مشخصه عددی اصلی یک ماتریس مربع، تعیین کننده آن است. یک ماتریس مربع مرتبه دوم را در نظر بگیرید

تعیین کننده یا تعیین کننده مرتبه دوم عددی است که طبق قانون زیر محاسبه می شود

به عنوان مثال،

اجازه دهید اکنون یک ماتریس مربع مرتبه سوم را در نظر بگیریم

.

دترمینان مرتبه سوم عددی است که با استفاده از قانون زیر محاسبه می شود

به منظور به خاطر سپردن ترکیبی از اصطلاحات موجود در عبارات برای تعیین تعیین کننده مرتبه سوم، آنها معمولاً از قانون ساروس: اولین مورد از سه عبارت موجود در سمت راست با علامت مثبت حاصل ضرب عناصر واقع در مورب اصلی ماتریس است و هر یک از دو عبارت دیگر حاصلضرب عناصری است که در موازی این قطر و یک عنصر قرار دارند. از گوشه مخالف ماتریس.

سه عبارت آخر، همراه با علامت منفی، به روشی مشابه، فقط با توجه به قطر ثانویه تعیین می شوند.

مثال:

ویژگی های اساسی تعیین کننده های ماتریس

1. وقتی ماتریس جابجا می شود، مقدار تعیین کننده تغییر نمی کند.

2. هنگام تنظیم مجدد ردیف ها یا ستون های ماتریس، تعیین کننده فقط علامت را تغییر می دهد و مقدار مطلق را حفظ می کند.

3. تعیین کننده حاوی سطرها یا ستون های متناسب برابر با صفر است.

4. ضریب مشترک عناصر یک سطر یا ستون معین را می توان از علامت تعیین کننده خارج کرد.

5. اگر همه عناصر یک سطر یا ستون معین برابر با صفر باشند، خود تعیین کننده برابر با صفر است.

6. اگر به عناصر یک سطر یا ستون جداگانه از یک تعیین کننده، عناصر سطر یا ستون دیگری را که در یک ضریب غیر انحطاط دلخواه ضرب شده اضافه کنیم، مقدار تعیین کننده تغییر نخواهد کرد.

جزئیماتریس تعیین کننده ای است که با حذف همان تعداد ستون و ردیف از یک ماتریس مربع به دست می آید.

اگر همه مینورهای مرتبه بالاتر از که می توان از یک ماتریس تشکیل داد، برابر با صفر باشند و در بین مینورهای مرتبه حداقل یک غیر صفر باشد، آنگاه عدد نامیده می شود. رتبه این ماتریس

متمم جبریعنصر تعیین کننده ترتیب را مرتبه فرعی آن می نامیم که با خط زدن سطر و ستون مربوطه که در تقاطع آنها عنصری با علامت مثبت گرفته می شود در صورتی که مجموع شاخص ها برابر با یک عدد زوج باشد به دست می آید. در غیر این صورت یک علامت منفی

بنابراین

,

ترتیب جزئی مربوطه کجاست

محاسبه تعیین کننده یک ماتریس با بسط سطر یا ستون

تعیین کننده یک ماتریس برابر است با مجموع حاصل از عناصر هر ردیف (هر ستون) ماتریس توسط مکمل های جبری مربوطه عناصر این ردیف (این ستون). هنگام محاسبه تعیین کننده یک ماتریس به این روش، باید با قانون زیر هدایت شوید: سطر یا ستونی را با بیشترین تعداد عناصر صفر انتخاب کنید. این تکنیک به شما امکان می دهد تا میزان محاسبات را به میزان قابل توجهی کاهش دهید.

مثال: .

هنگام محاسبه این تعیین کننده، از تکنیک تجزیه آن به عناصر ستون اول استفاده کردیم. همانطور که از فرمول بالا مشخص است، نیازی به محاسبه آخرین تعیین کننده مرتبه دوم نیست، زیرا در صفر ضرب می شود.

محاسبه ماتریس معکوس

هنگام حل معادلات ماتریس، ماتریس معکوس به طور گسترده ای استفاده می شود. تا حدی جایگزین عملیات تقسیم می شود که به صراحت در جبر ماتریسی وجود ندارد.

ماتریس های مربعی هم مرتبه که حاصلضرب آن ها ماتریس هویت می دهد، متقابل یا معکوس نامیده می شوند. ماتریس معکوس نشان داده شده است و موارد زیر برای آن صادق است:

محاسبه ماتریس معکوس فقط برای ماتریسی امکان پذیر است که برای آن .

الگوریتم کلاسیک برای محاسبه ماتریس معکوس

1. ماتریس انتقال یافته به ماتریس را یادداشت کنید.

2. هر عنصر ماتریس را با یک تعیین کننده که با خط زدن ردیف و ستونی که این عنصر در محل تقاطع آنها قرار دارد، به دست می آورید.

3. اگر مجموع شاخص های عنصر زوج باشد، این تعیین کننده با علامت مثبت همراه است و در غیر این صورت علامت منفی است.

4. ماتریس حاصل را بر تعیین کننده ماتریس تقسیم کنید.

اجازه دهید جدولی به ما داده شود (به نام ماتریس) متشکل از چهار عدد:

ماتریس دارای دو سطر و دو ستون است اعدادی که این ماتریس را تشکیل می دهند با یک حرف با دو شاخص مشخص می شوند. شاخص اول شماره ردیف را نشان می دهد و دومی شماره ستونی را نشان می دهد که عدد داده شده در آن ظاهر می شود. به عنوان مثال، به معنای عدد در ردیف اول و ستون دوم است. عدد در سطر دوم و ستون اول ما اعداد را عناصر ماتریس صدا خواهیم کرد.

تعیین کننده (یا تعیین کننده) مرتبه دوم مربوط به یک ماتریس معین، عددی است که به صورت زیر به دست می آید:

تعیین کننده با نماد نشان داده می شود

بنابراین،

اعداد را عناصر تعیین کننده می نامند.

اجازه دهید ویژگی های دترمینان مرتبه دوم را ارائه کنیم.

خاصیت 1. اگر ردیف های آن با ستون های مربوطه مبادله شوند، تعیین کننده تغییر نمی کند.

ملک 2.

هنگام تنظیم مجدد دو ردیف (یا ستون)، تعیین کننده علامت خود را به عکس تغییر می دهد و مقدار مطلق را حفظ می کند.

خاصیت 3. تعیین کننده با دو سطر (یا ستون) یکسان برابر با صفر است.

خاصیت 4. عامل مشترک همه عناصر یک ردیف (یا ستون) را می توان از علامت تعیین کننده خارج کرد:

خاصیت 5. اگر همه عناصر یک سطر (یا ستون) برابر با صفر باشند، دترمینان برابر با صفر است.

خاصیت 6. اگر به هر سطر (یا ستون) تعیین کننده، عناصر مربوط به سطر (یا ستون) دیگر را در همان عدد y ضرب کنیم، دترمینان مقدار آن را تغییر نخواهد داد، یعنی.

برای ضرب یک ماتریس در یک عدد، باید هر عنصر ماتریس را در آن عدد ضرب کنید.

نتیجه. عامل مشترک همه عناصر ماتریس را می توان از علامت ماتریس خارج کرد.

به عنوان مثال، .

همانطور که می بینید، اعمال جمع، تفریق ماتریس ها و ضرب یک ماتریس در عدد مشابه اعمال روی اعداد است. ضرب ماتریس یک عملیات خاص است.

محصول دو ماتریس

همه ماتریس ها را نمی توان ضرب کرد. محصول دو ماتریس الفو دربه ترتیب ذکر شده ABتنها زمانی امکان پذیر است که تعداد ستون های عامل اول باشد الفبرابر با تعداد ردیف های عامل دوم است در.

به عنوان مثال، .

اندازه ماتریس الف 33، اندازه ماتریس در 23. کار کنید ABغیر ممکن، کار VAشاید.

حاصل ضرب دو ماتریس A و B سومین ماتریس C است که عنصر C ij آن برابر است با مجموع حاصلضرب های زوجی عناصر ردیف i عامل اول و ستون j ضریب دوم. عامل

نشان داده شد که در در این موردحاصل ضرب ماتریس ها امکان پذیر است VA

از قاعده وجود حاصل ضرب دو ماتریس چنین بر می آید که حاصل ضرب دو ماتریس در مورد کلیاز قانون تبدیل تبعیت نمی کند، یعنی. AB VA. اگر در یک مورد خاص معلوم شود که AB = BA،در این صورت چنین ماتریس هایی قابل تغییر یا جابجایی نامیده می شوند.

در جبر ماتریسی، حاصلضرب دو ماتریس می تواند یک ماتریس صفر باشد حتی زمانی که هیچ یک از ماتریس های عاملی بر خلاف جبر معمولی صفر نباشد.

