انتگرال دوهامل.

دانستن پاسخ مدار به یک تاثیر مزاحم واحد، به عنوان مثال. تابع رسانایی گذرا و/یا تابع ولتاژ گذرا، می توانید پاسخ مدار را به تأثیر یک شکل دلخواه پیدا کنید. روش، روش محاسبه با استفاده از انتگرال Duhamel، بر اساس اصل برهم نهی است.

هنگام استفاده از انتگرال دوهامل برای جداسازی متغیری که ادغام روی آن انجام می شود و متغیری که لحظه ای از زمانی که جریان در مدار تعیین می شود را تعیین می کند، اولی معمولاً با و دومی با t نشان داده می شود.

اجازه دهید در لحظه زمانی به مدار با شرایط اولیه صفر (شبکه دو ترمینالی غیرفعال PDدر شکل 1) منبعی با ولتاژ شکل دلخواه متصل است. برای یافتن جریان در مدار، منحنی اصلی را با مرحله یک جایگزین می کنیم (شکل 2 را ببینید)، پس از آن، با در نظر گرفتن خطی بودن مدار، جریان های پرش ولتاژ اولیه و تمام مراحل ولتاژ را جمع می کنیم. تا لحظه t که با تأخیر زمانی اجرا می شود.

در زمان t، مولفه کل جریان تعیین شده توسط افزایش ولتاژ اولیه برابر است.

در لحظه ای از زمان یک افزایش ولتاژ وجود دارد ، که با در نظر گرفتن فاصله زمانی از ابتدای پرش تا نقطه زمانی مورد نظر t، مؤلفه جاری را تعیین می کند.

مجموع جریان در زمان t آشکارا برابر است با مجموع تمام اجزای جریان حاصل از نوسانات ولتاژ جداگانه، با در نظر گرفتن .

جایگزینی بازه افزایش زمان محدود با یک بی نهایت کوچک، یعنی. با عبور از جمع به انتگرال، می نویسیم

.

(1)

رابطه (1) نامیده می شود انتگرال دوهامل.

لازم به ذکر است که ولتاژ را می توان با استفاده از انتگرال دوهامل نیز تعیین کرد. در این حالت، به جای هدایت انتقال، (1) تابع ولتاژ انتقال را شامل می شود.

توالی محاسبه با استفاده از
انتگرال دوهامل

به عنوان نمونه ای از استفاده از انتگرال دوهامل، جریان مدار را در شکل 1 تعیین می کنیم. 3، در سخنرانی قبلی با استفاده از فرمول گنجاندن محاسبه شد.

داده های اولیه برای محاسبه: , , .

1. هدایت گذرا

.

18. تابع انتقال.

رابطه اپراتور نفوذ با اپراتور خود را تابع انتقال یا تابع انتقال به شکل عملگر می نامند.

پیوند توصیف شده توسط یک معادله یا معادلات به شکل نمادین یا عملگر را می توان با دو تابع انتقال مشخص کرد: یک تابع انتقال برای مقدار ورودی u. و تابع انتقال برای مقدار ورودی f.

و

با استفاده از توابع انتقال، معادله به صورت نوشته می شود . این معادله یک شکل شرطی و فشرده تر از نوشتن معادله اصلی است.

در کنار تابع انتقال در فرم اپراتور، تابع انتقال در قالب تصاویر لاپلاس بسیار مورد استفاده قرار می گیرد.

توابع انتقال در قالب تصاویر لاپلاس و فرم عملگر تا نماد منطبق هستند. تابع انتقال در شکل تصویر لاپلاس را می توان از تابع انتقال به شکل عملگر بدست آورد، اگر جایگزینی p=s در دومی انجام شود. در حالت کلی، این از این واقعیت ناشی می شود که تمایز اصلی - ضرب نمادین اصلی در p - در شرایط اولیه صفر با ضرب تصویر در عدد مختلط s مطابقت دارد.

شباهت بین توابع انتقال در شکل تصویر لاپلاس و در فرم عملگر کاملاً خارجی است و فقط در مورد پیوندهای ثابت (سیستم ها) رخ می دهد. فقط در شرایط اولیه صفر

یک مدار RLC (سری) ساده را در نظر بگیرید، تابع انتقال آن W(p)=U OUT /U IN

انتگرال فوریه.

تابع f(x), تعریف شده در کل خط اعداد نامیده می شود دوره ای، اگر عددی وجود داشته باشد که برای هر مقداری وجود داشته باشد Xبرابری برقرار است . شماره تیتماس گرفت دوره عملکرد

اجازه دهید به برخی از ویژگی های این تابع توجه کنیم:

1) مجموع، تفاوت، حاصلضرب و ضریب توابع تناوبی دوره تیتابع تناوبی دوره است تی.

2) اگر تابع f(x) دوره تی، سپس تابع f(تبر) دوره دارد.

3) اگر f(x) - تابع دوره ای دوره تی، سپس هر دو انتگرال از این تابع، در فواصل طول گرفته شده است تی(در این مورد انتگرال وجود دارد)، یعنی برای هر الفو ببرابری درست است .

سری مثلثاتی. سری فوریه

اگر f(x) بر روی یک قطعه به یک سری مثلثاتی همگرا یکنواخت گسترش می یابد: (1)

سپس این بسط منحصر به فرد است و ضرایب توسط فرمول تعیین می شود:

کجا n=1,2, . . .

سری مثلثاتی (1) از نوع در نظر گرفته شده با ضرایب نامیده می شود سری فوریه مثلثاتی.

فرم پیچیده سری فوریه

این عبارت شکل پیچیده سری فوریه تابع نامیده می شود f(x)، اگر با برابری تعریف شود

, کجا

انتقال از سری فوریه به شکل پیچیده به سری به صورت واقعی و برگشتی با استفاده از فرمول ها انجام می شود:

(n=1,2, . . .)

انتگرال فوریه تابع f(x) انتگرالی از شکل زیر است:

، کجا .

توابع فرکانس

اگر به ورودی یک سیستم با تابع انتقال اعمال می شود W(p)سیگنال هارمونیک

سپس پس از تکمیل فرآیند انتقال، نوسانات هارمونیک در خروجی برقرار خواهد شد

با فرکانس یکسان، اما دامنه و فاز متفاوت، بسته به فرکانس تأثیر مزاحم. از روی آنها می توان خواص دینامیکی سیستم را قضاوت کرد. روابطی که دامنه و فاز سیگنال خروجی را با فرکانس سیگنال ورودی وصل می کند نامیده می شود. ویژگی های فرکانس(CH). تجزیه و تحلیل پاسخ فرکانسی یک سیستم به منظور بررسی خواص دینامیکی آن نامیده می شود تجزیه و تحلیل فرکانس.

بیایید عبارات را جایگزین کنیم u(t)و y(t)وارد معادله دینامیک

(aоp n + a 1 pn - 1 + a 2 p n - 2 + ... + a n)y = (bоp m + b 1 p m-1 + ... + b m)u.

بیایید آن را در نظر بگیریم

pnu = pnU m ejwt = U m (jw)nejwt = (jw)nu.

روابط مشابهی را می توان برای سمت چپ معادله نوشت. دریافت می کنیم:

با قیاس با تابع انتقال، می توانیم بنویسیم:

W(j)، برابر با نسبت سیگنال خروجی به سیگنال ورودی هنگامی که سیگنال ورودی مطابق قانون هارمونیک تغییر می کند، نامیده می شود. تابع انتقال فرکانس. به راحتی می توان فهمید که می توان آن را به سادگی با جایگزین کردن p با j در عبارت W(p) بدست آورد.

