Neliömatriisin tärkein numeerinen ominaisuus on sen determinantti. Tarkastellaan toisen asteen neliömatriisia

Toisen kertaluvun determinantti tai determinantti on seuraavan säännön mukaan laskettu luku

Esimerkiksi,

Tarkastellaan nyt kolmannen asteen neliömatriisia

.

Kolmannen kertaluvun determinantti on seuraavan säännön avulla laskettu luku

Muistaakseen kolmannen asteen determinantin määrittämiseen tarkoitettujen lausekkeiden termien yhdistelmän he käyttävät yleensä Sarrusin sääntö: ensimmäinen kolmesta oikealla plusmerkillä varustetusta termistä on matriisin päälävistäjällä sijaitsevien elementtien tulo, ja kukin kahdesta muusta on tämän lävistäjän suuntaisesti sijaitsevien elementtien ja elementin tulo. matriisin vastakkaisesta kulmasta.

Kolme viimeistä termiä, joihin sisältyy miinusmerkki, määritetään samalla tavalla, vain toissijaisen diagonaalin suhteen.

Esimerkki:

Matriisideterminanttien perusominaisuudet

1. Determinantin arvo ei muutu, kun matriisi transponoidaan.

2. Järjestettäessä matriisin rivejä tai sarakkeita uudelleen determinantti muuttaa vain etumerkkiä säilyttäen itseisarvon.

3. Suhteellisia rivejä tai sarakkeita sisältävä determinantti on nolla.

4. Tietyn rivin tai sarakkeen elementtien yhteinen tekijä voidaan ottaa pois determinanttimerkistä.

5. Jos tietyn rivin tai sarakkeen kaikki alkiot ovat nollia, itse determinantti on nolla.

6. Jos determinantin erillisen rivin tai sarakkeen elementteihin lisätään toisen rivin tai sarakkeen elementtejä kerrottuna mielivaltaisella ei-degeneroituneella tekijällä, niin determinantin arvo ei muutu.

Pieni Matriisi on determinantti, joka saadaan poistamalla sama määrä sarakkeita ja rivejä neliömatriisista.

Jos kaikki matriisista koottavissa olevat molliarvot, jotka ovat suurempia kuin , ovat yhtä suuria kuin nolla, ja kertaluvun molaarien joukossa vähintään yksi on nollasta poikkeava, niin luku ns. sijoitus tämä matriisi.

Algebrallinen komplementti järjestysdeterminantin elementtiä kutsumme sen sivujärjestykseksi, joka saadaan yliviivaamalla vastaava rivi ja sarake, joiden leikkauspisteessä on plusmerkillä otettu elementti, jos indeksien summa on yhtä suuri kuin parillinen luku ja miinusmerkki muuten.

Siten

,

missä on vastaava pieni tilaus.

Matriisin determinantin laskeminen rivi- tai sarakelaajennuksella

Matriisin determinantti on yhtä suuri kuin matriisin minkä tahansa rivin (mikä tahansa sarakkeen) elementtien tulojen summa tämän rivin (tämän sarakkeen) elementtien vastaavilla algebrallisilla komplementeilla. Laskettaessa matriisin determinanttia tällä tavalla, sinun tulee noudattaa seuraavaa sääntöä: valitse rivi tai sarake, jossa on eniten nollaelementtejä. Tämän tekniikan avulla voit vähentää merkittävästi laskelmien määrää.

Esimerkki: .

Tätä determinanttia laskettaessa käytimme tekniikkaa, jolla se hajotettiin ensimmäisen sarakkeen elementeiksi. Kuten yllä olevasta kaavasta voidaan nähdä, viimeistä toisen asteen determinanteista ei tarvitse laskea, koska se kerrotaan nollalla.

Käänteismatriisin laskeminen

Matriisiyhtälöitä ratkaistaessa käänteismatriisia käytetään laajalti. Tietyssä määrin se korvaa jakooperaation, jota ei ole eksplisiittisesti läsnä matriisialgebrassa.

Saman kertaluvun neliömatriiseja, joiden tulo antaa identiteettimatriisin, kutsutaan käänteisarvoiksi tai käänteisiksi. Käänteinen matriisi on merkitty ja seuraava pätee siihen:

Käänteimatriisi on mahdollista laskea vain matriisille, jolle .

