolného tvaru. Pro zjištění proudu v obvodu nahradíme původní křivku krokovou (viz obr. 2), po které s přihlédnutím k tomu, že obvod je lineární, sečteme proudy z počátečního napěťového skoku a všech napěťových kroků. do okamžiku t, které nabývají účinnosti s časovým zpožděním.

V čase t je složka celkového proudu určená počátečním napěťovým rázem rovna .

V okamžiku dochází k přepětí , která s přihlédnutím k časovému intervalu od začátku skoku do časového bodu zájmu t určí aktuální složku.

Celkový proud v čase t je zjevně roven součtu všech složek proudu z jednotlivých napěťových rázů s přihlédnutím k, tzn.

Nahrazení konečného časového intervalu přírůstku infinitezimálním, tzn. přechod od součtu k integrálu, píšeme

.

(1)

Vztah (1) se nazývá Duhamelův integrál.

Je třeba poznamenat, že napětí lze určit také pomocí Duhamelova integrálu. V tomto případě bude místo přechodové vodivosti (1) zahrnovat funkci přechodového napětí.

Sekvence výpočtu pomocí
Duhamelův integrál

Jako příklad použití Duhamelova integrálu určíme proud v obvodu na Obr. 3, vypočítané v předchozí přednášce pomocí inkluzního vzorce.

Počáteční údaje pro výpočet: , , .

1. Přechodná vodivost

.

18. Přenosová funkce.

Vztah operátoru vlivu k jeho vlastnímu operátoru se nazývá přenosová funkce nebo přenosová funkce ve formě operátoru.

Vazba popsaná rovnicí nebo rovnicemi v symbolickém nebo operátorovém tvaru může být charakterizována dvěma přenosovými funkcemi: přenosovou funkcí pro vstupní hodnotu u; a přenosová funkce pro vstupní veličinu f.

A

Pomocí přenosových funkcí je rovnice zapsána jako . Tato rovnice je podmíněná, kompaktnější forma zápisu původní rovnice.

Spolu s přenosovou funkcí ve formě operátora je široce používána přenosová funkce ve formě Laplaceových obrázků.

Přenosové funkce ve formě Laplaceových obrázků a operátorové formy se shodují až do notace. Přenosovou funkci ve tvaru Laplaceova obrazu lze získat z přenosové funkce ve formě operátoru, pokud se v druhém provede substituce p=s. V obecném případě to vyplývá z toho, že derivace originálu - symbolické násobení originálu p - za nulových počátečních podmínek odpovídá násobení obrazu komplexním číslem s.

Podobnost mezi přenosovými funkcemi ve formě Laplaceova obrazu a ve formě operátora je čistě vnější a vyskytuje se pouze v případě stacionárních vazeb (systémů), tzn. pouze za nulových počátečních podmínek.

Uvažujme jednoduchý RLC (sériový) obvod, jeho přenosovou funkci W(p)=U OUT /U IN

Fourierův integrál.

Funkce F(x), je voláno definované na celé číselné řadě periodické, pokud existuje číslo takové, že pro jakoukoli hodnotu X platí rovnost . Číslo T volal období funkce.

Všimněme si některých vlastností této funkce:

1) Součet, rozdíl, součin a podíl periodických funkcí periody T je periodická funkce období T.

2) Pokud je funkce F(x) období T, pak funkci F(sekera) má období.

3) Pokud F(x) - periodická funkce období T, pak libovolné dva integrály této funkce převzaté z intervalů délky T(v tomto případě integrál existuje), tedy pro libovolný A A b rovnost je pravdivá .

Trigonometrické řady. Fourierova řada

Li F(x) je rozšířena na segmentu do rovnoměrně konvergentní trigonometrické řady: (1)

Pak je tato expanze jedinečná a koeficienty jsou určeny vzorcem:

Kde n=1,2, . . .

Volá se trigonometrická řada (1) typu uvažovaného s koeficienty trigonometrická Fourierova řada.

Složitá forma Fourierovy řady

Výraz se nazývá komplexní tvar Fourierovy řady funkce F(x), pokud je definována rovností

, Kde

Přechod z Fourierovy řady v komplexní formě na řadu v reálné podobě a zpět se provádí pomocí vzorců:

(n=1,2, . . .)

Fourierův integrál funkce f(x) je integrálem tvaru:

, Kde .

Frekvenční funkce.

Pokud použijete na vstup systému s přenosovou funkcí W(p) harmonický signál

pak po dokončení procesu přechodu se na výstupu vytvoří harmonické oscilace

se stejnou frekvencí, ale jinou amplitudou a fází, v závislosti na frekvenci rušivého vlivu. Z nich lze usuzovat na dynamické vlastnosti systému. Nazývají se vztahy, které spojují amplitudu a fázi výstupního signálu s frekvencí vstupního signálu frekvenční charakteristiky(CH). Analýza frekvenční odezvy systému za účelem studia jeho dynamických vlastností se nazývá frekvenční analýza.

Dosadíme výrazy za u(t) A y(t) do dynamické rovnice

(aоp n + a 1 pn - 1 + a 2 p n - 2 + ... + a n)y = (bоp m + b 1 p m-1 + ... + b m)u.

Vezměme to v úvahu

pnu = pnU m ejwt = U m (jw)nejwt = (jw)nu.

Podobné vztahy lze napsat pro levou stranu rovnice. Dostáváme:

Analogicky s přenosovou funkcí můžeme psát:

W(j), rovnající se poměru výstupního signálu ke vstupnímu signálu, když se vstupní signál mění podle harmonického zákona, se nazývá funkce přenosu frekvence. Je snadné vidět, že jej lze získat jednoduchým nahrazením p za j ve výrazu W(p).

W(j) je komplexní funkce, proto:

kde P() - reálná frekvenční odezva (RFC); Q() - imaginární frekvenční odezva (ICH); A() - amplitudová frekvenční odezva (AFC): () - fázová frekvenční odezva (PFC). Frekvenční odezva udává poměr amplitud výstupního a vstupního signálu, fázová odezva udává fázový posun výstupní veličiny vzhledem ke vstupu:

;

Pokud je W(j) reprezentován jako vektor na komplexní rovině, pak při změně z 0 na + jeho konec nakreslí křivku tzv. vektorový hodograf W(j), nebo amplituda-fázová frekvenční odezva (APFC)(obr. 48).

