Քառակուսի մատրիցայի հիմնական թվային բնութագիրը դրա որոշիչն է: Դիտարկենք երկրորդ կարգի քառակուսի մատրիցա

Երկրորդ կարգի որոշիչ կամ որոշիչ է համարվում հետևյալ կանոնի համաձայն հաշվարկված թիվը

Օրինակ՝

Այժմ դիտարկենք երրորդ կարգի քառակուսի մատրիցը

.

Երրորդ կարգի որոշիչը հետևյալ կանոնով հաշվարկված թիվ է

Երրորդ կարգի որոշիչի որոշման արտահայտություններում ներառված տերմինների համակցությունը հիշելու համար սովորաբար օգտագործում են. Սարուսի կանոն. գումարած նշանով աջ կողմում ներառված երեք տերմիններից առաջինը մատրիցայի հիմնական անկյունագծով տեղակայված տարրերի արտադրյալն է, իսկ մյուս երկուսից յուրաքանչյուրը այս շեղանկյունին զուգահեռ ընկած տարրերի և տարրի արտադրյալն է։ մատրիցայի հակառակ անկյունից:

Վերջին երեք անդամները, ներառված մինուս նշանով, որոշվում են նույն կերպ՝ միայն երկրորդական անկյունագծով:

Օրինակ՝

Մատրիցային որոշիչների հիմնական հատկությունները

1. Որոշիչի արժեքը չի փոխվում, երբ մատրիցը փոխադրվում է:

2. Մատրիցայի տողերը կամ սյունակները վերադասավորելիս որոշիչը փոխում է միայն նշանը՝ պահպանելով բացարձակ արժեքը։

3. Համամասնական տողեր կամ սյունակներ պարունակող որոշիչը հավասար է զրոյի:

4. Որոշակի տողի կամ սյունակի տարրերի ընդհանուր գործակիցը կարելի է հանել որոշիչ նշանից։

5. Եթե որոշակի տողի կամ սյունակի բոլոր տարրերը հավասար են զրոյի, ապա որոշիչն ինքնին հավասար է զրոյի։

6. Եթե որոշիչի առանձին տողի կամ սյունակի տարրերին ավելացնենք մեկ այլ տողի կամ սյունակի տարրեր՝ բազմապատկված կամայական ոչ այլասերված գործակցով, ապա որոշիչի արժեքը չի փոխվի։

ԱնչափահասՄատրիցը որոշիչ է, որը ստացվում է քառակուսի մատրիցից նույն թվով սյունակներ և տողեր ջնջելով:

Եթե ​​կարգի բոլոր փոքրերը, որոնք կարող են կազմվել մատրիցից, հավասար են զրոյի, իսկ կարգի փոքրերից առնվազն մեկը զրոյական չէ, ապա թիվը կոչվում է. կոչում այս մատրիցը:

Հանրահաշվական լրացումԿարգի որոշիչի տարրը մենք կանվանենք նրա փոքր կարգը, որը ստացվում է համապատասխան տողն ու սյունը հատելով, որի հատման կետում կա գումարած նշանով տարր, եթե ինդեքսների գումարը հավասար է զույգ թվի և հակառակ դեպքում մինուս նշան:

Այսպիսով

,

որտեղ է գտնվում համապատասխան փոքր պատվերը:

Մատրիցայի որոշիչի հաշվարկն ըստ տողի կամ սյունակի ընդլայնման

Մատրիցայի որոշիչը հավասար է մատրիցի ցանկացած տողի (ցանկացած սյունակի) տարրերի արտադրյալների գումարին այս տողի (այս սյունակի) տարրերի համապատասխան հանրահաշվական լրացումներով: Մատրիցայի որոշիչն այս կերպ հաշվարկելիս պետք է առաջնորդվել հետևյալ կանոնով՝ ընտրել զրոյական տարրերի ամենամեծ քանակով տողը կամ սյունակը։ Այս տեխնիկան թույլ է տալիս զգալիորեն նվազեցնել հաշվարկների քանակը:

Օրինակ՝ .

