Էկոնոմետրիկ փորձարկման գործոններ բազմակողմանիության համար: Multicollinearity և դրա հետևանքները

Բազմագծայինության առկայության արտաքին նշանը մատրիցային տարրերի չափազանց մեծ արժեքներն են (X T X)~ 1.Լրացուցիչ մատրիցային սահմանում (X T X) Xև դրա օգտագործումը տես գլ. 4, պարբերություն 4.2.

Բազմակողմանիության հիմնական նշանը.հարաբերակցության մատրիցայի որոշիչ R x x.զրոյին մոտ: Եթե ​​բոլոր բացատրական փոփոխականները միմյանց հետ փոխկապակցված չեն, ապա R XjX.| = 1, դյույմ հակառակ դեպքում 0 R x. x. |

Կան մի քանի նշաններ, որոնց միջոցով կարելի է որոշել բազմակողմանիության առկայությունը:

• 1. Որոշման գործակից Կ 2բավականին բարձր, բարձր f-վիճակագրություն, սակայն բազմակի գծային ռեգրեսիայի հավասարման որոշ (երբեմն բոլոր) գործակիցները վիճակագրորեն աննշան են (ունեն ցածր 7-վիճակագրություն):
• 2. Զույգ հարաբերակցության բարձր գործակիցներ և մասնակի հարաբերակցության բարձր գործակիցներ:

Սահմանում 7.1.Մասնակի հարաբերակցության գործակիցկոչվում է հարաբերակցության գործակից երկու բացատրական փոփոխականների միջև՝ «մաքրված» այլ փոփոխականների ազդեցությունից։

Օրինակ՝ երեք բացատրական փոփոխականներով X 1y X 2, X 3միջեւ մասնակի հարաբերակցության գործակիցը X (և X 3, «մաքրված» X 2-ից, հաշվարկվում է բանաձևով

Դիտողություն 7.2.Մասնակի հարաբերակցության գործակիցը կարող է զգալիորեն տարբերվել «սովորական» (զույգված) հարաբերակցության գործակիցից: Բացատրական փոփոխականների զույգերի փոխկապակցման վերաբերյալ ավելի ողջամիտ եզրակացության համար անհրաժեշտ է հաշվարկել մասնակի հարաբերակցության բոլոր գործակիցները:

Մասնակի հարաբերակցության գործակիցը որոշելու ընդհանուր արտահայտություն

Որտեղ Cjj-մատրիցային տարրեր ՀԵՏ = R~ x -մատրիցա հակադարձ միջֆակտորային զույգի հարաբերակցության մատրիցին R VjX . (7.1).

• 3. Բացատրական փոփոխականների միջև ուժեղ ռեգրեսիա: Բացատրական փոփոխականներից որևէ մեկը այլ բացատրական փոփոխականների համակցություն է (գծային կամ գրեթե գծային):
• 4. Ռեգրեսիայի գործակիցների նշանները հակադիր են տնտեսական տարածքներից ակնկալվողներին:
• 5. Նմուշից դիտարկումներ ավելացնելը կամ հեռացնելը մեծապես փոխում է գնահատումների արժեքները:

Դիտարկենք մի քանի օրինակ՝ վերը նշվածը լուսաբանելու համար:

Օրինակ 7.4

Արտադրության ծավալի համար ժամըՀետևյալ հիմնական գործոնները ազդում են. x x- ձեռնարկությունում աշխատող աշխատողների թիվը. x 2- հիմնական միջոցների արժեքը. x 3- աշխատողների միջին աշխատավարձը. Գծային բազմակի ռեգրեսիայի հավասարումն ունի ձև y = b 0 + b ( x x + b 2 x 2 + b 3 x 3.

Այս մոդելի համար զույգ հարաբերակցության գործակիցների մատրիցա

Մատրիցային որոշիչ |D | = 0,302: Այս մոդելում գործոնները և x 2,և նաև X (Եվ x 3գործոնները թույլ են կապված, ընդհակառակը, x 2Եվ x 3խիստ կապված են՝ r^z =0.8. Հնարավոր է ուժեղ կապ գործոնների միջև x 2Եվ x լԴա բացատրվում է նրանով, որ բարձր որակավորում ունեցող աշխատողները, ովքեր ավելի բարձր աշխատավարձ ունեն, աշխատում են թանկարժեք սարքավորումների վրա։

Ստացված փոփոխականի զուգակցված հարաբերակցության գործակիցները գործոնների հետ հավասար են ստացվել՝ t yY| =0.7; գ ըհ.^ =0,8; g uhz=0,75. Զույգ հարաբերակցության գործակիցների ամբողջական մատրիցն ունի ձև

Բոլոր գործոնները զգալի ազդեցություն ունեն արդյունքի վրա: Քանի որ ռեգրեսիոն մոդելը պետք է ներառի գործոններ, որոնք սերտորեն կապված են արդյունքի հետ և թույլ են կապված միմյանց հետ, այս օրինակում երկու ռեգրեսիոն մոդելներ հարմար են միաժամանակ. y, = f(x v x 2) և y 2 = f (x v x 3).

Օրինակ 7.5

Եկեք պարզենք աղյուսակում տրված նմուշի տվյալների բազմակողմանիության առկայությունը: 7.2.

Մուտքագրեք տվյալներ օրինակ 7.2

Աղյուսակ 7.2

Լուծում.Զույգ հարաբերակցության գործակիցները, որոնք հաշվարկված են բանաձևով (7.2) տրված են Աղյուսակում: 7.3.

Աղյուսակ 73

Զուգակցված հարաբերակցության գործակիցներ

Աղյուսակում բերված տվյալներից պարզ է դառնում, որ փոփոխականների միջև կա ուժեղ հարաբերակցություն:G[ և x 2.Զույգ հարաբերակցության գործակիցները կարող են որոշվել նաև վերլուծության գործիքի միջոցով: Microsoft Excel (Կոռելացիոն գործիք),

Եկեք ստուգենք բացատրված և բացատրական փոփոխականների հարաբերակցությունը, դրա համար կօգտագործենք «Հարաբերակցություն» գործիքը Microsoft Excel(կարող եք հաշվարկել հարաբերակցության գործակիցները g X1/,օգտագործելով բանաձևը (7.2)): Արդյունքները ներկայացված են Նկ. 7.1.

Բրինձ. 7.1.Բացատրվող և բացատրական փոփոխականների միջև հարաբերակցության հաշվարկման արդյունքները Microsoft Excel

Եկեք հաշվարկենք մասնակի հարաբերակցության գործակիցները՝ օգտագործելով (7.4) բանաձևը, քանի որ այս օրինակում կան միայն երեք բացատրական փոփոխականներ (մասամբ հարաբերակցության գործակիցները կարող եք գտնել՝ օգտագործելով (7.5) բանաձևը՝ նախ գտնելով հակադարձ մատրիցը։ C=R():

Փոփոխականների միջև մասնակի հարաբերակցության գործակիցը ամենամեծն է եղել x x դրանք 2-ն են:Մասնակի հարաբերակցության գործակից g XxX ^ X2զույգ գործակցին նշանով ամենափոքրը և հակառակը g x x.

Պատասխանել.Մոդելի փոփոխականների միջև կա ամուր հարաբերակցություն x xԵվ x 2.

Գծային ռեգրեսիոն մոդելի դեպքում բազմակողմանիության երևույթը նրա նախադրյալներից մեկի խախտում է, այսինքն. գործոնների միջև գծային կապի առկայությունը.

Multicollinearity– սա բացատրական փոփոխականների բարձր փոխկապակցվածություն է:

_______________________________________________________________________

Բազմագծայինությունը կարող է դրսևորվել երկու ձևով.

1) ժամը ֆունկցիոնալ/բացահայտ ձև բազմակողմանիություն, բացատրական փոփոխականների միջև զույգ հարաբերություններից առնվազն մեկը գծային ֆունկցիոնալ հարաբերություն է:

2) ստոխաստիկ/թաքնված ձև Տնտեսական հետազոտություններում այն ​​ավելի հաճախ է հայտնվում, երբ երկու բացատրական փոփոխականների միջև կա սերտ հարաբերակցություն:

OLS-ի վրա հիմնված ռեգրեսիոն վերլուծության համար լավագույն արդյունքներ տալու համար ենթադրվում է, որ արժեքները Xպատահական փոփոխականներ չեն, և որ դրանք փոխկապակցված չեն, այսինքն. յուրաքանչյուր փոփոխական պարունակում է եզակի տեղեկատվությունՕ y,որը չի պարունակում ուրիշների մեջ. Երբ նման իդեալական իրավիճակ կա, բազմակողմանիություն չկա: Ամբողջական համադրումը տեղի է ունենում, երբ մի փոփոխականը կարող է ճշգրիտ արտահայտվել մեկ այլ փոփոխականով տվյալների հավաքածուի բոլոր տարրերի համար:

Բազմագծայինության պատճառները.

1) տվյալների հավաքագրման և մոդելի մեջ փոփոխականներ ընտրելու մեթոդ՝ առանց հաշվի առնելու դրանց նշանակությունն ու բնույթը(հաշվի առնելով նրանց միջև հնարավոր հարաբերությունները): Օրինակ՝ ընտանիքի եկամտի և ընտանիքի չափի ազդեցությունը բնակարանի չափի վրա գնահատելիս, եթե տվյալներ հավաքագրենք միայն ընտանիքների միջև մեծ չափսիսկ բարձր եկամուտներով և մոդելում չներառել ցածր եկամուտներով փոքր ընտանիքները, ապա արդյունքը կլինի բազմակողմանիության էֆեկտով մոդել: Խնդրի լուծումը նմուշառման դիզայնի բարելավումն է: Այն դեպքում, երբ փոփոխականները միմյանց փոխլրացնող են, նմուշի ճշգրտումը չի օգնի: Լուծումը կլինի փոփոխականներից մեկի բացառումը.

2) բարձր հզորությունփոփոխական.Օրինակ, մոդելի տեսքը փոխելու համար կարող է լրացուցիչ տերմին ներմուծվել մոդելի մեջ, որն արդեն պարունակում է $

3) ռեգրեսորներ, որոնք չափում են մոտավորապես նույնը.փոխարժեքներ օրվա սկզբում և վերջում;

4) բնական հարաբերությունները ռեգրեսորների միջև.տարիքը, փորձը և կրթության տարիների քանակը.

Բազմագծայինության հետևանքները.

1) t-test-ի միջոցով ռեգրեսիոն գործակիցների աննշանության մասին զրոյական վարկածը ստուգելիս շատ դեպքերում այն ​​ընդունվում է, բայց ռեգրեսիոն հավասարումը ինքնին, երբ փորձարկվում է F- թեստի միջոցով, պարզվում է, որ նշանակալի է, ինչը ցույց է տալիս գերագնահատում. ռեգրեսիայի գործակից; վստահության միջակայքերը չափազանց լայն են.

2) հավասարման պարամետրերի ստացված գնահատականները հիմնականում անհիմն ուռճացված են կամ ունեն սխալ նշաններ.

3) սկզբնական տվյալներից 1-2 դիտարկումներ ավելացնելը կամ բացառելը մեծ ազդեցություն ունի գործակիցների գնահատականների վրա.

4) մոդելում բազմակողմանիության առկայությունը կարող է այն դարձնել ոչ պիտանի հետագա օգտագործման համար:

Բազմագծայինության հիմնական խնդիրը ռեգրեսիոն գործակիցների գնահատականների շեղումների արժեզրկումն է: Բազմագծայինության ազդեցությունը չափելու համար օգտագործվում է ցուցիչը VIF (variation inflation factor) – շեղումների գնաճի գործոն համեմատ այն շեղման հետ, որը կլիներ, եթե այն համադրելի չլիներ ռեգրեսիայի այլ անկախ փոփոխականների հետ.

որտեղ է ռեգրեսորի համար բազմակի որոշման գործակիցի արժեքը մնացած բոլորի վրա:

Օրինակ, արժեքը VIF=6նշանակում է, որ գործակիցների ցրվածությունը 6 անգամ ավելի մեծ է, քան այն պետք է լինի, եթե լիակատար բացակայությունհամակցվածություն. Ենթադրվում է, որ կրիտիկական արժեքն է VIF=10 –Գործոնների միջև չափազանց մեծ հարաբերակցություն կա։

Օրինակ.

Այլ ռեգրեսորների վրա ռեգրեսիայի համար

Հետընթացի համար

Հետընթացի համար

Կա՞ բազմակողմանիություն:

Բավականին վատ է բացատրվում մնացած փոփոխականներով, փոփոխականը գծային անկախ է.

Փոփոխականները գծային կախված են, բարձր:

1. Երկու փոփոխական ունեցող մոդելում բազմակողմանիության նշաններից մեկն է միասնությանը մոտ զույգ հարաբերակցության գործակցի արժեքը. Եթե ​​զույգ հարաբերակցության գործակիցներից առնվազն մեկի արժեքը 0,8-ից մեծ է, ապա բազմակողմանիությունը լուրջ խնդիր է:

Այնուամենայնիվ, ավելի քան երկու անկախ փոփոխական ունեցող մոդելում զույգ հարաբերակցության գործակիցը կարող է փոքր արժեք ստանալ նույնիսկ բազմակողմանիության առկայության դեպքում: Այս դեպքում ավելի լավ է դիտարկել մասնակի հարաբերակցության գործակիցները:

2. Բազմակողմանիությունը ստուգելու համար կարող եք դիտարկել Զույգերի հարաբերակցության գործակիցների մատրիցայի որոշիչները|ր|. Այս որոշիչը կոչվում է հարաբերակցության որոշիչ |r| ∈(0; 1): Եթե ​​|ր| = 0, ապա կա ամբողջական բազմակողմանիություն: Եթե ​​|r|=1, ապա բազմակողմանիություն չկա: Որքան մոտ է |ր| մինչև զրո, այնքան ավելի հավանական է բազմակողմանիության առկայությունը:

3. Եթե գնահատականներն ունեն ստանդարտ մեծ սխալներ, ցածր նշանակություն, բայց մոդելն ամբողջությամբ նշանակալի է (ունի որոշման բարձր գործակից), ապա դա ցույց է տալիս բազմակողմանիության առկայությունը:

4. Եթե նոր անկախ փոփոխականի ներմուծումը մոդելում հանգեցնում է պարամետրերի գնահատումների էական փոփոխության և որոշման գործակցի աննշան փոփոխության, ապա նոր փոփոխականը գծային կախված է մյուս փոփոխականներից։

65. Կեղծ փոփոխականներ՝ անունների սահմանում, նպատակ, տեսակներ, նշանակություն:

Կեղծ փոփոխականներ- սրանք փոփոխականներ են արժեքների դիսկրետ հավաքածուով, որոնք քանակապես նկարագրում են որակական բնութագրերը: Էկոնոմետրիկ մոդելները սովորաբար օգտագործում են երկուական «0-1» տիպի կեղծ փոփոխականներ:

Պահանջվում են կեղծ փոփոխականներգնահատել որակական բնութագրերը էնդոգեն փոփոխականի վրա: Օրինակ, որոշակի ապրանքի պահանջարկը գնահատելիս մենք կառուցեցինք ռեգրեսիոն մոդել, որտեղ ռեգրեսորները քանակական փոփոխականներն էին` գինը և սպառողի եկամուտը: Այս մոդելը կատարելագործելու եղանակներից մեկը կլինի այնպիսի որակական հատկանիշներ ներառելը, ինչպիսիք են սպառողի ճաշակը, տարիքը, ազգային բնութագրերը, սեզոնայնությունը և այլն: Այս ցուցանիշները թվային տեսքով չեն կարող ներկայացվել։ Հետևաբար, խնդիր է առաջանում արտացոլել դրանց ազդեցությունը էնդոգեն փոփոխականի արժեքների վրա, ինչը լուծվում է հենց կեղծ փոփոխականների ներմուծմամբ:

IN ընդհանուր դեպք, երբ որակական բնութագիրը երկուից ավելի արժեք ունի, ներկայացվում են մի քանի երկուական փոփոխականներ։ Մի քանի երկուական փոփոխականներ օգտագործելիս անհրաժեշտ է բացառել փոփոխականների միջև գծային կապը, քանի որ հակառակ դեպքում, պարամետրերը գնահատելիս դա կհանգեցնի կատարյալ բազմակողմանիության: Հետևաբար, կիրառվում է հետևյալ կանոնը. եթե որակական փոփոխականն ունի k այլընտրանքային արժեքներ, ապա մոդելավորման ժամանակ օգտագործվում են միայն (k-1) կեղծ փոփոխականներ։

Ռեգրեսիայի մոդելները օգտագործում են երկու տեսակի կեղծ փոփոխականներ.

1. Կեղծ հերթափոխի փոփոխականներ

2. Լանջի կեղծ փոփոխականներփոփոխական է, որը փոխում է ռեգրեսիոն գծի թեքությունը: Օգտագործելով նման կեղծ փոփոխականներ՝ հնարավոր է կառուցել մաս-մաս գծային մոդելներ, որոնք թույլ են տալիս հաշվի առնել տնտեսական գործընթացների կառուցվածքային փոփոխությունները (օրինակ՝ նոր իրավական կամ հարկային սահմանափակումների ներդրում, քաղաքական իրավիճակի փոփոխություններ և այլն): Նման փոփոխականներ. օգտագործվում է, երբ որակական բնութագրի փոփոխությունը չի հանգեցնում ռեգրեսիայի գրաֆիկի զուգահեռ տեղաշարժի, այլ դրա թեքության փոփոխության: Սա է պատճառը, որ իրականում նման կեղծ փոփոխականները կոչվում են թեքության փոփոխականներ:

66. Shift Dummy. ռեգրեսիոն մոդելի ճշգրտում հերթափոխով կեղծարարով:

Կեղծ հերթափոխի փոփոխականներ– այս փոփոխականներն օգտագործվում են դինամիկ մոդելներում, երբ որոշակի ժամանակի որոշակի պահից սկսում է գործել ինչ-որ որակական գործոն (օրինակ՝ գործարանի արտադրողականությունը հաշվի առնելով աշխատողների գործադուլից առաջ և ընթացքում): Այս փոփոխականներն օգտագործվում են, երբ որակական հատկանիշի փոփոխությունը հանգեցնում է ռեգրեսիոն մոդելի գրաֆիկի զուգահեռ տեղաշարժի, ինչի պատճառով էլ դրանք կոչվում են հերթափոխի փոփոխականներ։

Կեղծ հերթափոխի փոփոխականով զույգ ռեգրեսիոն մոդելի ճշգրտումը հետևյալն է.

Որտեղ α, β, δ մոդելի պարամետրերն են. - ռեգրեսորի արժեքը դիտարկման ժամանակ t;

Կեղծ փոփոխական;

δ-ը կեղծ փոփոխականի պարամետր է:

dt=0 կեղծ փոփոխականի արժեքը կոչվում է բազային (համեմատական) արժեք։ Հիմնական արժեքը կարող է կամ որոշվել ուսումնասիրության նպատակներով կամ ընտրվել կամայականորեն: Եթե ​​դուք փոխարինում եք փոփոխականի բազային արժեքը, ապա մոդելի էությունը δ պարամետրի նշանը չի փոխվի հակառակը:

Դիտարկենք զուգակցված ռեգրեսիոն մոդել՝ ըստ կեղծ փոփոխականի օրինակ.

Թող պաղպաղակի վաճառքի վրա ազդի վաճառողի ֆուրգոնի վրա գովազդի առկայությունը։ Օգտագործելով կեղծ փոփոխականներով հավասարումը, օգտագործելով մեկ ռեգրեսիոն հավասարում, կարող եք արդյունքներ ստանալ ինչպես գովազդով վաճառողների, այնպես էլ առանց գովազդի վաճառողների համար:

Թող նախնական մոդելը նկարագրվի բնութագրմամբ.

Որտեղ n-ը պաղպաղակ վաճառողների թիվն է, t-րդ վաճառողի վաճառքի թիվը, t-րդ վաճառողի համար քանակական ռեգրեսորի արժեքը

Ներկայացնենք ֆիկտիվ հերթափոխի փոփոխական

Ենթադրենք, որ մենք դիտարկում ենք ռեգրեսիոն հավասարում, և դրա գնահատման տվյալները պարունակում են դիտարկումներ տարբեր որակի օբյեկտների համար՝ տղամարդկանց և կանանց, սպիտակների և սևամորթների համար: Հարցը, որը կարող է մեզ հետաքրքրել այստեղ հետևյալն է. ճի՞շտ է, որ դիտարկվող մոդելը համընկնում է տարբեր որակի օբյեկտների հետ կապված երկու նմուշների համար։ Այս հարցին կարելի է պատասխանել՝ օգտագործելով Chow թեստը:

Դիտարկենք մոդելները.

, ես=1,…,Ն (1);

, ես=Ն+1,…,Ն+Մ (2).

Առաջին նմուշում Նդիտարկումները, երկրորդում՝ Մդիտարկումներ։ Օրինակ՝ Յ– աշխատավարձ, բացատրական փոփոխականներ – տարիք, աշխատանքային ստաժ, կրթական մակարդակ: Արդյո՞ք առկա տվյալներից հետևում է, որ աջ կողմում գտնվող բացատրական փոփոխականներից աշխատավարձի կախվածության մոդելը նույնն է տղամարդկանց և կանանց համար:

Այս վարկածը ստուգելու համար կարող եք օգտագործել հիպոթեզների փորձարկման ընդհանուր սխեման՝ համեմատելով սահմանափակ ռեգրեսիան և անսահմանափակ ռեգրեսիան: Անկաշկանդ ռեգրեսիան այստեղ ռեգրեսիաների (1) և (2) միավորումն է, այսինքն. ESS UR = ESS 1 + ESS 2, ազատության աստիճանների քանակը – Ն + Մ - 2կ. Սահմանափակ ռեգրեսիան (այսինքն՝ ռեգրեսիա՝ այն ենթադրությամբ, որ զրոյական վարկածը բավարարված է) կլինի ռեգրեսիա բոլոր առկա դիտարկումների համար.

, ես = 1,…, Ն+Մ (3).

Գնահատելով (3)՝ մենք ստանում ենք ԷՍՍ Ռ. Զրոյական վարկածը ստուգելու համար մենք օգտագործում ենք հետևյալ վիճակագրությունը.

Որը, եթե զրոյական վարկածը ճիշտ է, ունի Ֆիշերի բաշխում համարիչի ազատության աստիճանների քանակով կև հայտարար Ն+ Մ- 2կ.

Եթե ​​զրոյական վարկածը ճշմարիտ է, մենք կարող ենք միավորել առկա նմուշները մեկի մեջ և գնահատել մոդելը Ն+Մդիտարկումներ։ Եթե ​​մենք մերժում ենք զրոյական վարկածը, ապա մենք չենք կարող միավորել երկու նմուշները մեկում, և մենք ստիպված կլինենք գնահատել երկու մոդելները առանձին:

Ընդհանուր գծային մոդելի ուսումնասիրությունը, որը մենք դիտարկել ենք ավելի վաղ, շատ նշանակալի է, ինչպես տեսանք, հիմնված է վիճակագրական ապարատի վրա: Այնուամենայնիվ, ինչպես բոլոր գորգերի հավելվածների դեպքում: վիճակագրություն, մեթոդի ուժը կախված է դրա հիմքում ընկած և դրա կիրառման համար անհրաժեշտ ենթադրություններից: Որոշ ժամանակ մենք կքննարկենք իրավիճակներ, երբ խախտված են գծային մոդելի հիմքում ընկած վարկածներից մեկը կամ մի քանիսը: Մենք կքննարկենք այլընտրանքային մեթոդներգնահատականներ այս դեպքերում։ Կտեսնենք, որ որոշ վարկածների դերն ավելի նշանակալի է մյուսների դերի համեմատ։ Մենք պետք է նայենք, թե ինչ հետևանքների կարող են հանգեցնել որոշակի պայմանների (ենթադրությունների) խախտումները, կարողանանք ստուգել՝ դրանք բավարարվա՞ծ են, թե՞ ոչ, և իմանանք, թե ինչ վիճակագրական մեթոդներ կարող են և պետք է կիրառվեն, երբ դասական նվազագույն քառակուսիների մեթոդը հարմար չէ:

1. Փոփոխականների միջև կապը գծային է և արտահայտվում է հավասարումով.

2. X 1 ,…,X k- որոշիչ փոփոխականներ - ստոխաստիկ ռեգրեսորներ, գծային անկախ - ամբողջական բազմակողմանիություն;

4. - հետերոսկեդաստիկություն;

5. երբ ես ¹ կ- սխալների ավտոհարաբերակցություն

Զրույցը սկսելուց առաջ դիտարկենք հետևյալ հասկացությունները՝ զույգ հարաբերակցության գործակից և մասնակի հարաբերակցության գործակից։

Ենթադրենք, մենք ուսումնասիրում ենք մի փոփոխականի ազդեցությունը մեկ այլ փոփոխականի վրա ( ՅԵվ X). Որպեսզի հասկանանք, թե ինչպես են այս փոփոխականները կապված միմյանց հետ, մենք հաշվարկում ենք զույգ հարաբերակցության գործակիցը հետևյալ բանաձևով.

Եթե ​​մենք ստանում ենք հարաբերակցության գործակցի արժեքը 1-ին մոտ, ապա եզրակացնում ենք, որ փոփոխականները բավականին խիստ կապված են միմյանց հետ:

Այնուամենայնիվ, եթե երկու ուսումնասիրության փոփոխականների միջև հարաբերակցության գործակիցը մոտ է 1-ին, դրանք իրականում կախված չեն: Հոգեկան հիվանդների և ռադիոկայանների օրինակը այսպես կոչված «կեղծ հարաբերակցության» օրինակ է։ Հարաբերակցության գործակցի բարձր արժեքը կարող է պայմանավորված լինել նաև երրորդ փոփոխականի առկայությամբ, որն ուժեղ ազդեցություն ունի առաջին երկու փոփոխականների վրա, ինչով էլ պայմանավորված է նրանց բարձր հարաբերակցությունը։ Հետևաբար, խնդիր է առաջանում հաշվարկել փոփոխականների միջև «մաքուր» հարաբերակցությունը XԵվ Յ, այսինքն՝ հարաբերակցություն, որում բացառվում է այլ փոփոխականների ազդեցությունը (գծային): Այդ նպատակով ներդրվում է մասնակի հարաբերակցության գործակից հասկացությունը։

Այսպիսով, մենք ցանկանում ենք որոշել փոփոխականների միջև մասնակի հարաբերակցության գործակիցը XԵվ Յ, բացառելով փոփոխականի գծային ազդեցությունը Զ. Այն որոշելու համար օգտագործվում է հետևյալ ընթացակարգը.

1. Մենք գնահատում ենք ռեգրեսիան,

2. Մենք ստանում ենք մնացածը,

3. Մենք գնահատում ենք ռեգրեսիան,

4. Մենք ստանում ենք մնացածը,

5. - նմուշի մասնակի հարաբերակցության գործակից, չափում է փոփոխականների միջեւ կապի աստիճանը XԵվ Յ, մաքրված փոփոխականի ազդեցությունից Զ.

Ուղղակի հաշվարկներ.

Սեփականություն:

Մասնակի հարաբերակցության գործակիցը կառուցելու կարգը ընդհանրացված է այն դեպքի համար, երբ մենք ցանկանում ենք ազատվել երկու կամ ավելի փոփոխականների ազդեցությունից։

1. Կատարյալ բազմակողմանիություն.

Գաուս-Մարկովի պահանջներից մեկը մեզ ասում է, որ բացատրական փոփոխականները չպետք է կապված լինեն որևէ ճշգրիտ փոխհարաբերությամբ: Եթե ​​փոփոխականների միջև նման հարաբերություն կա, մենք ասում ենք, որ մոդելում կա կատարյալ բազմակողմանիություն: Օրինակ. Դիտարկենք երեք բացատրական փոփոխականներից բաղկացած քննության միջին միավոր ունեցող մոդելը. Ի- ծնողների եկամուտը, Դ- օրական վերապատրաստման վրա ծախսված ժամերի միջին քանակը, Վ- շաբաթական վերապատրաստման վրա ծախսված ժամերի միջին քանակը: Ակնհայտ է, որ Վ=7Դ. Եվ այս հարաբերակցությունը կկատարվի մեր ընտրանքում ընդգրկված յուրաքանչյուր ուսանողի համար։ Ամբողջական բազմակողմանիության դեպքը հեշտ է գտնել, քանի որ այս դեպքում անհնար է գնահատականներ կառուցել՝ օգտագործելով նվազագույն քառակուսիների մեթոդը:

2. Մասնակի բազմակողմանիություն կամ պարզապես բազմակողմանիություն։

Շատ ավելի տարածված իրավիճակ է, երբ բացատրական փոփոխականների միջև չկա ճշգրիտ գծային կապ, բայց կա դրանց միջև սերտ հարաբերակցություն. Պետք է ասել, որ բազմակողմանիության խնդիրն ավելի շուտ երևույթի ծանրության աստիճանի խնդիր է, քան նրա տեսակի։ Ցանկացած ռեգրեսիայի գնահատումը կտուժի դրանից այս կամ այն ​​ձևով, եթե բոլոր անկախ փոփոխականները չպարզվեն, որ ամբողջովին փոխկապակցված չեն: Այս խնդրի քննարկումը սկսվում է միայն այն ժամանակ, երբ այն սկսում է լրջորեն ազդել ռեգրեսիայի գնահատման արդյունքների վրա (ռեգեսորների միջև վիճակագրական հարաբերությունների առկայությունը պարտադիր չէ, որ անբավարար գնահատականներ տա): Այսպիսով, բազմակողմանիությունը խնդիր է, երբ ռեգրեսորների միջև սերտ հարաբերակցությունը հանգեցնում է ռեգրեսիայի ոչ հավաստի գնահատականների:

Բազմագծայինության հետևանքները.

Պաշտոնապես, քանի որ ( X"X) ոչ այլասերված է, ապա մենք կարող ենք կառուցել ռեգրեսիայի գործակիցների OLS գնահատականները: Այնուամենայնիվ, հիշենք, թե ինչպես են արտահայտվում ռեգրեսիոն գործակիցների գնահատումների տեսական շեղումները. ա ii - եսմատրիցայի երրորդ անկյունագծային տարրը: Քանի որ մատրիցը (X"X) մոտ է եզակիին և det( X"X) » 0, ապա

1) հակադարձ մատրիցայի հիմնական անկյունագծի վրա կան շատ մեծ թվեր, քանի որ հակադարձ մատրիցայի տարրերը հակադարձ համեմատական ​​են det-ին ( X"X). Հետևաբար, տեսական տարբերությունը ես-րդ գործակիցը բավականին մեծ է, և դիսպերսիայի գնահատականը նույնպես մեծ է, հետևաբար. տ- վիճակագրությունը փոքր է, ինչը կարող է հանգեցնել վիճակագրական աննշանության ես-րդ գործակիցը. Այսինքն՝ փոփոխականը էական ազդեցություն ունի բացատրված փոփոխականի վրա, և մենք եզրակացնում ենք, որ այն աննշան է։

2) Քանի որ գնահատումները և կախված են ( X"X) -1, որի տարրերը հակադարձ համեմատական ​​են det(-ին X"X), ապա եթե ավելացնենք կամ հեռացնենք մեկ կամ երկու դիտարկում, այդպիսով մատրիցին ավելացնելով կամ հեռացնելով մեկ կամ երկու տող X"X, ապա արժեքները և կարող են էապես փոխվել՝ ընդհուպ մինչև նշանի փոփոխությունը՝ գնահատման արդյունքների անկայունությունը։

3) ռեգրեսիայի հավասարման մեկնաբանման դժվարություն. Ենթադրենք, որ հավասարման մեջ ունենք երկու փոփոխական, որոնք կապված են միմյանց հետ. X 1 և X 2. Ռեգրեսիայի գործակիցը ժամը X 1-ը մեկնաբանվում է որպես փոփոխության չափանիշ Յփոփոխության պատճառով X 1 մնացած բոլոր բաները հավասար են, այսինքն. մնացած բոլոր փոփոխականների արժեքները մնում են նույնը: Այնուամենայնիվ, քանի որ փոփոխականները X 1 և X 2-ը կապված են, այնուհետև փոփոխականի փոփոխությունները X 1-ը կհանգեցնի փոփոխականի կանխատեսելի փոփոխություններին X 2 և արժեքը X 2-ը նույնը չի մնա.

Օրինակ՝ որտեղ X 1 – ընդհանուր մակերեսը, X 2 - բնակելի տարածք: Մենք ասում ենք. «Եթե բնակելի տարածքը ավելանա 1քմ-ով, ապա, եթե այլ հավասար պայմաններ, ապա բնակարանի գինը կբարձրանա դոլարով»։ Սակայն այս դեպքում բնակելի տարածքը կավելանա 1 քառ. մ, իսկ թանկացումը կլինի . Տարբերակել ազդեցությունը փոփոխականի վրա Յյուրաքանչյուր փոփոխական առանձին-առանձին այլևս հնարավոր չէ: Բնակարանի գնի հետ կապված այս իրավիճակում ելքը մոդելի մեջ ներառելն է ոչ թե ընդհանուր տարածքը, այլ այսպես կոչված «լրացուցիչ» կամ «լրացուցիչ» տարածքը։

Բազմագծայինության նշաններ.

Բազմագծայինության առկայությունը (բացակայությունը) որոշելու ճշգրիտ չափանիշներ չկան։ Այնուամենայնիվ, կան էվրիստիկական առաջարկություններ դրա նույնականացման համար.

1) Վերլուծեք ռեգրեսորների միջև զուգակցված հարաբերակցության գործակիցների մատրիցը և եթե հարաբերակցության գործակիցի արժեքը մոտ է 1-ին, ապա դա համարվում է բազմակողմանիության նշան:

2) Հարաբերակցության մատրիցայի վերլուծությունը միայն մակերեսային դատողություն է բազմակողմանիության առկայության (բացակայության) վերաբերյալ: Այս հարցի ավելի մանրակրկիտ ուսումնասիրությունը ձեռք է բերվում մասնակի հարաբերակցության գործակիցների հաշվարկով կամ բացատրական փոփոխականներից յուրաքանչյուրի որոշման գործակիցների հաշվարկով ռեգրեսիայի մյուս բոլոր բացատրական փոփոխականների համար:

4) (X’X) սիմետրիկ դրական որոշակի մատրից է, հետևաբար, նրա բոլոր սեփական արժեքները ոչ բացասական են: Եթե ​​մատրիցայի որոշիչը ( X’X) հավասար է զրոյի, ապա նվազագույն սեփական արժեքը նույնպես զրո է և պահպանվում է շարունակականությունը։ Հետևաբար, նվազագույն սեփական արժեքի արժեքից կարելի է դատել, թե արդյոք մատրիցայի որոշիչը մոտ է զրոյի ( X’X). Բացի այս հատկությունից, նվազագույն սեփական արժեքը նույնպես կարևոր է, քանի որ գործակցի ստանդարտ սխալը հակադարձ համեմատական ​​է:

5) Բազմագծայինության առկայությունը կարելի է դատել արտաքին նշաններով, որոնք բազմակողմանիության հետևանք են.

ա) որոշ գնահատականներ ունեն սխալ նշաններ տնտեսական տեսության տեսանկյունից կամ անհիմն մեծ արժեքներ.

բ) սկզբնական տնտեսական տվյալների փոքր փոփոխությունը հանգեցնում է մոդելային գործակիցների գնահատումների էական փոփոխության.

գ) մեծամասնություն տ- գործակիցների վիճակագրությունը էականորեն չի տարբերվում զրոյից, միևնույն ժամանակ, մոդելն ամբողջությամբ նշանակալի է, ինչի մասին վկայում է բարձր արժեքը. Ֆ- վիճակագրություն.

Ինչպե՞ս ազատվել բազմակողմանիությունից, ինչպես վերացնել այն.

1) գործոնային վերլուծության կիրառում. Անցում ռեգրեսորների սկզբնական շարքից, ներառյալ վիճակագրորեն կախված, նոր ռեգրեսորների Զ 1 ,…,Զ մօգտագործելով հիմնական բաղադրիչների մեթոդը - սկզբնական փոփոխականների փոխարեն, սկզբնական փոփոխականների փոխարեն, մենք դիտարկում ենք դրանց մի քանի գծային համակցություններ, որոնց միջև հարաբերակցությունը փոքր է կամ ընդհանրապես բացակայում է: Խնդիրն այստեղ նոր փոփոխականներին իմաստալից մեկնաբանություն տալն է Զ. Եթե ​​այն ձախողվի, մենք վերադառնում ենք սկզբնական փոփոխականներին՝ օգտագործելով հակադարձ փոխակերպումներ: Ստացված գնահատականները, այնուամենայնիվ, կլինեն կողմնակալ, բայց կունենան ավելի քիչ ցրվածություն:

2) Բոլոր առկա փոփոխականներից ընտրեք այն գործոնները, որոնք առավել էականորեն ազդում են բացատրված փոփոխականի վրա: Ընտրության ընթացակարգերը կքննարկվեն ստորև:

3) անցում դեպի կանխակալ գնահատման մեթոդներ.

Երբ մենք բախվում ենք բազմակողմանիության խնդրին, անփորձ հետազոտողն ի սկզբանե ցանկություն է ունենում պարզապես բացառել ավելորդ ռեգրեսորները, որոնք կարող են դրա պատճառ լինել: Այնուամենայնիվ, միշտ չէ, որ պարզ է, թե որ փոփոխականներն են ավելորդ այս առումով: Բացի այդ, ինչպես կցուցադրվի ստորև, այսպես կոչված, էականորեն ազդող փոփոխականների անտեսումը հանգեցնում է OLS-ի գնահատումների կողմնակալության:

Բազմակի գործակից
փոխկապակցվածություն Y կախյալ փոփոխականի և X 1,X 2,...,Xm բացատրական փոփոխականների բազմության միջև։ Այն սահմանվում է որպես սովորական զույգական հարաբերակցության գործակից Y-ի և գծային ֆունկցիայի միջև
ռեգրեսիա Y = b0 + KX1 + b2X2+... + bmXm: Թող & = R-1 - մատրիցա հակադարձ մատրիցին R:

որոշված
ըստ բանաձևի.

Գործնականում, երբ որոշվում է, թե որ բացատրական փոփոխականները ներառել մոդելում, հաճախ օգտագործվում է տարրերի հաջորդական ավելացման ընթացակարգը:
(j = 1, 2,..., մ) . Միևնույն ժամանակ

համընկնում է կանոնավոր քառակուսու հետ
զույգ հարաբերակցության գործակիցը

Թող

Ընթացակարգը շարունակվում է այնքան ժամանակ, մինչև քայլում կատարվի հետևյալ պայմանը (մինչև +1).
Այնուհետև մոդելում ներառվում են առաջին քայլերում ստացված առավել տեղեկատվական փոփոխականները։ Նշենք, որ հաշվարկներում օգտագործվում են (6.7) և (6.8) բանաձևերը, որոնցում m-ի փոխարեն վերցվում է k քայլի համապատասխան արժեքը։
Փաստորեն, այս մեթոդը չի երաշխավորում, որ մենք կազատվենք բազմակողմանիությունից։
Օգտագործվում են նաև բազմակողմանիությունը վերացնելու այլ մեթոդներ։
Օրինակ 6.1. Առկա են հետևյալ պայմանական տվյալները (Աղյուսակ 6.1).
Աղյուսակ 6.1
Տվյալներ երիցուկի շղթայի մեթոդի համար

Ապա.

Ինչ
ցույց է տալիս ուժեղ բազմակողմանիություն:
Աղյուսակ 6.2
Բազմագծայինության ուսումնասիրության տվյալներ՝ օգտագործելով լեռնաշղթայի մեթոդը

1. t-թեստի միջոցով բազմակի ռեգրեսիայի գործակիցների աննշանության մասին հիմնական վարկածը ստուգելիս, շատ դեպքերում այն ​​ընդունվում է, բայց ռեգրեսիոն հավասարումը ինքնին, երբ փորձարկվում է A- թեստի միջոցով, պարզվում է, որ նշանակալի է, ինչը ցույց է տալիս գերագնահատված արժեք: բազմակի հարաբերակցության գործակից;
2. բազմակի ռեգրեսիայի հավասարման գործակիցների ստացված գնահատականները հիմնականում անհիմն կերպով ուռճացված են կամ ունեն սխալ նշաններ.
3. Բնօրինակ տվյալներից մեկ կամ երկու դիտարկում ավելացնելը կամ բացառելը մեծ ազդեցություն ունի մոդելի գործակիցների գնահատումների վրա.
4. բազմակի ռեգրեսիայի մոդելում բազմակողմանիության առկայությունը կարող է այն դարձնել ոչ պիտանի հետագա օգտագործման համար (օրինակ՝ կանխատեսումներ անելու համար):

1. Ի՞նչ է բազմակողմանիությունը:
2. Ո՞ր ցուցանիշներն են ցույց տալիս բազմակողմանիության առկայությունը:
3. Ինչո՞ւ հավասար է որոշիչին XTX մատրիցներ կատարյալ բազմակողմանիության դեպքում.
4. Ի՞նչ կարելի է ասել բազմակողմանիության դեպքում բացատրական փոփոխականների գործակիցների նշանակության մասին։
5. Ի՞նչ փոխակերպում է կատարվում սրածայր մեթոդով, ինչի՞ է դա հանգեցնում.
6. Ո՞րն է բացատրական փոփոխականների քանակի հաջորդական մեծացման մեթոդի ընթացակարգը:
7. Ի՞նչ է ցույց տալիս հարաբերակցության գործակիցը:
8. Ի՞նչ է ցույց տալիս մասնակի հարաբերակցության գործակիցը: