Kuinka löytää ensimmäisen summa. Aritmeettisen edistyksen summa

Aritmeettisen progression summa.

Aritmeettisen progression summa on yksinkertainen asia. Sekä merkityksessä että kaavassa. Mutta tähän aiheeseen liittyy kaikenlaisia ​​tehtäviä. Perustasosta melko kiinteään.

Ymmärretään ensin määrän merkitys ja kaava. Ja sitten päätetään. Omaksi iloksesi.) Summan merkitys on yksinkertainen kuin moo. Löytääksesi aritmeettisen progression summan, sinun on vain lisättävä huolellisesti kaikki sen ehdot. Jos näitä termejä on vähän, voit lisätä ilman kaavoja. Mutta jos on paljon, tai paljon... lisääminen on ärsyttävää.) Tässä tapauksessa kaava tulee apuun.

Määrän kaava on yksinkertainen:

Selvitetään, millaisia ​​kirjaimia kaava sisältää. Tämä selventää asioita paljon.

S n - aritmeettisen progression summa. Lisäyksen tulos kaikille jäseniä, kanssa ensimmäinen Tekijä: kestää. Tämä on tärkeää. Ne summautuvat täsmälleen Kaikki jäseniä peräkkäin ilman ohittamista. Ja nimenomaan alkaen ensimmäinen. Ongelmissa, kuten kolmannen ja kahdeksannen ehdon summan tai viidennen ja kahdennenkymmenennen termien summan löytäminen, kaavan suora soveltaminen tuottaa pettymyksen.)

a 1 - ensimmäinen etenemisen jäsen. Täällä kaikki on selvää, se on yksinkertaista ensimmäinen rivin numero.

a n- viimeinen etenemisen jäsen. Sarjan viimeinen numero. Ei kovin tuttu nimi, mutta määrään käytettynä se on erittäin sopiva. Sitten näet itse.

n - viimeisen jäsenen numero. On tärkeää ymmärtää, että kaavassa tämä numero sama kuin lisättyjen termien määrä.

Määritellään käsite kestää jäsen a n. Hankala kysymys: kuka jäsen tekee viimeinen jos annetaan loputon aritmeettinen progressio?)

Vastataksesi itsevarmasti sinun on ymmärrettävä aritmeettisen etenemisen alkeellinen merkitys ja... lue tehtävä huolellisesti!)

Tehtävässä löytää aritmeettisen progression summa, viimeinen termi esiintyy aina (suoraan tai epäsuorasti), joita pitäisi rajoittaa. Muuten lopullinen, tietty määrä ei yksinkertaisesti ole olemassa. Ratkaisun kannalta ei ole väliä onko progressio annettu: äärellinen vai ääretön. Ei ole väliä miten se annetaan: numerosarja vai n:nnen termin kaava.

Tärkeintä on ymmärtää, että kaava toimii etenemisen ensimmäisestä termistä numeron sisältävään termiin n. Itse asiassa kaavan koko nimi näyttää tältä: aritmeettisen progression n ensimmäisen ehdon summa. Näiden aivan ensimmäisten jäsenten lukumäärä, ts. n, määräytyy yksinomaan tehtävän mukaan. Tehtävässä kaikki tämä arvokas tieto on usein salattu, kyllä... Mutta ei se haittaa, alla olevissa esimerkeissä paljastamme nämä salaisuudet.)

Esimerkkejä tehtävistä aritmeettisen progression summalla.

Ensinnäkin hyödyllistä tietoa:

Suurin vaikeus tehtävissä, joihin liittyy aritmeettisen progression summa, on kaavan elementtien oikea määrittäminen.

Tehtävän kirjoittajat salaavat juuri nämä elementit rajattomalla mielikuvituksella.) Tärkeintä tässä ei ole pelätä. Elementtien olemuksen ymmärtäminen riittää, kun ne yksinkertaisesti tulkitaan. Katsotaanpa muutama esimerkki yksityiskohtaisesti. Aloitetaan tehtävällä, joka perustuu todelliseen GIA:han.