Klassinen algoritmi käänteismatriisin laskemiseen

1. Kirjoita ylös matriisiin transponoitu matriisi.

2. Korvaa matriisin jokainen elementti determinantilla, joka saadaan yliviivaamalla rivi ja sarake, joiden leikkauskohdassa tämä elementti sijaitsee.

3. Tämän determinantin mukana on plusmerkki, jos elementin indeksien summa on parillinen, ja miinusmerkki muussa tapauksessa.

4. Jaa saatu matriisi matriisin determinantilla.

Otetaan taulukko (kutsutaan matriisiksi), joka koostuu neljästä numerosta:

Matriisissa on kaksi riviä ja kaksi saraketta. Tämän matriisin muodostavat numerot on merkitty kirjaimella, jossa on kaksi indeksiä. Ensimmäinen indeksi osoittaa rivin numeron ja toinen osoittaa sarakkeen numeron, jossa annettu numero esiintyy. Esimerkiksi tarkoittaa numeroa ensimmäisessä rivissä ja toisessa sarakkeessa; numero toisessa rivissä ja ensimmäisessä sarakkeessa. Kutsumme matriisin numeroelementtejä.

Tiettyä matriisia vastaavan toisen asteen determinantti (tai determinantti) on numero, joka saadaan seuraavasti:

Determinantti on merkitty symbolilla

Siten,

Lukuja kutsutaan determinantin elementeiksi.

Esitetään toisen kertaluvun determinantin ominaisuudet.

Ominaisuus 1. Determinantti ei muutu, jos sen rivit vaihdetaan vastaaviin sarakkeisiin, ts.

Kiinteistö 2.

Kun kahta riviä (tai saraketta) järjestetään uudelleen, determinantti muuttaa etumerkkinsä päinvastaiseksi säilyttäen itseisarvon, ts.

Ominaisuus 3. Determinantti, jossa on kaksi identtistä riviä (tai saraketta), on yhtä suuri kuin nolla.

Ominaisuus 4. Rivin (tai sarakkeen) kaikkien elementtien yhteinen tekijä voidaan ottaa pois determinanttimerkistä:

Ominaisuus 5. Jos kaikki rivin (tai sarakkeen) alkiot ovat nollia, determinantti on nolla.

Ominaisuus 6. Jos johonkin determinantin riviin (tai sarakkeeseen) lisätään toisen rivin (tai sarakkeen) vastaavat elementit kerrottuna samalla luvulla y, niin determinantti ei muuta arvoaan, ts.

Jos haluat kertoa matriisin luvulla, sinun on kerrottava jokainen matriisin elementti tällä numerolla.

Seuraus. Kaikkien matriisielementtien yhteinen tekijä voidaan ottaa pois matriisimerkistä.

Esimerkiksi .

Kuten näet, matriisien lisääminen, vähentäminen ja matriisin kertominen luvulla ovat samanlaisia ​​kuin toiminnot numeroille. Matriisikertominen on erityinen operaatio.

Kahden matriisin tulo.

Kaikkia matriiseja ei voi kertoa. Kahden matriisin tulo A Ja IN luetellussa järjestyksessä AB mahdollista vain, kun sarakkeiden määrä ensimmäisen tekijän A yhtä suuri kuin toisen tekijän rivien lukumäärä IN.

Esimerkiksi .

Matriisin koko A 33, matriisin koko IN 23. Työ AB mahdotonta, työtä VA Ehkä.

Kahden matriisin A ja B tulo on kolmas matriisi C, jonka alkio C ij on yhtä suuri kuin ensimmäisen tekijän i:nnen rivin ja toisen tekijän j:nnen sarakkeen alkioiden paritulojen summa. tekijä.

Näytettiin, että vuonna tässä tapauksessa matriisien tulo on mahdollista VA

Kahden matriisin tulon olemassaolosäännöstä seuraa, että kahden matriisin tulo yleinen tapaus ei noudata kommutatiivista lakia, ts. AB? VA. Jos tietyssä tapauksessa käy niin AB = BA, silloin tällaisia ​​matriiseja kutsutaan permutatiivisiksi tai kommutatiivisiksi.