برای مثال، حاصل ضرب ماتریس ها را پیدا کنیم AB، اگر

می توانید چندین ماتریس را ضرب کنید. اگر می توانید ماتریس ها را ضرب کنید الف, درو حاصلضرب این ماتریس ها را می توان در ماتریس ضرب کرد با، سپس می توان محصول را تهیه کرد ( AB) باو الف(خورشید). در این حالت، قانون ترکیبی در مورد ضرب صورت می گیرد ( AB) با = الف(خورشید).

در اینجا ما ویژگی هایی را که معمولاً برای محاسبه دترمینال ها استفاده می شوند را تشریح می کنیم دوره استانداردریاضیات بالاتر این یک موضوع کمکی است که در صورت لزوم از قسمت های دیگر به آن اشاره خواهیم کرد.

بنابراین، اجازه دهید یک ماتریس مربع مشخص $A_(n\times n)=\left(\begin(array) (cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) داده می شود end(array) \right)$. هر ماتریس مربع دارای یک مشخصه به نام دترمینانت (یا دترمینان) است. من در اینجا به اصل این مفهوم نمی پردازم. اگر نیاز به توضیح دارد، لطفاً در مورد آن در انجمن بنویسید و من در مورد این موضوع با جزئیات بیشتری صحبت خواهم کرد.

تعیین کننده ماتریس $A$ به صورت $\Delta A$، $|A|$، یا $\det A$ نشان داده می شود. ترتیب تعیین کنندهبرابر تعداد ردیف ها (ستون ها) در آن است.

1. اگر ردیف های آن با ستون های مربوطه جایگزین شوند، مقدار تعیین کننده تغییر نخواهد کرد. $\Delta A=\Delta A^T$.

   نمایش/پنهان کردن

   بیایید ردیف ها را با ستون هایی در آن مطابق این اصل جایگزین کنیم: "یک ردیف اول وجود داشت - یک ستون اول وجود داشت" ، "یک ردیف دوم وجود داشت - یک ستون دوم وجود داشت":

   بیایید تعیین کننده حاصل را محاسبه کنیم: $\left| \begin(array) (cc) 2 & 9 \\ 5 & 4 \end(array) \right|=2\cdot 4-9\cdot 5=-37$. همانطور که می بینید، مقدار تعیین کننده به دلیل جایگزینی تغییر نکرده است.

2. اگر دو ردیف (ستون) تعیین کننده را با هم عوض کنید، علامت دترمینان به عکس تغییر می کند.

   مثالی از استفاده از این ویژگی: show\hide

   تعیین کننده $\left| را در نظر بگیرید \begin(array) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(array) \right|$. بیایید مقدار آن را با استفاده از فرمول شماره 1 از مبحث محاسبه دترمینال های مرتبه دوم و سوم پیدا کنیم:

   $$\ چپ| \begin(array) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(array) \right|=2\cdot 4-5\cdot 9=-37.$$

   حالا بیایید خط اول و دوم را با هم عوض کنیم. تعیین کننده $\left| را بدست می آوریم \begin(array) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(array) \right|$. بیایید تعیین کننده حاصل را محاسبه کنیم: $\left| \begin(array) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(array) \right|=9\cdot 5-4\cdot 2=37$. بنابراین، مقدار تعیین کننده اصلی (37-) بود و مقدار تعیین کننده با ترتیب ردیف تغییر یافته $-(-37)=37$ است. علامت تعیین کننده به عکس تغییر کرده است.

3. تعیین کننده ای که برای آن همه عناصر یک ردیف (ستون) برابر با صفر باشد، برابر با صفر است.

   مثالی از استفاده از این ویژگی: show\hide

   از آنجایی که در تعیین $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(array) \right|$ همه عناصر ستون سوم صفر هستند، سپس تعیین کننده صفر است، یعنی $\ چپ| \begin(array) (cccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(array) \right|=0$.

4. تعیین کننده ای که برای آن همه عناصر یک سطر (ستون) مشخص با عناصر مربوط به یک سطر دیگر (ستون) برابر است برابر با صفر است.

   مثالی از استفاده از این ویژگی: show\hide

   از آنجایی که در تعیین $\left| \begin(array) (cccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(array) \right|$ همه عناصر سطر اول برابر هستند عناصر ردیف دوم، سپس تعیین کننده برابر با صفر است، یعنی. $\ چپ| \begin(array) (cccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(array) \right|=0$.

5. اگر در یک تعیین کننده همه عناصر یک ردیف (ستون) با عناصر متناظر یک ردیف دیگر (ستون) متناسب باشند، چنین تعیین کننده ای برابر با صفر است.

   مثالی از استفاده از این ویژگی: show\hide

   از آنجایی که در تعیین $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(array) \right|$ سطرهای دوم و سوم متناسب هستند، یعنی. $r_3=-3\cdot(r_2)$، سپس دترمینان برابر با صفر است، یعنی. $\ چپ| \begin(array) (cccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(array) \right|=0$.

6. اگر همه عناصر یک ردیف (ستون) یک عامل مشترک داشته باشند، می توان این عامل را از علامت تعیین کننده خارج کرد.

   مثالی از استفاده از این ویژگی: show\hide

   تعیین کننده $\left| را در نظر بگیرید \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(array) \right|$. توجه داشته باشید که تمام عناصر در ردیف دوم بر 3 تقسیم می شوند:

   $$\ چپ| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(array) \right|=\left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(array) \right|$$

   عدد 3 فاکتور مشترک همه عناصر ردیف دوم است. بیایید این سه مورد را از علامت تعیین کننده خارج کنیم:

   $$\ چپ| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(array) \right|=\left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(array) \right|= 3\cdot \left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -3 & 7 \end(array) \right| $$

7. اگر به تمام عناصر یک ردیف خاص (ستون) عناصر مربوط به یک ردیف دیگر (ستون) را که در یک عدد دلخواه ضرب می شود اضافه کنیم، تعیین کننده تغییر نخواهد کرد.

   مثالی از استفاده از این ویژگی: show\hide

   تعیین کننده $\left| را در نظر بگیرید \begin(array) (cccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|$. بیایید به عناصر خط دوم عناصر مربوط به خط سوم را در 5 ضرب کنیم. این عمل به صورت زیر نوشته می شود: $r_2+5\cdot(r_3)$. خط دوم تغییر می کند، خطوط باقی مانده بدون تغییر باقی می مانند.

   $$\ چپ| \begin(array) (cccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right| \begin(array) (l) \phantom(0)\\ r_2+5\cdot(r_3)\\ \phantom(0) \end(array)= \left| \begin(array) (cccc) -7 & 10 & 0\\ -9+5\cdot 2 & 21+5\cdot (-3) & 4+5\cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \end (آرایه) \راست|= \چپ| \begin(array) (cccc) -7 & 10 & 0\\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|. $$

8. اگر یک سطر (ستون) معین در یک دترمینان ترکیبی خطی از سایر ردیف ها (ستون ها) باشد، دترمینان برابر با صفر است.

   مثالی از استفاده از این ویژگی: show\hide

   اجازه دهید بلافاصله توضیح دهم که عبارت "ترکیب خطی" به چه معناست. اجازه دهید s ردیف (یا ستون) داشته باشیم: $A_1$، $A_2$،...، $A_s$. بیان

   $$ k_1\cdot A_1+k_2\cdot A_2+\ldots+k_s\cdot A_s, $$

   که در آن $k_i\در R$ ترکیبی خطی از ردیف‌ها (ستون‌ها) $A_1$، $A_2$،...، $A_s$ نامیده می‌شود.

   به عنوان مثال، تعیین کننده زیر را در نظر بگیرید:

   $$\ چپ| \begin(array) (cccc) -1 & 2 & 3 & 0\\ -2 & -4 & -5 & 1\\ 5 & 0 & 7 & 10 \\ -13 & -8 & -16 & -7 \end(آرایه) \right| $$

   در این تعیین کننده، ردیف چهارم را می توان به صورت ترکیبی خطی از سه ردیف اول بیان کرد:

   $$ r_4=2\cdot(r_1)+3\cdot(r_2)-r_3 $$

   بنابراین تعیین کننده مورد نظر برابر با صفر است.

9. اگر هر عنصر از یک ردیف k-امین (ستون k-امین) یک تعیین کننده برابر با مجموع دو جمله باشد، چنین تعیین کننده ای برابر با مجموع عوامل تعیین کننده است که اولین آنها در ردیف k-امین قرار دارد. ( ستون kth) جمله های اول و تعیین کننده دوم دارای جمله های دوم در ردیف k-امین (ستون k-امین) است. سایر عناصر این تعیین کننده ها یکسان هستند.

   مثالی از استفاده از این ویژگی: show\hide

   تعیین کننده $\left| را در نظر بگیرید \begin(array) (cccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|$. بیایید عناصر ستون دوم را به این صورت بنویسیم: $\left| \begin(array) (cccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(array) \right|$. سپس چنین تعیین کننده ای برابر است با مجموع دو تعیین کننده:

   $$\ چپ| \begin(array) (cccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \راست|= \چپ| \begin(array) (cccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(array) \right|= \left| \begin(array) (cccc) -7 & 3 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \end(array) \right|+ \left| \begin(array) (cccc) -7 & 7 & 0\\ -9 & 0 & 4 \\ 2 & -8 & 1 \end(array) \right| $$

10. دترمینان حاصل ضرب دو ماتریس مربعی هم‌ترتیب برابر است با حاصلضرب تعیین‌کننده‌های این ماتریس‌ها، یعنی. $\det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B$. از این قانون می توانیم فرمول زیر را بدست آوریم: $\det \left(A^n \right)=\left(\det A \right)^n$.
11. اگر ماتریس $A$ غیر مفرد است (یعنی تعیین کننده آن برابر با صفر نیست)، آنگاه $\det \left(A^(-1)\right)=\frac(1)(\det A)$.

فرمول های محاسبه عوامل تعیین کننده

برای تعیین کننده های مرتبه دوم و سوم، فرمول های زیر صحیح است:

\begin(معادله) \Delta A=\left| \begin(array) (cc) a_(11) & a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \end(array) \right|=a_(11)\cdot a_(22)-a_( 12)\cdot a_(21) \end(معادله) \begin(معادله) \begin(تراز شده) & \Delta A=\left| \begin(array) (cccc) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_(32) & a_(33) \end(array) \right|= a_(11)\cdot a_(22)\cdot a_(33)+a_(12)\cdot a_(23)\cdot a_(31)+a_(21 )\cdot a_(32)\cdot a_(13)-\\ & -a_(13)\cdot a_(22)\cdot a_(31)-a_(12)\cdot a_(21)\cdot a_(33 )-a_(23)\cdot a_(32)\cdot a_(11)\end(تراز شده)\پایان(معادله)

نمونه هایی از استفاده از فرمول های (1) و (2) در مبحث "فرمول های محاسبه دترمینان های مرتبه دوم و سوم. نمونه هایی از محاسبه دترمینان" آمده است.

تعیین کننده ماتریس $A_(n\times n)$ را می توان در بسط داد خط i-امبا استفاده از فرمول زیر:

\begin(معادله)\دلتا A=\sum\limits_(j=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(i1)A_(i1)+a_(i2)A_(i2)+\ ldots+a_(in)A_(in) \end(معادله)

آنالوگ این فرمول نیز برای ستون ها وجود دارد. فرمول گسترش دترمینان در ستون j به شرح زیر است:

\begin(معادله)\Delta A=\sum\limits_(i=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(1j)A_(1j)+a_(2j)A_(2j)+\ ldots+a_(nj)A_(nj) \end(معادله)

قواعد بیان شده با فرمول های (3) و (4) به طور مفصل با مثال ها نشان داده شده و در مبحث کاهش ترتیب تعیین کننده توضیح داده شده است. تجزیه دترمینان در یک ردیف (ستون).

اجازه دهید فرمول دیگری را برای محاسبه عوامل تعیین کننده ماتریس های مثلثی بالا و پایین نشان دهیم (برای توضیح این اصطلاحات به مبحث "ماتریس ها. انواع ماتریس ها. اصطلاحات اساسی" مراجعه کنید). تعیین کننده چنین ماتریسی برابر با حاصلضرب عناصر در مورب اصلی است. مثال ها:

\begin(تراز شده) &\left| \begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \end (آرایه) \right|= 2\cdot 9\cdot 4\cdot (-6)=-432.\\ &\left| \begin(array) (cccc) -3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 10 \\ End (Array) \\ راست|= -3\cdot 0\cdot 1 \cdot 10=0. \end (تراز شده)

بیشتر مدل های ریاضی در اقتصاد با استفاده از ماتریس ها و حساب ماتریسی توصیف می شوند.

ماتریس یک جدول مستطیل شکل حاوی اعداد، توابع، معادلات یا سایر اشیاء ریاضی است که در ردیف و ستون مرتب شده اند.

اشیایی که یک ماتریس را تشکیل می دهند نامیده می شوند عناصر . ماتریس ها با حروف بزرگ لاتین نشان داده می شوند

و عناصر آنها با حروف کوچک است.

نماد
به این معنی است که ماتریس دارد
خطوط و ستون ها، عنصر در تقاطع -خط و ستون -ام
.

.

آنها می گویند که ماتریس الفبرابر با ماتریس در : A=B، اگر ساختار یکسانی داشته باشند (یعنی تعداد سطر و ستون یکسان) و عناصر مربوطه آنها به طور یکسان برابر باشند.
، برای همه
.

انواع خاصی از ماتریس ها

در عمل، ماتریس های یک نوع خاص اغلب با آن مواجه می شوند. برخی از روش ها همچنین شامل تبدیل ماتریس ها از یک نوع به نوع دیگر هستند. رایج ترین انواع ماتریس در زیر آورده شده است.

عناصر ماتریسی با تعداد سطر و ستون مساوی، یعنی الف iiقطر اصلی ماتریس را تشکیل می دهند.

عملیات روی ماتریس ها

.

ویژگی های عملیات روی ماتریس ها

ویژگی های خاص عملیات

اگر حاصل ضرب ماتریس ها
– وجود دارد، سپس کار
ممکن است وجود نداشته باشد. به طور کلی،
. یعنی ضرب ماتریس جابجایی نیست. اگر
، آن و جابجایی نامیده می شوند. به عنوان مثال، ماتریس های مورب با همان ترتیب جابجایی هستند.

اگر
، سپس اختیاری است
یا
. یعنی حاصل ضرب ماتریس های غیر صفر می تواند ماتریس صفر به دست دهد. به عنوان مثال

عملیات تصاحب فقط برای ماتریس های مربعی تعریف شده است. اگر
، آن

.

طبق تعریف آنها معتقدند
، و نشان دادن آن آسان است
,
. توجه داشته باشید که از
آن را دنبال نمی کند
.

توان عنصری الف متر =
.

عملیات انتقال ماتریس شامل جایگزینی سطرهای یک ماتریس با ستون های آن است:

,

به عنوان مثال

,
.

انتقال خواص:

عوامل تعیین کننده و خواص آنها

برای ماتریس های مربعی این مفهوم اغلب استفاده می شود تعیین کننده - عددی که از عناصر ماتریس با استفاده از قوانین کاملاً تعریف شده محاسبه می شود. این عدد یک مشخصه مهم ماتریس است و با نمادها نشان داده می شود

.

تعیین کننده ماتریس
عنصر آن است .

تعیین کننده ماتریس
طبق قانون محاسبه می شود:

یعنی حاصل ضرب عناصر قطر اضافی از حاصلضرب عناصر قطر اصلی کم می شود.

برای محاسبه تعیین کننده های مرتبه بالاتر (
) لازم است مفاهیم جزئی و متمم جبری یک عنصر معرفی شود.

جزئی
عنصر تعیین کننده ای است که از ماتریس به دست می آید ، خط زدن خط هفتم و ستون هفتم

ماتریس را در نظر بگیرید اندازه
:

,

سپس، برای مثال،

متمم جبری عنصر آنها آن را ضرب جزئی می نامند
.

,

قضیه لاپلاس: تعیین کننده یک ماتریس مربع برابر است با مجموع حاصلضرب عناصر هر ردیف (ستون) توسط مکمل های جبری آنها.

مثلا تجزیه شدن
بر اساس عناصر خط اول، دریافت می کنیم:

قضیه آخر یک روش جهانی برای محاسبه تعیین کننده های هر مرتبه، با شروع از دوم، ارائه می دهد. سطر (ستون) همیشه به عنوان ردیفی انتخاب می شود که بیشترین تعداد صفر را دارد. به عنوان مثال، شما باید تعیین کننده مرتبه چهارم را محاسبه کنید

در این مورد، می توانید تعیین کننده را در امتداد ستون اول گسترش دهید:

یا خط آخر:

این مثال همچنین نشان می دهد که تعیین کننده یک ماتریس مثلثی بالایی برابر با حاصلضرب عناصر مورب آن است. اثبات اینکه این نتیجه برای هر ماتریس مثلثی و قطری معتبر است آسان است.

قضیه لاپلاس کاهش محاسبه دترمینان را ممکن می سازد -مرتب محاسبه شود تعیین کننده ها
مرتبه ام و در نهایت به محاسبه دترمینال های مرتبه دوم.