W(j) یک تابع پیچیده است، بنابراین:

جایی که P() - پاسخ فرکانس واقعی (RFC); Q() - پاسخ فرکانسی خیالی (ICH); A() - پاسخ فرکانسی دامنه (AFC): () - پاسخ فرکانس فاز (PFC). پاسخ فرکانس نسبت دامنه سیگنال های خروجی و ورودی را نشان می دهد، پاسخ فاز تغییر فاز مقدار خروجی را نسبت به ورودی نشان می دهد:

;

اگر W(j) به صورت یک بردار در صفحه مختلط نشان داده شود، آنگاه هنگام تغییر از 0 به + انتهای آن منحنی به نام رسم می کند. هودوگراف برداری W(j)، یا پاسخ فرکانس دامنه فاز (APFC)(شکل 48).

انشعاب AFC هنگام تغییر از - به 0 را می توان با انعکاس این منحنی نسبت به محور واقعی بدست آورد.

TAU به طور گسترده استفاده می شود مشخصات فرکانس لگاریتمی (LFC)(شکل 49): پاسخ فرکانسی دامنه لگاریتمی (LAFC) L() و پاسخ فرکانس فاز لگاریتمی (LPFC) ().

آنها با گرفتن لگاریتم تابع انتقال به دست می آیند:

LFC از جمله اول به دست می آید که به دلایل مقیاس بندی در 20 ضرب می شود و از لگاریتم طبیعی استفاده نمی شود، بلکه اعشاری است، یعنی L() = 20lgA(. مقدار L() در امتداد محور ارتین در رسم می شود دسی بل.

تغییر در سطح سیگنال به میزان 10 دسی بل مربوط به تغییر 10 برابر قدرت آن است. از آنجایی که قدرت سیگنال هارمونیک P متناسب با مربع دامنه A است، تغییر سیگنال به میزان 10 برابر با تغییر سطح آن به میزان 20 دسی بل است.

log (P 2 / P 1) = log (A 2 2 /A 1 2) = 20log (A 2 /A 1).

محور آبسیسا فرکانس w را در مقیاس لگاریتمی نشان می دهد. یعنی فواصل واحد در امتداد محور آبسیسا با تغییر w با ضریب 10 مطابقت دارد. این فاصله نامیده می شود دهه. از آنجایی که log(0) = -، محور ارتین به صورت دلخواه رسم می شود.

LPFC به دست آمده از جمله دوم با پاسخ فاز تنها در مقیاس در امتداد محور متفاوت است. مقدار () در امتداد محور مختصات بر حسب درجه یا رادیان رسم می شود. برای پیوندهای ابتدایی فراتر نمی رود: - +.

ویژگی های فرکانس مشخصه های جامع سیستم هستند. با دانستن پاسخ فرکانسی سیستم، می توانید عملکرد انتقال آن را بازیابی کرده و پارامترهای آن را تعیین کنید.

بازخورد.

به طور کلی پذیرفته شده است که اگر سیگنال خروجی آن از طریق پیوند دیگری به ورودی داده شود، یک پیوند با بازخورد پوشانده می شود. علاوه بر این، اگر سیگنال بازخورد از عمل ورودی () کم شود، بازخورد منفی نامیده می شود. اگر سیگنال بازخورد به عمل ورودی () اضافه شود، بازخورد مثبت نامیده می شود.

تابع انتقال یک حلقه بسته با بازخورد منفی - پیوندی که با بازخورد منفی پوشانده شده است - برابر است با تابع انتقال حلقه رو به جلو تقسیم بر یک به اضافه تابع انتقال حلقه باز

تابع انتقال حلقه بسته با بازخورد مثبت برابر است با تقسیم تابع انتقال حلقه رو به جلو بر یک منهای تابع انتقال حلقه باز

22. 23. چهارقطبی.

هنگام تجزیه و تحلیل مدارهای الکتریکیدر مسائل بررسی رابطه بین متغیرها (جریان، ولتاژ، توان و ...) دو شاخه از یک مدار، نظریه شبکه های چهار ترمینالی به طور گسترده مورد استفاده قرار می گیرد.

چهارقطبی- این بخشی از یک مدار از هر پیکربندی است که دارای دو جفت پایانه است (از این رو نام آن است) که معمولاً ورودی و خروجی نامیده می شود.

نمونه هایی از یک شبکه چهار پایانه ترانسفورماتور، تقویت کننده، پتانسیومتر، خط برق و سایر وسایل الکتریکی است که در آنها دو جفت قطب قابل تشخیص هستند.

به طور کلی چهار قطبی ها را می توان به دو دسته تقسیم کرد فعال،که ساختار آن شامل منابع انرژی و منفعل،که شاخه های آن حاوی منابع انرژی نیستند.

برای نوشتن معادلات یک شبکه چهار پورت، در یک مدار دلخواه یک شاخه را انتخاب می کنیم تنها منبعانرژی و هر شاخه دیگری با مقداری مقاومت (نگاه کنید به شکل 1، a).

مطابق با اصل جبران، مقاومت اصلی را با منبعی با ولتاژ جایگزین می کنیم (شکل 1، ب را ببینید). سپس بر اساس روش برهم نهی برای مدار در شکل. 1b را می توان نوشت

معادلات (3) و (4) معادلات اصلی چهارقطبی هستند. آنها همچنین معادلات چهارقطبی به شکل A نامیده می شوند (جدول 1 را ببینید). به طور کلی، شش شکل برای نوشتن معادلات یک چهارقطبی غیرفعال وجود دارد. در واقع یک شبکه چهار ترمینالی با دو ولتاژ و دو جریان و. هر دو کمیت را می توان بر حسب بقیه بیان کرد. از آنجایی که تعداد ترکیب های چهار در دو شش است، پس شش شکل از نوشتن معادلات یک چهارقطبی غیرفعال امکان پذیر است که در جدول آورده شده است. 1. جهت های مثبت جریان برای اشکال مختلف معادلات نوشتاری در شکل نشان داده شده است. 2. توجه داشته باشید که انتخاب یک یا دیگر شکل از معادلات با مساحت و نوع مسئله حل شده تعیین می شود.

جدول 1. اشکال نوشتن معادلات چهارقطبی غیرفعال

فرم	معادلات	ارتباط با ضرایب معادلات پایه
A شکل	; ;
Y شکل	; ;	; ; ; ;
Z شکل	; ;	; ; ; ;
H شکل	; ;	; ; ; ;
G شکل	; ;	; ; ; ;
ب شکل	; .	; ; ; .

امپدانس و ضریب مشخصه
انتشار یک چهارقطبی متقارن

در ارتباطات راه دور، حالت عملکرد یک شبکه چهار پایانه متقارن به طور گسترده استفاده می شود که در آن مقاومت ورودی آن برابر با مقاومت بار است، یعنی.

.

این مقاومت به عنوان و نامیده می شود مقاومت مشخصهشبکه چهار پورت متقارن و حالت عملیاتی شبکه چهار پورت که برای آن درست است

,

برای قضاوت در مورد قابلیت‌های دستگاه‌های الکتریکی که تأثیرات ورودی را دریافت و ارسال می‌کنند، آنها به مطالعه ویژگی‌های گذرا و ضربه‌ای آنها متوسل می‌شوند.

پاسخ گامی ساعت(تی) یک مدار خطی که حاوی منابع مستقل نیست از نظر عددی برابر است با پاسخ مدار به تأثیر یک جریان یا پرش ولتاژ منفرد در قالب تابع تک پله ای 1 ( تی) یا 1( تی – تی 0) در شرایط اولیه صفر (شکل 14). بعد مشخصه گذار برابر است با نسبت بعد واکنش به بعد ضربه. می تواند بدون بعد باشد، ابعاد اهم، زیمنس (سانتی متر) داشته باشد.