Այս որոշիչը հաշվարկելիս մենք օգտագործել ենք այն առաջին սյունակի տարրերի տարրալուծման տեխնիկան։ Ինչպես երևում է վերը նշված բանաձևից, երկրորդ կարգի որոշիչներից վերջինը հաշվարկելու կարիք չկա, քանի որ. այն բազմապատկվում է զրոյով։

Հակադարձ մատրիցայի հաշվարկ

Մատրիցային հավասարումներ լուծելիս հակադարձ մատրիցը լայնորեն օգտագործվում է: Որոշակի չափով այն փոխարինում է բաժանման գործողությանը, որը բացահայտորեն առկա չէ մատրիցային հանրահաշիվում:

Նույն կարգի քառակուսի մատրիցները, որոնց արտադրյալը տալիս է նույնականության մատրիցը, կոչվում են փոխադարձներ կամ հակադարձներ։ Հակադարձ մատրիցը նշվում է, և դրա համար ճիշտ է հետևյալը.

Հակադարձ մատրիցը հնարավոր է հաշվարկել միայն այն մատրիցի համար, որի համար .

Հակադարձ մատրիցը հաշվարկելու դասական ալգորիթմ

1. Գրեք մատրիցին տեղափոխված մատրիցը:

2. Մատրիցայի յուրաքանչյուր տարր փոխարինեք որոշիչով, որը ստացվում է այն տողը և սյունը, որի խաչմերուկում գտնվում է այս տարրը:

3. Այս որոշիչին ուղեկցվում է գումարած նշան, եթե տարրի ինդեքսների գումարը զույգ է, իսկ հակառակ դեպքում՝ մինուս նշան:

4. Ստացված մատրիցը բաժանեք մատրիցայի որոշիչի վրա:

Եկեք մեզ տրվի աղյուսակ (կոչվում է մատրիցա), որը բաղկացած է չորս թվերից.

Մատրիցն ունի երկու տող և երկու սյունակ: Այս մատրիցը կազմող թվերը նշվում են երկու ինդեքսներով: Առաջին ինդեքսը ցույց է տալիս տողի համարը, իսկ երկրորդը՝ սյունակի համարը, որում հայտնվում է տվյալ թիվը։ Օրինակ, նշանակում է առաջին շարքի և երկրորդ սյունակի համարը. համարը երկրորդ շարքում և առաջին սյունակում: Թվերը կանվանենք մատրիցայի տարրեր։

Տվյալ մատրիցին համապատասխանող երկրորդ կարգի որոշիչը (կամ որոշիչը) ստացված թիվն է հետևյալ կերպ.

Որոշիչը նշվում է նշանով

Այսպիսով,

Թվերը կոչվում են որոշիչի տարրեր։

Ներկայացնենք երկրորդ կարգի որոշիչի հատկությունները.

Հատկություն 1. Որոշիչը չի փոխվում, եթե նրա տողերը փոխարինվեն համապատասխան սյունակներով, այսինքն.

Գույք 2.

Երկու տող (կամ սյունակ) վերադասավորելիս որոշիչը կփոխի իր նշանը հակառակի վրա՝ պահպանելով բացարձակ արժեքը, այսինքն.

Հատկություն 3. Երկու նույնական տողերով (կամ սյունակներով) որոշիչը հավասար է զրոյի։

Հատկություն 4. Տողի (կամ սյունակի) բոլոր տարրերի ընդհանուր գործակիցը կարելի է հանել որոշիչ նշանից.

Հատկություն 5. Եթե տողի (կամ սյունակի) բոլոր տարրերը հավասար են զրոյի, ապա որոշիչը հավասար է զրոյի։

Հատկություն 6. Եթե որոշիչի որևէ տողի (կամ սյունակի) ավելացնենք մեկ այլ տողի (կամ սյունակի) համապատասխան տարրերը, բազմապատկված նույն y թվով, ապա որոշիչը չի փոխի իր արժեքը, այսինքն.

Մատրիցը թվով բազմապատկելու համար հարկավոր է մատրիցի յուրաքանչյուր տարր բազմապատկել այդ թվով:

Հետևանք. Բոլոր մատրիցային տարրերի ընդհանուր գործակիցը կարելի է դուրս բերել մատրիցային նշանից։

Օրինակ, .

Ինչպես տեսնում եք, մատրիցներ ավելացնելու, հանելու և մատրիցը թվով բազմապատկելու գործողությունները նման են թվերի վրա կատարվող գործողություններին: Մատրիցային բազմապատկումը հատուկ գործողություն է:

Երկու մատրիցների արտադրանք.

Ոչ բոլոր մատրիցները կարող են բազմապատկվել: Երկու մատրիցների արտադրանք ԱԵվ INնշված հերթականությամբ ԱԲհնարավոր է միայն այն դեպքում, երբ առաջին գործոնի սյունակների քանակը Ահավասար է երկրորդ գործոնի տողերի քանակին IN.

Օրինակ, .

Մատրիցայի չափը Ա 33, մատրիցայի չափը IN 23. Աշխատանք ԱԲանհնարին, աշխատանք Վ.ԱՄիգուցե։

A և B երկու մատրիցների արտադրյալը երրորդ C մատրիցն է, որի C ij տարրը հավասար է առաջին գործոնի i-րդ շարքի և երկրորդի j-րդ սյունակի տարրերի զույգ արտադրյալների գումարին։ գործոն.

Ցույց է տրվել, որ ին այս դեպքումհնարավոր է մատրիցների արտադրյալ Վ.Ա

Երկու մատրիցների արտադրյալի գոյության կանոնից հետևում է, որ երկու մատրիցների արտադրյալը ընդհանուր դեպքչի ենթարկվում փոխադարձ օրենքին, այսինքն. AB? Վ.Ա. Եթե ​​կոնկրետ դեպքում պարզվի, որ AB = BA,ապա այդպիսի մատրիցները կոչվում են փոփոխական կամ փոխատեղելի։

Մատրիցային հանրահաշիվում երկու մատրիցների արտադրյալը կարող է լինել զրոյական մատրից, նույնիսկ այն դեպքում, երբ գործոնային մատրիցներից ոչ մեկը զրո չէ, հակառակ սովորական հանրահաշվին:

Օրինակ, եկեք գտնենք մատրիցների արտադրյալը ԱԲ, Եթե

Դուք կարող եք բազմապատկել մի քանի մատրիցներ: Եթե ​​դուք կարող եք բազմապատկել մատրիցները Ա, INև այս մատրիցների արտադրյալը կարելի է բազմապատկել մատրիցով ՀԵՏ, ապա հնարավոր է կազմել արտադրանքը ( ԱԲ) ՀԵՏԵվ Ա(Արև). Այս դեպքում տեղի է ունենում բազմապատկման վերաբերյալ համակցված օրենքը ( ԱԲ) ՀԵՏ = Ա(Արև).

Այստեղ մենք կուրվագծենք այն հատկությունները, որոնք սովորաբար օգտագործվում են որոշիչները հաշվարկելու համար ստանդարտ դասընթացբարձրագույն մաթեմատիկա. Սա օժանդակ թեմա է, որին անհրաժեշտության դեպքում կանդրադառնանք այլ բաժիններից:

Այսպիսով, թողեք որոշակի քառակուսի մատրիցա $A_(n\times n)=\left(\begin(array) (cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) տրվի & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \\ \ վերջ(զանգված) \աջ)$. Յուրաքանչյուր քառակուսի մատրից ունի մի հատկանիշ, որը կոչվում է որոշիչ (կամ որոշիչ): Ես այստեղ չեմ խորանա այս հայեցակարգի էության մեջ: Եթե ​​պարզաբանում է պահանջում, ապա խնդրում եմ այդ մասին գրեք ֆորումում, իսկ ես ավելի մանրամասն կանդրադառնամ այս հարցին։

$A$ մատրիցայի որոշիչը նշվում է որպես $\Delta A$, $|A|$ կամ $\det A$: Որոշիչ կարգըհավասար է դրանում գտնվող տողերի (սյուների) քանակին։

1. Որոշիչի արժեքը չի փոխվի, եթե նրա տողերը փոխարինվեն համապատասխան սյունակներով, այսինքն. $\Delta A=\Delta A^T$.

   ցույց տալ/թաքցնել

   Եկեք փոխարինենք տողերը դրանում սյունակներով ըստ սկզբունքի. «կար առաջին տող - կար առաջին սյունակ», «կար երկրորդ տող - կար երկրորդ սյունակ»:

   Եկեք հաշվարկենք ստացված որոշիչը՝ $\left| \սկիզբ (զանգված) (cc) 2 & 9 \\ 5 & 4 \վերջ (զանգված) \աջ|=2\cdot 4-9\cdot 5=-37$: Ինչպես տեսնում եք, որոշիչի արժեքը չի փոխվել փոխարինման պատճառով:

2. Եթե ​​փոխեք որոշիչի երկու տող (սյունակ), ապա որոշիչի նշանը կփոխվի հակառակի:

   Այս հատկության օգտագործման օրինակ՝ show\hide

   Դիտարկենք $\left| որոշիչը \սկիզբ (զանգված) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end (զանգված) \աջ|$. Գտնենք դրա արժեքը՝ օգտագործելով թիվ 1 բանաձևը՝ երկրորդ և երրորդ կարգի որոշիչները հաշվարկելու թեմայից.

   $$\ մնացել| \սկիզբ (զանգված) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \վերջ (զանգված) \աջ|=2\cdot 4-5\cdot 9=-37.$$

   Հիմա եկեք փոխենք առաջին և երկրորդ տողերը: Մենք ստանում ենք $\left| որոշիչը \սկիզբ (զանգված) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end (զանգված) \աջ|$. Եկեք հաշվարկենք ստացված որոշիչը՝ $\left| \սկիզբ (զանգված) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \վերջ (զանգված) \աջ|=9\cdot 5-4\cdot 2=37$. Այսպիսով, սկզբնական որոշիչի արժեքը եղել է (-37), իսկ տողի փոփոխված կարգով որոշիչի արժեքը $-(-37)=37$ է: Որոշիչի նշանը փոխվել է հակառակի։

3. Որոշիչը, որի համար տողի (սյունակի) բոլոր տարրերը հավասար են զրոյի, հավասար է զրոյի:

   Այս հատկության օգտագործման օրինակ՝ show\hide

   Քանի որ $\left| որոշիչում \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(array) \right|$ երրորդ սյունակի բոլոր տարրերը զրո են, ապա որոշիչը զրո է, այսինքն. $\ձախ| \սկիզբ (զանգված) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \վերջ (զանգված) \աջ|=0$:

4. Որոշիչը, որի համար որոշակի տողի (սյունակի) բոլոր տարրերը հավասար են մեկ այլ տողի (սյունակի) համապատասխան տարրերին, հավասար է զրոյի:

   Այս հատկության օգտագործման օրինակ՝ show\hide

   Քանի որ $\left| որոշիչում \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(array) \right|$ առաջին շարքի բոլոր տարրերը հավասար են համապատասխանին երկրորդ շարքի տարրերը, ապա որոշիչը հավասար է զրոյի, այսինքն. $\ձախ| \սկիզբ (զանգված) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \վերջ (զանգված) \աջ|=0$:

5. Եթե ​​որոշիչում մի շարքի (սյունակի) բոլոր տարրերը համաչափ են մյուս տողի (սյունակի) համապատասխան տարրերին, ապա այդպիսի որոշիչը հավասար է զրոյի։

   Այս հատկության օգտագործման օրինակ՝ show\hide

   Քանի որ $\left| որոշիչում \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(array) \right|$ Երկրորդ և երրորդ տողերը համամասնական են, այսինքն. $r_3=-3\cdot(r_2)$, ապա որոշիչը հավասար է զրոյի, այսինքն. $\ձախ| \սկիզբ (զանգված) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \վերջ (զանգված) \աջ|=0$:

6. Եթե ​​շարքի (սյունակի) բոլոր տարրերն ունեն ընդհանուր գործակից, ապա այդ գործոնը կարելի է հանել որոշիչ նշանից։

   Այս հատկության օգտագործման օրինակ՝ show\hide

   Դիտարկենք $\left| որոշիչը \սկիզբ (զանգված) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \վերջ (զանգված) \աջ|$. Ուշադրություն դարձրեք, որ երկրորդ շարքի բոլոր տարրերը բաժանվում են 3-ի.

   $$\ մնացել| \սկիզբ (զանգված) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \վերջ (զանգված) \աջ|=\ձախ| \սկիզբ (զանգված) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \վերջ (զանգված) \աջ|$$

   Թիվ 3-ը երկրորդ շարքի բոլոր տարրերի ընդհանուր գործակիցն է: Որոշիչ նշանից հանենք երեքը.

   $$\ մնացել| \սկիզբ (զանգված) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \վերջ (զանգված) \աջ|=\ձախ| \սկիզբ (զանգված) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(array) \աջ|= 3\cdot \ձախ| \սկիզբ (զանգված) (cc) -7 & 10 \\ -3 & 7 \վերջ (զանգված) \աջ| $$

7. Որոշիչը չի փոխվի, եթե որոշակի տողի (սյունակի) բոլոր տարրերին ավելացնենք մեկ այլ տողի (սյունակի) համապատասխան տարրերը՝ բազմապատկված կամայական թվով։

   Այս հատկության օգտագործման օրինակ՝ show\hide

   Դիտարկենք $\left| որոշիչը \սկիզբ (զանգված) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \վերջ (զանգված) \աջ|$. Երկրորդ տողի տարրերին ավելացնենք երրորդ տողի համապատասխան տարրերը՝ բազմապատկելով 5-ով։ Այս գործողությունը գրված է հետևյալ կերպ՝ $r_2+5\cdot(r_3)$։ Երկրորդ տողը կփոխվի, մնացած տողերը կմնան անփոփոխ։

   $$\ մնացել| \սկիզբ (զանգված) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \վերջ (զանգված) \աջ| \սկիզբ(զանգված) (l) \phantom(0)\\ r_2+5\cdot(r_3)\\ \phantom(0) \end(array)= \ձախ| \սկիզբ (զանգված) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9+5\cdot 2 & 21+5\cdot (-3) & 4+5\cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \end (զանգված) \աջ|= \ձախ| \սկիզբ (զանգված) (ccc) -7 & 10 & 0\\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \վերջ (զանգված) \աջ|. $$

8. Եթե ​​որոշիչի որոշակի տող (սյունակ) այլ տողերի (սյունակների) գծային համակցություն է, ապա որոշիչը հավասար է զրոյի:

   Այս հատկության օգտագործման օրինակ՝ show\hide

   Անմիջապես բացատրեմ, թե ինչ է նշանակում «գծային համակցություն» արտահայտությունը։ Եկեք ունենանք s տողեր (կամ սյունակներ)՝ $A_1$, $A_2$,..., $A_s$: Արտահայտություն

   $$ k_1\cdot A_1+k_2\cdot A_2+\ldots+k_s\cdot A_s, $$

   որտեղ $k_i\ R$-ում կոչվում է տողերի (սյունակների) գծային համակցություն $A_1$, $A_2$,..., $A_s$:

   Օրինակ, հաշվի առեք հետևյալ որոշիչը.

   $$\ մնացել| \ սկիզբ (զանգված) (cccc) -1 & 2 & 3 & 0\\ -2 & -4 & -5 & 1\\ 5 & 0 & 7 & 10 \\ -13 & -8 & -16 & -7 \վերջ (զանգված) \աջ| $$

   Այս որոշիչում չորրորդ շարքը կարող է արտահայտվել որպես առաջին երեք տողերի գծային համակցություն.

   $$ r_4=2\cdot(r_1)+3\cdot(r_2)-r_3 $$

   Հետևաբար, խնդրո առարկա որոշիչը հավասար է զրոյի:

9. Եթե ​​որոշիչի որոշակի k-րդ շարքի (k-րդ սյունակի) յուրաքանչյուր տարր հավասար է երկու անդամի գումարին, ապա այդպիսի որոշիչը հավասար է որոշիչների գումարին, որոնցից առաջինը k-րդ շարքում. ( kth սյունակ) ունեն առաջին անդամները, իսկ երկրորդ որոշիչն ունի երկրորդ անդամները k-րդ շարքում (k-րդ սյունակում): Այս որոշիչների մյուս տարրերը նույնն են:

   Այս հատկության օգտագործման օրինակ՝ show\hide

   Դիտարկենք $\left| որոշիչը \սկիզբ (զանգված) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \վերջ (զանգված) \աջ|$. Երկրորդ սյունակի տարրերը գրենք այսպես՝ $\left| \սկիզբ (զանգված) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \վերջ (զանգված) \աջ|$. Ապա այդպիսի որոշիչը հավասար է երկու որոշիչի գումարին.

   $$\ մնացել| \սկիզբ (զանգված) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end (զանգված) \աջ|= \ձախ| \սկիզբ (զանգված) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \վերջ (զանգված) \աջ|= \ձախ| \սկիզբ(զանգված) (ccc) -7 & 3 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \end(array) \աջ|+ \ձախ| \սկիզբ(զանգված) (ccc) -7 & 7 & 0\\ -9 & 0 & 4 \\ 2 & -8 & 1 \վերջ (զանգված) \աջ| $$

10. Նույն կարգի երկու քառակուսի մատրիցների արտադրյալի որոշիչը հավասար է այս մատրիցների որոշիչների արտադրյալին, այսինքն. $\det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B$. Այս կանոնից կարող ենք ստանալ հետևյալ բանաձևը՝ $\det \left(A^n \right)=\left(\det A \right)^n$։
11. Եթե ​​$A$ մատրիցը ոչ եզակի է (այսինքն նրա որոշիչը հավասար չէ զրոյի), ապա $\det \left(A^(-1)\right)=\frac(1)(\det A)$։

Դետերմինանտների հաշվարկման բանաձևեր

Երկրորդ և երրորդ կարգի որոշիչների համար ճիշտ են հետևյալ բանաձևերը.

\սկիզբ(հավասարում) \Դելտա A=\ձախ| \ սկիզբ (զանգված) (cc) a_(11) & a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \վերջ (զանգված) \աջ|=a_(11)\cdot a_(22)-a_( 12)\cdot a_(21) \վերջ (հավասարում) \սկիզբ (հավասարում) \սկիզբ (հավասարեցված) & \Դելտա A=\ձախ| \ սկիզբ (զանգված) (ccc) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_(32) & a_(33) \վերջ (զանգված) \աջ|= a_(11)\cdot a_(22)\cdot a_(33)+a_(12)\cdot a_(23)\cdot a_(31)+a_(21) )\cdot a_(32)\cdot a_(13)-\\ & -a_(13)\cdot a_(22)\cdot a_(31)-a_(12)\cdot a_(21)\cdot a_(33) )-a_(23)\cdot a_(32)\cdot a_(11)\վերջ (հավասարեցված)\վերջ (հավասարում)

(1) և (2) բանաձևերի օգտագործման օրինակները գտնվում են «Երկրորդ և երրորդ կարգի որոշիչների հաշվարկման բանաձևեր. որոշիչների հաշվարկման օրինակներ» թեմայում:

$A_(n\times n)$ մատրիցի որոշիչը կարող է ընդլայնվել i-րդ ​​տողօգտագործելով հետևյալ բանաձևը.

