Duhamel ինտեգրալ.

Իմանալով շղթայի արձագանքը մեկ անհանգստացնող ազդեցությանը, այսինքն. անցողիկ հաղորդունակության ֆունկցիա և/կամ անցողիկ լարման ֆունկցիա, դուք կարող եք գտնել շղթայի արձագանքը կամայական ձևի ազդեցությանը: Մեթոդը, հաշվարկման մեթոդը՝ օգտագործելով Դյուհամելի ինտեգրալը, հիմնված է սուպերպոզիցիայի սկզբունքի վրա։

Դյուհամելի ինտեգրալն օգտագործելիս այն փոփոխականը, որի վրա կատարվում է ինտեգրումը, և փոփոխականը, որը որոշում է շղթայում հոսանքը որոշելու ժամանակի պահը, առաջինը սովորաբար նշվում է որպես , իսկ երկրորդը որպես t:

Ժամանակի պահին թողեք զրոյական սկզբնական պայմաններով միացում (պասիվ երկտերմինալ ցանց PDՆկ. 1) միացված է կամայական ձևի լարման աղբյուր. Շղթայում հոսանքը գտնելու համար սկզբնական կորը փոխարինում ենք մեկ քայլով (տե՛ս նկ. 2), որից հետո, հաշվի առնելով, որ շղթան գծային է, ամփոփում ենք սկզբնական լարման թռիչքից և լարման բոլոր քայլերից հոսանքները։ մինչև t պահը, որոնք ուժի մեջ են մտնում ժամանակի ուշացումով:

t ժամանակում սկզբնական լարման ալիքով որոշված ​​ընդհանուր հոսանքի բաղադրիչը հավասար է .

Ժամանակի պահին տեղի է ունենում լարման բարձրացում , որը, հաշվի առնելով թռիչքի սկզբից մինչև t ժամանակային կետը, կորոշի ընթացիկ բաղադրիչը։

Ընդհանուր հոսանքը t ժամանակում ակնհայտորեն հավասար է առանձին լարման ալիքների բոլոր ընթացիկ բաղադրիչների գումարին, հաշվի առնելով, այ.

Վերջավոր ժամանակի ավելացման միջակայքը անվերջ փոքրով փոխարինելը, այսինքն. գումարից անցնելով ինտեգրալին, գրում ենք

.

(1)

Հարաբերությունը (1) կոչվում է Duhamel ինտեգրալ.

Հարկ է նշել, որ լարումը կարող է որոշվել նաև Duhamel ինտեգրալի միջոցով: Այս դեպքում անցումային հաղորդունակության փոխարեն (1) կներառի անցումային լարման ֆունկցիան։

Հաշվարկների հաջորդականությունը օգտագործելով
Duhamel ինտեգրալ

Որպես Duhamel ինտեգրալ օգտագործելու օրինակ, մենք որոշում ենք հոսանքը շղթայում Նկ. 3, հաշվարկված նախորդ դասախոսության մեջ ներառման բանաձևով:

Հաշվարկի նախնական տվյալները. , , .

1. Անցումային հաղորդունակություն

.

18. Փոխանցման գործառույթ.

Ազդեցության օպերատորի հարաբերությունը սեփական օպերատորի հետ կոչվում է փոխանցման ֆունկցիա կամ փոխանցման ֆունկցիա օպերատորի տեսքով։

Սիմվոլիկ կամ օպերատորի ձևով հավասարումով կամ հավասարումներով նկարագրված կապը կարող է բնութագրվել փոխանցման երկու գործառույթով՝ u մուտքային արժեքի փոխանցման ֆունկցիա; և փոխանցման գործառույթը մուտքային մեծության համար f.

Եվ

Օգտագործելով փոխանցման գործառույթները, հավասարումը գրվում է այսպես . Այս հավասարումը սկզբնական հավասարումը գրելու պայմանական, ավելի կոմպակտ ձև է:

Օպերատորի տեսքով փոխանցման ֆունկցիայի հետ մեկտեղ լայնորեն կիրառվում է փոխանցման ֆունկցիան Լապլասի պատկերների տեսքով։

Փոխանցման գործառույթները Լապլասի պատկերների և օպերատորի ձևի տեսքով համընկնում են մինչև նշումը: Փոխանցման ֆունկցիան Լապլասի պատկերի տեսքով կարելի է ստանալ փոխանցման ֆունկցիայից օպերատորի տեսքով, եթե վերջինիս մեջ կատարվում է p=s փոխարինումը։ Ընդհանուր դեպքում դա բխում է նրանից, որ բնագրի տարբերակումը` բնագրի սիմվոլիկ բազմապատկումը p-ով, զրոյական սկզբնական պայմաններում համապատասխանում է պատկերի բազմապատկմանը բարդ թվով s:

Փոխանցման ֆունկցիաների նմանությունը Լապլասի պատկերի և օպերատորի ձևի մեջ զուտ արտաքին է, և դա տեղի է ունենում միայն անշարժ կապերի (համակարգերի) դեպքում, այսինքն. միայն զրոյական սկզբնական պայմաններում:

Դիտարկենք պարզ RLC (սերիա) միացում, դրա փոխանցման ֆունկցիան W(p)=U OUT /U IN

Ֆուրիեի ինտեգրալ.

Գործառույթ զ(x), սահմանված ամբողջ թվային տողի վրա կոչվում է պարբերական, եթե կա այնպիսի թիվ, որ ցանկացած արժեքի համար Xհավասարությունը պահպանվում է . Համար Տկանչեց գործառույթի ժամանակահատվածը:

Եկեք նկատենք այս ֆունկցիայի որոշ հատկություններ.

1) ժամանակաշրջանի պարբերական ֆունկցիաների գումարը, տարբերությունը, արտադրյալը և գործակիցը Տժամանակաշրջանի պարբերական ֆունկցիան է Տ.

2) Եթե ֆունկցիան զ(x) ժամանակաշրջան Տ, ապա ֆունկցիան զ(կացին) ունի ժամանակաշրջան.

3) Եթե զ(x) - ժամանակաշրջանի պարբերական ֆունկցիա Տ, ապա այս ֆունկցիայի ցանկացած երկու ինտեգրալ՝ վերցված երկարության միջակայքերից Տ(այս դեպքում ինտեգրալը գոյություն ունի), այսինքն՝ ցանկացածի համար աԵվ բհավասարությունը ճիշտ է .

Եռանկյունաչափական շարք. Ֆուրիեի շարք

Եթե զ(x) հատվածի վրա ընդլայնվում է միատեսակ կոնվերգենտ եռանկյունաչափական շարքի. (1)

Այնուհետև այս ընդլայնումը եզակի է, և գործակիցները որոշվում են բանաձևերով.

Որտեղ n=1,2, . . .

Գործակիցներով դիտարկվող տիպի եռանկյունաչափական շարքը (1) կոչվում է եռանկյունաչափական Ֆուրիեի շարք.

Ֆուրիեի շարքի բարդ ձևը

Արտահայտությունը կոչվում է ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարքի բարդ ձև զ(x), եթե սահմանվում է հավասարությամբ

, Որտեղ

Ֆուրիեի շարքից բարդ ձևով անցումը իրական ձևով և հետադարձ շարքին իրականացվում է բանաձևերի միջոցով.

(n=1,2, . . .)

F(x) ֆունկցիայի Ֆուրիեի ինտեգրալը ձևի ինտեգրալն է.

, Որտեղ .

Հաճախականության գործառույթներ.

Եթե ​​դուք դիմում եք փոխանցման գործառույթ ունեցող համակարգի մուտքագրմանը W(p)ներդաշնակ ազդանշան

այնուհետև անցումային գործընթացի ավարտից հետո ելքի վրա կստեղծվեն ներդաշնակ տատանումներ

նույն հաճախականությամբ, բայց տարբեր ամպլիտուդով և փուլով՝ կախված անհանգստացնող ազդեցության հաճախականությունից։ Դրանցից կարելի է դատել համակարգի դինամիկ հատկությունների մասին։ Այն հարաբերությունները, որոնք կապում են ելքային ազդանշանի ամպլիտուդը և փուլը մուտքային ազդանշանի հաճախականության հետ, կոչվում են. հաճախականության բնութագրերը(CH): Համակարգի հաճախականության արձագանքի վերլուծությունը՝ դրա դինամիկ հատկությունները ուսումնասիրելու նպատակով կոչվում է հաճախականության վերլուծություն.

Փոխարինենք արտահայտությունները u(t)Եվ y(t)դինամիկայի հավասարման մեջ

(aоp n + a 1 pn - 1 + a 2 p n - 2 + ... + a n)y = (bоp m + b 1 p m-1 + ... + b m)u.

Հաշվի առնենք դա

pnu = pnU m ejwt = U m (jw)nejwt = (jw)nu.

Նմանատիպ հարաբերություններ կարելի է գրել հավասարման ձախ կողմի համար: Մենք ստանում ենք.

Փոխանցման ֆունկցիայի անալոգիայով մենք կարող ենք գրել.

W(j), որը հավասար է ելքային ազդանշանի և մուտքային ազդանշանի հարաբերակցությանը, երբ մուտքային ազդանշանը փոխվում է հարմոնիկ օրենքի համաձայն, կոչվում է. հաճախականության փոխանցման գործառույթ. Հեշտ է տեսնել, որ այն կարելի է ձեռք բերել՝ պարզապես W(p) արտահայտության մեջ p-ն j-ով փոխարինելով։

W(j)-ը բարդ ֆունկցիա է, հետևաբար.