برنج. 14

پاسخ ضربه ای ک(تی) یک مدار خطی که حاوی منابع مستقل نیست از نظر عددی برابر است با پاسخ مدار به عمل یک تکانه به شکل d( تی) یا د( تی – تی 0) توابع با شرایط اولیه صفر. بعد آن برابر است با نسبت بعد واکنش به حاصل ضرب بعد ضربه و زمان، بنابراین می تواند ابعاد c –1، اهم –1، Sms –1 داشته باشد.

تابع ضربه d( تی) را می توان به عنوان مشتق تابع گام واحد d( تی) = د 1(تی)/dt. بر این اساس، پاسخ ضربه همیشه مشتق زمانی پاسخ گام است: ک(تی) = ساعت(0 +)d( تی) + dh(تی)/dt. این رابطه برای تعیین پاسخ ضربه استفاده می شود. به عنوان مثال، اگر برای برخی از زنجیره ساعت(تی) = 0,7ه –100تی، آن ک(تی) = 0.7d( تی) – 70ه –100 تی. پاسخ گذرا را می توان با روش کلاسیک یا عملگر محاسبه فرآیندهای گذرا تعیین کرد.

بین مشخصات زمان و فرکانس یک مدار ارتباط وجود دارد. با دانستن تابع انتقال اپراتور، می توانید تصویری از واکنش مدار پیدا کنید: Y(س) = دبلیو(س)X(س) یعنی تابع انتقال شامل اطلاعات کاملدر مورد خواص یک مدار به عنوان سیستمی برای انتقال سیگنال از ورودی به خروجی آن در شرایط اولیه صفر. در این مورد، ماهیت ضربه و واکنش مطابق با مواردی است که تابع انتقال برای آنها تعیین شده است.

تابع انتقال برای مدارهای خطی به نوع عملکرد ورودی بستگی ندارد، بنابراین می توان آن را از پاسخ گذرا به دست آورد. بنابراین، وقتی یک تابع گام واحد 1( تی) انتقال تابع با در نظر گرفتن این واقعیت که 1( تی) = 1/س، برابر است

دبلیو(س) = L [ساعت(تی)] / L = L [ساعت(تی)] / (1/س، کجا L [f(تی)] - تعیین تبدیل لاپلاس مستقیم بر روی یک تابع f(تی). پاسخ گام را می توان از طریق تابع انتقال با استفاده از تبدیل لاپلاس معکوس تعیین کرد. ساعت(تی) = L –1 [دبلیو(س)(1/س)]، کجا L –1 [اف(س)] - تعیین تبدیل لاپلاس معکوس بر روی یک تابع اف(س). بنابراین، پاسخ گذرا ساعت(تی) تابعی است که تصویر آن برابر است دبلیو(س) /س.

وقتی یک تابع تک پالس d( تی) تابع انتقال دبلیو(س) = L [ک(تی)] / L = L [ک(تی)] / 1 = L [ک(تی)]. بنابراین، پاسخ ضربه ای مدار ک(تی) اصل تابع انتقال است. از تابع عملگر شناخته شده مدار، با استفاده از تبدیل لاپلاس معکوس، می توان پاسخ ضربه را تعیین کرد: ک(تی) دبلیو(س). این بدان معنی است که پاسخ ضربه ای مدار به طور منحصر به فرد مشخصه های فرکانس مدار را تعیین می کند و بالعکس، زیرا

دبلیو(j w) = دبلیو(س)س = j w از آنجایی که پاسخ گذرا یک مدار را می توان از یک پاسخ ضربه ای شناخته شده (و بالعکس) پیدا کرد، دومی نیز به طور منحصر به فردی توسط ویژگی های فرکانس مدار تعیین می شود.

مثال 8.مشخصه های گذرا و ضربه ای مدار (شکل 15) را برای جریان ورودی و ولتاژ خروجی در پارامترهای داده شدهعناصر: آر= 50 اهم، L 1 = L 2 = L= 125 میلی ساعت،
با= 80 µF.

برنج. 15

راه حل.بیایید از روش محاسبه کلاسیک استفاده کنیم. معادله مشخصه Zin = آر + pl +
+ 1 / (pC) = 0 برای پارامترهای داده شده عناصر دارای ریشه های مزدوج پیچیده است: ص 1,2 =
= - د j w A 2 = – 100 j 200، که ماهیت نوسانی فرآیند انتقال را تعیین می کند. در این مورد، قوانین تغییرات جریان و ولتاژ و مشتقات آنها به طور کلی به صورت زیر نوشته می شود:

y(تی) = (مсosw A 2 تی+ ن sinw A 2 تی)ه-د تی + yبیرون دو(تی) / dt =

=[(–م d+ ن w A 2) cos w A 2 تی – (م w A 2 + ند) سین A 2 تی]ه-د تی + دوبیرون / dt، که در آن w A 2 فرکانس نوسانات آزاد است. yجزء اجباری فرآیند انتقال.

ابتدا بیایید راه حلی برای آن پیدا کنیم u C(تی) و iC(تی) = سی دو سی(تی) / dtبا استفاده از معادلات فوق و سپس با استفاده از معادلات Kirchhoff ولتاژها، جریان ها و بر این اساس ویژگی های گذرا و ضربه ای مورد نیاز را تعیین می کنیم.

برای تعیین ثابت های ادغام، مقادیر اولیه و اجباری توابع نشان داده شده ضروری است. مقادیر اولیه آنها مشخص است: u C(0 +) = 0 (از تعریف ساعت(تی) و ک(تی))، زیرا iC(تی) = من ال(تی) = من(تی) آن iC(0 +) = من ال(0 +) = 0. مقادیر اجباری را از معادله ای که طبق قانون دوم کیرشهوف برای تی 0 + : تو 1 = R i(تی) + (L 1 + L 2) من(تی) / dt + u C(تی), تو 1 = 1(تی) = 1 = ثابت،

از اینجا u C() = u Cبیرون = 1، iC() = iCبیرون = من() = 0.

بیایید معادلاتی برای تعیین ثابت های یکپارچه سازی ایجاد کنیم م, ن:

u C(0 +) = م + u Cخارج (0 +)، iC(0 +) = با(–م d+ ن w A 2) + iCخارج (0+)؛ یا: 0 = م + 1; 0 = –م 100 + ن 200; از اینجا: م = –1, ن= -0.5. مقادیر به دست آمده به ما امکان می دهد راه حل ها را یادداشت کنیم u C(تی) و iC(تی) = من(تی): u C(تی) = [–cos200 تی– -0.5sin200 تی)ه –100تی+ 1] B، iC(تی) = من(تی) = ه –100 تی] = 0,02
sin200 تی)ه –100 تیالف. طبق قانون دوم کیرشهوف،

تو 2 (تی) = u C(تی) + u L 2 (تی), u L 2 (تی) = u L(تی) = Ldi(تی) / dt= (0.5cos200 تی– 0.25sin200 تی) ه –100تیب. سپس تو 2 (تی) =

=(–0.5сos200 تی– 0.75sin200 تی) ه –100تی+ 1 = [-0.901sin(200 تی + 33,69) ه –100تی+ 1] ب.

بیایید صحت نتیجه به دست آمده را با استفاده از مقدار اولیه بررسی کنیم: از یک طرف، تو 2 (0 +) = -0.901 sin (33.69) + 1 = 0.5، و از طرف دیگر، تو 2 (0 +) = u C (0 +) + u L(0 +) = 0 + 0.5 - مقادیر یکسان هستند.

وزارت آموزش و علوم اوکراین

دانشگاه ملی دونتسک

گزارش دهید

با موضوع: مدارها و سیگنال های مهندسی رادیو

دانشجوی سال سوم تمام وقت NF-3

توسعه یافته توسط یک دانش آموز:

الکساندرویچ اس. وی.

بررسی شده توسط معلم:

دولبشچنکوف V.V.

مقدمه

مدارها و سیگنال های مهندسی رادیو (RTC و S)– دوره ای که ادامه درس “مبانی تئوری مدار” است. هدف آن مطالعه قوانین اساسی مرتبط با دریافت سیگنال ها، انتقال آنها از طریق کانال های ارتباطی، پردازش و تبدیل در مدارهای رادیویی است. روش های تجزیه و تحلیل سیگنال ها و مدارهای مهندسی رادیویی ارائه شده در درس "RTC و C" از اطلاعات ریاضی و فیزیکی استفاده می کند که عمدتاً برای دانشجویان رشته های قبلی شناخته شده است. هدف مهم درس "RTC و S" این است که به دانش آموزان بیاموزد یک دستگاه ریاضی را انتخاب کنند که برای مسئله ای که با آن مواجه می شود مناسب باشد و نشان دهد که چگونه این دستگاه هنگام حل مسائل خاص در زمینه مهندسی رادیو کار می کند. به همان اندازه مهم است که به دانش آموزان بیاموزیم که ارتباط نزدیک بین توصیف ریاضی و جنبه فیزیکی پدیده مورد بررسی را ببینند تا بتوانند بنویسند. مدل های ریاضیفرآیندهای در حال مطالعه

بخش های اصلی مورد مطالعه در دوره "مدارها و سیگنال های مهندسی رادیو":

1. تجزیه و تحلیل زمان بندی مدارها بر اساس کانولوشن.

2. تحلیل طیفیسیگنال ها؛

3. سیگنال های رادیویی با مدولاسیون دامنه و زاویه.

4. تجزیه و تحلیل همبستگی سیگنال ها.

5. مدارهای خطی فعال;

6. تجزیه و تحلیل عبور سیگنال از مدارهای باند باریک.

7. منفی بازخورددر مدارهای خطی؛

8. سنتز فیلتر.

9. مدارهای غیرخطی و روشهای تحلیل آنها.

10. مدارهای با پارامترهای متغیر.

11. اصول ایجاد نوسانات هارمونیک;

12. اصول پردازش سیگنال های زمان گسسته.

13. سیگنال های تصادفی;

14. تجزیه و تحلیل عبور سیگنال های تصادفی از مدارهای خطی.

15. تجزیه و تحلیل عبور سیگنال های تصادفی از مدارهای غیر خطی.

16. فیلتر بهینه سیگنال های قطعی در نویز.

17. فیلتر بهینه سیگنال های تصادفی.

18. روشهای عددی برای محاسبه مدارهای خطی.

تجزیه و تحلیل مدار زمان بندی بر اساس پیچیدگی

گام و پاسخ تکانه

روش زمان بر اساس مفهوم ویژگی های گذرا و ضربه ای یک مدار است. پاسخ گامیزنجیره‌ها پاسخ یک زنجیره به تأثیری در قالب یک تابع واحد هستند. پاسخ گذرا یک مدار را نشان می دهد g(تی).پاسخ ضربه ایمدارها را پاسخ مدار به یک تابع تکانه (تابع d) می گویند. نشان دهنده پاسخ ضربه ای است ساعت(تی). علاوه بر این، g(تی) و ساعت(تی) در شرایط اولیه صفر در مدار تعیین می شوند. بسته به نوع واکنش و نوع ضربه (جریان یا ولتاژ)، مشخصه های گذرا و ضربه ای می توانند کمیت های بدون بعد یا دارای ابعاد A/B یا V/A باشند.

استفاده از مفاهیم ویژگی های گذرا و ضربه ای یک مدار به ما این امکان را می دهد که محاسبه پاسخ مدار را از عملکرد یک سیگنال غیر تناوبی با شکل دلخواه به تعیین پاسخ مدار به ساده ترین ضربه مانند یک 1 کاهش دهیم. تی) یا تابع ضربه d( تی) که با کمک آن سیگنال اصلی تقریبی می شود. در این حالت، واکنش حاصل از یک زنجیره خطی (با استفاده از اصل برهم نهی) به عنوان مجموع واکنش های زنجیره به تأثیرات اولیه 1 ( تی) یا د( تی).

بین انتقالی g(تی) و نبض ساعت(تی) بین مشخصات یک مدار غیرفعال خطی ارتباط مشخصی وجود دارد. اگر یک تابع ضربه واحد را از طریق عبور به حد اختلاف دو تابع واحد با قدر 1/t نشان دهیم، که با زمان t نسبت به یکدیگر جابجا شده اند، می توان آن را ایجاد کرد:

یعنی تابع تکانه واحد برابر با مشتق تابع واحد است. از آنجایی که مدار مورد بررسی خطی فرض می شود، این رابطه برای واکنش های ضربه ای و گذرای مدار یکسان می ماند.

یعنی پاسخ ضربه ای مشتق از پاسخ پله مدار است.

معادله برای حالتی معتبر است که g(0) = 0 (شرایط اولیه مدار صفر). اگر g(0) ¹ 0، سپس ارائه می شود g(تی) در فرم g(تی) =، که در آن = 0، معادله جفت را برای این مورد به دست می آوریم:

برای یافتن ویژگی های گذرا و ضربه ای یک مدار، می توانید از هر دو روش کلاسیک و عملگر استفاده کنید. ماهیت روش کلاسیک تعیین پاسخ زمانی مدار (به شکل ولتاژ یا جریان در شاخه های جداگانه مدار) به تأثیر یک 1 ( تی) یا تکانه d( تی) توابع. معمولاً تعیین پاسخ گذرا با استفاده از روش کلاسیک راحت است g(تی) و پاسخ ضربه ای ساعت(تی) با استفاده از معادلات جفت یا روش عملگر پیدا کنید.

لازم به ذکر است که ارزش من(r)Vمعادله از نظر عددی برابر با تصویر رسانایی گذرا است. یک تصویر مشابه از پاسخ ضربه از نظر عددی برابر با هدایت اپراتور مدار است

به عنوان مثال، برای RС-زنجیره هایی که داریم:

درخواست به Y(ص) قضیه بسط، به دست می آوریم:

در جدول 1.1 مقادیر مشخصه های گذرا و ضربه ای جریان و ولتاژ را برای برخی مدارهای مرتبه اول و دوم خلاصه می کند.

پاسخ ضربه ای(تابع وزن) پاسخ سیستم به یک تکانه بی نهایت منفرد (تابع دلتا یا تابع دیراک) در شرایط اولیه صفر است. تابع دلتا با برابری ها تعریف می شود

, .

این عملکرد عمومی- یک شیء ریاضی که نشان دهنده یک سیگنال ایده آل است، نه دستگاه واقعیقادر به تکثیر آن نیست تابع دلتا را می توان به عنوان حد یک پالس مستطیلی با واحد سطح در مرکز یک نقطه در نظر گرفت زیرا عرض پالس به سمت صفر میل می کند.

حال باید حدود این مقدار را تحلیل کنیم. بنابراین، ما باید از انتگرال ها برای درک درست این نوع سیستم استفاده کنیم. برای این ما به یک پیچیدگی نیاز داریم! برای این مشکل، فرض کنید که \\ بزرگتر از صفر است. دو تابع زیر را امتحان کنید.