1. Aritmeettinen eteneminen saadaan ehdolla: a n = 2n-3.5. Etsi sen 10 ensimmäisen ehdon summa.

Hyvää työtä. Helppoa.) Mitä meidän on tiedettävä summan määrittämiseksi kaavan avulla? Ensimmäinen jäsen a 1, viimeinen lukukausi a n, kyllä ​​viimeisen jäsenen numero n.

Mistä saan viimeisen jäsenen numeron? n? Kyllä, siellä ehdolla! Se sanoo: etsi summa 10 ensimmäistä jäsentä. No, millä numerolla se tulee olemaan? kestää, kymmenes jäsen?) Et usko sitä, hänen numeronsa on kymmenes!) Siksi sen sijaan a n korvaamme kaavan a 10, ja sen sijaan n- kymmenen. Toistan, että viimeisen jäsenen lukumäärä on sama kuin jäsenten lukumäärä.

Se on vielä määritettävä a 1 Ja a 10. Tämä on helppo laskea käyttämällä n:nnen termin kaavaa, joka on annettu tehtävälausekkeessa. Etkö tiedä miten tämä tehdään? Osallistu edelliseen oppituntiin, ilman tätä ei ole mitään keinoa.

a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

a 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

Olemme selvittäneet aritmeettisen progression summan kaavan kaikkien elementtien merkityksen. Jäljelle jää vain korvata ne ja laskea:

Siinä se. Vastaus: 75.

Toinen tehtävä, joka perustuu GIA:han. Hieman monimutkaisempi:

2. Annettu aritmeettinen progressio (a n), jonka ero on 3,7; a 1 = 2,3. Etsi sen 15 ensimmäisen ehdon summa.

Kirjoitamme välittömästi summakaavan:

Tämän kaavan avulla voimme löytää minkä tahansa termin arvon sen numeron perusteella. Etsimme yksinkertaista korvaavaa:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

On vielä korvattava kaikki elementit aritmeettisen etenemisen summan kaavaan ja laskettava vastaus:

Vastaus: 423.

Muuten, jos summakaavassa sen sijaan a n Korvaamme yksinkertaisesti kaavan n:nnelle termille ja saamme:

Esitetään samanlaisia ​​ja hankitaan uusi kaava aritmeettisen progression termien summalle:

Kuten näet, n:ttä termiä ei vaadita tässä a n. Joissakin ongelmissa tämä kaava auttaa paljon, kyllä... Voit muistaa tämän kaavan. Tai voit yksinkertaisesti vetää sen oikeaan aikaan, kuten täällä. Loppujen lopuksi sinun on aina muistettava summan kaava ja n:nnen termin kaava.)

Nyt tehtävä lyhyen salauksen muodossa):

3. Laske kaikkien positiivisten kaksinumeroisten lukujen summa, jotka ovat kolmen kerrannaisia.

Vau! Ei ensimmäinen jäsen, ei viimeinen tai eteneminen ollenkaan... Kuinka elää!?

Sinun täytyy ajatella päälläsi ja vetää kaikki aritmeettisen etenemisen summan elementit pois ehdosta. Tiedämme mitä kaksinumeroiset luvut ovat. Ne koostuvat kahdesta numerosta.) Mikä kaksinumeroinen luku tulee olemaan ensimmäinen? 10, oletettavasti.) A kestää kaksinumeroinen luku? 99 tietysti! Kolminumeroiset seuraavat häntä...

Kolmen kerrannaiset... Hm... Nämä ovat kolmella jaollisia lukuja, tässä! Kymmenen ei ole jaollinen kolmella, 11 ei ole jaollinen... 12... on jaollinen! Jotain on siis tulossa. Voit jo kirjoittaa sarjan muistiin ongelman ehtojen mukaan:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Onko tämä sarja aritmeettinen progressio? Varmasti! Jokainen termi eroaa edellisestä tiukasti kolmella. Jos lisäät termiin 2 tai 4, sanotaan esimerkiksi tulos, ts. uusi luku ei ole enää jaollinen kolmella. Voit määrittää aritmeettisen etenemisen eron välittömästi: d = 3. Se tulee tarpeeseen!)

Joten voimme turvallisesti kirjoittaa muistiin joitain etenemisparametreja:

Mikä numero tulee olemaan? n viimeinen jäsen? Jokainen, joka luulee, että 99, on kohtalokkaasti väärässä... Numerot menevät aina peräkkäin, mutta jäsenemme hyppäävät kolmen yli. Ne eivät sovi yhteen.