որտեղ P() - իրական հաճախականության արձագանք (RFC); Q() - երևակայական հաճախականության արձագանք (ICH); Ա () - ամպլիտուդի հաճախականության արձագանք (AFC): () - փուլային հաճախականության արձագանք (PFC). Հաճախականության արձագանքը տալիս է ելքային և մուտքային ազդանշանների ամպլիտուդների հարաբերակցությունը, փուլային արձագանքը տալիս է ելքային քանակի փուլային տեղաշարժը մուտքի նկատմամբ.

;

Եթե ​​W(j) կոմպլեքս հարթության վրա ներկայացված է որպես վեկտոր, ապա 0-ից + անցնելիս նրա վերջը գծելու է կոր, որը կոչվում է. վեկտոր հոդոգրաֆ W(j), կամ ամպլիտուդաֆազ հաճախականության արձագանք (APFC)(նկ. 48):

AFC ճյուղը, երբ փոխվում է --ից 0-ին, կարելի է ձեռք բերել այս կորը իրական առանցքի համեմատ արտացոլելով:

TAU-ն լայնորեն կիրառվում է լոգարիթմական հաճախականության բնութագրերը (LFC)(նկ.49): լոգարիթմական ամպլիտուդի հաճախականության արձագանքը (LAFC) L() և լոգարիթմական փուլային հաճախականության արձագանք (LPFC) ().

Դրանք ստացվում են՝ վերցնելով փոխանցման ֆունկցիայի լոգարիթմը.

LFC-ն ստացվում է առաջին անդամից, որը մեծացման պատճառներով բազմապատկվում է 20-ով, և օգտագործվում է ոչ թե բնական լոգարիթմը, այլ տասնորդականը, այսինքն՝ L() = 20lgA(): L()-ի արժեքը գծագրված է օրդինատների առանցքի երկայնքով դեցիբել.

Ազդանշանի մակարդակի փոփոխությունը 10 դԲ-ով համապատասխանում է դրա հզորության փոփոխությանը 10 անգամ: Քանի որ P ներդաշնակ ազդանշանի հզորությունը համաչափ է նրա A ամպլիտուդի քառակուսու հետ, ազդանշանի 10 անգամ փոփոխությունը համապատասխանում է դրա մակարդակի փոփոխությանը 20 դԲ-ով, քանի որ

log(P 2 /P 1) = log(A 2 2 /A 1 2) = 20log (A 2 /A 1):

Abscissa առանցքը ցույց է տալիս w հաճախականությունը լոգարիթմական մասշտաբով: Այսինքն՝ աբսցիսայի առանցքի երկայնքով միավորի միջակայքերը համապատասխանում են w-ի փոփոխությանը 10 գործակցով։ Այս միջակայքը կոչվում է տասնամյակ. Քանի որ log(0) = -, օրդինատների առանցքը գծվում է կամայականորեն:

Երկրորդ տերմինից ստացված LPFC-ն տարբերվում է փուլային արձագանքից միայն առանցքի երկայնքով մասշտաբով: () արժեքը գծագրվում է օրդինատների առանցքի երկայնքով աստիճաններով կամ ռադիաններով: Տարրական հղումների համար այն չի անցնում այն ​​կողմը՝ - +:

Հաճախականության բնութագրերը համակարգի համապարփակ բնութագրերն են: Իմանալով համակարգի հաճախականության արձագանքը, կարող եք վերականգնել դրա փոխանցման գործառույթը և որոշել դրա պարամետրերը:

Հետադարձ կապ.

Ընդհանրապես ընդունված է, որ կապը ծածկված է հետադարձ կապով, եթե դրա ելքային ազդանշանը սնվում է մուտքին որևէ այլ կապի միջոցով: Ավելին, եթե հետադարձ ազդանշանը հանվում է մուտքային գործողությունից (), ապա արձագանքը կոչվում է բացասական։ Եթե ​​հետադարձ ազդանշանը ավելացվում է մուտքային գործողությանը (), ապա արձագանքը կոչվում է դրական:

Բացասական հետադարձ կապով փակ օղակի փոխանցման ֆունկցիան՝ բացասական արձագանքով ծածկված շղթան, հավասար է առաջ հանգույցի փոխանցման ֆունկցիային, որը բաժանված է մեկով գումարած բաց հանգույցի փոխանցման ֆունկցիան:

Դրական հետադարձ կապով փակ հանգույցի փոխանցման ֆունկցիան հավասար է առաջ շարժման փոխանցման ֆունկցիային, որը բաժանված է մեկով հանած բաց հանգույցի փոխանցման ֆունկցիան:

22. 23. Քառաբևեռներ.

Վերլուծելիս էլեկտրական սխեմաներՇղթայի երկու ճյուղերի փոփոխականների (հոսանքներ, լարումներ, հզորություններ և այլն) փոխհարաբերությունների ուսումնասիրման խնդիրներում լայնորեն կիրառվում է չորս տերմինալ ցանցերի տեսությունը։

Քառաբևեռ- Սա ցանկացած կոնֆիգուրացիայի շղթայի մի մասն է, որն ունի երկու զույգ տերմինալներ (այստեղից էլ նրա անունը), սովորաբար կոչվում են մուտք և ելք:

Չորս տերմինալային ցանցի օրինակներ են տրանսֆորմատորը, ուժեղացուցիչը, պոտենցիոմետրը, էլեկտրահաղորդման գիծը և այլ էլեկտրական սարքեր, որոնցում կարելի է առանձնացնել երկու զույգ բևեռներ:

Ընդհանուր առմամբ, քառաբևեռները կարելի է բաժանել ակտիվ,որի կառուցվածքը ներառում է էներգիայի աղբյուրներ, և պասիվ,որի ճյուղերը էներգիայի աղբյուրներ չեն պարունակում։

Չորս նավահանգիստ ցանցի հավասարումները գրելու համար մենք կամայական շղթայում ընտրում ենք ճյուղ, որի հետ միակ աղբյուրըէներգիա և որևէ այլ ճյուղ, որն ունի որոշակի դիմադրություն (տես նկ. 1, ա):

Փոխհատուցման սկզբունքին համապատասխան՝ սկզբնական դիմադրությունը փոխարինում ենք լարման աղբյուրով (տես նկ. 1,բ): Այնուհետև, հիմնվելով նկ. 1b կարելի է գրել

(3) և (4) հավասարումները քառաբևեռի հիմնական հավասարումներ են. դրանք կոչվում են նաև քառաբևեռ հավասարումներ A- ձևով (տես Աղյուսակ 1): Ընդհանուր առմամբ, պասիվ քառաբևեռի հավասարումները գրելու վեց ձև կա: Իրոք, չորս տերմինալային ցանցը բնութագրվում է երկու լարման և և երկու հոսանքների և. Ցանկացած երկու մեծություն կարելի է արտահայտել մյուսների տեսքով: Քանի որ չորսի երկու համակցությունների թիվը վեց է, ապա հնարավոր են պասիվ քառաբևեռի հավասարումների գրման վեց ձև, որոնք տրված են աղյուսակում։ 1. Հոսանքների դրական ուղղությունները գրելու հավասարումների տարբեր ձևերի համար ներկայացված են Նկ. 2. Ուշադրություն դարձրեք, որ հավասարումների այս կամ այն ​​ձևի ընտրությունը որոշվում է լուծվող խնդրի տարածքով և տեսակով:

Աղյուսակ 1. Պասիվ քառաբևեռի հավասարումները գրելու ձևերը

Ձև	Հավասարումներ	Կապը հիմնական հավասարումների գործակիցների հետ
Ա-ձև	; ;
Y-ձև	; ;	; ; ; ;
Z-ձև	; ;	; ; ; ;
H-ձև	; ;	; ; ; ;
G-ձև	; ;	; ; ; ;
B-ձև	; .	; ; ; .

Բնութագրական դիմադրություն և գործակից
սիմետրիկ քառաբևեռի տարածում

Հեռահաղորդակցության մեջ լայնորեն օգտագործվում է սիմետրիկ չորս տերմինալային ցանցի գործառնական ռեժիմը, որում նրա մուտքային դիմադրությունը հավասար է բեռի դիմադրությանը, այսինքն.

.

Այս դիմադրությունը նշանակված է և կոչվում է բնորոշ դիմադրությունսիմետրիկ չորս նավահանգիստ ցանց և չորս նավահանգիստ ցանցի գործառնական ռեժիմ, որի համար դա ճիշտ է

,

Մուտքային ազդեցություններ ընդունող և փոխանցող էլեկտրական սարքերի հնարավորությունները դատելու համար նրանք դիմում են դրանց անցողիկ և իմպուլսային բնութագրերի ուսումնասիրությանը:

Քայլ պատասխան հ(տ) գծային շղթայի, որը չի պարունակում անկախ աղբյուրներ, թվայինորեն հավասար է շղթայի արձագանքին մեկ հոսանքի կամ լարման ցատկի ազդեցությանը մեկ քայլային ֆունկցիայի տեսքով 1( տ) կամ 1 ( տ – տ 0) զրոյական սկզբնական պայմաններում (նկ. 14): Անցումային բնութագրիչի չափը հավասար է ռեակցիայի հարթության հարաբերակցությանը ազդեցության չափմանը: Այն կարող է լինել անչափ, ունենալ Ohm, Siemens (սմ) չափսեր:

Բրինձ. 14

Իմպուլսային արձագանք կ(տ) գծային շղթայի, որը չի պարունակում անկախ աղբյուրներ, թվայինորեն հավասար է շղթայի արձագանքին մեկ իմպուլսի գործողությանը d( ձևով. տ) կամ դ( տ – տ 0) զրոյական սկզբնական պայմաններով ֆունկցիաներ. Դրա չափը հավասար է ռեակցիայի չափման հարաբերակցությանը հարվածի չափման և ժամանակի արտադրյալին, ուստի այն կարող է ունենալ c –1, Ohms –1, Sms –1 չափումներ:

Իմպուլսային ֆունկցիա d( տ) կարելի է համարել որպես d(միավոր քայլ) ֆունկցիայի ածանցյալ տ) = դ 1(տ)/dt. Ըստ այդմ, իմպուլսային արձագանքը միշտ քայլի պատասխանի ժամանակային ածանցյալն է. կ(տ) = հ(0 +)d( տ) + դհ(տ)/dt. Այս հարաբերությունն օգտագործվում է իմպուլսի արձագանքը որոշելու համար: Օրինակ, եթե ինչ-որ շղթայի համար հ(տ) = 0,7ե –100տ, Դա կ(տ) = 0,7 դ ( տ) – 70ե –100 տ. Անցումային արձագանքը կարող է որոշվել անցողիկ գործընթացների հաշվարկման դասական կամ օպերատոր մեթոդով:

Կապ կա շղթայի ժամանակի և հաճախականության բնութագրերի միջև: Իմանալով օպերատորի փոխանցման գործառույթը, կարող եք գտնել միացման ռեակցիայի պատկերը. Յ(ս) = Վ(ս)X(ս), այսինքն. փոխանցման գործառույթը պարունակում է ամբողջական տեղեկատվությունՇղթայի հատկությունների մասին՝ որպես զրոյական սկզբնական պայմաններում ազդանշաններ մուտքից դեպի ելք փոխանցող համակարգի: Այս դեպքում ազդեցության և ռեակցիայի բնույթը համապատասխանում է նրանց, որոնց համար որոշվում է փոխանցման գործառույթը:

Գծային սխեմաների փոխանցման գործառույթը կախված չէ մուտքային գործողության տեսակից, ուստի այն կարելի է ստանալ անցողիկ արձագանքից: Այսպիսով, երբ միավորի քայլ ֆունկցիան 1 ( տ) փոխանցման ֆունկցիա՝ հաշվի առնելով այն հանգամանքը, որ 1( տ) = 1/ս, հավասար է

Վ(ս) = Լ [հ(տ)] / Լ = Լ [հ(տ)] / (1/ս), որտեղ Լ [զ(տ)] - Լապլասի ուղղակի փոխակերպման նշանակումը ֆունկցիայի վրա զ(տ) Քայլի արձագանքը կարող է որոշվել փոխանցման ֆունկցիայի միջոցով՝ օգտագործելով հակադարձ Լապլասի փոխակերպումը, այսինքն. հ(տ) = Լ –1 [Վ(ս)(1/ս)], որտեղ Լ –1 [Ֆ(ս)] - հակադարձ Լապլասի փոխակերպման նշանակումը ֆունկցիայի վրա Ֆ(ս) Այսպիսով, անցողիկ արձագանքը հ(տ) ֆունկցիա է, որի պատկերը հավասար է Վ(ս) /ս.

Երբ մեկ զարկերակային ֆունկցիա d( տ) փոխանցման գործառույթ Վ(ս) = Լ [կ(տ)] / Լ = Լ [կ(տ)] / 1 = Լ [կ(տ)]. Այսպիսով, շղթայի իմպուլսային արձագանքը կ(տ) փոխանցման ֆունկցիայի բնօրինակն է։ Շղթայի հայտնի օպերատորի ֆունկցիայից, օգտագործելով հակադարձ Լապլասի փոխակերպումը, կարելի է որոշել իմպուլսի պատասխանը. կ(տ) Վ(ս) Սա նշանակում է, որ շղթայի իմպուլսային արձագանքը եզակիորեն որոշում է շղթայի հաճախականության բնութագրերը և հակառակը, քանի որ

Վ(ժ w) = Վ(ս)ս = ժ w. Քանի որ շղթայի անցողիկ արձագանքը կարելի է գտնել հայտնի իմպուլսային արձագանքից (և հակառակը), վերջինս նույնպես եզակիորեն որոշվում է շղթայի հաճախականության բնութագրերով:

Օրինակ 8.Հաշվարկել շղթայի անցողիկ և իմպուլսային բնութագրերը (նկ. 15) մուտքային հոսանքի և ելքային լարման համար տրված պարամետրերտարրեր: Ռ= 50 Օմ, Լ 1 = Լ 2 = Լ= 125 մՀ,
ՀԵՏ= 80 μF:

Բրինձ. 15

Լուծում.Եկեք օգտագործենք դասական հաշվարկի մեթոդը. Բնութագրական հավասարում Zin = Ռ + pL +
+ 1 / (pC) = 0 տարրերի տրված պարամետրերի համար ունի բարդ խոնարհված արմատներ. էջ 1,2 =
= – դ ժ w A 2 = – 100 ժ 200, որը որոշում է անցումային գործընթացի տատանողական բնույթը: Այս դեպքում հոսանքների և լարումների փոփոխությունների և դրանց ածանցյալների օրենքները հիմնականում գրված են հետևյալ կերպ.

y(տ) = (ՄՍոսու Ա 2 տ+ Նմեղր Ա 2 տ)ե– դ տ + yդուրս; դի(տ) / dt =

=[(–Մդ+ Ն w A 2) cos w A 2 տ – (Մ w A 2 + Նդ) մեղր Ա 2 տ]ե– դ տ + դիդուրս / dt, որտեղ w A 2-ը ազատ տատանումների հաճախականությունն է; yդուրս - անցումային գործընթացի հարկադիր բաղադրիչ:

Նախ, եկեք լուծում գտնենք u Գ(տ) Եվ iC(տ) = C du C(տ) / dt, օգտագործելով վերը նշված հավասարումները, այնուհետև օգտագործելով Կիրխհոֆի հավասարումները, մենք կորոշենք պահանջվող լարումները, հոսանքները և, համապատասխանաբար, անցողիկ և իմպուլսային բնութագրերը:

Ինտեգրման հաստատունները որոշելու համար անհրաժեշտ են նշված գործառույթների սկզբնական և հարկադիր արժեքները: Նրանց սկզբնական արժեքները հայտնի են. u Գ(0 +) = 0 (սահմանումից հ(տ) Եվ կ(տ)), քանի որ iC(տ) = ես Լ(տ) = ես(տ), դա iC(0 +) = ես Լ(0 +) = 0: Մենք որոշում ենք հարկադիր արժեքները Կիրխհոֆի երկրորդ օրենքի համաձայն կազմված հավասարումից. տ 0 + : u 1 = R i(տ) + (Լ 1 + Լ 2) ես(տ) / dt + u Գ(տ), u 1 = 1(տ) = 1 = կոնստ,

այստեղից u Գ() = u Գդուրս = 1, iC() = iCդուրս = ես() = 0.

Եկեք ստեղծենք հավասարումներ ինտեգրման հաստատունները որոշելու համար Մ, Ն:

u Գ(0 +) = Մ + u Գդուրս (0 +), iC(0 +) = ՀԵՏ(–Մդ+ Ն w A 2) + iCդուրս (0+); կամ՝ 0 = Մ + 1; 0 = –Մ 100 + Ն 200; այստեղից: Մ = –1, Ն= –0,5. Ստացված արժեքները մեզ թույլ են տալիս գրել լուծումները u Գ(տ) Եվ iC(տ) = ես(տ): u Գ(տ) = [–cos200 տ– -0.5sin200 տ)ե –100տ+ 1] B, iC(տ) = ես(տ) = ե –100 տ] = 0,02
մեղք200 տ)ե –100 տԱ. Կիրխհոֆի երկրորդ օրենքի համաձայն.

u 2 (տ) = u Գ(տ) + u Լ 2 (տ), u Լ 2 (տ) = u Լ(տ) = Ldi(տ) / dt= (0.5cos200 տ– 0,25 sin200 տ) ե –100տ B. Հետո u 2 (տ) =

=(–0,5սos200 տ– 0,75 sin200 տ) ե –100տ+ 1 = [–0,901 մեղք (200 տ + 33,69) ե –100տ+ 1] Բ.

Ստուգենք ստացված արդյունքի ճշգրտությունը՝ օգտագործելով սկզբնական արժեքը՝ մի կողմից. u 2 (0 +) = –0.901 մեղք (33.69) + 1 = 0.5, իսկ մյուս կողմից, u 2 (0 +) = u Գ (0 +) + u Լ(0 +) = 0 + 0,5 - արժեքները նույնն են:

Ուկրաինայի կրթության և գիտության նախարարություն

Դոնեցկի ազգային համալսարան

Հաշվետվություն

թեմայի շուրջ՝ Ռադիոինժեներական սխեմաներ և ազդանշաններ

NF-3-ի 3-րդ կուրսի լրիվ դրույքով ուսանող

Մշակված է ուսանողի կողմից.

Ալեքսանդրովիչ Ս.Վ.

Ուսուցչի կողմից ստուգված.

Դոլբեշչենկով Վ.Վ.

ՆԵՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆ

«Ռադիոտեխնիկական սխեմաներ և ազդանշաններ» (RTC և S)– Դասընթաց, որը հանդիսանում է «Շղթաների տեսության հիմունքներ» դասընթացի շարունակությունը: Դրա նպատակն է ուսումնասիրել հիմնական օրենքները, որոնք կապված են ազդանշանների ընդունման, կապի ալիքների միջոցով դրանց փոխանցման, ռադիոսխեմաներում մշակման և փոխակերպման հետ: «RTC և C» դասընթացում ներկայացված ազդանշանների և ռադիոտեխնիկական սխեմաների վերլուծության մեթոդները օգտագործում են մաթեմատիկական և ֆիզիկական տեղեկատվություն, որոնք հիմնականում հայտնի են նախորդ առարկաներից ուսանողներին: «RTC և S» դասընթացի կարևոր նպատակն է սովորեցնել ուսանողներին ընտրել մաթեմատիկական ապարատ, որը համարժեք է առաջացած խնդրին և ցույց տալ, թե ինչպես է այս ապարատը աշխատում ռադիոտեխնիկայի ոլորտում կոնկրետ խնդիրներ լուծելիս: Նույնքան կարևոր է սովորեցնել ուսանողներին տեսնել սերտ կապը դիտարկվող երևույթի մաթեմատիկական նկարագրության և ֆիզիկական կողմի միջև, կարողանալ կազմել. մաթեմատիկական մոդելներուսումնասիրվող գործընթացները։

«Ռադիոտեխնիկական սխեմաներ և ազդանշաններ» դասընթացում ուսումնասիրված հիմնական բաժինները.

1. Շղթաների ժամանակային վերլուծություն՝ հիմնված կոնվոլյուցիայի վրա;

2. Սպեկտրային վերլուծությունազդանշաններ;

3. Ռադիոազդանշաններ ամպլիտուդով և անկյունային մոդուլյացիայով;

4. Ազդանշանների հարաբերակցության վերլուծություն;

5. Ակտիվ գծային սխեմաներ;

6. Նեղաշերտ շղթաներով ազդանշանների անցման վերլուծություն;

7. Բացասական հետադարձ կապգծային սխեմաներում;

8. Ֆիլտրի սինթեզ;

9. Ոչ գծային սխեմաներ և դրանց վերլուծության մեթոդներ.

10. Փոփոխական պարամետրերով սխեմաներ;

11. Հարմոնիկ տատանումների առաջացման սկզբունքները;

12. Դիսկրետ ժամանակի ազդանշանների մշակման սկզբունքները.

13. Պատահական ազդանշաններ;

14. Գծային սխեմաներով պատահական ազդանշանների անցման վերլուծություն;

15. Ոչ գծային սխեմաներով պատահական ազդանշանների անցման վերլուծություն;

16. Աղմուկի մեջ դետերմինիստական ​​ազդանշանների օպտիմալ զտում;

17. Պատահական ազդանշանների օպտիմալ զտում;

18. Գծային շղթաների հաշվարկման թվային մեթոդներ.

ԺԱՄԱՆԱԿՆԵՐԻ ՇՐՋԱՆԱՅԻՆ ՎԵՐԼՈՒԾՈՒԹՅՈՒՆ ՀԻՄՆՎԱԾ ԿՈՆՎՈԼՈՒՑԻԱՅԻ ՎՐԱ

Քայլ և իմպուլսային արձագանք

Ժամանակի մեթոդը հիմնված է շղթայի անցողիկ և իմպուլսային բնութագրերի հայեցակարգի վրա: Քայլ պատասխանշղթաները շղթայի արձագանքն են միավորի ֆունկցիայի տեսքով ազդեցությանը: Ցույց է տալիս շղթայի անցողիկ արձագանքը է(տ).Իմպուլսային արձագանքսխեմաներ կոչվում են շղթայի արձագանք մեկ իմպուլսային ֆունկցիայի (d-ֆունկցիա): Նշանակում է իմպուլսային արձագանք հ(տ) Ավելին, է(տ) Եվ հ(տ) որոշվում են շղթայի զրոյական սկզբնական պայմաններում: Կախված ռեակցիայի տեսակից և ազդեցության տեսակից (հոսանք կամ լարում), անցողիկ և իմպուլսային բնութագրերը կարող են լինել չափազերծ մեծություններ կամ ունենալ A/B կամ V/A չափեր։

Շղթայի անցողիկ և իմպուլսային բնութագրերի հասկացությունների օգտագործումը թույլ է տալիս նվազեցնել շղթայի պատասխանի հաշվարկը կամայական ձևի ոչ պարբերական ազդանշանի գործողությունից մինչև շղթայի պատասխանի որոշումը ամենապարզ ազդեցությանը, ինչպիսին է մեկ 1( տ) կամ իմպուլսային ֆունկցիա d( տ), որի օգնությամբ մոտավորվում է սկզբնական ազդանշանը։ Այս դեպքում գծային շղթայի առաջացած ռեակցիան հայտնաբերվում է (օգտագործելով սուպերպոզիցիայի սկզբունքը) որպես շղթայի ռեակցիաների գումարը տարրական ազդեցություններին 1( տ) կամ դ( տ).

Անցումային միջեւ է(տ) և զարկերակ հ(տ) որոշակի կապ կա գծային պասիվ շղթայի բնութագրերի միջև. Այն կարող է հաստատվել, եթե մենք ներկայացնենք միավոր իմպուլսային ֆունկցիա՝ անցնելով մինչև 1/t մեծության երկու միավոր ֆունկցիաների տարբերության սահմանը, որոնք միմյանց նկատմամբ փոխվել են t ժամանակով.

այսինքն՝ միավորի իմպուլսի ֆունկցիան հավասար է միավորի ֆունկցիայի ածանցյալին։ Քանի որ դիտարկվող շղթան ենթադրվում է գծային, կապը մնում է նույնը շղթայի իմպուլսային և անցողիկ ռեակցիաների համար

այսինքն, իմպուլսային արձագանքը շղթայի քայլային արձագանքի ածանցյալն է:

Հավասարումը վավեր է այն դեպքի համար, երբ է(0) = 0 (զրոյական սկզբնական պայմաններ շղթայի համար): Եթե է(0) ¹ 0, ապա ներկայացնել է(տ) ձևով է(տ) = , որտեղ = 0, մենք ստանում ենք զուգավորման հավասարումը այս դեպքի համար.

Շղթայի անցողիկ և իմպուլսային բնութագրերը գտնելու համար կարող եք օգտագործել ինչպես դասական, այնպես էլ օպերատորի մեթոդները: Դասական մեթոդի էությունն այն է, որ որոշվի շղթայի ժամանակային արձագանքը (շղթայի առանձին ճյուղերում լարման կամ հոսանքի տեսքով) մեկ 1-ի ազդեցությանը: տ) կամ իմպուլս d( տ) գործառույթներ. Սովորաբար հարմար է դասական մեթոդով որոշել անցողիկ արձագանքը է(տ), և իմպուլսային արձագանքը հ(տ) գտնել՝ օգտագործելով միացման հավասարումները կամ օպերատորի մեթոդը:

Հարկ է նշել, որ արժեքը Ի(r)Վհավասարումը թվայինորեն հավասար է անցողիկ հաղորդունակության պատկերին: Իմպուլսային արձագանքի նմանատիպ պատկերը թվայինորեն հավասար է շղթայի օպերատորի հաղորդունակությանը

Օրինակ, համար RС- շղթաներ ունենք.

Դիմելով Յ(էջ) ընդլայնման թեորեմ, մենք ստանում ենք.

Աղյուսակում 1.1-ն ամփոփում է հոսանքի և լարման անցողիկ և իմպուլսային բնութագրերի արժեքները առաջին և երկրորդ կարգի սխեմաների համար:

Իմպուլսային արձագանք(քաշի ֆունկցիա) համակարգի արձագանքն է մեկ անսահման իմպուլսին (դելտա ֆունկցիա կամ Դիրակի ֆունկցիա) զրոյական սկզբնական պայմաններում։ Դելտա ֆունկցիան սահմանվում է հավասարումներով

, .

Սա ընդհանուր գործառույթ– մաթեմատիկական օբյեկտ, որը ներկայացնում է իդեալական ազդանշան, ոչ իրական սարքանկարող է վերարտադրել այն: Դելտա ֆունկցիան կարելի է համարել որպես միավորի տարածքի ուղղանկյուն զարկերակի սահման, որը կենտրոնացած է կետի վրա, քանի որ զարկերակային լայնությունը ձգտում է զրոյի:

Այժմ մենք պետք է վերլուծենք այս գումարի սահմանները: Այսպիսով, մենք պետք է օգտագործենք ինտեգրալներ այս տեսակի համակարգերը ճիշտ հասկանալու համար: Դրա համար մեզ անհրաժեշտ է ոլորում: Այս խնդրի համար ենթադրենք, որ \\ զրոյից մեծ է: Փորձեք հետևյալ երկու գործառույթները.

,

որտեղ է համակարգի փոխանցման ֆունկցիան, որի համար Լապլասի փոխակերպումն է: Մեկ ինտեգրատոր ունեցող համակարգի իմպուլսային արձագանքը ձգտում է դեպի հաստատուն արժեք, որը հավասար է առանց ինտեգրատորի համակարգի ստատիկ փոխանցման գործակցին: Երկու ինտեգրատոր ունեցող համակարգի համար իմպուլսային արձագանքը ասիմպտոտիկ կերպով հակված է ուղիղ գծի, երեք ինտեգրատորներով՝ պարաբոլայի և այլն։

Համապատասխան դիսկրետ ազդանշանը հաջորդականություն է: Դիտարկենք շարունակական ազդանշանի Ֆուրիեի փոխակերպումը։ Ֆուրիեի փոխակերպման մոտավորությունը ստացվում է դիսկրետ ազդանշանից՝ օգտագործելով տուփի մեթոդը։

Երբ գումարը կանգ է առնում վերջնական աստիճանի վրա, մենք գտնում ենք.

Գծային համակարգ՝ վերջավոր իմպուլսային արձագանքով

Այս համակարգը կոչվում է պատճառական, քանի որ ելքային վիճակը կախված է միայն նախորդ մուտքային վիճակներից: Սահմանված է դիսկրետ ազդանշան:

Մուտքային իմպուլսի համար գծային համակարգը ազդանշան է տալիս:

Հարկ է նշել, որ ելքային ազդանշանը մուտքային ազդանշանի իմպուլսային արձագանքով ոլորելու արդյունք է։

8. Գծային էլեկտրական սխեմաներում անցողիկ պրոցեսների վերլուծության ժամանակային մեթոդ

8.1. Էլեկտրական սխեմաների անցողիկ և իմպուլսային բնութագրերը

Ժամանակի մեթոդը հիմնված է շղթայի անցողիկ և իմպուլսային բնութագրերի հայեցակարգի վրա: Քայլ պատասխանշղթաները շղթայի արձագանքն են միավորի ֆունկցիայի տեսքով ազդեցությանը (7.19): Ցույց է տալիս շղթայի անցողիկ արձագանքը է(տ).Իմպուլսային արձագանքսխեմաներ կոչվում են շղթայի արձագանք միավոր իմպուլսային ֆունկցիայի (d-ֆունկցիա) ազդեցությանը (7.21): Նշանակում է իմպուլսային արձագանք հ(տ) է(տԱվելին, հ(տ) ) Եվ

որոշվում են շղթայի զրոյական սկզբնական պայմաններում: Կախված ռեակցիայի տեսակից և ազդեցության տեսակից (հոսանք կամ լարում), անցողիկ և իմպուլսային բնութագրերը կարող են լինել չափազերծ մեծություններ կամ ունենալ A/B կամ V/A չափեր։

Այս համակարգը սահմանափակ իմպուլսային արձագանքման զտիչ է: Որն է իմպուլսային արձագանքի դիսկրետ Ֆուրիեի փոխակերպումը: Դիտարկենք որպեսպարզ օրինակ

զտիչ, որն իրականացնում է երկու հաջորդական մուտքային արժեքների միջին թվաբանականը: տՇղթայի անցողիկ և իմպուլսային բնութագրերի հասկացությունների օգտագործումը թույլ է տալիս նվազեցնել շղթայի պատասխանի հաշվարկը կամայական ձևի ոչ պարբերական ազդանշանի գործողությունից մինչև շղթայի պատասխանի որոշումը ամենապարզ ազդեցությանը, ինչպիսին է մեկ 1( տ) կամ իմպուլսային ֆունկցիա d( տ) կամ դ( տ).

), որի օգնությամբ մոտավորվում է սկզբնական ազդանշանը։ Այս դեպքում գծային շղթայի առաջացած ռեակցիան հայտնաբերվում է (օգտագործելով սուպերպոզիցիայի սկզբունքը) որպես շղթայի ռեակցիաների գումարը տարրական ազդեցություններին 1(

Միջին ֆիլտրը ցածր անցումային ֆիլտր է: Ֆազային հերթափոխը հաճախականությամբ տատանվում է գծային: Սա հաստատվում է հաճախականության արձագանքման հետևյալ արտահայտությամբ. Այս ֆիլտրի ազդեցությունը ազդանշանի վրա մոդելավորելու համար հաշվի առեք հետևյալ շարունակական ազդանշանը և դրա նմուշը. Զտվելու համարդիսկրետ ազդանշան

Ազդանշանի բոլոր հաճախականությունները ֆիլտրի միջով անցնելիս ենթարկվում են նույն տեղաշարժը τ: τ - տարածման ժամանակը.

Անցումային միջեւ է(տ) և զարկերակ հ(տ) որոշակի կապ կա գծային պասիվ շղթայի բնութագրերի միջև. Այն կարող է սահմանվել՝ ներկայացնելով միավոր իմպուլսային ֆունկցիա՝ անցնելով մինչև 1/t մեծության երկու միավոր ֆունկցիաների տարբերության սահմանը, որոնք միմյանց նկատմամբ փոխվել են t ժամանակով (տես նկ. 7.4):

այսինքն՝ միավորի իմպուլսի ֆունկցիան հավասար է միավորի ֆունկցիայի ածանցյալին։ Քանի որ դիտարկվող շղթան ենթադրվում է գծային, կապը (8.1) պահպանվում է նաև շղթայի իմպուլսային և անցողիկ ռեակցիաների համար։

Ազդանշանի ձևը չի փոխվում ժապավենային զտման միջոցով: Մեկուսացնելով փուլ պարունակող տերմինը, հաճախականության արձագանքը գրվում է ըստ արտահայտության. Փոփոխականը փոխելուց հետո շահույթի արտահայտությունը դուրս է գալիս գումարի մեջ: Հաճախականության արձագանքը գրված է: Հաշվի առնելով սահմանը՝ ստանում ենք.

Ստացվում է գծային փուլային զտիչ՝ անսահման իմպուլսային արձագանքով։ Այս մեթոդը համարժեք է Ֆուրիեի գործակիցներին ուղղանկյուն պատուհան կիրառելուն:

Այս ֆունկցիայի Ֆուրիեի գործակիցները.

Արդյունքը կարող է արտահայտվել սինուսային կարդինալ ֆունկցիայի միջոցով և կախված է միայն անջատման հաճախականության և նմուշառման հաճախականության հարաբերակցությունից:

այսինքն, իմպուլսային արձագանքը շղթայի քայլային արձագանքի ածանցյալն է:

(8.2) հավասարումը վավեր է այն դեպքի համար, երբ է(0) = 0 (զրոյական սկզբնական պայմաններ շղթայի համար): Եթե է(0) ¹ 0, ապա ներկայացնել է(տ) ձևով է(տ) = , որտեղ = 0, մենք ստանում ենք զուգավորման հավասարումը այս դեպքի համար.

Հաճախականության արձագանքը ստանալու համար օգտագործվում է հետևյալ գործառույթը. Ահա ֆիլտրի ձեռքբերման և փուլի գրաֆիկը: Կարելի է տեսնել, որ փուլն իսկապես գծային է անցողիկ գոտում, բայց շահույթն ունի շատ ուժեղ ալիքներ: Թուլացած գոտում π փուլում կան ընդհատումներ: Իհարկե, ցանկալի փոխանցման ֆունկցիայի տարբերությունները պայմանավորված են իմպուլսային արձագանքի կրճատմամբ:

Փորձենք կտրել Հաննայի պատուհանով: Անցումային և թուլացած գոտու ալիքները զգալիորեն կրճատվում են: Անցումային գոտում փուլային գծայինությունը միշտ ապահովված է: Եթե ​​ուշացումը τ մնա ֆիքսված, ապա նմուշառման արագությունը պետք է միաժամանակ ավելացվի: Ընտրված է աղմկոտ ազդանշան:

Շղթայի անցողիկ և իմպուլսային բնութագրերը գտնելու համար կարող եք օգտագործել ինչպես դասական, այնպես էլ օպերատորի մեթոդները: Դասական մեթոդի էությունն այն է, որ որոշվի շղթայի ժամանակային արձագանքը (շղթայի առանձին ճյուղերում լարման կամ հոսանքի տեսքով) մեկ 1-ի ազդեցությանը: տ) կամ իմպուլս d( տ) գործառույթներ. Սովորաբար հարմար է դասական մեթոդով որոշել անցողիկ արձագանքը է(տ), և իմպուլսային արձագանքը հ(տ) գտնել օգտագործելով միացման հավասարումները (8.2), (8.3) կամ օպերատորի մեթոդը:

Օրինակ.Եկեք օգտագործենք դասական մեթոդը՝ Նկ. 8.1. Թվային առումով g u(տ) տվյալ շղթայի համար համընկնում է հզորության լարման հետ, երբ այն միացված է տվյալ պահին տ= 0 դեպի լարման աղբյուր U 1 = լ V:

Լարման փոփոխության օրենքը uԳ(տ) որոշվում է (6.27) հավասարմամբ, որտեղ անհրաժեշտ է դնել U= l V:

Բնութագրերը գտնելիս է(տԱվելին, հ(տ) օգտագործելով օպերատորի մեթոդը, 1 ֆունկցիաների պատկերները ( տ), դ ( տ) և անցողիկ գործընթացների հաշվարկման մեթոդաբանությունը, որը ներկայացված է գլխ. 7.