\սկիզբ(հավասարում)\Դելտա A=\գումար\սահմաններ_(j=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(i1)A_(i1)+a_(i2)A_(i2)+\ ldots+a_(in)A_(in) \վերջ (հավասարում)

Այս բանաձևի անալոգը գոյություն ունի նաև սյունակների համար: j-րդ սյունակում որոշիչն ընդլայնելու բանաձևը հետևյալն է.

\սկիզբ(հավասարում)\Դելտա A=\գումար\սահմաններ_(i=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(1j)A_(1j)+a_(2j)A_(2j)+\ ldots+a_(nj)A_(nj) \վերջ (հավասարում)

(3) և (4) բանաձևերով արտահայտված կանոնները մանրամասն նկարագրված են օրինակներով և բացատրվում են Որոշիչի հերթականության կրճատում թեմայում։ Որոշիչի տարրալուծումը անընդմեջ (սյունակ):

Եկեք նշենք վերին և ստորին եռանկյուն մատրիցների որոշիչները հաշվարկելու մեկ այլ բանաձև (այս տերմինների բացատրությունը տե՛ս «Մատրիցներ. Մատրիցների տեսակները. Հիմնական տերմիններ» թեման): Նման մատրիցայի որոշիչը հավասար է հիմնական անկյունագծի տարրերի արտադրյալին: Օրինակներ.

\սկիզբ (հավասարեցված) &\ձախ| \սկիզբ (զանգված) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \\վերջ (զանգված) \աջ|= 2\cdot 9\cdot 4\cdot (-6)=-432.\\ &\ձախ| \սկիզբ (զանգված) (cccc) -3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 10 \\վերջ (զանգված) \ ճիշտ|= -3\cdot 0\cdot 1 \cdot 10=0. \վերջ (հավասարեցված)

Տնտեսագիտության մեջ մաթեմատիկական մոդելների մեծ մասը նկարագրված է մատրիցների և մատրիցային հաշվարկի միջոցով:

Մատրիցա ուղղանկյուն աղյուսակ է, որը պարունակում է թվեր, ֆունկցիաներ, հավասարումներ կամ այլ մաթեմատիկական առարկաներ՝ դասավորված տողերով և սյունակներով:

Այն առարկաները, որոնք կազմում են մատրիցը կոչվում են տարրեր . Մատրիցները նշվում են մեծ լատինատառ տառերով

իսկ դրանց տարրերը փոքրատառ են։

Խորհրդանիշ
նշանակում է, որ մատրիցը ունի
գծեր և սյունակներ, տարր խաչմերուկում -րդ գիծը և -րդ սյունակ
.

.

Ասում են, որ մատրիցա Ահավասար է մատրիցին IN : A=B, եթե դրանք ունեն նույն կառուցվածքը (այսինքն՝ նույն թվով տողեր և սյունակներ), և դրանց համապատասխան տարրերը նույնական հավասար են.
, բոլորի համար
.

Մատրիցների առանձնահատուկ տեսակներ

Գործնականում բավականին հաճախ են հանդիպում հատուկ տիպի մատրիցներ։ Որոշ մեթոդներ ներառում են նաև մատրիցների փոխակերպումներ մի տեսակից մյուսը: Մատրիցների ամենատարածված տեսակները տրված են ստորև:

Մատրիցային տարրեր՝ տողերի և սյունակների հավասար թվերով, այսինքն ա iiձևավորել մատրիցայի հիմնական անկյունագիծը:

Գործողություններ մատրիցների վրա.

.