Matriisialgebrassa kahden matriisin tulo voi olla nollamatriisi, vaikka mikään tekijämatriisi ei olisi nolla, toisin kuin tavallinen algebra.

Etsitään esimerkiksi matriisien tulo AB, Jos

Voit kertoa useita matriiseja. Jos osaat kertoa matriiseja A, IN ja näiden matriisien tulo voidaan kertoa matriisilla KANSSA, silloin on mahdollista koota tuote ( AB) KANSSA Ja A(Aurinko). Tässä tapauksessa kertolaskua koskeva yhdistelmälaki tapahtuu ( AB) KANSSA = A(Aurinko).

Tässä hahmotellaan ne ominaisuudet, joita yleensä käytetään determinanttien laskemiseen vakiokurssi korkeampaa matematiikkaa. Tämä on apuaihe, johon viitataan tarvittaessa muista osioista.

Olkoon siis tietty neliömatriisi $A_(n\times n)=\left(\begin(array) (cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) annetaan & a_(22) & \lpisteet & a_(2n) \\ \lpisteet & \lpisteet & \lpisteet & \lpisteet \\ a_(n1) & a_(n2) & \lpisteet & a_(nn) \\ \ end( array) \right)$. Jokaisella neliömatriisilla on ominaisuus, jota kutsutaan determinantiksi (tai determinantiksi). En mene tässä käsitteen olemukseen. Jos se vaatii selvennystä, kirjoita siitä foorumille, niin käsittelen tätä asiaa yksityiskohtaisemmin.

Matriisin $A$ determinanttia merkitään $\Delta A$, $|A|$ tai $\det A$. Määräävä järjestys sama kuin siinä olevien rivien (sarakkeiden) lukumäärä.

1. Determinantin arvo ei muutu, jos sen rivit korvataan vastaavilla sarakkeilla, ts. $\Delta A=\Delta A^T$.

   näytä\piilota

   Korvataan rivit siinä olevilla sarakkeilla periaatteen mukaisesti: "oli ensimmäinen rivi - oli ensimmäinen sarake", "oli toinen rivi - oli toinen sarake":

   Lasketaan tuloksena oleva determinantti: $\left| \begin(array) (cc) 2 & 9 \\ 5 & 4 \end(array) \right|=2\cdot 4-9\cdot 5=-37 $. Kuten näette, determinantin arvo ei ole muuttunut vaihdon vuoksi.

2. Jos vaihdat determinantin kaksi riviä (saraketta), determinantin etumerkki muuttuu päinvastaiseksi.

   Esimerkki tämän ominaisuuden käytöstä: show\hide

   Harkitse determinanttia $\left| \begin(array) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(array) \right|$. Etsitään sen arvo kaavan nro 1 avulla toisen ja kolmannen kertaluvun determinanttien laskemisesta:

   $$\left| \begin(array) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(array) \right|=2\cdot 4-5\cdot 9=-37.$$

   Vaihdetaan nyt ensimmäinen ja toinen rivi. Saamme determinantin $\left| \begin(array) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(array) \right|$. Lasketaan tuloksena oleva determinantti: $\left| \begin(array) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(array) \right|=9\cdot 5-4\cdot 2=37$. Alkuperäisen determinantin arvo oli siis (-37) ja muuttuneen rivijärjestyksen determinantin arvo on $-(-37)=37$. Determinantin merkki on muuttunut päinvastaiseksi.

3. Determinantti, jolle rivin (sarakkeen) kaikki elementit ovat nolla, on yhtä suuri kuin nolla.

   Esimerkki tämän ominaisuuden käytöstä: show\hide

   Koska determinantissa $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(array) \right|$ kaikki kolmannen sarakkeen elementit ovat nollia, sitten determinantti on nolla, ts. $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(array) \right|=0$.

4. Determinantti, jolle tietyn rivin (sarakkeen) kaikki elementit ovat yhtä suuria kuin toisen rivin (sarakkeen) vastaavat elementit, on yhtä suuri kuin nolla.

   Esimerkki tämän ominaisuuden käytöstä: show\hide

   Koska determinantissa $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(array) \right|$ kaikki ensimmäisen rivin elementit ovat yhtä suuret kuin vastaavat toisen rivin alkioita, niin determinantti on nolla, ts. $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(array) \right|=0$.

5. Jos determinantissa kaikki yhden rivin (sarakkeen) alkiot ovat verrannollisia toisen rivin (sarakkeen) vastaaviin elementteihin, niin tällainen determinantti on yhtä suuri kuin nolla.

   Esimerkki tämän ominaisuuden käytöstä: show\hide

   Koska determinantissa $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(array) \right|$ Toinen ja kolmas rivi ovat verrannollisia, ts. $r_3=-3\cdot(r_2)$, niin determinantti on nolla, ts. $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(array) \right|=0$.

6. Jos kaikilla rivin (sarakkeen) elementeillä on yhteinen tekijä, tämä tekijä voidaan poistaa determinanttimerkistä.

   Esimerkki tämän ominaisuuden käytöstä: show\hide

   Harkitse determinanttia $\left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(array) \right|$. Huomaa, että kaikki toisen rivin elementit ovat jaettavissa kolmella:

   $$\left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(array) \right|=\left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(array) \right|$$

   Numero 3 on toisen rivin kaikkien elementtien yhteinen tekijä. Otetaan kolme determinanttimerkistä:

   $$\left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(array) \right|=\left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(array) \right|= 3\cdot \left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -3 & 7 \end(array) \right| $$

7. Determinantti ei muutu, jos kaikkiin tietyn rivin (sarakkeen) elementteihin lisäämme toisen rivin (sarakkeen) vastaavat elementit kerrottuna mielivaltaisella luvulla.

   Esimerkki tämän ominaisuuden käytöstä: show\hide

   Harkitse determinanttia $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|$. Lisätään toisen rivin elementteihin kolmannen rivin vastaavat elementit kerrottuna 5:llä. Tämä toiminto kirjoitetaan seuraavasti: $r_2+5\cdot(r_3)$. Toinen rivi muuttuu, muut rivit pysyvät ennallaan.

   $$\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right| \begin(array) (l) \phantom(0)\\ r_2+5\cdot(r_3)\\ \phantom(0) \end(array)= \left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9+5\cdot 2 & 21+5\cdot (-3) & 4+5\cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \end (taulukko) \right|= \left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|. $$

8. Jos tietty rivi (sarake) determinantissa on muiden rivien (sarakkeiden) lineaarinen yhdistelmä, niin determinantti on yhtä suuri kuin nolla.

   Esimerkki tämän ominaisuuden käytöstä: show\hide

   Selitän heti, mitä ilmaus "lineaarinen yhdistelmä" tarkoittaa. Olkoon meillä s riviä (tai saraketta): $A_1$, $A_2$,..., $A_s$. Ilmaisu

   $$ k_1\cdot A_1+k_2\cdot A_2+\ldots+k_s\cdot A_s, $$

   jossa $k_i\in R$ kutsutaan rivien (sarakkeiden) $A_1$, $A_2$,..., $A_s$ lineaariksi yhdistelmäksi.

   Harkitse esimerkiksi seuraavaa determinanttia:

   $$\left| \begin(array) (cccc) -1 & 2 & 3 & 0\\ -2 & -4 & -5 & 1\\ 5 & 0 & 7 & 10 \\ -13 & -8 & -16 & -7 \end(array) \right| $$

   Tässä determinantissa neljäs rivi voidaan ilmaista kolmen ensimmäisen rivin lineaarisena yhdistelmänä:

   $$ r_4=2\cdot(r_1)+3\cdot(r_2)-r_3 $$

   Siksi kyseessä oleva determinantti on yhtä suuri kuin nolla.

9. Jos determinantin tietyn k:nnen rivin (k:nnen sarakkeen) jokainen elementti on yhtä suuri kuin kahden termin summa, niin tällainen determinantti on yhtä suuri kuin determinanttien summa, joista ensimmäinen on k:nnellä rivillä ( k. sarake) sisältävät ensimmäiset termit ja toisella determinantilla on toiset termit k:nnellä rivillä (k. sarake). Muut näiden determinanttien elementit ovat samat.

   Esimerkki tämän ominaisuuden käytöstä: show\hide

   Harkitse determinanttia $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|$. Kirjoitetaan toisen sarakkeen elementit seuraavasti: $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(array) \right|$. Silloin tällainen determinantti on yhtä suuri kuin kahden determinantin summa:

   $$\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) -7 & 3 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \end(array) \right|+ \left| \begin(array) (ccc) -7 & 7 & 0\\ -9 & 0 & 4 \\ 2 & -8 & 1 \end(array) \right| $$

10. Kahden samaa kertaluokkaa olevan neliömatriisin tulon determinantti on yhtä suuri kuin näiden matriisien determinanttien tulo, ts. $\det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B$. Tästä säännöstä saadaan seuraava kaava: $\det \left(A^n \right)=\left(\det A \right)^n$.
11. Jos matriisi $A$ on ei-singulaarinen (eli sen determinantti ei ole nolla), niin $\det \left(A^(-1)\right)=\frac(1)(\det A)$.

Determinanttien laskentakaavat

Toisen ja kolmannen kertaluvun determinanteille seuraavat kaavat ovat oikein:

\begin(yhtälö) \Delta A=\left| \begin(array) (cc) a_(11) & a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \end(array) \right|=a_(11)\cdot a_(22)-a_( 12)\cdot a_(21) \end(yhtälö) \begin(yhtälö) \begin(tasattu) & \Delta A=\left| \begin(array) (ccc) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_(32) & a_(33) \end(array) \right|= a_(11)\cdot a_(22)\cdot a_(33)+a_(12)\cdot a_(23)\cdot a_(31)+a_(21) )\cdot a_(32)\cdot a_(13)-\\ & -a_(13)\cdot a_(22)\cdot a_(31)-a_(12)\cdot a_(21)\cdot a_(33) )-a_(23)\cdot a_(32)\cdot a_(11)\end(tasattu)\end(yhtälö)

Esimerkkejä kaavojen (1) ja (2) käytöstä on aiheessa "Kaavat toisen ja kolmannen kertaluvun determinanttien laskentaan. Esimerkkejä determinanttien laskemisesta".

Matriisin $A_(n\kertaa n)$ determinanttia voidaan laajentaa i. rivi käyttämällä seuraavaa kaavaa:

\begin(yhtälö)\Delta A=\sum\limits_(j=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(i1)A_(i1)+a_(i2)A_(i2)+\ ldots+a_(in)A_(in) \end(yhtälö)

Tämän kaavan analogi on olemassa myös sarakkeille. Kaava j:nnen sarakkeen determinantin laajentamiseksi on seuraava:

\begin(yhtälö)\Delta A=\sum\limits_(i=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(1j)A_(1j)+a_(2j)A_(2j)+\ ldots+a_(nj)A_(nj) \end(yhtälö)

Kaavoilla (3) ja (4) ilmaistut säännöt on havainnollistettu yksityiskohtaisesti esimerkein ja selitetty aiheessa Determinantin järjestyksen pienentäminen. Determinantin jaottelu rivissä (sarake).

Esitetään toinen kaava ylempien kolmiomatriisien ja alempien kolmiomatriisien determinanttien laskemiseksi (näiden termien selitykset, katso aihe "Matriisit. Matriisityypit. Perustermit"). Tällaisen matriisin determinantti on yhtä suuri kuin päädiagonaalin elementtien tulo. Esimerkkejä:

\begin(tasattu) &\left| \begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \end(array) \oikea|= 2\cdot 9\cdot 4\cdot (-6)=-432.\\ &\left| \begin(array) (cccc) -3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 10 \end(array) \ oikea|= -3\cdot 0\cdot 1 \cdot 10=0. \end(tasattu)

Useimmat taloustieteen matemaattiset mallit kuvataan matriisien ja matriisilaskujen avulla.

Matrix on suorakaiteen muotoinen taulukko, joka sisältää riveihin ja sarakkeisiin järjestettyjä numeroita, funktioita, yhtälöitä tai muita matemaattisia objekteja.

Matriisin muodostavia objekteja kutsutaan elementtejä . Matriisit on merkitty latinalaisin isoilla kirjaimilla

ja niiden elementit ovat pieniä kirjaimia.

Symboli
tarkoittaa, että matriisi on
linjat ja sarakkeet, elementti risteyksessä - rivi ja - sarake
.

.

He sanovat, että matriisi A yhtä suuri kuin matriisi IN : A=B, jos niillä on sama rakenne (eli sama määrä rivejä ja sarakkeita) ja niitä vastaavat elementit ovat identtiset
, kaikille
.

Tietyt matriisityypit

Käytännössä erikoistyyppisiä matriiseja kohdataan melko usein. Jotkut menetelmät sisältävät myös matriisien muunnoksia tyypistä toiseen. Yleisimmät matriisityypit on esitetty alla.

Matriisielementit, joilla on sama rivi- ja sarakenumero, eli a ii muodostavat matriisin päädiagonaalin.

Operaatiot matriiseilla.

.

Matriisien operaatioiden ominaisuudet

Toiminnan erityiset ominaisuudet

Jos matriisien tulo
– on olemassa, sitten työ
ei ehkä ole olemassa. Yleisesti ottaen,
. Toisin sanoen matriisikertominen ei ole kommutatiivista. Jos
, Tuo Ja kutsutaan kommutatiivisiksi. Esimerkiksi samaa kertaluokkaa olevat diagonaalimatriisit ovat kommutatiivisia.

Jos
, sitten valinnainen
tai
. Toisin sanoen nollasta poikkeavien matriisien tulo voi antaa nollamatriisin. Esimerkiksi

Eksponenttioperaatio määritelty vain neliömatriiseille. Jos
, Tuo

.

Määritelmän mukaan he uskovat
, ja se on helppo osoittaa
,
. Huomaa, että alkaen
se ei seuraa sitä
.

Elementtikohtainen eksponentio A. m =
.

Transponoi toiminta matriisi koostuu matriisin rivien korvaamisesta sen sarakkeilla:

,

Esimerkiksi

,
.

Transponoi ominaisuudet:

Determinantit ja niiden ominaisuudet.

Neliömatriiseille tätä käsitettä käytetään usein määräävä tekijä – luku, joka lasketaan matriisin elementeistä tiukasti määriteltyjen sääntöjen mukaan. Tämä luku on tärkeä matriisin ominaisuus, ja se on merkitty symboleilla

.

Matriisin determinantti
on sen elementti .

Matriisin determinantti
lasketaan säännön mukaan:

eli lisälävistäjän alkioiden tulo vähennetään päälävistäjän alkioiden tulosta.

Korkeamman asteen determinanttien laskeminen (
) on tarpeen ottaa käyttöön elementin molli- ja algebrallinen komplementti.

Pieni
elementti on determinantti, joka saadaan matriisista , yliviivattu - rivi ja sarake.

Harkitse matriisia koko
:

,

sitten esim.

Algebrallinen komplementti elementti he kutsuvat sitä vähäiseksi kerrottuna
.

,

Laplacen lause: Neliömatriisin determinantti on yhtä suuri kuin minkä tahansa rivin (sarakkeen) alkioiden tulojen summa niiden algebrallisten komplementtien perusteella.

Esimerkiksi hajoaminen
ensimmäisen rivin elementtien perusteella saamme:

Viimeinen lause tarjoaa universaalin tavan laskea minkä tahansa järjestyksen determinantit toisesta alkaen. Rivi (sarake) valitaan aina sellaiseksi, jossa on eniten nollia. Sinun on esimerkiksi laskettava neljännen asteen determinantti

Tässä tapauksessa voit laajentaa determinantin ensimmäistä saraketta pitkin:

tai viimeinen rivi:

Tämä esimerkki osoittaa myös, että ylemmän kolmiomatriisin determinantti on yhtä suuri kuin sen diagonaalielementtien tulo. On helppo todistaa, että tämä johtopäätös pätee kaikille kolmio- ja diagonaalimatriiseille.

Laplacen lause mahdollistaa determinantin laskennan pienentämisen - laskettava tilaus määrääviä tekijöitä
kertaluvun ja viime kädessä toisen asteen determinanttien laskemiseen.