Tässä on kaksi ratkaisua. Yksi tapa on erittäin ahkeralle. Voit kirjoittaa muistiin etenemisen, koko numerosarjan ja laskea jäsenten lukumäärän sormella.) Toinen tapa on harkitseville. Sinun on muistettava n:nnen termin kaava. Jos sovellamme kaavaa ongelmaamme, huomaamme, että 99 on etenemisen kolmaskymmenes termi. Ne. n = 30.

Katsotaan aritmeettisen progression summan kaavaa:

Katsomme ja iloitsemme.) Poimimme ongelmanratkaisusta kaiken tarvittavan summan laskemiseen:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Jäljelle jää vain perusaritmetiikka. Korvaamme luvut kaavaan ja laskemme:

Vastaus: 1665

Toinen suosittu palapelityyppi:

4. Annettu aritmeettinen progressio:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Etsi termien summa kahdeskymmenes-kolmekymmentäneljäksi.

Katsomme summan kaavaa ja... suuttumme.) Muistutan teitä, kaava laskee määrän ensimmäisestä jäsen. Ja ongelmassa sinun on laskettava summa 20:sta lähtien... Kaava ei toimi.

Voit tietysti kirjoittaa koko etenemisen sarjaksi ja lisätä termejä 20:stä 34:ään. Mutta... se on jotenkin typerää ja kestää kauan, eikö?)

On olemassa tyylikkäämpi ratkaisu. Jaetaan sarjamme kahteen osaan. Ensimmäinen osa tulee olemaan ensimmäisestä lukukaudesta yhdeksänteentoista. Toinen osa - kahdestakymmenestä kolmeenkymmeneenneljään. On selvää, että jos laskemme ensimmäisen osan ehtojen summan S 1-19, lisätään se toisen osan ehtojen summaan S 20-34, saamme etenemisen summan ensimmäisestä termistä kolmeenkymmeneenneljänteen S 1-34. näin:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Tästä voimme nähdä, että löytää summa S 20-34 voidaan tehdä yksinkertaisella vähennyksellä

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Molemmat oikealla puolella olevat summat otetaan huomioon ensimmäisestä jäsen, ts. vakiosummakaava soveltuu hyvin niihin. Aloitetaanko?

Poimimme etenemisparametrit ongelmalauseesta:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

Ensimmäisen 19 ja 34 ensimmäisen termin summan laskemiseksi tarvitsemme 19. ja 34. ehdon. Laskemme ne n:nnen termin kaavalla, kuten tehtävässä 2:

a 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

a 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Ei ole mitään jäljellä. 34 ehdon summasta vähennetään 19 ehdon summa:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Vastaus: 262,5

Yksi tärkeä huomautus! Tämän ongelman ratkaisemisessa on erittäin hyödyllinen temppu. Suoran laskennan sijaan mitä tarvitset (S 20-34), laskimme jotain mitä ei näytä tarvittavan - S 1-19. Ja sitten he päättivät S 20-34, hylkäämällä tarpeettomat täydellisestä tuloksesta. Tällainen "korvien pettäminen" säästää sinut usein pahoilta ongelmilta.)

Tällä oppitunnilla tarkastelimme tehtäviä, joissa riittää ymmärtää aritmeettisen progression summan merkitys. No, sinun täytyy tietää pari kaavaa.)

Käytännön neuvoja:

Kun ratkaiset mitä tahansa aritmeettisen progression summaa koskevaa ongelmaa, suosittelen heti kirjoittamaan kaksi pääkaavaa tästä aiheesta.

Kaava n:nnelle termille:

Nämä kaavat kertovat heti, mitä etsiä ja mihin suuntaan ajatella ongelman ratkaisemiseksi. Auttaa.

Ja nyt itsenäisen ratkaisun tehtävät.

5. Laske kaikkien niiden kaksinumeroisten lukujen summa, jotka eivät ole jaollisia kolmella.

Hienoa?) Vihje on piilotettu muistiinpanoon tehtävään 4. No, tehtävä 3 auttaa.

6. Aritmeettinen eteneminen saadaan ehdolla: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Etsi sen 24 ensimmäisen ehdon summa.