,

تابع انتقال سیستم، که تبدیل لاپلاس برای آن است، کجاست. پاسخ ضربه ای یک سیستم با یک انتگرالگر به مقدار ثابتی برابر با ضریب انتقال استاتیک یک سیستم بدون انتگرال گر تمایل دارد. برای یک سیستم با دو انتگرالگر، پاسخ ضربه به طور مجانبی به یک خط مستقیم، با سه انتگرالگر - به سهمی و غیره تمایل دارد.

سیگنال گسسته مربوطه یک دنباله است. بیایید تبدیل فوریه یک سیگنال پیوسته را در نظر بگیریم. تقریب تبدیل فوریه از سیگنال گسسته با استفاده از روش جعبه به دست می آید.

وقتی مجموع در رتبه نهایی متوقف شد، پیدا می کنیم.

سیستم خطی با پاسخ ضربه محدود

این سیستم علت نامیده می شود زیرا حالت خروجی فقط به حالت های ورودی قبلی بستگی دارد. سیگنال گسسته تعریف شده است.

برای یک پالس ورودی، سیستم خطی یک سیگنال خروجی می دهد.

لازم به ذکر است که سیگنال خروجی نتیجه انحراف سیگنال ورودی با یک پاسخ ضربه ای است.

8. روش زمانی برای تحلیل فرآیندهای گذرا در مدارهای الکتریکی خطی

8.1. مشخصات گذرا و ضربه ای مدارهای الکتریکی

روش زمان بر اساس مفهوم ویژگی های گذرا و ضربه ای یک مدار است. پاسخ گامیزنجیره‌ها پاسخ یک زنجیره به یک تأثیر در قالب یک تابع واحد هستند (7.19). پاسخ گذرا یک مدار را نشان می دهد g(تی).پاسخ ضربه ایمدارها پاسخ مدار به تأثیر یک تابع ضربه واحد (تابع d) نامیده می شوند (7.21). نشان دهنده پاسخ ضربه ای است ساعت(تی). g(تیعلاوه بر این، ساعت(تی) ) و

در شرایط اولیه صفر در مدار تعیین می شوند. بسته به نوع واکنش و نوع ضربه (جریان یا ولتاژ)، مشخصه های گذرا و ضربه ای می توانند کمیت های بدون بعد یا دارای ابعاد A/B یا V/A باشند.

این سیستم یک فیلتر پاسخ تکانه محدود است. که تبدیل فوریه گسسته پاسخ ضربه است. به عنوان در نظر بگیریدمثال ساده

فیلتری که میانگین حسابی دو مقدار ورودی متوالی را پیاده سازی می کند. تیاستفاده از مفاهیم ویژگی های گذرا و ضربه ای یک مدار به ما این امکان را می دهد که محاسبه پاسخ مدار را از عملکرد یک سیگنال غیر تناوبی با شکل دلخواه به تعیین پاسخ مدار به ساده ترین ضربه مانند یک 1 کاهش دهیم. تی) یا تابع ضربه d( تی) یا د( تی).

) که با کمک آن سیگنال اصلی تقریبی می شود. در این حالت، واکنش حاصل از یک زنجیره خطی (با استفاده از اصل برهم نهی) به عنوان مجموع واکنش های زنجیره به تأثیرات اولیه 1 (

فیلتر میانی یک فیلتر پایین گذر است. تغییر فاز به صورت خطی با فرکانس تغییر می کند. این با عبارت پاسخ فرکانسی زیر تایید می شود. برای شبیه سازی اثر این فیلتر بر روی یک سیگنال، سیگنال پیوسته زیر و نمونه آن را در نظر بگیرید. برای فیلتر شدنسیگنال گسسته

همه فرکانس‌های سیگنال در هنگام عبور از فیلتر دچار یک تغییر τ می‌شوند. τ - زمان انتشار.

بین انتقالی g(تی) و نبض ساعت(تی) بین مشخصات یک مدار غیرفعال خطی ارتباط مشخصی وجود دارد. می توان آن را با نشان دادن یک تابع ضربه واحد از طریق عبور به مرز اختلاف دو تابع واحد با قدر 1/t، که با زمان t نسبت به یکدیگر جابجا شده اند، ایجاد کرد (شکل 7.4 را ببینید):

یعنی تابع تکانه واحد برابر با مشتق تابع واحد است. از آنجایی که مدار مورد بررسی خطی فرض می شود، رابطه (8.1) برای واکنش های ضربه ای و گذرا مدار نیز حفظ می شود.

شکل سیگنال با فیلتر باند گذر تغییر نمی کند. با جداسازی عبارت حاوی فاز، پاسخ فرکانسی مطابق عبارت نوشته می شود. پس از تغییر متغیر، عبارت gain به صورت مجموع خروجی می شود. پاسخ فرکانسی نوشته شده است. با در نظر گرفتن حد، می گیریم.

یک فیلتر فاز خطی با پاسخ ضربه بی نهایت به دست می آید. این روش معادل اعمال یک پنجره مستطیلی بر روی ضرایب فوریه است.

ضرایب فوریه این تابع.

نتیجه را می توان با استفاده از تابع اصلی سینوسی بیان کرد و فقط به نسبت فرکانس قطع به فرکانس نمونه گیری بستگی دارد.

یعنی پاسخ ضربه ای مشتق از پاسخ پله مدار است.

معادله (8.2) برای حالتی معتبر است که g(0) = 0 (شرایط اولیه مدار صفر). اگر g(0) ¹ 0، سپس ارائه می شود g(تی) در فرم g(تی) =، که در آن = 0، معادله جفت را برای این مورد به دست می آوریم:

برای بدست آوردن پاسخ فرکانسی از تابع زیر استفاده می شود. در اینجا نمودار بهره و فاز فیلتر آمده است. می توان دید که فاز در واقع در باند عبور خطی است، اما بهره دارای امواج بسیار قوی است. ناپیوستگی در فاز π در باند ضعیف وجود دارد. البته تفاوت ها از نظر تابع انتقال مورد نظر به دلیل کوتاه شدن پاسخ ضربه است.

بیایید سعی کنیم با پنجره هانا کوتاه کنیم. امواج در باند عبور و باند ضعیف شده به طور قابل توجهی کاهش می یابد. خطی بودن فاز در باند عبور همیشه تضمین می شود. اگر قرار است تاخیر τ ثابت بماند، نرخ نمونه برداری باید به طور همزمان افزایش یابد. یک سیگنال نویز انتخاب شده است.

برای یافتن ویژگی های گذرا و ضربه ای یک مدار، می توانید از هر دو روش کلاسیک و عملگر استفاده کنید. ماهیت روش کلاسیک تعیین پاسخ زمانی مدار (به شکل ولتاژ یا جریان در شاخه های جداگانه مدار) به تأثیر یک 1 ( تی) یا تکانه d( تی) توابع. معمولاً تعیین پاسخ گذرا با استفاده از روش کلاسیک راحت است g(تی) و پاسخ ضربه ای ساعت(تی) با استفاده از معادلات اتصال (8.2)، (8.3) یا روش عملگر پیدا کنید.

مثال.اجازه دهید از روش کلاسیک برای یافتن پاسخ گذرا ولتاژ برای مدار نشان داده شده در شکل استفاده کنیم. 8.1. به صورت عددی g u(تی) برای یک مدار معین با ولتاژ خازن زمانی که در لحظه وصل می شود منطبق است تی= 0 به منبع ولتاژ U 1 = L V:

قانون تغییر ولتاژ توسی(تی) با معادله (6.27) تعیین می شود، جایی که لازم است قرار داده شود U= l V:

هنگام یافتن خصوصیات g(تیعلاوه بر این، ساعت(تی) با استفاده از روش عملگر، تصاویر توابع 1( تی), د( تی) و روش برای محاسبه فرآیندهای گذرا که در فصل. 7.