Větev AFC při změně z - na 0 lze získat zrcadlením této křivky vzhledem ke skutečné ose.

TAU je široce používán logaritmické frekvenční charakteristiky (LFC)(Obr. 49): logaritmická frekvenční odezva amplitudy (LAFC) L() a logaritmická fázová frekvenční odezva (LPFC) ().

Získají se logaritmováním přenosové funkce:

LFC se získá z prvního členu, který se z důvodů škálování vynásobí 20, a nepoužívá se přirozený logaritmus, ale dekadický, tedy L() = 20lgA(). Hodnota L() je vynesena podél svislé osy v decibely.

Změna úrovně signálu o 10 dB odpovídá změně jeho výkonu 10x. Protože výkon harmonického signálu P je úměrný druhé mocnině jeho amplitudy A, odpovídá 10násobná změna signálu změně jeho úrovně o 20 dB, protože

log(P2/Pi) = log(A22/Ai2) = 20 log(A2/Ai).

Vodorovná osa ukazuje frekvenci w na logaritmické stupnici. To znamená, že intervaly jednotek podél osy x odpovídají změně w o faktor 10. Tento interval se nazývá desetiletí. Protože log(0) = -, ordináta je nakreslena libovolně.

LPFC získaný z druhého členu se liší od fázové odezvy pouze v měřítku podél osy. Hodnota () je vykreslena podél svislé osy ve stupních nebo radiánech. U elementárních odkazů nepřekračuje: - +.

Frekvenční charakteristiky jsou komplexní charakteristikou systému. Znáte-li frekvenční odezvu systému, můžete obnovit jeho přenosovou funkci a určit jeho parametry.

Zpětná vazba.

Obecně se uznává, že linka je pokryta zpětnou vazbou, pokud je její výstupní signál přiváděn na vstup přes nějakou jinou linku. Navíc, pokud je zpětnovazební signál odečten od vstupní akce (), pak se zpětná vazba nazývá záporná. Pokud je signál zpětné vazby přidán ke vstupní akci (), pak se zpětná vazba nazývá kladná.

Přenosová funkce uzavřené smyčky se zápornou zpětnou vazbou - spoj pokrytý negativní zpětnou vazbou - se rovná přenosové funkci dopředné smyčky dělené jednou plus přenosová funkce s otevřenou smyčkou

Přenosová funkce s uzavřenou smyčkou s kladnou zpětnou vazbou se rovná přenosové funkci dopředné smyčky dělené jednou mínus přenosová funkce s otevřenou smyčkou

22. 23. Čtyřpóly.

Při analýze elektrické obvody v problémech studia vztahu mezi proměnnými (proudy, napětí, výkony atd.) dvou větví obvodu je široce používána teorie čtyřsvorkových sítí.

Čtyřpólový- Jedná se o část obvodu libovolné konfigurace, která má dva páry svorek (odtud jeho název), obvykle nazývané vstup a výstup.

Příklady čtyřsvorkové sítě jsou transformátor, zesilovač, potenciometr, silové vedení a další elektrická zařízení, ve kterých lze rozlišit dva páry pólů.

Obecně lze čtyřpóly rozdělit na aktivní, jehož struktura zahrnuje zdroje energie a pasivní, větve, které neobsahují zdroje energie.

Pro zápis rovnic čtyřbranové sítě vybereme v libovolném obvodu větev s jediný zdroj energie a jakékoli jiné větve s určitým odporem (viz obr. 1, a).

V souladu s principem kompenzace nahradíme původní odpor zdrojem s napětím (viz obr. 1,b). Poté na základě metody superpozice pro obvod na Obr. 1b lze napsat

Rovnice (3) a (4) jsou základní rovnice kvadripólu; nazývají se také kvadripólové rovnice ve tvaru A (viz tabulka 1). Obecně řečeno, existuje šest forem zápisu rovnic pasivního čtyřpólu. Ve skutečnosti je síť se čtyřmi svorkami charakterizována dvěma napětími a dvěma proudy a. Jakékoli dvě veličiny lze vyjádřit pomocí ostatních. Protože počet kombinací čtyři krát dva je šest, je možných šest forem zápisu rovnic pasivního čtyřpólu, které jsou uvedeny v tabulce. 1. Kladné směry proudů pro různé formy zápisu rovnic jsou na Obr. 2. Všimněte si, že výběr jednoho nebo druhého tvaru rovnic je určen oblastí a typem řešeného problému.

Tabulka 1 Formy zápisu rovnic pasivního kvadripólu

Formulář	Rovnice	Souvislost s koeficienty základních rovnic
A-tvar	; ;
ve tvaru Y	; ;	; ; ; ;
Tvar Z	; ;	; ; ; ;
H-tvar	; ;	; ; ; ;
G-tvar	; ;	; ; ; ;
B-tvar	; .	; ; ; .

Charakteristická impedance a koeficient
šíření symetrického čtyřpólu

V telekomunikacích se hojně využívá provozní režim symetrické čtyřterminálové sítě, ve které se její vstupní odpor rovná zatěžovacímu odporu, tzn.

.

Tento odpor je označen jako a nazýván charakteristický odpor symetrická čtyřportová síť a provozní režim čtyřportové sítě, pro který to platí

,

K posouzení schopností elektrických zařízení, která přijímají a přenášejí vstupní vlivy, se uchylují ke studiu jejich přechodových a impulsních charakteristik.

Kroková odezva h(t) lineárního obvodu, který neobsahuje nezávislé zdroje, se číselně rovná odezvě obvodu na vliv jediného proudového nebo napěťového skoku ve formě jednokrokové funkce 1( t) nebo 1( t – t 0) při nulových počátečních podmínkách (obr. 14). Rozměr přechodové charakteristiky je roven poměru reakčního rozměru k rozměru nárazu. Může být bezrozměrný, mít rozměr Ohm, Siemens (Cm).

Rýže. 14

Impulzní odezva k(t) lineárního obvodu, který neobsahuje nezávislé zdroje, se číselně rovná odezvě obvodu na působení jediného impulsu ve tvaru d( t) nebo d( t – t 0) funkce s nulovými počátečními podmínkami. Jeho rozměr je roven poměru reakčního rozměru k součinu rozměru dopadu a času, takže může mít rozměry c –1, Ohmy –1, Sms –1.

Impulsní funkce d( t) lze považovat za derivaci jednotkové krokové funkce d( t) = d 1(t)/dt. V souladu s tím je impulsní odezva vždy časovou derivací skokové odezvy: k(t) = h(0 +) d( t) + dh(t)/dt. Tento vztah se používá k určení impulsní odezvy. Například když pro nějaký řetěz h(t) = 0,7E –100t, To k(t) = 0,7 d( t) – 70E –100 t. Přechodovou odezvu lze určit klasickou nebo operátorskou metodou výpočtu přechodových procesů.

Mezi časovou a frekvenční charakteristikou obvodu existuje souvislost. Když znáte funkci přenosu operátora, můžete najít obrázek reakce obvodu: Y(s) = W(s)X(s), tzn. přenosová funkce obsahuje úplné informace o vlastnostech obvodu jako systému pro přenos signálů z jeho vstupu na jeho výstup za nulových počátečních podmínek. V tomto případě povaha nárazu a reakce odpovídá těm, pro které je určena přenosová funkce.

Přenosová funkce pro lineární obvody nezávisí na typu vstupní akce, takže ji lze získat z přechodové odezvy. Když tedy jednotková kroková funkce 1( t) přenosová funkce zohledňující skutečnost, že 1( t) = 1/s, je rovný

W(s) = L [h(t)] / L = L [h(t)] / (1/s), kde L [F(t)] - označení přímé Laplaceovy transformace přes funkci F(t). Krokovou odezvu lze určit pomocí přenosové funkce pomocí inverzní Laplaceovy transformace, tzn. h(t) = L –1 [W(s)(1/s)], kde L –1 [F(s)] - označení inverzní Laplaceovy transformace nad funkcí F(s). Tedy přechodná odezva h(t) je funkce, jejíž obraz je roven W(s) /s.

Když funkce jediného pulzu d( t) přenosová funkce W(s) = L [k(t)] / L = L [k(t)] / 1 = L [k(t)]. Tedy impulsní odezva obvodu k(t) je originálem přenosové funkce. Ze známé operátorové funkce obvodu lze pomocí inverzní Laplaceovy transformace určit impulsní odezvu: k(t) W(s). To znamená, že impulsní odezva obvodu jednoznačně určuje frekvenční charakteristiky obvodu a naopak, protože

W(j w) = W(s)s = j w. Protože přechodovou odezvu obvodu lze zjistit ze známé impulzní odezvy (a naopak), je tato také jednoznačně určena frekvenčními charakteristikami obvodu.

Příklad 8. Vypočítejte přechodovou a impulsní charakteristiku obvodu (obr. 15) pro vstupní proud a výstupní napětí při dané parametry prvky: R= 50 ohmů, L 1 = L 2 = L= 125 mH,
S= 80 uF.

Rýže. 15

Řešení. Použijme klasickou metodu výpočtu. Charakteristická rovnice Zin = R + pL +
+ 1 / (PC) = 0 pro dané parametry prvků má komplexně sdružené kořeny: p 1,2 =
= – d j w A2 = – 100 j 200, který určuje oscilační povahu procesu přechodu. V tomto případě jsou zákony změn proudů a napětí a jejich derivace obecně zapsány takto:

y(t) = (Mсosw A 2 t+ N hřích A 2 t)E–d t + y ven; dy(t) / dt =

=[(–M d+ N w A 2) cos w A 2 t – (M w A 2 + N d) sinw A 2 t]E–d t + dy ven / dt, kde w A 2 je frekvence volných kmitů; y out - vynucená složka procesu přechodu.

Nejprve najdeme řešení u C(t) A iC(t) = C du C(t) / dt pomocí výše uvedených rovnic a následně pomocí Kirchhoffových rovnic určíme požadovaná napětí, proudy a podle toho přechodové a impulsní charakteristiky.

Pro určení integračních konstant jsou nutné počáteční a vynucené hodnoty uvedených funkcí. Jejich počáteční hodnoty jsou známé: u C(0 +) = 0 (z definice h(t) A k(t)), protože iC(t) = já L(t) = i(t), To iC(0 +) = já L(0 +) = 0. Vynucené hodnoty určíme z rovnice sestavené podle druhého Kirchhoffova zákona pro t 0 + : u 1 = R i(t) + (L 1 + L 2) i(t) / dt + u C(t), u 1 = 1(t) = 1 = konst,

odtud u C() = u C ven = 1, iC() = iC ven = i() = 0.

Vytvořme rovnice pro určení integračních konstant M, N:

u C(0 +) = M + u C ven (0 +), iC(0 +) = S(–M d+ N w A 2) + iC out(0+); nebo: 0 = M + 1; 0 = –M 100 + N 200; odtud: M = –1, N= –0,5. Získané hodnoty nám umožňují zapsat řešení u C(t) A iC(t) = i(t): u C(t) = [–cos200 t– -0,5 sin200 t)E –100t+ 1] B, iC(t) = i(t) = E –100 t] = 0,02
hřích200 t)E –100 t A. Podle druhého Kirchhoffova zákona

u 2 (t) = u C(t) + u L 2 (t), u L 2 (t) = u L(t) = Ldi(t) / dt= (0,5 cos200 t– 0,25 sin200 t) E –100t B. Potom u 2 (t) =

=(–0,5 s200 t– 0,75 sin200 t) E –100t+ 1 = [–0,901 sin(200 t + 33,69) E –100t+ 1] B.

Zkontrolujme správnost získaného výsledku pomocí počáteční hodnoty: na jedné straně u 2 (0 +) = –0,901 sin (33,69) + 1 = 0,5 a na druhé straně, u 2 (0 +) = u C (0 +) + u L(0 +) = 0 + 0,5 - hodnoty jsou stejné.

Ministerstvo školství a vědy Ukrajiny

Doněcká národní univerzita

Zpráva

na téma: Radiotechnické obvody a signály

Student 3. ročníku prezenčního studia NF-3

Vyvinuto studentem:

Aleksandrovič S.V.

Kontrolováno učitelem:

Dolbeščenkov V.V.

ZAVEDENÍ

"Radiotechnické obvody a signály" (RTC a S)– kurz, který navazuje na kurz „Základy teorie obvodů“. Jeho cílem je studium základních zákonitostí spojených s příjmem signálů, jejich přenosem komunikačními kanály, zpracováním a konverzí v rádiových okruzích. Metody analýzy signálů a radiotechnických obvodů prezentované v předmětu "RTC a C" využívají matematické a fyzikální informace, známé především studentům z předchozích oborů. Důležitým cílem předmětu "RTC a S" je naučit studenty volit matematický aparát adekvátní řešené problematice a ukázat, jak tento aparát funguje při řešení konkrétních problémů z oblasti radiotechniky. Stejně důležité je naučit studenty vidět úzkou souvislost mezi matematickým popisem a fyzikální stránkou uvažovaného jevu, aby byli schopni skládat matematické modely studované procesy.

Hlavní sekce studované v kurzu "Radiotechnické obvody a signály":

1. Časová analýza obvodů založená na konvoluci;

2. Spektrální analýza signály;

3. Rádiové signály s amplitudovou a úhlovou modulací;

4. Korelační analýza signálů;

5. Aktivní lineární obvody;

6. Analýza průchodu signálů úzkopásmovými obvody;

7. Negativní zpětná vazba v lineárních obvodech;

8. Syntéza filtru;

9. Nelineární obvody a metody jejich analýzy;

10. Obvody s proměnnými parametry;

11. Principy generování harmonických kmitů;

12. Principy zpracování diskrétních časových signálů;

13. Náhodné signály;

14. Analýza průchodu náhodných signálů lineárními obvody;

15. Analýza průchodu náhodných signálů nelineárními obvody;

16. Optimální filtrování deterministických signálů v šumu;

17. Optimální filtrování náhodných signálů;

18. Numerické metody výpočtu lineárních obvodů.

ANALÝZA ČASOVACÍHO OBVODU ZALOŽENÁ NA KONVOLUCI

Kroková a impulsní odezva

Časová metoda je založena na konceptu přechodových a impulsních charakteristik obvodu. Kroková odezvařetězce jsou reakcí řetězce na vliv ve formě jednotkové funkce. Označuje přechodovou odezvu obvodu G(t).Impulzní odezva obvody se nazývají odezva obvodu na funkci jediného impulsu (funkce d). Označuje impulsní odezvu h(t). Navíc, G(t) A h(t) jsou určeny při nulových počátečních podmínkách v obvodu. V závislosti na typu reakce a typu nárazu (proud nebo napětí) mohou být přechodové a impulsní charakteristiky bezrozměrné veličiny, nebo mít rozměry A/B nebo V/A.

Použití konceptů přechodových a impulsních charakteristik obvodu nám umožňuje zredukovat výpočet odezvy obvodu od působení neperiodického signálu libovolného tvaru na určení odezvy obvodu na nejjednodušší dopad, jako je jednorázový 1( t) nebo impulsní funkce d( t), s jehož pomocí se původní signál aproximuje. V tomto případě je výsledná reakce lineárního řetězce nalezena (s využitím principu superpozice) jako součet reakcí řetězce na elementární vlivy 1( t) nebo d( t).

Mezi přechodnými G(t) a puls h(t) existuje určitá souvislost mezi charakteristikami lineárního pasivního obvodu. Lze ji stanovit, pokud reprezentujeme jednotkovou impulsní funkci průchodem k hranici rozdílu dvou jednotkových funkcí o velikosti 1/t, vzájemně posunutých o čas t:

tj. jednotková impulsní funkce je rovna derivaci jednotkové funkce. Protože se předpokládá, že uvažovaný obvod je lineární, zůstává vztah stejný pro impulsní a přechodové reakce obvodu

tj. impulsní odezva je odvozena od skokové odezvy obvodu.

Rovnice platí pro případ, kdy G(0) = 0 (nulové počáteční podmínky pro obvod). Li G(0) ¹ 0, poté prezentace G(t) ve formuláři G(t) = , kde = 0, získáme vazebnou rovnici pro tento případ:

K nalezení přechodových a impulsních charakteristik obvodu můžete použít klasické i operátorské metody. Podstatou klasické metody je stanovení časové odezvy obvodu (ve formě napětí nebo proudu v jednotlivých větvích obvodu) na vliv jediné 1( t) nebo impuls d( t) funkce. Obvykle je vhodné určit přechodovou odezvu klasickou metodou G(t) a impulsní odezva h(t) najít pomocí vazebných rovnic nebo operátorské metody.

Je třeba poznamenat, že hodnota já(r)PROTI rovnice je číselně rovna obrazu přechodové vodivosti. Podobný obraz impulsní odezvy se číselně rovná vodivosti operátora obvodu

Například pro RС- řetězy máme:

Přihlašování na Y(p) expanzní věta, dostaneme:

V tabulce 1.1 shrnuje hodnoty přechodových a impulsních charakteristik proudu a napětí pro některé obvody prvního a druhého řádu.

Impulzní odezva(váhová funkce) je odezva systému na jediný nekonečný impuls (funkce delta nebo Diracova funkce) za nulových počátečních podmínek. Delta funkce je definována rovností

, .

Tento generická funkce– matematický objekt, který představuje ideální signál, ne skutečné zařízení neschopný to reprodukovat. Delta funkci lze považovat za limit pravoúhlého pulsu jednotky plochy se středem v bodě, protože šířka pulsu má tendenci k nule.

Nyní musíme analyzovat limity této částky. Takže musíme použít integrály, abychom správně porozuměli tomuto typu systému. K tomu potřebujeme konvoluci! Pro tento problém předpokládejme, že \\ je větší než nula. Vyzkoušejte následující dvě funkce.

,

kde je přenosová funkce systému, pro který je Laplaceova transformace. Impulzní odezva systému s jedním integrátorem má tendenci ke konstantní hodnotě rovné statickému koeficientu přenosu systému bez integrátoru. U systému se dvěma integrátory impulzní odezva asymptoticky směřuje k přímce, se třemi integrátory - k parabole atd.

Odpovídající diskrétní signál je sekvence. Uvažujme Fourierovu transformaci spojitého signálu. Aproximace Fourierovy transformace se získá z diskrétního signálu pomocí krabicové metody.

Když se součet zastaví na konečném pořadí, najdeme.

Lineární systém s konečnou impulsní odezvou

Tento systém se nazývá kauzální, protože výstupní stav závisí pouze na předchozích vstupních stavech. Definován diskrétní signál.

Pro vstupní impuls vydává lineární systém signál.

Je třeba poznamenat, že výstupní signál je výsledkem konvoluce vstupního signálu s impulsní odezvou.

8. Časová metoda pro analýzu přechodových dějů v lineárních elektrických obvodech

8.1. Přechodové a impulsní charakteristiky elektrických obvodů

Časová metoda je založena na konceptu přechodových a impulsních charakteristik obvodu. Kroková odezvařetězce jsou odezvou řetězce na vliv ve formě jednotkové funkce (7.19). Označuje přechodovou odezvu obvodu G(t).Impulzní odezva obvody se nazývají odezva obvodu na vliv jednotkové impulsní funkce (d-funkce) (7.21). Označuje impulsní odezvu h(t). G(t Navíc, h(t) ) A

jsou určeny při nulových počátečních podmínkách v obvodu. V závislosti na typu reakce a typu nárazu (proud nebo napětí) mohou být přechodové a impulsní charakteristiky bezrozměrné veličiny, nebo mít rozměry A/B nebo V/A.

Tento systém je filtr s konečnou impulsní odezvou. Což je diskrétní Fourierova transformace impulsní odezvy. Považovat za jednoduchý příklad

filtr, který implementuje aritmetický průměr dvou po sobě jdoucích vstupních hodnot. t Použití konceptů přechodových a impulsních charakteristik obvodu nám umožňuje zredukovat výpočet odezvy obvodu od působení neperiodického signálu libovolného tvaru na určení odezvy obvodu na nejjednodušší dopad, jako je jednorázový 1( t) nebo impulsní funkce d( t) nebo d( t).

), s jehož pomocí se původní signál aproximuje. V tomto případě je výsledná reakce lineárního řetězce nalezena (s využitím principu superpozice) jako součet reakcí řetězce na elementární vlivy 1(

Střední filtr je dolní propust. Fázový posun se mění lineárně s frekvencí. To je potvrzeno následujícím výrazem frekvenční odezvy. Chcete-li simulovat vliv tohoto filtru na signál, zvažte následující spojitý signál a jeho vzorek. Pro filtrování diskrétní signál

Všechny frekvence signálu procházejí při průchodu filtrem stejným posunem τ. τ - doba šíření.

Mezi přechodnými G(t) a puls h(t) existuje určitá souvislost mezi charakteristikami lineárního pasivního obvodu. Lze ji stanovit reprezentací jednotkové impulsní funkce průchodem k hranici rozdílu dvou jednotkových funkcí velikosti 1/t, vzájemně posunutých o čas t (viz obr. 7.4):

tj. jednotková impulsní funkce je rovna derivaci jednotkové funkce. Protože se předpokládá, že uvažovaný obvod je lineární, je zachován vztah (8.1) i pro impulsní a přechodové reakce obvodu

Tvar signálu se pásmovou propustí nemění. Izolací členu obsahujícího fázi se frekvenční charakteristika zapíše podle výrazu. Po změně proměnné je na výstupu výraz zesílení v součtu. Frekvenční charakteristika je zapsána. Vezmeme-li v úvahu limit, dostaneme.

Získá se lineární fázový filtr s nekonečnou impulsní odezvou. Tato metoda je ekvivalentní aplikaci pravoúhlého okna na Fourierovy koeficienty.

Fourierovy koeficienty této funkce.

Výsledek lze vyjádřit pomocí sinusové kardinální funkce a závisí pouze na poměru mezní frekvence k vzorkovací frekvenci.

tj. impulsní odezva je odvozena od skokové odezvy obvodu.

Rovnice (8.2) platí pro případ, kdy G(0) = 0 (nulové počáteční podmínky pro obvod). Li G(0) ¹ 0, poté prezentace G(t) ve formuláři G(t) = , kde = 0, získáme vazebnou rovnici pro tento případ:

K získání frekvenční odezvy se používá následující funkce. Zde je graf zisku filtru a fáze. Je vidět, že fáze je v propustném pásmu skutečně lineární, ale zesílení má velmi silné vlnění. V zeslabeném pásmu jsou nespojitosti ve fázi π. Rozdíly z hlediska požadované přenosové funkce jsou samozřejmě způsobeny zkrácením impulsní odezvy.

Zkusme zkrácení pomocí okna Hannah. Vlny v propustném a zeslabeném pásmu jsou výrazně redukovány. Fázová linearita v propustném pásmu je vždy zajištěna. Pokud má zůstat zpoždění τ pevné, musí se současně zvýšit vzorkovací frekvence. Je vybrán šumový signál.

K nalezení přechodových a impulsních charakteristik obvodu můžete použít klasické i operátorské metody. Podstatou klasické metody je stanovení časové odezvy obvodu (ve formě napětí nebo proudu v jednotlivých větvích obvodu) na vliv jediné 1( t) nebo impuls d( t) funkce. Obvykle je vhodné určit přechodovou odezvu klasickou metodou G(t) a impulsní odezva h(t) najděte pomocí spojovacích rovnic (8.2), (8.3) nebo operátorské metody.

Příklad. Použijme klasickou metodu k nalezení přechodové odezvy napětí pro obvod znázorněný na obr. 8.1. Numericky g u(t) pro daný obvod se shoduje s napětím na kapacitě, když je momentálně zapojen t= 0 ke zdroji napětí U 1 = l V:

Zákon změny napětí uC(t) je určena rovnicí (6.27), kam je nutné dosadit U= l V:

Při hledání vlastností G(t Navíc, h(t) pomocí operátorské metody obrázky funkcí 1( t), d( t) a metodika výpočtu přechodných procesů uvedená v kap. 7.

Příklad. Stanovme přechodovou charakteristiku pomocí operátorské metody g u(t) RС-řetězy (viz obr. 8.1). Pro tento řetězec, v souladu s Ohmovým zákonem, ve formě operátoru (7.35) můžeme napsat:

Konečně se dostáváme

Odtud pomocí expanzní věty (7.31) najdeme

tj. stejnou hodnotu, jakou získáme klasickou metodou.

Je třeba poznamenat, že hodnota já(r)PROTI rovnice (8.4) se číselně rovná obrazu přechodové vodivosti. Podobný obraz impulsní odezvy se číselně rovná vodivosti obvodu operátora

Například pro RС-řetěz (viz obr. 8.1) máme:

Přihlašování na Y(p) expanzní věta (7.30), získáme:

Je třeba poznamenat, že vzorec (8.5) určuje volnou složku reakce obvodu při působení jediného pulzu. V obecném případě, v řetězové reakci, kromě exponenciálních složek volného režimu at t> 0 existuje pulsní člen odrážející účinek při t= 0 jednotkový impuls. Vskutku, vezmeme-li v úvahu, že pro RС-obvod (viz obr. 8.1) proudová přechodová charakteristika při U= 1(t) podle (6.28) bude

pak po diferenciaci (8.6) podle (8.2) získáme impulsní odezvu RС- řetězy h i(t) ve formuláři

tj. reakce hi(t) obsahuje dva pojmy – impulsní a exponenciální.

Fyzikální význam prvního termínu v (8.7) znamená, že když t= 0 v důsledku dopadu pulzního napětí d( t) nabíjecí proud okamžitě dosáhne nekonečně velké hodnoty, přičemž během doby od 0 – do 0 + se kapacitnímu prvku přenese konečný náboj a dojde k jeho náhlému nabití na napětí já/R.C.. t Druhý člen určuje volný proces v řetězci at t> 0 a je způsobeno vybitím kondenzátoru přes zkratovaný vstup (od r. t> 0 d( R.C.) = 0, což je ekvivalentní zkratu na vstupu) s časovou konstantou t = t. RС- obvod přeruší kontinuitu náboje na kapacitě (druhý komutační zákon). Podobně je porušena podmínka kontinuity proudu v indukčnosti (první zákon komutace), jestliže napětí ve tvaru d( t).

V tabulce 8.1 shrnuje hodnoty přechodových a impulsních charakteristik proudu a napětí pro některé obvody prvního a druhého řádu.

8.2. Duhamelův integrál

Duhamelův integrál lze získat aproximací působící síly F 1 (t)S pomocí jednotkových funkcí vzájemně posunutých o čas Dt (obr. 8.2).

Reakce obvodu na každou krokový efekt bude určeno jako

Výslednou reakci obvodu na systém stupňovitých vlivů lze nalézt na principu superpozice:

Kde p - počet aproximačních úseků, na které je interval 0 ... rozdělen t.

Vynásobením a dělením výrazu pod součtovým znaménkem Dt a přechodem k limitě, vezmeme-li to v úvahu, získáme jednu z forem Duhamelova integrálu:

Rovnice (8.8) odráží odezvu obvodu na daný náraz, protože aproximační funkce má tendenci k původní. Druhý tvar Duhamelova integrálu lze získat pomocí konvoluční věty (viz: , b), poté se reakce obvodu určí klasickou nebo operátorovou metodou, když je dotyčná větev připojena k aktivní dvoukoncové síti. (obr. 8.4, PROTI

). Výslednou reakci najdeme jako součet reakcí: .

8.3. Úložný integrál h(t Při hledání odezvy obvodu pomocí superpozičního integrálu se využívá impulsní odezva obvodu F 1 (t). d Abychom získali obecný výraz pro superpoziční integrál, aproximujeme vstupní signál F) pomocí systému pulsů s jednou dobou trvání F t, amplitudy d 1 (t) a plocha

1(t)

t (obr. 8.5). Výstupní odezva obvodu na každý z jednotlivých impulzů Pomocí principu superpozice není obtížné získat celkovou odezvu obvodu na systém jednotlivých pulzů: Zavolá se integrál (8.12). vyřazovací integrál. Mezi superpozicí a Duhamelovým integrálem je h(t) jednoduché připojení G(t, určeno vztahem (8.3) mezi pulzem h(t a přechodné

Příklad.) charakteristika obvodu. Nahrazení např. hodnotou RС) z (8.3) do vzorce (8.12) při zohlednění filtrační vlastnosti d-funkce (7.23) získáme Duhamelův integrál ve tvaru (8.11). U U vchodu

- obvod (viz obr. 8.1) působí napěťový ráz h1. Odezvu obvodu na výstupu určete pomocí superpozičních integrálů (8.12) a Duhamela (8.11).(t Impulzní odezva tohoto obvodu je rovna (viz tabulka 8.1): t / u) = = (1/RC)e – h1. Odezvu obvodu na výstupu určete pomocí superpozičních integrálů (8.12) a Duhamela (8.11).(t R.C. . Pak střídání– t) = (1/RC)e –( u do vzorce (8.12) dostaneme:

Obdobný výsledek získáme při použití přechodové funkce tohoto obvodu a Duhamelova integrálu (8.11):

Pokud se počátek vlivu neshoduje se začátkem odpočítávání času, pak má integrál (8.12) tvar

Superpoziční integrály (8.12) a (8.13) představují konvoluci vstupního signálu s impulsní odezvou obvodu a jsou široce používány v teorii elektrických obvodů a teorii přenosu signálu. Jeho fyzikální význam je, že vstupní signál F 1 (t) se jakoby zváží pomocí funkce h(t- t): čím pomaleji klesá s časem h(t), tím větší vliv na výstupní signál má hodnota vstupního vlivu, která je vzdálenější od okamžiku pozorování.

Na Obr. 8,6, A zobrazen signál F 1(t) a impulsní odezva h(t- t), což je zrcadlový obraz h(t) a na Obr. 8,6, b je zobrazena konvoluce signálu F 1(t) S funkce h(t- t) (šrafovaná část), číselně rovna reakci řetězce v daném okamžiku t.

Z Obr. 8.6 ukazuje, že odezva na výstupu obvodu nemůže být kratší než celková doba trvání signálu t 1 a impulsní odezva t h. Aby tedy nebyl výstupní signál zkreslený, musí impulsní odezva obvodu směřovat k d-funkci.

Je také zřejmé, že ve fyzikálně realizovaném řetězci nemůže reakce nastat před dopadem.

To znamená, že impulsní odezva fyzicky realizovaného obvodu musí splňovat podmínku

Pro fyzicky realizovatelný stabilní obvod musí být navíc splněna podmínka absolutní integrovatelnosti impulsní odezvy:

Pokud má vstupní akce složitý tvar nebo je specifikována graficky, pak se pro výpočet reakce obvodu místo konvolučního integrálu (8.12) použijí graficko-analytické metody.

Otázky a úkoly pro autotest

1. Definujte přechodové a impulsní charakteristiky obvodu.

2. Uveďte vztah mezi impulsní a přechodovou charakteristikou.

3. Jak určit přechodovou a impulsní odezvu obvodu?

4. Jaký je rozdíl mezi přechodovými charakteristikami, vysvětlete jejich fyzikální význam.

5. Jak určit, který ze čtyř typů přechodových nebo impulsních charakteristik musí být aplikován v každém konkrétním případě při výpočtu odezvy obvodu? G(t) A h(t)?

6. Co je podstatou výpočtu přechodných procesů pomocí

7. Jak určit reakci řetězce, má-li efekt složitý tvar?

8. Jaké podmínky musí splňovat obvod při použití Duhamelova integrálu?

10. Vede výpočet reakce řetězce pomocí Duhamelových a superpozičních integrálů ke stejným nebo různým výsledkům?

11. Určete přechodovou vodivost obvodu tvořeného odporem a indukčností zapojenými do série.

12. Definujte obvod tvořený odporem a kapacitou zapojenými do série.

Odpověď: .

13. Získejte třetí tvar Duhamelova integrálu (8.10) z konvoluční rovnice (8.10).

Akademie Ruska

Katedra fyziky

Přednáška

Přechodové a impulsní charakteristiky elektrických obvodů

Eagle 2009

Vzdělávací a vzdělávací cíle:

Vysvětlit studentům podstatu přechodových a impulsních charakteristik elektrických obvodů, ukázat souvislosti mezi charakteristikami, věnovat pozornost využití uvažovaných charakteristik pro analýzu a syntézu elektrických obvodů a zaměřit se na kvalitní přípravu pro praktickou výcvik.

Rozdělení času přednášek

Úvodní část ………………………………………………………… 5 min.

Studijní otázky:

1. Přechodové charakteristiky elektrických obvodů………………15 min.

2. Duhamelovy integrály…………………………………………………………………...25 min.

3. Pulzní charakteristiky elektrických obvodů. Vztah mezi charakteristikami………………………………………………..………...25 min.

4. Konvoluční integrály……………………………………………….15 min.

Závěr……………………………………………………… 5 min.

1. Přechodové charakteristiky elektrických obvodů

Přechodná odezva obvodu (stejně jako pulzní odezva) se týká dočasných charakteristik obvodu, tj. vyjadřuje určitý přechodový proces za předem stanovených vlivů a počátečních podmínek.

Pro porovnání elektrických obvodů podle jejich reakce na tyto vlivy je nutné umístit obvody do stejných podmínek. Nejjednodušší a nejpohodlnější jsou nulové počáteční podmínky.

Přechodová odezva obvodu je poměr reakce řetězu na postupný náraz k velikosti tohoto nárazu při nulových počátečních podmínkách.

podle definice

kde je reakce řetězu na postupný dopad;

– velikost efektu kroku [B] nebo [A].

Protože a je děleno velikostí dopadu (to je skutečné číslo), pak ve skutečnosti - reakce obvodu na efekt jediného kroku.

Pokud je známa přechodová odezva obvodu (nebo ji lze vypočítat), pak ze vzorce můžete najít reakci tohoto obvodu na postupný efekt při nule NL

.

Vytvořme spojení mezi přenosovou funkcí operátoru obvodu, která je často známá (nebo ji lze nalézt), a přechodovou odezvou tohoto obvodu. K tomu používáme zavedený koncept funkce přenosu operátora:

.

Poměr Laplaceovy transformované reakce řetězu k velikosti nárazu je operátorovou přechodovou charakteristikou řetězu:

Proto .

Odtud se pomocí funkce přenosu operátora zjistí charakteristika přechodu operátora obvodu.

K určení přechodové odezvy obvodu je nutné použít inverzní Laplaceovu transformaci:

pomocí korespondenční tabulky nebo (předběžně) věty o rozkladu.

Příklad: určete přechodovou odezvu pro reakci napětí na kondenzátoru v sériovém obvodu (obr. 1):

Zde je reakce na postupný efekt velikosti:

,

odkud pochází přechodová charakteristika:

.

Přechodové charakteristiky nejčastěji se vyskytujících obvodů jsou uvedeny a uvedeny v referenční literatuře.

2. Duhamelovy integrály

Přechodná odezva se často používá k nalezení odezvy obvodu na komplexní podnět. Pojďme vytvořit tyto vztahy.

Shodněme se, že vliv je spojitá funkce a je aplikován na obvod v čase , a počáteční podmínky jsou nulové.

Daný náraz může být reprezentován jako součet stupňovitých nárazů aplikovaných na obvod v daném okamžiku a nekonečně velkého počtu nekonečně malých stupňovitých nárazů, které na sebe plynule navazují. Jeden z těchto elementárních dopadů odpovídající okamžiku aplikace je znázorněn na obrázku 2.

Pojďme najít hodnotu řetězové reakce v určitém okamžiku.

Postupný efekt s rozdílem v časovém okamžiku způsobí reakci rovnou součinu rozdílu o hodnotu přechodové odezvy obvodu v , tj. rovnou:

Infinitezimální stupňovitý efekt s rozdílem způsobí nekonečně malou reakci , kde je čas, který uplynul od okamžiku aplikace vlivu do okamžiku pozorování. Protože podle podmínky je funkce spojitá, pak:

V souladu s principem superpozice bude reakce rovna součtu reakcí vyvolaných souhrnem vlivů předcházejících okamžiku pozorování, tzn.

.

Obvykle jej v posledním vzorci jednoduše nahradí znakem , protože nalezený vzorec je správný pro jakékoli časové hodnoty:

.

Nebo po několika jednoduchých transformacích:

.

Jakýkoli z těchto vztahů řeší problém výpočtu odezvy lineárního elektrického obvodu na danou spojitou akci pomocí známé přechodové odezvy obvodu. Tyto vztahy se nazývají Duhamelovy integrály.

3. Pulzní charakteristiky elektrických obvodů

Impulzní odezva obvodu je poměr odezvy obvodu na pulzní akci k oblasti této akce za nulových počátečních podmínek.

podle definice

kde je odezva obvodu na impulsní akci;

– oblast nárazového pulsu.

Pomocí známé impulsní odezvy obvodu lze najít odezvu obvodu na daný vliv: .

Jako nárazová funkce se často používá jediný impulsní efekt, nazývaný také delta funkce nebo Diracova funkce.

Delta funkce je funkce rovna nule všude kromě , a její plocha je rovna jednotce ():

.

Ke konceptu delta funkce lze dospět uvažováním limitu pravoúhlého pulsu výšky a trvání, když (obr. 3):

Vytvořme souvislost mezi přenosovou funkcí obvodu a jeho impulsní odezvou, k čemuž použijeme operátorskou metodu.

Podle definice:

.

Pokud je dopad (původní) považován za nejvíce obecný případ ve tvaru součinu plochy pulsu funkcí delta, tedy ve tvaru, pak má obraz tohoto efektu podle korespondenční tabulky tvar:

.

Na druhé straně je poměr Laplaceovy transformované reakce obvodu k oblasti nárazového impulsu impulsní odezvou operátora v okruhu:

.

Proto, .

K nalezení impulsní odezvy obvodu je nutné použít inverzní Laplaceovu transformaci:

Tedy vlastně.

Zobecněním vzorců získáme souvislost mezi operátorovou přenosovou funkcí obvodu a operátorovou přechodovou a impulsní charakteristikou obvodu:

Když tedy znáte jednu z charakteristik obvodu, můžete určit další.

Proveďme identickou transformaci rovnosti přidáním do střední části.

Pak budeme mít.

Protože se jedná o obraz derivace přechodové charakteristiky, lze původní rovnost přepsat jako:

Přesuneme-li se do oblasti originálů, získáme vzorec, který nám umožňuje určit impulsní odezvu obvodu z jeho známé přechodové odezvy:

Pokud, tak.

Inverzní vztah mezi těmito charakteristikami má tvar:

.

Pomocí přenosové funkce je snadné určit přítomnost termínu ve funkci.

Pokud jsou mocniny v čitateli a jmenovateli stejné, bude daný výraz přítomen. Pokud je funkce správným zlomkem, pak tento výraz nebude existovat.

Příklad: určete impulsní charakteristiky pro napětí a v sériovém obvodu znázorněném na obrázku 4.

Pojďme definovat:

Pomocí korespondenční tabulky přejdeme k originálu:

.

Graf této funkce je na obrázku 5.

Rýže. 5

Přenosová funkce:

Podle srovnávací tabulky máme:

.

Graf výsledné funkce je na obrázku 6.

Poznamenejme, že stejné výrazy lze získat pomocí vztahů navazujících spojení mezi a .

Impulzní odezva ve svém fyzikálním významu odráží proces volných oscilací a z tohoto důvodu lze tvrdit, že v reálných obvodech musí být vždy splněna následující podmínka:

4. Konvoluční (překryvné) integrály

Uvažujme postup stanovení odezvy lineárního elektrického obvodu na komplexní vliv, je-li známa impulsní odezva tohoto obvodu. Budeme předpokládat, že dopad je po částech spojitá funkce znázorněná na obrázku 7.

Nechť je požadováno najít hodnotu reakce v určitém okamžiku. Při řešení tohoto problému si představme dopad jako součet pravoúhlých pulzů nekonečně malého trvání, z nichž jeden, odpovídající časovému okamžiku, je znázorněn na obrázku 7. Tento pulz je charakterizován trváním a výškou.

Z výše uvedeného materiálu je známo, že reakci obvodu na krátký impuls lze považovat za rovnou součinu impulsní odezvy obvodu a oblasti impulsního působení. V důsledku toho bude nekonečně malá složka reakce v důsledku této impulsní akce v okamžiku času rovna:

protože plocha pulsu je rovna a čas plyne od okamžiku jeho aplikace do okamžiku pozorování.

Pomocí principu superpozice lze celkovou reakci obvodu definovat jako součet nekonečně velkého počtu nekonečně malých složek způsobených sekvencí nekonečně malých plošných pulsů předcházejících časovému okamžiku.

Tedy:

.

Tento vzorec platí pro všechny hodnoty, takže proměnná je obvykle jednoduše označena. Pak:

.

Výsledný vztah se nazývá konvoluční integrál nebo superpoziční integrál. Funkce, která je nalezena jako výsledek výpočtu konvolučního integrálu, se nazývá konvoluce a .

Jiný tvar konvolučního integrálu můžete najít, pokud ve výsledném výrazu změníte proměnné:

.

Příklad: najděte napětí na kapacitě sériového obvodu (obr. 8), pokud na vstupu působí exponenciální puls ve tvaru:

Použijme konvoluční integrál:

.

Výraz pro byla přijata dříve.

Proto, , A .

Stejný výsledek lze získat aplikací Duhamelova integrálu.

Literatura:

Beletsky A.F. Teorie lineárních elektrických obvodů. – M.: Radio and Communications, 1986. (učebnice)

Bakalov V.P. a kol. – M.: Radio and Communications, 1998. (učebnice);

Kachanov N. S. a kol. M.: Vojenská. vyd., 1974. (Učebnice);

Popov V.P. Základy teorie obvodů - M.: Vyšší škola, 2000. (Učebnice)