Epätavallinen?) Tämä on toistuva kaava. Voit lukea siitä edellisellä oppitunnilla. Älä sivuuta linkkiä, tällaisia ​​​​ongelmia löytyy usein valtion tiedeakatemiasta.

7. Vasya säästi rahaa lomaa varten. Jopa 4550 ruplaa! Ja päätin antaa suosikkihenkilölleni (itselleni) muutaman päivän onnea). Elä kauniisti kieltämättä itseltäsi mitään. Käytä 500 ruplaa ensimmäisenä päivänä ja jokaisena seuraavana päivänä kuluta 50 ruplaa enemmän kuin edellinen! Kunnes rahat loppuvat. Kuinka monta onnellista päivää Vasyalla oli?

Vaikea?) Lisäkaava tehtävästä 2 auttaa.

Vastaukset (sekaisin): 7, 3240, 6.

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Opitaan - mielenkiinnolla!)

Voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Ennen kuin alamme päättää aritmeettiset etenemisongelmat, pohditaan, mikä numerosarja on, koska aritmeettinen progressio on lukujonon erikoistapaus.

Numerosarja on numerojoukko, jonka jokaisella elementillä on oma sarjanumeronsa. Tämän joukon elementtejä kutsutaan sarjan jäseniksi. Sekvenssielementin sarjanumero ilmaistaan ​​indeksillä:

Sarjan ensimmäinen elementti;

Jakson viides elementti;

- sekvenssin "n:s" elementti, ts. elementti "seisoi jonossa" numerossa n.

Järjestyselementin arvon ja sen järjestysnumeron välillä on suhde. Siksi voimme pitää sekvenssiä funktiona, jonka argumentti on sekvenssin elementin järjestysnumero. Toisin sanoen voimme sanoa niin sekvenssi on luonnollisen argumentin funktio:

Sarja voidaan asettaa kolmella tavalla:

1 . Järjestys voidaan määrittää taulukon avulla. Tässä tapauksessa asetamme yksinkertaisesti sekvenssin kunkin jäsenen arvon.

Esimerkiksi Joku päätti ryhtyä henkilökohtaiseen ajanhallintaan ja laskea aluksi, kuinka paljon aikaa hän viettää VKontaktessa viikon aikana. Tallentamalla ajan taulukkoon hän saa sarjan, joka koostuu seitsemästä elementistä:

Taulukon ensimmäinen rivi osoittaa viikonpäivän numeron, toinen - ajan minuutteina. Näemme, että eli maanantaina Joku vietti 125 minuuttia VKontaktessa, eli torstaina - 248 minuuttia, ja eli perjantaina vain 15.

2 . Jakso voidaan määrittää käyttämällä n:nnen termin kaavaa.

Tässä tapauksessa sarjaelementin arvon riippuvuus sen numerosta ilmaistaan ​​suoraan kaavan muodossa.

Esimerkiksi jos , niin

Löytääksemme tietyn numeron sekvenssielementin arvon korvaamme elementin numeron n:nnen termin kaavalla.

Teemme samoin, jos meidän on löydettävä funktion arvo, jos argumentin arvo tunnetaan. Korvaamme argumentin arvon funktioyhtälöön:

Jos esim. , Tuo

Huomautan vielä kerran, että sekvenssissä, toisin kuin mielivaltaisessa numeerisessa funktiossa, argumentti voi olla vain luonnollinen luku.

3 . Sarja voidaan määrittää kaavalla, joka ilmaisee sekvenssin jäsennumeron n arvon riippuvuuden aiempien jäsenten arvoista.

Tässä tapauksessa ei riitä, että tiedämme vain sekvenssin jäsenen numeron löytääksemme sen arvon. Meidän on määritettävä sekvenssin ensimmäinen jäsen tai muutama ensimmäinen jäsen. ,

Löydämme sarjan jäsenten arvot yksitellen, alkaen kolmannesta:

Eli joka kerta löytääksemme sekvenssin n:nnen termin arvon, palaamme kahteen edelliseen. Tätä menetelmää sekvenssin määrittämiseksi kutsutaan toistuva, latinan sanasta recurro- tule takaisin.

Nyt voimme määritellä aritmeettisen progression. Aritmeettinen progressio on yksinkertainen numerosarjan erikoistapaus.

Aritmeettinen progressio on numerosarja, jonka jokainen jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin edellinen samaan numeroon lisättynä.

Numeroon soitetaan aritmeettisen etenemisen ero. Aritmeettisen progression ero voi olla positiivinen, negatiivinen tai yhtä suuri kuin nolla.

If title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} lisääntyy.

Esimerkiksi 2; 5; 8; 11;...

Jos , niin aritmeettisen etenemisen jokainen termi on pienempi kuin edellinen, ja eteneminen on vähenee.

Esimerkiksi 2; -1; -4; -7;...

Jos , Kaikki etenemisen ehdot ovat samat, ja eteneminen on paikallaan.

Esimerkiksi 2;2;2;2;...

Aritmeettisen progression pääominaisuus:

Katsotaanpa kuvaa.

Näemme sen

, ja samaan aikaan

Kun nämä kaksi yhtälöä lisätään, saadaan:

.

Jaetaan tasa-arvon molemmat puolet kahdella:

Joten jokainen aritmeettisen progression jäsen toisesta alkaen on yhtä suuri kuin kahden vierekkäisen aritmeettisen keskiarvon:

Lisäksi koska

, ja samaan aikaan

, Tuo

, ja siksi

Aritmeettisen progression jokainen termi, joka alkaa otsikko="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Termin kaava.

Näemme, että aritmeettisen progression ehdot täyttävät seuraavat suhteet:

ja lopuksi

Saimme n:nnen termin kaava.

TÄRKEÄÄ! Mikä tahansa aritmeettisen progression jäsen voidaan ilmaista ja. Kun tiedät aritmeettisen progression ensimmäisen termin ja eron, voit löytää minkä tahansa sen termistä.

Aritmeettisen etenemisen n ehdon summa.

Satunnaisessa aritmeettisessa progressiossa äärimmäisistä yhtä kaukana olevien termien summat ovat keskenään yhtä suuret:

Tarkastellaan aritmeettista progressiota, jossa on n termiä. Olkoon tämän etenemisen n ehtojen summa yhtä suuri kuin .

Järjestetään etenemisen ehdot ensin numeroiden nousevaan järjestykseen ja sitten laskevaan järjestykseen:

Lisätään pareittain:

Jokaisessa sulussa oleva summa on , parien lukumäärä on n.

Saamme:

Niin, aritmeettisen etenemisen n ehdon summa voidaan löytää kaavoilla:

Harkitsemme aritmeettisten etenemisongelmien ratkaiseminen.

1 . Järjestys saadaan n:nnen termin kaavalla: . Todista, että tämä sarja on aritmeettinen progressio.

Osoittakaamme, että sekvenssin kahden vierekkäisen termin välinen ero on yhtä suuri kuin sama luku.

Huomasimme, että ero sekvenssin kahden vierekkäisen jäsenen välillä ei riipu niiden lukumäärästä ja on vakio. Siksi tämä sarja on määritelmän mukaan aritmeettinen progressio.

2 . Annettu aritmeettinen progressio -31; -27;...

a) Etsi etenemisen 31 termiä.

b) Selvitä, sisältyykö luku 41 tähän etenemiseen.

A) Näemme sen;

Kirjataan ylös kaava n:nnelle termille edistymisellemme.

Yleensä

Meidän tapauksessamme , Siksi

Vastaus: sarja eroaa.

Esimerkki nro 3

Etsi sarjan $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ summa.

Koska summauksen alaraja on 1, sarjan yhteinen termi kirjoitetaan summamerkin alle: $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$. Säveldään n:s osa sarjan summa, ts. Summataan tietyn numerosarjan ensimmäiset $n$ ehdot:

$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9) )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3)). $$

Miksi kirjoitan täsmälleen $\frac(2)(3\cdot 5)$, enkä $\frac(2)(15)$, se selviää jatkoselostuksesta. Osasumman kirjoittaminen ei kuitenkaan tuonut meitä hivenenkään lähemmäksi tavoitettamme. Meidän on löydettävä $\lim_(n\to\infty)S_n$, mutta jos kirjoitamme:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\right), $$

silloin tämä tietue, joka on muodoltaan täysin oikea, ei anna meille mitään pohjimmiltaan. Rajan löytämiseksi on ensin yksinkertaistettava osasumman lauseke.

Tätä varten on olemassa standardimuunnos, joka koostuu sarjan yleistä termiä edustavan murtoluvun $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ jakamisesta alkeismurtoiksi. Erillinen aihe on omistettu rationaalisten murtolukujen jakamisesta alkeisosiksi (katso esimerkiksi esimerkki nro 3 tällä sivulla). Laajentamalla murto-osan $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ alkeismurtoiksi saadaan:

$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n) +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3)). $$

Yhdistämme tuloksena olevan yhtälön vasemmalla ja oikealla puolella olevien murtolukujen osoittajat:

$$ 2=A\cpiste(2n+3)+B\cpiste(2n+1). $$

On kaksi tapaa löytää $A$ ja $B$ arvot. Voit avata sulut ja järjestää termit uudelleen tai voit yksinkertaisesti korvata joitakin sopivia arvoja $n$:n sijasta. Vain vaihtelun vuoksi tässä esimerkissä mennään ensimmäisellä tavalla, ja seuraavassa korvaamme yksityiset arvot $n$. Avaamalla sulut ja järjestämällä ehdot uudelleen, saamme:

$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$

Yhtälön vasemmalla puolella $n$ edeltää nolla. Jos haluat selvyyden vuoksi, yhtälön vasen puoli voidaan esittää muodossa $0\cdot n+ 2$. Koska yhtälön $n$ edessä on vasemmalla puolella nolla ja yhtälön $n$ oikealla puolella on $2A+2B$, meillä on ensimmäinen yhtälö: $2A+2B=0$. Jaetaan heti tämän yhtälön molemmat puolet kahdella, minkä jälkeen saadaan $A+B=0$.

Koska yhtälön vasemmalla puolella vapaa termi on yhtä suuri kuin 2 ja yhtälön oikealla puolella vapaa termi on yhtä suuri kuin $3A+B$, niin $3A+B=2$. Meillä on siis järjestelmä:

$$ \left\(\begin(tasattu) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end(tasattu)\oikea. $$

Todistuksen suoritamme matemaattisen induktion menetelmällä. Ensimmäisessä vaiheessa sinun on tarkistettava, onko todistettava yhtälö totta $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ arvolle $n=1$. Tiedämme, että $S_1=u_1=\frac(2)(15)$, mutta antaako lauseke $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ arvon $\frac( 2 )(15)$, jos korvaamme sen arvolla $n=1$? Tarkistetaan:

$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15). $$

Joten, $n=1$ yhtälö $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ täyttyy. Tämä suorittaa matemaattisen induktion menetelmän ensimmäisen vaiheen.

Oletetaan, että $n=k$ yhtäläisyys täyttyy, ts. $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$. Osoitetaan, että sama yhtälö toteutuu myös $n=k+1$:lle. Voit tehdä tämän harkitsemalla $S_(k+1)$:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1). $$

Koska $u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$, niin $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1 )-\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$. Yllä tehdyn oletuksen mukaan $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$, siis kaava $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ tulee muodossa:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2(k+1)+3). $$

Johtopäätös: kaava $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ on oikea arvolle $n=k+1$. Siksi matemaattisen induktion menetelmän mukaan kaava $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ on totta mille tahansa $n\in N$:lle. Tasa-arvo on todistettu.

IN vakiokurssi Korkeammat matemaatikot ovat yleensä tyytyväisiä ehtojen yliviivaukseen ilman todisteita. Joten, saimme lausekkeen n:nnelle osasummalle: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Etsitään $\lim_(n\to\infty)S_n$ arvo:

Johtopäätös: annettu sarja konvergoi ja sen summa on $S=\frac(1)(3)$.

Toinen tapa yksinkertaistaa osittaisen summan kaavaa.

Rehellisesti sanottuna pidän itse tästä menetelmästä enemmän :) Kirjoitetaanpa osasumma lyhennettynä:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)). $$

Saimme aiemmin, että $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$, joten:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\sum\limits_(k=1)^(n)\left (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\oikea). $$

Summa $S_n$ sisältää rajallisen määrän termejä, joten voimme järjestää ne uudelleen haluamallamme tavalla. Haluan ensin laskea yhteen kaikki muodon $\frac(1)(2k+1)$ ehdot ja vasta sitten siirtyä muodon $\frac(1)(2k+3)$ termeihin. Tämä tarkoittaa, että esitämme osittaisen summan seuraavasti:

$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ldots+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1) )-\left(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\right). $$

Tietenkin laajennettu merkintätapa on erittäin hankala, joten yllä esitetty yhtäläisyys voidaan kirjoittaa tiiviimmin:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\sum\limits_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3). $$

Muunnetaan nyt lausekkeet $\frac(1)(2k+1)$ ja $\frac(1)(2k+3)$ yhdeksi muodoksi. Mielestäni on kätevää pienentää se suuremman osan muotoon (vaikka on mahdollista käyttää pienempää, tämä on makuasia). Koska $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (mitä suurempi nimittäjä, sitä pienempi murtoluku), annamme murtoluvun $\frac(1)(2k+ 3) $ muotoon $\frac(1)(2k+1)$.

Esitän lausekkeen murtoluvun $\frac(1)(2k+3)$ nimittäjässä seuraavasti:

$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1). $$

Ja summa $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ voidaan nyt kirjoittaa seuraavasti:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1) ) )+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1). $$

Jos yhtälö $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+ 1) $ ei herätä kysymyksiä, jatketaan sitten. Jos sinulla on kysyttävää, laajenna huomautusta.

Miten saimme muunnetun summan? näytä\piilota

Meillä oli sarja $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2( k+1)+1)$. Otetaan uusi muuttuja $k+1$ sijaan, esimerkiksi $t$. Joten $t=k+1$.

Miten vanha muuttuja $k$ muuttui? Ja se muuttui 1:stä $n$:ksi. Selvitetään kuinka uusi muuttuja $t$ muuttuu. Jos $k=1$, niin $t=1+1=2$. Jos $k=n$, niin $t=n+1$. Joten lausekkeesta $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ tulee nyt: $\sum\limits_(t=2)^(n +1)\frac(1)(2t+1)$.

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1) )(2t+1). $$

Meillä on summa $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$. Kysymys: onko väliä mitä kirjainta tässä määrässä käytetään? :) Yksinkertaisesti kirjoittamalla $k$ kirjaimen $t$ sijaan, saamme seuraavan:

$$ \sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1). $$

Näin saadaan yhtälö $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+ 1) \frac(1)(2k+1)$.

Näin ollen osasumma voidaan esittää seuraavasti:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1) ). $$

Huomaa, että summat $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ ja $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1 )(2k+1)$ eroavat vain summausrajoissa. Tehdään näistä rajoituksista samat. "Ottamalla pois" ensimmäinen elementti summasta $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$, saamme:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1). $$

"Ottamalla pois" viimeinen elementti summasta $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$, saadaan:

$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1) )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+ 3) ).$$

Sitten osasumman lauseke saa muotoa:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\right)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Jos ohitat kaikki selitykset, n:nnen osasumman lyhennetyn kaavan löytäminen tapahtuu seuraavassa muodossa:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\\ =\sum\limits_(k =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2n+3)\right)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Muistutan, että pelkistimme murtoluvun $\frac(1)(2k+3)$ muotoon $\frac(1)(2k+1)$. Tietysti voit tehdä päinvastoin, ts. edustaa murto-osaa $\frac(1)(2k+1)$ muodossa $\frac(1)(2k+3)$. Osasumman lopullinen lauseke ei muutu. Tässä tapauksessa piilotan osittaisen summan löytämisprosessin setelin alle.

Kuinka löytää $S_n$, jos se muunnetaan toiseksi murtoluvuksi? näytä\piilota

$$ S_n =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 ) =\sum\limits_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) )=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\left(\sum\limits_(k=) 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\oikea) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3) ). $$

Joten $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Etsi raja $\lim_(n\to\infty)S_n$:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3). $$

Annettu sarja konvergoi ja sen summa $S=\frac(1)(3)$.

Vastaus: $S=\frac(1)(3)$.

Sarjan summan löytämisen aiheen jatkoa käsitellään toisessa ja kolmannessa osassa.