مثال.اجازه دهید مشخصه انتقال را با استفاده از روش عملگر تعیین کنیم g u(تی) RС- زنجیر (به شکل 8.1 مراجعه کنید). برای این زنجیره، مطابق با قانون اهم، در عملگر (7.35) می‌توانیم بنویسیم:

بالاخره می رسیم

از اینجا با استفاده از قضیه بسط (7.31) متوجه می شویم

یعنی همان مقداری که با روش کلاسیک به دست می آید.

لازم به ذکر است که ارزش من(r)Vمعادله (8.4) از نظر عددی با تصویر رسانایی انتقال برابر است. یک تصویر مشابه از پاسخ ضربه از نظر عددی برابر با هدایت اپراتور مدار است

به عنوان مثال، برای RС-chain (به شکل 8.1 مراجعه کنید) داریم:

درخواست به Y(ص) قضیه بسط (7.30)، به دست می آوریم:

لازم به ذکر است که فرمول (8.5) مولفه آزاد واکنش مدار را تحت یک عمل تک پالس تعیین می کند. در حالت کلی، در یک واکنش زنجیره ای، علاوه بر مولفه های نمایی حالت آزاد در تی> 0 یک اصطلاح پالسی وجود دارد که منعکس کننده اثر زمانی است تی= 0 واحد پالس. در واقع، اگر ما آن را برای RС- مدار (به شکل 8.1 مراجعه کنید) مشخصه گذرا جریان در U= 1(تی) مطابق (6.28) خواهد بود

سپس پس از تمایز (8.6) مطابق (8.2) پاسخ ضربه را بدست می آوریم RС-زنجیره h من(تی) در فرم

یعنی واکنش ساعتمن(تی) شامل دو اصطلاح - ضربه ای و نمایی است.

معنای فیزیکی اولین عبارت در (8.7) به این معنی است که وقتی تی= 0 در نتیجه ضربه ولتاژ پالس d( تیجریان شارژ فوراً به یک مقدار بی نهایت بزرگ می رسد، در حالی که در طول زمان از 0 تا 0 + عنصر خازن به یک بار محدود منتقل می شود و به طور ناگهانی به ولتاژ شارژ می شود. من/R.C.. تیعبارت دوم فرآیند آزاد را در زنجیره در تعیین می کند تی> 0 و به دلیل تخلیه خازن از طریق ورودی اتصال کوتاه است (از زمانی که تی> 0 d( R.C.) = 0 که معادل اتصال کوتاه ورودی است) با ثابت زمانی t = تی. RС- مدار تداوم بار روی ظرفیت خازن را می شکند (قانون دوم کموتاسیون). به همین ترتیب، شرط تداوم جریان در اندوکتانس (قانون اول کموتاسیون) در صورتی که ولتاژی به شکل d( تی).

در جدول 8.1 مقادیر مشخصه های گذرا و ضربه ای جریان و ولتاژ را برای برخی مدارهای مرتبه اول و دوم خلاصه می کند.

8.2. انتگرال دوهامل

انتگرال دوهامل را می توان با تقریب نیروی اعمالی بدست آورد f 1 (تی)بابا استفاده از توابع واحد با زمان Dt نسبت به یکدیگر جابجا شده اند (شکل 8.2).

واکنش مدار به هر کدام اثر قدمبه عنوان تعیین خواهد شد

واکنش حاصل از مدار به یک سیستم تأثیرات گام به گام را می توان بر اساس اصل برهم نهی یافت:

کجا p -تعداد بخش های تقریبی که بازه 0 ... به آنها تقسیم می شود تی.

با ضرب و تقسیم عبارت زیر علامت جمع در Dt و عبور از حد، با در نظر گرفتن این موضوع، یکی از اشکال انتگرال دوهامل را به دست می آوریم:

معادله (8.8) پاسخ مدار به یک ضربه معین را منعکس می کند، زیرا تابع تقریبی به تابع اصلی تمایل دارد. شکل دوم انتگرال دوهامل را می توان با استفاده از قضیه کانولوشن به دست آورد (نگاه کنید به: , b)، سپس واکنش مدار با روش کلاسیک یا عملگر تعیین می شود زمانی که شاخه مورد نظر به یک شبکه دو ترمینالی فعال متصل می شود. (شکل 8.4، V

). واکنش حاصل به صورت مجموع واکنش ها به دست می آید: .

8.3. انتگرال تحمیلی ساعت(تیهنگام یافتن پاسخ مدار با استفاده از انتگرال برهم نهی، از پاسخ ضربه ای مدار استفاده می شود f 1 (تی). دبرای به دست آوردن یک عبارت کلی برای انتگرال برهم نهی، سیگنال ورودی را تقریب می کنیم f) با استفاده از سیستم پالس های تک مدت f t، دامنه ها د 1 (t) و مساحت

1 (t)

t (شکل 8.5). پاسخ خروجی مدار به هر یک از تک پالس ها با استفاده از اصل برهم نهی، به دست آوردن پاسخ کل مدار به یک سیستم تک پالس دشوار نیست:انتگرال (8.12) نامیده می شود انتگرال تحمیلی. بین برهم نهی و انتگرال دوهامل وجود دارد ساعت(تی) اتصال ساده g(تی، با رابطه (8.3) بین پالس تعیین می شود ساعت(تیو انتقالی

مثال.) مشخصات مدار. به عنوان مثال، مقدار را جایگزین کنید RС) از (8.3) به فرمول (8.12)، با در نظر گرفتن خاصیت فیلتر تابع d (7.23)، انتگرال Duhamel را به شکل (8.11) به دست می آوریم. Uدر ورودی

- مدار (شکل 8.1 را ببینید) یک افزایش ولتاژ اعمال می شود ساعت1. پاسخ مدار را در خروجی با استفاده از انتگرال های برهم نهی (8.12) و Duhamel (8.11) تعیین کنید.(تیپاسخ ضربه ای این مدار برابر است با (به جدول 8.1 مراجعه کنید): تی / تو) = = (1/RC)e - ساعت1. پاسخ مدار را در خروجی با استفاده از انتگرال های برهم نهی (8.12) و Duhamel (8.11) تعیین کنید.(تی R.C. . سپس، جایگزینی– t) = (1/RC)e –( تودر فرمول (8.12)، دریافت می کنیم:

نتیجه مشابهی را هنگام استفاده از تابع انتقال این مدار و انتگرال دوهامل (8.11) بدست می آوریم:

اگر شروع نفوذ با شروع شمارش زمان منطبق نباشد، انتگرال (8.12) شکل می گیرد.

انتگرال های برهم نهی (8.12) و (8.13) پیچیدگی سیگنال ورودی با پاسخ ضربه ای مدار را نشان می دهند و به طور گسترده در تئوری مدارهای الکتریکی و تئوری انتقال سیگنال استفاده می شوند. معنای فیزیکی آن سیگنال ورودی است f 1 (t) همانطور که بود، با استفاده از تابع وزن می شود ساعت(t- t): با گذشت زمان کندتر کاهش می یابد ساعت(تی) ، مقدار تأثیر ورودی که از لحظه مشاهده فاصله بیشتری دارد ، تأثیر بیشتری بر سیگنال خروجی اعمال می کند.

در شکل 8.6، الفسیگنال نشان داده شده است f 1 (t) و پاسخ ضربه ای ساعت(t- t) که یک تصویر آینه ای است ساعت(t)، و در شکل. 8.6، بپیچیدگی سیگنال نشان داده شده است f 1 (t) باتابع ساعت(t- t) (قسمت سایه دار)، عددی برابر با واکنش زنجیره در لحظه است تی.

از شکل 8.6 نشان می دهد که پاسخ در خروجی مدار نمی تواند کوتاه تر از مدت زمان کل سیگنال باشد. تی 1 و پاسخ تکانه تی ساعت. بنابراین، برای اینکه سیگنال خروجی تحریف نشود، پاسخ ضربه ای مدار باید به تابع d تمایل داشته باشد.

همچنین بدیهی است که در یک زنجیره از نظر فیزیکی، واکنش نمی تواند قبل از ضربه رخ دهد.

این بدان معنی است که پاسخ ضربه ای یک مدار پیاده سازی شده فیزیکی باید شرایط را برآورده کند

علاوه بر این، برای یک مدار پایدار قابل تحقق فیزیکی، شرط یکپارچگی مطلق پاسخ ضربه باید برآورده شود:

اگر عمل ورودی شکل پیچیده ای داشته باشد یا به صورت گرافیکی مشخص شده باشد، به جای انتگرال کانولوشن (8.12) از روش های گرافیکی- تحلیلی برای محاسبه واکنش مدار استفاده می شود.

سوالات و وظایف برای خودآزمایی

1. مشخصه های گذرا و ضربه ای مدار را تعریف کنید.

2. رابطه بین ویژگی های تکانه و گذرا را نشان دهید.

3. چگونه می توان پاسخ گذرا و ضربه ای یک مدار را تعیین کرد؟

4. تفاوت ویژگی های گذرا چیست، معنای فیزیکی آنها را توضیح دهید.

5. چگونه تعیین کنیم که کدام یک از چهار نوع مشخصه گذرا یا ضربه ای باید در هر مورد خاص هنگام محاسبه پاسخ مدار اعمال شود؟ g(تی) و ساعت(تی)?

6. ماهیت محاسبه فرآیندهای گذرا با استفاده از چیست

7-اگر اثر شکل پیچیده ای داشته باشد چگونه واکنش یک زنجیره را مشخص کنیم؟

8. یک مدار هنگام استفاده از انتگرال دوهامل باید چه شرایطی را داشته باشد؟

10. آیا محاسبه واکنش یک زنجیره با استفاده از انتگرال دوهامل و برهم نهی منجر به نتایج یکسان یا متفاوت می شود؟

11. رسانایی گذرا مداری را که از مقاومت و اندوکتانس به صورت سری تشکیل شده است، تعیین کنید.

12. مداری را تعریف کنید که از مقاومت و خازن به صورت سری تشکیل شده است.

پاسخ: .

13. شکل سوم انتگرال دوهامل (8.10) را از معادله کانولوشن (8.10) بدست آورید.

آکادمی روسیه

گروه فیزیک

سخنرانی

ویژگی های گذرا و ضربه ای مدارهای الکتریکی

عقاب 2009

اهداف آموزشی و تربیتی:

ماهیت ویژگی های گذرا و ضربه ای مدارهای الکتریکی را برای دانش آموزان توضیح دهید، ارتباط بین ویژگی ها را نشان دهید، به استفاده از ویژگی های مورد بررسی برای تجزیه و تحلیل و سنتز مدارهای الکتریکی توجه کنید و هدف از آماده سازی با کیفیت بالا برای عملی بودن آموزش.

توزیع زمان سخنرانی

بخش مقدماتی…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

سوالات مطالعه:

1. خصوصیات گذرا مدارهای الکتریکی……………………………………………………………………………………………

2. انتگرال دوهامل………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. مشخصات پالسی مدارهای الکتریکی. رابطه بین خصوصیات…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. انتگرالهای کانولوشن………………………………………………………….۱۵ دقیقه.

نتیجه گیری……………………………………………………………………………………………………………… 5 دقیقه.

1. مشخصات گذرا مدارهای الکتریکی

پاسخ گذرا یک مدار (مانند پاسخ پالس) به ویژگی های موقت مدار اشاره دارد، یعنی یک فرآیند گذرا خاص را تحت تأثیرات از پیش تعیین شده و شرایط اولیه بیان می کند.

برای مقایسه مدارهای الکتریکی با پاسخ آنها به این تأثیرات، لازم است مدارها را در شرایط یکسان قرار دهیم. ساده ترین و راحت ترین شرایط اولیه صفر است.

پاسخ گذرا مدار نسبت واکنش یک زنجیره به ضربه گام به گام به بزرگی این ضربه در شرایط اولیه صفر است.

طبق تعریف،

پاسخ زنجیره ای به ضربه گام به گام کجاست.

- بزرگی اثر گام [B] یا [A].

از آنجایی که و بر بزرگی ضربه تقسیم می شود (این است عدد واقعی، سپس در واقع - واکنش مدار به اثر تک مرحله ای.

اگر پاسخ گذرا مدار شناخته شده باشد (یا بتوان آن را محاسبه کرد)، پس از فرمول می توانید واکنش این مدار را به یک اثر گام به گام در صفر NL پیدا کنید.

.

اجازه دهید بین تابع انتقال اپراتور یک مدار که اغلب شناخته شده است (یا می توان آن را پیدا کرد) و پاسخ گذرا این مدار ارتباط برقرار کنیم. برای انجام این کار، از مفهوم معرفی شده تابع انتقال اپراتور استفاده می کنیم:

.

نسبت واکنش لاپلاس تبدیل شده زنجیره به بزرگی ضربه، مشخصه گذرای عملگر زنجیره است:

از این رو .

از اینجا مشخصه انتقال اپراتور مدار با استفاده از تابع انتقال اپراتور پیدا می شود.

برای تعیین پاسخ گذرا مدار، لازم است تبدیل لاپلاس معکوس را اعمال کنیم:

با استفاده از جدول مطابقت یا (در ابتدا) قضیه تجزیه.

مثال: تعیین پاسخ گذرا برای واکنش ولتاژ روی خازن در مدار سری (شکل 1):

در اینجا واکنش به یک اثر گام به گام بزرگی است:

,

مشخصه انتقال از کجا می آید:

.

ویژگی‌های گذرا مدارهایی که اغلب با آن‌ها مواجه می‌شوند در ادبیات مرجع یافت شده و آورده شده‌اند.

2. انتگرال دوهامل

پاسخ گذرا اغلب برای یافتن پاسخ مدار به یک محرک پیچیده استفاده می شود. بیایید این روابط را برقرار کنیم.

اجازه دهید قبول کنیم که تأثیر یک تابع پیوسته است و در زمان بر مدار اعمال می شود و شرایط اولیه صفر است.

یک ضربه معین را می توان به صورت مجموع یک ضربه گام به گام اعمال شده به مدار در یک لحظه و تعداد بی نهایت زیادی از ضربه های گام به گام بی نهایت کوچک، که به طور پیوسته دنبال یکدیگر هستند، نشان داد. یکی از این ضربه های اولیه مربوط به لحظه اعمال در شکل 2 نشان داده شده است.

بیایید ارزش واکنش زنجیره ای را در یک نقطه از زمان پیدا کنیم.

یک اثر گام به گام با اختلاف در لحظه زمان باعث واکنشی برابر با حاصلضرب اختلاف با مقدار مشخصه گذرا مدار در می شود، یعنی برابر با:

یک اثر گام به گام بی نهایت کوچک با یک تفاوت باعث واکنش بی نهایت کوچک می شود ، زمان سپری شده از لحظه اعمال نفوذ تا لحظه مشاهده کجاست. از آنجایی که طبق شرط تابع پیوسته است، پس:

مطابق با اصل برهم نهی، واکنش برابر با مجموع واکنش های ناشی از مجموع تأثیرات قبل از لحظه مشاهده خواهد بود، یعنی.

.

معمولاً در آخرین فرمول به سادگی آن را با , جایگزین می کنند، زیرا فرمول یافت شده برای هر مقدار زمانی صحیح است:

.

یا بعد از چند تغییر ساده:

.

هر یک از این روابط مشکل محاسبه پاسخ مدار الکتریکی خطی به یک عمل پیوسته معین را با استفاده از پاسخ گذرای شناخته شده مدار حل می کند. این روابط را انتگرال دوهامل می نامند.

3. مشخصات پالسی مدارهای الکتریکی

پاسخ ضربه ای مدار نسبت واکنش یک مدار به یک عمل پالسی به مساحت این عمل در شرایط اولیه صفر نامیده می شود.

طبق تعریف،

پاسخ مدار به عمل ضربه ای کجاست.

– ناحیه ضربه ای پالس

با استفاده از پاسخ ضربه ای شناخته شده مدار، می توان پاسخ مدار به یک تأثیر معین را پیدا کرد: .

یک اثر تکانه، که تابع دلتا یا تابع دیراک نیز نامیده می شود، اغلب به عنوان تابع ضربه استفاده می شود.

تابع دلتا تابعی است که در همه جا برابر با صفر است به جز، و مساحت آن برابر با واحد است ():

.

مفهوم تابع دلتا را می توان با در نظر گرفتن محدودیت یک پالس مستطیلی از ارتفاع و مدت زمانی که (شکل 3):

اجازه دهید بین تابع انتقال یک مدار و پاسخ ضربه ای آن ارتباط برقرار کنیم که برای آن از روش اپراتور استفاده می کنیم.

طبق تعریف:

.

در صورتی که تاثیر (اصلی) برای بیشترین در نظر گرفته شود مورد کلیدر قالب حاصل ضرب ناحیه پالس توسط تابع دلتا، یعنی در فرم، پس از آن تصویر این اثر مطابق جدول مطابقت به شکل زیر است:

.

سپس، از سوی دیگر، نسبت واکنش لاپلاس تبدیل شده مدار به ناحیه ضربه ضربه، پاسخ ضربه اپراتور مدار است:

.

از این رو، .

برای یافتن پاسخ ضربه ای یک مدار، لازم است تبدیل لاپلاس معکوس را اعمال کنیم:

یعنی در واقع.

با تعمیم فرمول ها، ارتباطی بین تابع انتقال اپراتور مدار و ویژگی های گذرا و ضربه ای اپراتور مدار بدست می آوریم:

بنابراین، با دانستن یکی از ویژگی های مدار، می توانید هر دیگری را تعیین کنید.

اجازه دهید با افزودن به قسمت میانی، تبدیل یکسان برابری را انجام دهیم.

سپس خواهیم داشت.

از آنجایی که تصویری از مشتق مشخصه انتقال است، برابری اصلی را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

با حرکت به ناحیه اصلی، فرمولی به دست می آوریم که به ما امکان می دهد پاسخ ضربه ای یک مدار را از پاسخ گذرای شناخته شده آن تعیین کنیم:

اگر، پس.

رابطه معکوس بین این ویژگی ها به شکل زیر است:

.

با استفاده از تابع انتقال، تشخیص وجود یک عبارت در تابع آسان است.

اگر قوای صورت و مخرج یکسان باشد، اصطلاح مورد نظر وجود خواهد داشت. اگر تابع یک کسر مناسب باشد، این عبارت وجود نخواهد داشت.

مثال: مشخصه های ضربه را برای ولتاژها و در مدار سری نشان داده شده در شکل 4 تعیین کنید.

بیایید تعریف کنیم:

با استفاده از جدول مکاتبات، اجازه دهید به سمت اصلی حرکت کنیم:

.

نمودار این تابع در شکل 5 نشان داده شده است.

برنج. 5

تابع انتقال:

با توجه به جدول مکاتبات داریم:

.

نمودار تابع به دست آمده در شکل 6 نشان داده شده است.

اجازه دهید اشاره کنیم که همان عبارات را می توان با استفاده از روابطی که ارتباطی بین و برقرار می کند به دست آورد.

پاسخ ضربه به معنای فیزیکی خود منعکس کننده فرآیند نوسانات آزاد است و به همین دلیل می توان استدلال کرد که در مدارهای واقعی همیشه باید شرط زیر برقرار باشد:

4. انتگرال کانولوشن (روکش).

اگر پاسخ ضربه ای این مدار مشخص باشد، اجازه دهید روش تعیین پاسخ مدار الکتریکی خطی به یک تأثیر پیچیده را در نظر بگیریم. فرض می کنیم که ضربه یک تابع پیوسته تکه ای است که در شکل 7 نشان داده شده است.

اجازه دهید لازم باشد مقدار واکنش را در یک نقطه از زمان پیدا کنید. برای حل این مشکل، اجازه دهید ضربه را به عنوان مجموع پالس های مستطیلی با مدت بی نهایت کوچک تصور کنیم، که یکی از آنها، مربوط به لحظه در زمان، در شکل 7 نشان داده شده است. این پالس با طول مدت و ارتفاع مشخص می شود.

از مطالبی که قبلاً مورد بحث قرار گرفت مشخص شد که واکنش مدار به یک پالس کوتاه را می توان برابر با حاصلضرب پاسخ ضربه مدار و مساحت عمل ضربه در نظر گرفت. در نتیجه، جزء بینهایت کوچک واکنش ناشی از این عمل ضربه ای در لحظه زمان برابر خواهد بود با:

زیرا مساحت پالس برابر است و زمان از لحظه اعمال آن تا لحظه مشاهده می گذرد.

با استفاده از اصل برهم نهی، واکنش کل یک مدار را می توان به عنوان مجموع تعداد بی نهایت زیادی از اجزای بینهایت کوچک ناشی از دنباله ای از پالس های منطقه بی نهایت کوچک قبل از لحظه در زمان تعریف کرد.

بدین ترتیب:

.

این فرمول برای هر مقداری صادق است، بنابراین معمولاً متغیر به سادگی نشان داده می شود. سپس:

.

رابطه حاصل را انتگرال کانولوشن یا انتگرال برهم نهی می نامند. تابعی که در نتیجه محاسبه انتگرال کانولوشن پیدا می شود، کانولوشن و .

اگر متغیرها را در عبارت حاصل تغییر دهید، می توانید شکل دیگری از انتگرال کانولوشن را پیدا کنید:

.

مثال: اگر یک پالس نمایی از شکل در ورودی عمل کند، ولتاژ ظرفیت یک مدار سریال را بیابید (شکل 8):

بیایید از انتگرال کانولوشن استفاده کنیم:

.

بیان برای قبلا دریافت شده بود

از این رو، ، و .

همین نتیجه را می توان با اعمال انتگرال Duhamel به دست آورد.

ادبیات:

Beletsky A.F. نظریه مدارهای الکتریکی خطی. – م.: رادیو و ارتباطات، 1365. (کتاب درسی)

Bakalov V.P. و همکارانش. – م.: رادیو و ارتباطات، 1377. (کتاب درسی);

دستگاه های مهندسی رادیویی خطی Kachanov N. S. م.: نظامی. منتشر شده، 1974. (کتاب درسی);

Popov V.P. مبانی نظریه مدار - M.: مدرسه عالی، 2000. (کتاب درسی)