Օրինակ.Եկեք որոշենք անցումային բնութագիրը՝ օգտագործելով օպերատորի մեթոդը g u(տ) RС-շղթաներ (տես նկ. 8.1): Այս շղթայի համար, Օհմի օրենքի համաձայն, օպերատորի ձևով (7.35) կարող ենք գրել.

Վերջապես մենք ստանում ենք

Այստեղից, օգտագործելով ընդլայնման թեորեմը (7.31), մենք գտնում ենք

այսինքն նույն արժեքը, ինչ ստացվել է դասական մեթոդով:

Հարկ է նշել, որ արժեքը Ի(r)Վհավասարումը (8.4) թվայինորեն հավասար է անցումային հաղորդունակության պատկերին: Իմպուլսային արձագանքի նմանատիպ պատկերը թվայինորեն հավասար է շղթայի օպերատորի հաղորդունակությանը

Օրինակ, համար RС-շղթա (տես նկ. 8.1) ունենք.

Դիմելով Յ(էջ) ընդլայնման թեորեմ (7.30), ստանում ենք.

Պետք է նշել, որ բանաձևը (8.5) որոշում է շղթայի ռեակցիայի ազատ բաղադրիչը մեկ իմպուլսային գործողության ներքո: Ընդհանուր դեպքում, շղթայական ռեակցիայի դեպքում, ի լրումն ազատ ռեժիմի էքսպոնենցիալ բաղադրիչների ժամը տ> 0 կա ​​զարկերակային տերմին, որն արտացոլում է ազդեցությունը, երբ տ= 0 միավոր զարկերակ: Իսկապես, եթե հաշվի առնենք, որ դրա համար RС- միացում (տես Նկ. 8.1) ընթացիկ անցողիկ բնութագիրը ժամը U= 1(տ) համաձայն (6.28) կլինի

ապա տարբերակումից հետո (8.6) ըստ (8.2) մենք ստանում ենք իմպուլսային արձագանքը RС- շղթաներ h i(տ) ձևով

այսինքն արձագանք հես(տ) պարունակում է երկու տերմին՝ իմպուլս և էքսպոնենցիալ։

Առաջին տերմինի ֆիզիկական իմաստը (8.7) նշանակում է, որ երբ տ= 0 իմպուլսային լարման շղթայի վրա ազդեցության արդյունքում d( տ) լիցքավորման հոսանքն ակնթարթորեն հասնում է անսահման մեծ արժեքի, մինչդեռ 0-ից մինչև 0 + հզորության տարրը փոխանցվում է սահմանափակ լիցք և այն կտրուկ լիցքավորվում է լարման Ի/Ռ.Կ.. տԵրկրորդ տերմինը որոշում է ազատ գործընթացը շղթայում ժամը տ> 0 և պայմանավորված է կոնդենսատորի լիցքաթափմամբ կարճ միացված մուտքի միջոցով (երբ. տ> 0 դ ( Ռ.Կ.) = 0, որը համարժեք է մուտքային կարճ միացմանը) t = ժամանակի հաստատունով տ. RС- շղթան խախտում է լիցքի շարունակականությունը հզորության վրա (փոխանցման երկրորդ օրենքը): Նմանապես, ինդուկտիվության մեջ հոսանքի շարունակականության պայմանը (կոմուտացիայի առաջին օրենքը) խախտվում է, եթե d( ձևով լարումը տ).

Աղյուսակում 8.1-ն ամփոփում է հոսանքի և լարման անցողիկ և իմպուլսային բնութագրերի արժեքները առաջին և երկրորդ կարգի սխեմաների համար:

8.2. Duhamel ինտեգրալ

Դյուհամելի ինտեգրալը կարելի է ձեռք բերել կիրառվող ուժի մոտավոր հաշվարկով զ 1 (տ)Հետօգտագործելով միավոր ֆունկցիաները, որոնք փոխվել են միմյանց համեմատ Dt ժամանակով (նկ. 8.2):

Շրջանակային ռեակցիա յուրաքանչյուրին քայլի էֆեկտկորոշվի որպես

Շղթայի արդյունքում առաջացած ռեակցիան աստիճանական ազդեցությունների համակարգին կարելի է գտնել սուպերպոզիցիայի սկզբունքի հիման վրա.

Որտեղ p -մոտավոր բաժինների թիվը, որոնց բաժանվում է 0 ... միջակայքը տ.

Գումարի նշանի տակ արտահայտությունը բազմապատկելով և բաժանելով Dt-ով և անցնելով սահմանին, հաշվի առնելով դա՝ ստանում ենք Դյուհամել ինտեգրալի ձևերից մեկը.

Հավասարումը (8.8) արտացոլում է շղթայի արձագանքը տվյալ ազդեցությանը, քանի որ մոտավոր ֆունկցիան հակված է սկզբնականին: Դյուհամելի ինտեգրալի երկրորդ ձևը կարելի է ստանալ օգտագործելով կոնվոլյուցիայի թեորեմը (տես՝ , բ), այնուհետև սխեմայի ռեակցիան որոշվում է դասական կամ օպերատոր մեթոդով, երբ տվյալ ճյուղը միացված է ակտիվ երկու տերմինալային ցանցին։ (Նկար 8.4,Վ

) Ստացված ռեակցիան հայտնաբերվում է որպես ռեակցիաների գումար՝ .

8.3. Պարտադրման ինտեգրալ հ(տՍուպերպոզիցիոն ինտեգրալով շղթայի պատասխանը գտնելիս օգտագործվում է շղթայի իմպուլսային արձագանքը զ 1 (տ) դՍուպերպոզիցիոն ինտեգրալի համար ընդհանուր արտահայտություն ստանալու համար մենք մոտավորացնում ենք մուտքային ազդանշանը զ) օգտագործելով մեկ տևողության իմպուլսների համակարգ զ t, ամպլիտուդներ դ 1 (տ) և մակերեսը

1 (տ)

տ (նկ. 8.5): Շղթայի ելքային արձագանքը առանձին իմպուլսներից յուրաքանչյուրին Օգտագործելով սուպերպոզիցիայի սկզբունքը, դժվար չէ ստանալ շղթայի ընդհանուր արձագանքը մեկ իմպուլսների համակարգին.Ինտեգրալը (8.12) կոչվում է պարտադրված ինտեգրալ. Սուպերպոզիցիայի և Դյուհամելի ինտեգրալների միջև կա հ(տ) պարզ կապ է(տ, որոշվում է զարկերակի (8.3) փոխհարաբերությամբ հ(տև անցումային

Օրինակ.) շղթայի բնութագրերը. Փոխարինելով, օրինակ, արժեքը RС) (8.3)-ից մինչև (8.12) բանաձևը, հաշվի առնելով d-ֆունկցիայի ֆիլտրման հատկությունը (7.23), մենք ստանում ենք Դյուհամելի ինտեգրալը (8.11) ձևով: UՄուտքի մոտ

- միացում (տես նկ. 8.1) կիրառվում է լարման բարձրացում հ1. Որոշեք շղթայի արձագանքը ելքի վրա՝ օգտագործելով սուպերպոզիցիոն ինտեգրալները (8.12) և Դյուհամելը (8.11):(տԱյս շղթայի իմպուլսային արձագանքը հավասար է (տես Աղյուսակ 8.1). տ / u) = = (1/RC)e – հ1. Որոշեք շղթայի արձագանքը ելքի վրա՝ օգտագործելով սուպերպոզիցիոն ինտեգրալները (8.12) և Դյուհամելը (8.11):(տՌ.Կ. . Այնուհետև փոխարինելով– t) = (1/RC)e –( uբանաձևի մեջ (8.12), մենք ստանում ենք.

Նմանատիպ արդյունք ենք ստանում այս սխեմայի և Դյուհամելի ինտեգրալի (8.11) անցումային ֆունկցիան օգտագործելիս.

Եթե ​​ազդեցության սկիզբը չի համընկնում ժամանակի հաշվարկի սկզբի հետ, ապա ինտեգրալը (8.12) ընդունում է ձևը.

Սուպերպոզիցիոն ինտեգրալները (8.12) և (8.13) ներկայացնում են մուտքային ազդանշանի ոլորումը շղթայի իմպուլսային արձագանքի հետ և լայնորեն կիրառվում են էլեկտրական սխեմաների տեսության և ազդանշանի փոխանցման տեսության մեջ։ Դրա ֆիզիկական իմաստն այն է, որ մուտքային ազդանշանը զ 1 (t)-ը, կարծես, կշռվում է ֆունկցիայի միջոցով հ(t- t): որքան դանդաղ է այն նվազում ժամանակի ընթացքում հ(տ), այնքան մեծ է ազդեցությունը ելքային ազդանշանի վրա գործադրվում է մուտքային ազդեցության արժեքով, որն ավելի հեռու է դիտարկման պահից։

Նկ. 8.6, Ացույց է տրված ազդանշանը զ 1(t) և իմպուլսային արձագանք հ(t-տ), որը հայելային պատկեր է հ(t), իսկ Նկ. 8.6, բցուցադրվում է ազդանշանի ոլորումը զ 1 (տ) Հետֆունկցիան հ(t-տ) (ստվերավորված մաս), թվայինորեն հավասար է տվյալ պահին շղթայի ռեակցիային տ.

Սկսած Նկ. 8.6-ը ցույց է տալիս, որ շղթայի ելքի պատասխանը չի կարող ավելի կարճ լինել, քան ազդանշանի ընդհանուր տևողությունը տ 1 և իմպուլսային արձագանք տ հ. Այսպիսով, որպեսզի ելքային ազդանշանը չաղավաղվի, շղթայի իմպուլսային արձագանքը պետք է ձգվի դեպի d ֆունկցիան։

Ակնհայտ է նաև, որ ֆիզիկապես իրականացված շղթայում ռեակցիան չի կարող առաջանալ մինչև հարվածը։

Սա նշանակում է, որ ֆիզիկապես իրականացվող շղթայի իմպուլսային արձագանքը պետք է բավարարի պայմանին

Ֆիզիկապես իրագործելի կայուն շղթայի համար, ի լրումն, պետք է բավարարվի իմպուլսային արձագանքի բացարձակ ամբողջականության պայմանը.

Եթե ​​մուտքային գործողությունն ունի բարդ ձև կամ հստակեցված է գրաֆիկորեն, ապա շրջադարձային ինտեգրալի փոխարեն (8.12) հաշվարկելու համար օգտագործվում են գծավերլուծական մեթոդներ:

Հարցեր և առաջադրանքներ ինքնաստուգման համար

1. Սահմանել շղթայի անցողիկ և իմպուլսային բնութագրերը:

2. Նշեք իմպուլսային և անցողիկ բնութագրերի միջև կապը:

3. Ինչպե՞ս որոշել շղթայի անցողիկ և իմպուլսային արձագանքը:

4. Ինչո՞վ են տարբերվում անցողիկ հատկանիշները, բացատրե՛ք դրանց ֆիզիկական նշանակությունը:

5. Ինչպե՞ս որոշել, թե չորս տեսակի անցողիկ կամ իմպուլսային բնութագրերից որն է պետք կիրառել յուրաքանչյուր կոնկրետ դեպքում շղթայի արձագանքը հաշվարկելիս: է(տ) Եվ հ(տ)?

6. Ո՞րն է անցողիկ գործընթացների հաշվման էությունը՝ օգտագործելով

7. Ինչպե՞ս որոշել շղթայի ռեակցիան, եթե ազդեցությունն ունի բարդ ձև:

8. Ի՞նչ պայմաններ պետք է բավարարի շղթան Դյուհամելի ինտեգրալն օգտագործելիս:

10. Դյուհամելի և սուպերպոզիցիոն ինտեգրալների միջոցով շղթայի ռեակցիայի հաշվարկը հանգեցնում է նույն կամ տարբեր արդյունքների:

11. Որոշեք շղթայի անցողիկ հաղորդունակությունը, որը ձևավորվում է դիմադրության և ինդուկտիվության միջոցով միացված շարքով:

12. Սահմանել մի շղթա, որը ձևավորվում է դիմադրությունից և հզորությունից միացված շարքով:

Պատասխան. .

13. Ձեռք բերեք Դյուհամելի ինտեգրալի երրորդ ձևը (8.10) ոլորման հավասարումից (8.10):

Ռուսաստանի ակադեմիա

Ֆիզիկայի բաժին

Դասախոսություն

Էլեկտրական սխեմաների անցողիկ և իմպուլսային բնութագրերը

Արծիվ 2009 թ

Կրթական և կրթական նպատակներ.

Բացատրեք ուսանողներին էլեկտրական սխեմաների անցողիկ և իմպուլսային բնութագրերի էությունը, ցույց տվեք բնութագրերի միջև կապը, ուշադրություն դարձրեք էլեկտրական սխեմաների վերլուծության և սինթեզի համար դիտարկվող բնութագրերի օգտագործմանը և նպատակաուղղված գործնականում բարձրորակ պատրաստմանը: վերապատրաստում.

Դասախոսության ժամանակի բաշխում

Ներածական մաս…………………………………………………………………………………………………………………………………

Ուսումնասիրության հարցեր.

1. Էլեկտրական շղթաների անցողիկ բնութագրերը………………15 րոպե.

2. Դյուհամելի ինտեգրալներ……………………………………………………………………25 րոպե.

3. Էլեկտրական սխեմաների իմպուլսային բնութագրերը. Բնութագրերի միջև կապը………………………………………………………… 25 րոպե.

4. Կոնվուլյացիոն ինտեգրալներ…………………………………………….15 րոպե.

Եզրակացություն……………………………………………………… 5 րոպե.

1. Էլեկտրական սխեմաների անցողիկ բնութագրերը

Շղթայի անցողիկ արձագանքը (ինչպես զարկերակային արձագանքը) վերաբերում է շղթայի ժամանակավոր բնութագրերին, այսինքն՝ այն արտահայտում է որոշակի անցողիկ գործընթաց կանխորոշված ​​ազդեցությունների և սկզբնական պայմաններում:

Էլեկտրական սխեմաները համեմատելու համար այս ազդեցություններին իրենց արձագանքով, անհրաժեշտ է սխեմաները տեղադրել նույն պայմաններում: Ամենապարզն ու ամենահարմարը զրոյական սկզբնական պայմաններն են:

Շղթայի անցողիկ արձագանքը զրոյական սկզբնական պայմաններում շղթայի ռեակցիայի և աստիճանական ազդեցության հարաբերակցությունն է այս ազդեցության մեծությանը:

Ըստ սահմանման,

որտեղ է շղթայական արձագանքը փուլային ազդեցությանը.

– քայլի էֆեկտի մեծությունը [B] կամ [A]:

Քանի որ և բաժանվում է ազդեցության մեծությամբ (սա է իրական թիվ), ապա իրականում - շղթայի արձագանքը մեկ քայլի ազդեցությանը:

Եթե ​​շղթայի անցողիկ արձագանքը հայտնի է (կամ կարելի է հաշվարկել), ապա բանաձևից կարող եք գտնել այս շղթայի արձագանքը փուլային ազդեցությանը զրոյական NL-ում:

.

Եկեք կապ հաստատենք շղթայի օպերատորի փոխանցման ֆունկցիայի, որը հաճախ հայտնի է (կամ կարելի է գտնել) և այս շղթայի անցողիկ արձագանքի միջև: Դա անելու համար մենք օգտագործում ենք օպերատորի փոխանցման գործառույթի ներդրված հայեցակարգը.

.

Շղթայի Լապլասի փոխակերպված ռեակցիայի հարաբերակցությունը ազդեցության մեծությանը շղթայի օպերատորի անցողիկ բնութագիրն է.

Հետևաբար.

Այստեղից օպերատորի անցումային սխեմայի բնութագիրը հայտնաբերվում է օպերատորի փոխանցման ֆունկցիայի միջոցով:

Շղթայի անցողիկ արձագանքը որոշելու համար անհրաժեշտ է կիրառել հակադարձ Լապլասի փոխակերպումը.

օգտագործելով համապատասխանության աղյուսակը կամ (նախապես) տարրալուծման թեորեմը:

Օրինակ՝ որոշեք անցողիկ արձագանքը կոնդենսատորի վրա լարման ռեակցիայի համար մի շարք շղթայում (նկ. 1):

Ահա մեծության աստիճանական ազդեցության արձագանքը.

,

որտեղից է գալիս անցումային բնութագիրը.

.

Առավել հաճախ հանդիպող սխեմաների անցողիկ բնութագրերը հայտնաբերված և տրված են տեղեկատու գրականության մեջ:

2. Դյուհամելի ինտեգրալներ

Անցումային արձագանքը հաճախ օգտագործվում է բարդ գրգռիչին շղթայի արձագանքը գտնելու համար: Եկեք հաստատենք այս հարաբերությունները։

Եկեք համաձայնենք, որ ազդեցությունը շարունակական ֆունկցիա է և կիրառվում է շղթայի վրա ժամանակին, իսկ սկզբնական պայմանները զրո են:

Տվյալ ազդեցությունը կարող է ներկայացվել որպես շղթայի վրա կիրառվող աստիճանական ազդեցության գումարը մի պահի և անսահման մեծ թվով անսահման փոքր աստիճանական հարվածների, որոնք շարունակաբար հետևում են միմյանց: Այս տարրական ազդեցություններից մեկը, որը համապատասխանում է կիրառման պահին, ներկայացված է Նկար 2-ում:

Եկեք գտնենք շղթայական ռեակցիայի արժեքը ժամանակի ինչ-որ պահի:

Ժամանակի տարբերությամբ քայլ առ քայլ ազդեցությունը առաջացնում է ռեակցիա, որը հավասար է տարբերության արտադրյալին շղթայի անցողիկ արձագանքի արժեքով, այսինքն՝ հավասար է.

Անվերջ փոքր աստիճանական ազդեցությունը տարբերությամբ առաջացնում է անվերջ փոքր ռեակցիա , որտեղ է ազդեցության կիրառման պահից մինչեւ դիտարկման պահն անցած ժամանակը։ Քանի որ ըստ պայմանի ֆունկցիան շարունակական է, ուրեմն.

Սուպերպոզիցիայի սկզբունքի համաձայն՝ ռեակցիան հավասար կլինի դիտարկման պահին նախորդող ազդեցությունների ամբողջության արդյունքում առաջացած ռեակցիաների գումարին, այսինքն.

.

Սովորաբար վերջին բանաձևում այն ​​պարզապես փոխարինում են , քանի որ գտնված բանաձևը ճիշտ է ցանկացած ժամանակային արժեքների համար.

.

Կամ մի քանի պարզ փոխակերպումներից հետո.

.

Այս հարաբերություններից որևէ մեկը լուծում է գծային էլեկտրական շղթայի պատասխանը տրված շարունակական գործողությանը հաշվարկելու խնդիրը՝ օգտագործելով շղթայի հայտնի անցողիկ արձագանքը: Այս հարաբերությունները կոչվում են Դյուհամելյան ինտեգրալներ։

3. Էլեկտրական սխեմաների իմպուլսային բնութագրերը

Շղթայի իմպուլսային արձագանքը զրոյական սկզբնական պայմաններում շղթայի պատասխանի հարաբերակցությունն է իմպուլսային գործողությանը այս գործողության տարածքին:

Ըստ սահմանման,

որտեղ է շղթայի արձագանքը իմպուլսային գործողությանը.

- հարվածային զարկերակային տարածք:

Օգտագործելով շղթայի հայտնի իմպուլսային արձագանքը, կարելի է գտնել շղթայի արձագանքը տվյալ ազդեցությանը. .

Մեկ իմպուլսային էֆեկտը, որը նաև կոչվում է դելտա ֆունկցիա կամ Դիրակի ֆունկցիա, հաճախ օգտագործվում է որպես ազդեցության ֆունկցիա։

Դելտա ֆունկցիան ֆունկցիա է, որը հավասար է զրոյի ամենուր, բացառությամբ , և դրա մակերեսը հավասար է միասնության ():

.

Դելտա ֆունկցիայի հայեցակարգին կարելի է հասնել՝ հաշվի առնելով ուղղանկյուն զարկերակի բարձրության և տևողության սահմանը, երբ (նկ. 3).

Եկեք կապ հաստատենք շղթայի փոխանցման ֆունկցիայի և դրա իմպուլսային արձագանքի միջև, որի համար մենք օգտագործում ենք օպերատորի մեթոդը:

Ըստ սահմանման.

.

Եթե ​​ազդեցությունը (բնօրինակը) համարվում է առավելագույնը ընդհանուր դեպքզարկերակային տարածքի արտադրյալի տեսքով դելտա ֆունկցիայով, այսինքն՝ ձևով, ապա այս էֆեկտի պատկերն ըստ համապատասխանության աղյուսակի ունի ձև.

.

Այնուհետև, մյուս կողմից, շղթայի Լապլասի փոխակերպված ռեակցիայի հարաբերակցությունը հարվածի իմպուլսի տարածքին շղթայի օպերատորի իմպուլսային արձագանքն է.

.

Հետևաբար, .

Շղթայի իմպուլսային արձագանքը գտնելու համար անհրաժեշտ է կիրառել հակադարձ Լապլասի փոխակերպումը.

Այսինքն՝ իրականում։

Ընդհանրացնելով բանաձևերը՝ մենք կապ ենք ստանում սխեմայի օպերատորի փոխանցման ֆունկցիայի և սխեմայի օպերատորի անցողիկ և իմպուլսային բնութագրերի միջև.

Այսպիսով, իմանալով շղթայի բնութագրիչներից մեկը, կարող եք որոշել ցանկացած այլ:

Հավասարության նույնական փոխակերպումն իրականացնենք՝ միջին մասի վրա ավելացնելով։

Այդ ժամանակ մենք կունենանք.

Քանի որ դա անցումային հատկանիշի ածանցյալի պատկեր է, սկզբնական հավասարությունը կարող է վերաշարադրվել հետևյալ կերպ.

Տեղափոխվելով բնօրինակների տարածք՝ մենք ստանում ենք մի բանաձև, որը թույլ է տալիս որոշել շղթայի իմպուլսային արձագանքը նրա հայտնի անցողիկ արձագանքից.

Եթե, ապա.

Այս բնութագրերի միջև հակադարձ կապն ունի հետևյալ ձևը.

.

Օգտագործելով փոխանցման ֆունկցիան՝ հեշտ է որոշել ֆունկցիայի մեջ տերմինի առկայությունը։

Եթե ​​համարիչի և հայտարարի ուժերը նույնն են, ապա տվյալ տերմինը կլինի: Եթե ​​ֆունկցիան պատշաճ կոտորակ է, ապա այս տերմինը գոյություն չի ունենա:

Օրինակ՝ որոշեք իմպուլսային բնութագրերը լարումների և գծապատկեր 4-ում ներկայացված սերիայի միացումում:

Սահմանենք.

Օգտագործելով համապատասխանության աղյուսակը, անցնենք բնօրինակին.

.

Այս ֆունկցիայի գրաֆիկը ներկայացված է Նկար 5-ում:

Բրինձ. 5

Փոխանցման գործառույթ.

Համաձայն համապատասխան աղյուսակի ունենք.

.

Ստացված ֆունկցիայի գրաֆիկը ներկայացված է Նկար 6-ում:

Նշենք, որ նույն արտահայտությունները կարելի էր ստանալ՝ օգտագործելով և .

Իմպուլսի արձագանքն իր ֆիզիկական իմաստով արտացոլում է ազատ տատանումների գործընթացը և այդ պատճառով կարելի է պնդել, որ իրական սխեմաներում միշտ պետք է բավարարվի հետևյալ պայմանը.

4. Կոնվոլյուցիոն (վերածման) ինտեգրալներ

Եկեք դիտարկենք գծային էլեկտրական շղթայի արձագանքը բարդ ազդեցության որոշման կարգը, եթե հայտնի է այս շղթայի իմպուլսային արձագանքը: Մենք կենթադրենք, որ ազդեցությունը մասամբ շարունակական ֆունկցիա է, որը ներկայացված է Նկար 7-ում:

Թող պահանջվի ժամանակի ինչ-որ պահի գտնել ռեակցիայի արժեքը: Լուծելով այս խնդիրը, եկեք պատկերացնենք հարվածը որպես անվերջ փոքր տևողությամբ ուղղանկյուն իմպուլսների գումար, որոնցից մեկը, ժամանակի պահին համապատասխան, ներկայացված է Նկար 7-ում: Այս զարկերակը բնութագրվում է տևողությամբ և բարձրությամբ:

Նախկինում քննարկված նյութից հայտնի է, որ շղթայի արձագանքը կարճ իմպուլսին կարելի է համարել հավասար շղթայի իմպուլսային արձագանքի արտադրյալին և իմպուլսային գործողության տարածքին: Հետևաբար, այս իմպուլսային գործողության հետևանքով ռեակցիայի անվերջ փոքր բաղադրիչը ժամանակի պահին հավասար կլինի.

քանի որ զարկերակի տարածքը հավասար է , և ժամանակը անցնում է դրա կիրառման պահից մինչև դիտարկման պահը:

Օգտագործելով սուպերպոզիցիայի սկզբունքը, շղթայի ընդհանուր ռեակցիան կարող է սահմանվել որպես անսահման մեծ թվով անսահման փոքր բաղադրիչների գումար, որոնք առաջանում են ժամանակի ակնթարթին նախորդող անսահման փոքր տարածքի իմպուլսների հաջորդականությունից:

Այսպիսով.

.

Այս բանաձևը ճիշտ է ցանկացած արժեքի համար, ուստի սովորաբար փոփոխականը պարզապես նշվում է: Ապա.

.

Ստացված կապը կոչվում է կոնվոլյուցիոն ինտեգրալ կամ սուպերպոզիցիոն ինտեգրալ։ Այն ֆունկցիան, որը հայտնաբերվում է կոնվոլյուցիոն ինտեգրալի հաշվարկի արդյունքում, կոչվում է կոնվոլյուցիա և .

Դուք կարող եք գտնել կոնվուլյացիոն ինտեգրալի մեկ այլ ձև, եթե փոխեք փոփոխականները ստացված արտահայտության մեջ.

.

Օրինակ՝ գտե՛ք լարումը սերիական շղթայի հզորության վրա (նկ. 8), եթե մուտքում գործում է ձևի էքսպոնենցիալ զարկերակ.

Եկեք օգտագործենք կոնվուլյացիոն ինտեգրալը.

.

Արտահայտություն համար ստացվել է նախկինում։

Հետևաբար, , Եվ .

Նույն արդյունքը կարելի է ստանալ՝ կիրառելով Duhamel ինտեգրալը։

Գրականություն:

Բելեցկի Ա.Ֆ. Գծային էլեկտրական սխեմաների տեսություն. – Մ.: Ռադիո և հաղորդակցություն, 1986. (Դասագիրք)

Բակալով V.P. et al. – Մ.: Ռադիո և կապ, 1998. (Դասագիրք);

Kachanov N. S. et al., Գծային ռադիոտեխնիկական սարքեր: Մ.: Զինվորական. հրատարակված, 1974. (Դասագիրք);

Պոպով Վ.Պ. Շրջանակային տեսության հիմունքներ - Մ.: Բարձրագույն դպրոց, 2000. (Դասագիրք)