Մատրիցների վրա գործողությունների հատկությունները

Գործառնությունների հատուկ հատկություններ

Եթե ​​մատրիցների արտադրյալը
– գոյություն ունի, ապա աշխատանքը
կարող է գոյություն չունենալ: Ընդհանրապես ասած,
. Այսինքն՝ մատրիցային բազմապատկումը կոմուտատիվ չէ։ Եթե
, Դա Եվ կոչվում են կոմուտատիվ։ Օրինակ՝ նույն կարգի անկյունագծային մատրիցները կոմուտատիվ են։

Եթե
, ապա ընտրովի
կամ
. Այսինքն՝ ոչ զրոյական մատրիցների արտադրյալը կարող է տալ զրոյական մատրիցա։ Օրինակ

Ցուցադրման գործողություն սահմանված է միայն քառակուսի մատրիցների համար: Եթե
, Դա

.

Ըստ սահմանման նրանք հավատում են
, և դա հեշտ է ցույց տալ
,
. Նշենք, որ սկսած
դրանից չի բխում
.

Տարրերի իմաստով աստիճանականացում Ա. մ =
.

Տրանսպոզիցիոն գործողություն մատրիցը բաղկացած է մատրիցի տողերը սյունակներով փոխարինելուց.

,

Օրինակ

,
.

Փոխակերպման հատկություններ.

Որոշիչները և դրանց հատկությունները:

Քառակուսի մատրիցների համար հայեցակարգը հաճախ օգտագործվում է որոշիչ – թիվ, որը հաշվարկվում է մատրիցայի տարրերից՝ օգտագործելով խստորեն սահմանված կանոնները: Այս թիվը մատրիցայի կարևոր հատկանիշն է և նշվում է սիմվոլներով

.

Մատրիցային որոշիչ
դրա տարրն է .

Մատրիցային որոշիչ
հաշվարկվում է ըստ կանոնի.

այսինքն՝ լրացուցիչ անկյունագծի տարրերի արտադրյալը հանվում է հիմնական անկյունագծի տարրերի արտադրյալից։

Ավելի բարձր կարգի որոշիչները հաշվարկելու համար (
) անհրաժեշտ է ներկայացնել տարրի մինոր և հանրահաշվական լրացում հասկացությունները։

Անչափահաս
տարր այն որոշիչն է, որը ստացվում է մատրիցից , հատելով րդ գիծը և րդ սյունակ.

Դիտարկենք մատրիցը չափը
:

,

ապա, օրինակ,

Հանրահաշվական լրացում տարր նրանք անվանում են փոքր բազմապատկած
.

,

Լապլասի թեորեմ. Քառակուսի մատրիցայի որոշիչը հավասար է ցանկացած տողի (սյունակի) տարրերի արտադրյալների հանրահաշվական լրացումներով:

Օրինակ՝ քայքայվելը
առաջին տողի տարրերի հիման վրա մենք ստանում ենք.

Վերջին թեորեմը տրամադրում է ցանկացած կարգի որոշիչները հաշվարկելու ունիվերսալ միջոց՝ սկսած երկրորդից: Տողը (սյունակը) միշտ ընտրվում է որպես ամենամեծ թվով զրո ունեցող տողը: Օրինակ, դուք պետք է հաշվարկեք չորրորդ կարգի որոշիչը

Այս դեպքում դուք կարող եք ընդլայնել որոշիչը առաջին սյունակի երկայնքով.

կամ վերջին տողը.

Այս օրինակը նաև ցույց է տալիս, որ վերին եռանկյուն մատրիցայի որոշիչը հավասար է նրա անկյունագծային տարրերի արտադրյալին: Հեշտ է ապացուցել, որ այս եզրակացությունը վավեր է ցանկացած եռանկյունաձև և անկյունագծային մատրիցների համար։

Լապլասի թեորեմը հնարավորություն է տալիս նվազեցնել որոշիչի հաշվարկը - հաշվարկվելիք կարգը որոշիչները
րդ կարգը և, ի վերջո, երկրորդ կարգի որոշիչների հաշվարկը: