Բազմաթիվ փոփոխականների հանրահաշվական ֆունկցիաների տեսություն. Մի քանի փոփոխականների ֆունկցիայի հայեցակարգ

Բնական գիտության և տնտեսագիտության բազմաթիվ օրինաչափություններ ուսումնասիրելիս հանդիպում են երկու (կամ ավելի) անկախ փոփոխականների ֆունկցիաներ:

Սահմանում (երկու փոփոխականի ֆունկցիայի համար):Թող X , Յ Եվ Զ - բազմություններ. Եթե ​​յուրաքանչյուր զույգ (x, y) տարրեր՝ համապատասխանաբար հավաքածուներից X Եվ Յ ինչ-որ օրենքի ուժով զ համապատասխանում է մեկ և միայն մեկ տարրի զ շատերից Զ , հետո ասում են տրված է երկու փոփոխականների ֆունկցիա զ = զ(x, y) .

Ընդհանրապես երկու փոփոխականներից բաղկացած ֆունկցիայի տիրույթ երկրաչափորեն կարող է ներկայացվել կետերի որոշակի հավաքածուով ( x; y) ինքնաթիռ xOy .

Մի քանի փոփոխականների ֆունկցիաներին վերաբերող հիմնական սահմանումները համապատասխանի ընդհանրացումն են սահմանումներ մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի համար .

Շատերը Դկանչեց ֆունկցիայի տիրույթը զ, և հավաքածուն Ե – դրա բազմաթիվ իմաստները. Փոփոխականներ xԵվ yֆունկցիայի հետ կապված զկոչվում են նրա փաստարկներ: Փոփոխական զկոչվում է կախյալ փոփոխական:

Փաստարկների մասնավոր արժեքներ

համապատասխանում է ֆունկցիայի մասնավոր արժեքին

Մի քանի փոփոխականների ֆունկցիայի տիրույթ

Եթե մի քանի փոփոխականների ֆունկցիա (օրինակ՝ երկու փոփոխական) տրված բանաձևով զ = զ(x, y) , Դա դրա սահմանման ոլորտը հարթության բոլոր այդպիսի կետերի բազմությունն է x0y, որի համար արտահայտությունը զ(x, y) իմաստավորում է և ընդունում իրական արժեքներ. Մի քանի փոփոխականների ֆունկցիայի տիրույթի ընդհանուր կանոնները բխում են ընդհանուր կանոններՀամար մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի սահմանման տիրույթ. Տարբերությունն այն է, որ երկու ֆունկցիայի համար փոփոխականների տարածքըսահմանումը հարթության վրա գտնվող կետերի որոշակի հավաքածու է, և ոչ ուղիղ գիծ, ​​ինչպես մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի համար: Երեք փոփոխականների ֆունկցիայի համար սահմանման տիրույթը եռաչափ տարածության կետերի համապատասխան բազմությունն է, իսկ ֆունկցիայի համար. nփոփոխականներ - վերացականի համապատասխան կետերի հավաքածու n- ծավալային տարածություն.

Արմատ ունեցող երկու փոփոխականի ֆունկցիայի տիրույթ nրդ աստիճան

Այն դեպքում, երբ երկու փոփոխականի ֆունկցիա տրվում է և n - բնական թիվ :

Եթե nզույգ թիվ է, ապա ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը հարթության այն կետերի բազմությունն է, որը համապատասխանում է արմատական ​​արտահայտության բոլոր արժեքներին, որոնք մեծ են կամ հավասար են զրոյի, այսինքն.

Եթե nկենտ թիվ է, ապա ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը ցանկացած արժեքների բազմությունն է, այսինքն՝ ամբողջ հարթությունը x0y .

Երկու փոփոխականների հզորության ֆունկցիայի տիրույթ՝ ամբողջ թվով ցուցիչով

:

Եթե ա- դրական, ապա ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը ամբողջ հարթությունն է x0y ;

Եթե ա- բացասական, ապա ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը զրոյից տարբերվող արժեքների բազմությունն է.

Կոտորակի ցուցիչով երկու փոփոխականի հզորության ֆունկցիայի տիրույթ

Այն դեպքում, երբ ֆունկցիան տրվում է բանաձևով :

եթե դրական է, ապա ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը հարթության այն կետերի բազմությունն է, որտեղ այն ընդունում է զրոյից մեծ կամ հավասար արժեքներ.

եթե - բացասական է, ապա ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը հարթության այն կետերի բազմությունն է, որտեղ այն ընդունում է զրոյից մեծ արժեքներ.

Երկու փոփոխականների լոգարիթմական ֆունկցիայի սահմանման տիրույթ

Երկու փոփոխականների լոգարիթմական ֆունկցիա սահմանվում է պայմանով, որ դրա արգումենտը դրական է, այսինքն՝ դրա սահմանման տիրույթը հարթության այն կետերի բազմությունն է, որտեղ այն ընդունում է զրոյից մեծ արժեքներ.

Երկու փոփոխականների եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանման տիրույթ

Գործառույթի տիրույթ - ամբողջ ինքնաթիռը x0y .

Գործառույթի տիրույթ - ամբողջ ինքնաթիռը x0y .

Ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը ամբողջ հարթությունն է x0y

Գործառույթի տիրույթ - ամբողջ ինքնաթիռը x0y, բացառությամբ թվերի զույգերի, որոնց համար արժեքներ են վերցնում:

Երկու փոփոխականների հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանման տիրույթ

Գործառույթի տիրույթ .

Գործառույթի տիրույթ - հարթության վրա գտնվող կետերի հավաքածուն, որի համար .

Գործառույթի տիրույթ - ամբողջ ինքնաթիռը x0y .

Գործառույթի տիրույթ - ամբողջ ինքնաթիռը x0y .

Կոտորակի սահմանման տիրույթը՝ որպես երկու փոփոխականի ֆունկցիա

Եթե ​​ֆունկցիան տրված է բանաձևով, ապա ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը հարթության բոլոր կետերն են, որոնցում .

Երկու փոփոխականների գծային ֆունկցիայի տիրույթ

Եթե ​​ֆունկցիան տրված է ձևի բանաձևով զ = կացին + կողմից + գ , ապա ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը ամբողջ հարթությունն է x0y .

Օրինակ 1.

Լուծում. Ըստ սահմանման տիրույթի կանոնների՝ մենք կազմում ենք կրկնակի անհավասարություն

Մենք բազմապատկում ենք ամբողջ անհավասարությունը և ստանում

Ստացված արտահայտությունը սահմանում է երկու փոփոխականների այս ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը:

Օրինակ 2.Գտեք երկու փոփոխականների ֆունկցիայի տիրույթը:

Դասախոսություն 1 Երկու և մի քանի փոփոխականների ֆունկցիաների տեսություն (TFNP): 1. FNP-ի հայեցակարգը. 2. FNP սահմանաչափ. 3. FNP-ի շարունակականությունը. 4. Առաջին կարգի մասնակի ածանցյալներ. 5. Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ: 6. Իմպլիցիտ ֆունկցիայի ածանցյալ: 7. Բարձրագույն կարգի ածանցյալներ.

1. FNP-ի հայեցակարգը. Թող D բազմությունը հարթության վրա լինի տարածք: Սահմանում. Եթե ​​թիվն ասոցացվում է, ապա ասում են, որ D բազմության վրա տրված է թվային ֆունկցիա D՝ ֆունկցիայի սահմանման տիրույթում։

Եթե ​​մի կետ, ապա քարտեզագրումը նշված է երկու կոորդինատներով, 2 փոփոխականից բաղկացած ֆունկցիա: Նման ֆունկցիայի գրաֆիկը կլինի x, y, z կոորդինատներով կետերի մի շարք:

f(x, y) երկրաչափական մեկնաբանությունը. D – հարթության որոշ հատված 0 ХY z D – f(x, y) ֆունկցիայի գրաֆիկի պրոյեկցիան հարթության վրա 0 ХY z f О x D x y y Ֆունկցիայի գրաֆիկը մակերես է տարածության մեջ:

2. Երկու փոփոխականի ֆունկցիայի սահման. Թող մի կետ Կետերի բազմությունը կոչվի այնպիսին, որը գտնվում է կետի հարևանությամբ

Սահմանում. Թող եթե կետը, ապա P կետը կոչվի D բազմության ներքին կետ: Սահմանում: Եթե ​​բոլոր D կետերը ներքին են այս բազմության մեջ, ապա այն կոչվում է բաց: Սահմանում. Կետ պարունակող ցանկացած բաց բազմություն կոչվում է նրա հարևանություն:

Սահմանում. Ցանկացած երկու կետերից բաղկացած բազմությունը, որը կարող է միացված լինել այս բազմության մեջ ընկած շարունակական կորով, կոչվում է միացված: Սահմանում. Բաց միացված հավաքածուն կոչվում է տարածաշրջան։

Թող մի կետի հարևանությամբ գտնվող ֆունկցիան որոշվի (պարտադիր չէ, որ հենց կետում A համարը կոչվում է ֆունկցիայի սահման, քանի որ այն ձգտում է, եթե):

Նշանակում. Մեկնաբանություն. Ձգտումը կարող է առաջանալ ցանկացած օրենքի և ուղղության համաձայն, մինչդեռ բոլոր սահմանափակող արժեքները գոյություն ունեն և հավասար են Ա-ին:

Օրինակ. Դիտարկենք ֆունկցիան Դիտարկենք t (0, 0) անցնող միտումը. ուղիղ գծերով A-ի արժեքը կախված է նրանից:

3. FNP-ի շարունակականությունը. Ֆունկցիան կոչվում է շարունակական այն կետում, եթե եթե 1-3 պայմաններից գոնե մեկը խախտված է, ապա այն դադարի կետ է:

Ընդմիջման կետերը կարող են մեկուսացվել, ձևավորել ընդմիջման գծեր, կոտրել մակերեսները: Օրինակ. ա) Ընդմիջման կետ – (մեկուսացված) բ) – ընդմիջման գիծ

Սահմանում. Տարբերությունը կոչվում է ֆունկցիայի ընդհանուր աճ։ Սահմանում. Սահմանները կոչվում են ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալներ (ենթադրելով, որ դրանք գոյություն ունեն):

FNP-ի մասնակի ածանցյալների հաշվարկման կանոնները համընկնում են մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի համապատասխան կանոնների հետ: Մեկնաբանություն. Փոփոխականներից մեկի նկատմամբ FNP-ի ածանցյալը հաշվարկելիս մնացած բոլորը համարվում են հաստատուններ: Օրինակ.

Սահմանում. Մի կետում ֆունկցիայի ընդհանուր աճի հիմնական (գծային) մասը կոչվում է տվյալ կետի ֆունկցիայի ընդհանուր դիֆերենցիալ։

5. Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալ: Դիտարկենք այն ֆունկցիան, որտեղ, այսինքն, z-ը x, y-ի բարդ ֆունկցիան է: Բարդ ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալները x և y փոփոխականների նկատմամբ հաշվարկվում են հետևյալ կերպ. (ինչպես մեկ փոփոխականի կոմպլեքս ֆունկցիայի դեպքում):

Ընդհանուր ածանցյալ ա) որտեղ, այսինքն, z-ն մեկ արգումենտի բարդ ֆունկցիա է: Այնուհետև ֆունկցիայի ընդհանուր ածանցյալն է t արգումենտի նկատմամբ։

Մեկ փոփոխականի ֆունկցիաները դիտարկելիս մենք մատնանշեցինք, որ շատ երևույթներ ուսումնասիրելիս պետք է հանդիպել երկու կամ ավելի անկախ փոփոխականների ֆունկցիաների: Բերենք մի քանի օրինակ։

Օրինակ 1. Ուղղանկյան S մակերեսը, որոնց երկարությունները հավասար են x-ի և y-ի, արտահայտվում է x և y արժեքների յուրաքանչյուր զույգին համապատասխանում է S տարածքի որոշակի արժեքի. S-ը երկու փոփոխականի ֆունկցիա է։

Օրինակ 2. Ուղղանկյուն զուգահեռականի V ծավալը, որի եզրերը հավասար են x-ին, արտահայտվում է բանաձևով. Այստեղ V-ն x երեք փոփոխականների ֆունկցիա է:

Օրինակ 3. Մեկնարկային արագությամբ արձակված արկի R հեռահարություն: Հրացանից, որի խողովակը թեքված է դեպի հորիզոնը անկյան տակ, որն արտահայտվում է բանաձևով, եթե օդի դիմադրությունը անտեսված է): Ահա գրավիտացիայի շնորհիվ արագացումը. Արժեքների յուրաքանչյուր զույգի համար այս բանաձևը տալիս է R-ի որոշակի արժեք, այսինքն՝ R-ն երկու փոփոխականի ֆունկցիա է։

Օրինակ 4. և ահա չորս փոփոխականների ֆունկցիա

Սահմանում 1. Եթե x և y երկու անկախ փոփոխականների արժեքների յուրաքանչյուր զույգ իրենց փոփոխության D որոշակի շրջանից համապատասխանում է մեծության որոշակի արժեքին, ապա մենք ասում ենք, որ սահմանված է x և y երկու անկախ փոփոխականների ֆունկցիա: տարածաշրջանում

Խորհրդանշականորեն երկու փոփոխականների ֆունկցիան նշվում է հետևյալ կերպ.

Երկու փոփոխականների ֆունկցիան կարող է սահմանվել, օրինակ՝ օգտագործելով աղյուսակը կամ վերլուծական կերպով՝ օգտագործելով բանաձև, ինչպես արվեց վերը քննարկված չորս օրինակներում: Բանաձևի հիման վրա կարող եք ստեղծել ֆունկցիայի արժեքների աղյուսակ անկախ փոփոխականների որոշ զույգ արժեքների համար: Այո, համար

Առաջին օրինակի համար կարող եք ստեղծել հետևյալ աղյուսակը.

Այս աղյուսակում x և y-ի որոշակի արժեքներին համապատասխանող տողի և սյունակի հատման կետում նշվում է համապատասխան ֆունկցիայի արժեքը.

Եթե ​​երեւույթի փորձարարական ուսումնասիրության ժամանակ z-ի արժեքի չափման արդյունքում ստացվում է ֆունկցիոնալ կախվածություն, ապա անմիջապես ստացվում է աղյուսակ, որը սահմանում է z-ը որպես երկու փոփոխականի ֆունկցիա։ Այս դեպքում գործառույթը նշվում է միայն աղյուսակով:

Ինչպես մեկ անկախ փոփոխականի դեպքում, երկու փոփոխականների ֆունկցիա, ընդհանուր առմամբ, գոյություն չունի x-ի և y-ի որևէ արժեքի համար:

Սահմանում 2. Զույգերի արժեքների բազմությունը, որոնց համար սահմանված է ֆունկցիա, կոչվում է սահմանման տիրույթ կամ այս ֆունկցիայի գոյության տիրույթ։

Ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը երկրաչափականորեն հստակ պատկերված է: Եթե ​​x և y արժեքների յուրաքանչյուր զույգ պատկերենք որպես հարթության կետ, ապա ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը կպատկերվի որպես հարթության վրա գտնվող կետերի որոշակի հավաքածու: Մենք նաև կանվանենք կետերի այս հավաքածուն ֆունկցիայի սահմանման տիրույթ։ Մասնավորապես, սահմանման տիրույթը կարող է լինել ամբողջ հարթությունը: Հետևյալում մենք հիմնականում կզբաղվենք այնպիսի տարածքներով, որոնք ինքնաթիռի գծերով սահմանափակված մասեր են։ Այս տարածքը սահմանափակող գիծը կկոչվի տարածքի սահման: Տարածաշրջանի այն կետերը, որոնք չեն գտնվում սահմանի վրա, կկոչվեն շրջանի ներքին կետեր: Միայն ներքին կետերից բաղկացած տարածքը կոչվում է բաց կամ չփակված: Եթե ​​սահմանային կետերը նույնպես պատկանում են տարածաշրջանին, ապա շրջանը կոչվում է փակ։ Տարածքը կոչվում է սահմանափակ, եթե կա այնպիսի հաստատուն C, որ շրջանի ցանկացած M կետի հեռավորությունը O կոորդինատների սկզբնակետից փոքր լինի C-ից, այսինքն.

Օրինակ 5. Որոշեք ֆունկցիայի բնական տիրույթը

Վերլուծական արտահայտությունը իմաստ ունի x-ի և y-ի ցանկացած արժեքի համար: Հետևաբար, ֆունկցիայի սահմանման բնական տիրույթը ամբողջ հարթությունն է

Օրինակ 6. .

Որպեսզի այն ունենա իրական արժեք, արմատը պետք է ունենա ոչ բացասական թիվ, այսինքն՝ x-ը և y-ը պետք է բավարարեն անհավասարությունը կամ

Բոլոր կետերը, որոնց կոորդինատները բավարարում են նշված անհավասարությունը, գտնվում են 1 շառավղով շրջանագծի մեջ, որի կենտրոնն այս շրջանագծի սկզբում և սահմանի վրա է:

Օրինակ 7. .

Քանի որ լոգարիթմները սահմանվում են միայն դրական թվերի համար, անհավասարությունը կամ պետք է բավարարվի:

Սա նշանակում է, որ ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը ուղիղ գծի վերևում գտնվող հարթության կեսն է՝ չներառյալ բուն ուղիղը (նկ. 166):

Օրինակ 8. 5-րդ եռանկյան մակերեսը հիմքի և բարձրության ֆունկցիան է

Այս ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը եռանկյան հիմքի նման տարածքն է, և նրա բարձրությունը չի կարող լինել ոչ բացասական, ոչ էլ զրո): Նկատի ունեցեք, որ դիտարկվող ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը չի համընկնում վերլուծական արտահայտության սահմանման բնական տիրույթի հետ, որով նշված է ֆունկցիան, քանի որ արտահայտության սահմանման բնական տիրույթը, ակնհայտորեն, ամբողջ Oxy հարթությունն է:

V. ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ ՀԱՇՎԱՐԿ

ՄԻ քանի ՓՈՓՈԽԱԿԱՆՆԵՐԻ ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐ

Մի քանի փոփոխականների ֆունկցիայի հայեցակարգ

Նախկինում դիտարկվում էր մեկ անկախ փոփոխականի ֆունկցիան։ Սակայն կոնկրետ գործնական խնդիրներ լուծելիս հետազոտողին, ընդհանուր առմամբ, բախվում են միանգամից մի քանի անկախ փոփոխականներից կախված երեւույթներ։ Որպես առավելագույնը պարզ օրինակներՍա կարող է հանգեցնել ուղղանկյունի տարածքը կամ զուգահեռաբարձի ծավալը հաշվարկելու անհրաժեշտությանը: Իրոք, ուղղանկյան մակերեսը որոշվում է միմյանցից անկախ երկու մեծությամբ՝ ուղղանկյան կողմերի երկարություններով և.

Զուգահեռապատիկի ծավալը որոշվում է երեք անկախ մեծություններով՝ նրա եզրերի երկարությունները, ,.

Ավելի բարդ օրինակներ կարելի է բերել: Այլ կերպ ասած, անկախ փոփոխականների թիվը կարող է լինել ցանկացած: Այս դեպքերում ասում են, որ ցանկալի մեծությունը երկու, երեք կամ ավելի փոփոխականների ֆունկցիա է։

Նրանք հաճախ փորձում են վերացնել երկրորդական փոփոխականները և թողնել միայն մեկը՝ հիմնականը, այսինքն՝ փորձում են ստանալ մեկ փոփոխականի ֆունկցիա։ Բայց դա միշտ չէ, որ հնարավոր է: Արտահայտության պարզեցումը հաճախ տալիս է երկու կամ երեք փոփոխականների ֆունկցիա: Անմիջապես պետք է նշել, որ բազմաթիվ փոփոխականների ֆունկցիաների ուսումնասիրությունն ունի նմանատիպ մեթոդներ։ Ուստի պարզության համար մենք կուսումնասիրենք երկու փոփոխականների ֆունկցիաները և անհրաժեշտության դեպքում ստացված արդյունքները կընդհանրացնենք կամայական դեպքի։

Մեկի դեպքում փոփոխական ֆունկցիաօպերատոր էր, որը բազմությունից յուրաքանչյուր տարրին հատկացնում էր մեկ և միայն մեկ տարր բազմությունից:

Ինչպե՞ս է որոշվում երկու փոփոխականների ֆունկցիայի արգումենտը: Քանի որ մենք ուսումնասիրում ենք իրական արգումենտների ֆունկցիաները, նման ֆունկցիայի արժեքը կախված է երկու իրական թվերի զույգից: Բազմությունների տեսության տեսակետից սա ոչ այլ ինչ է, քան երկու բազմությունների արտադրյալը և , որին պատկանում են փոփոխականները։

Սահմանում 5.1.1 . Թող , a , ապա արտադրյալը տալիս է նոր բազմություն, որի յուրաքանչյուր տարր պարունակում է զույգ թվեր։

Սահմանում 5.1.1-ից հետևում է, որ իմանալով երկու փոփոխականների արժեքների և գործառույթների շարքը, կարելի է գտնել դրա սահմանման տիրույթը: Ակնհայտ է, որ սա կլինի բոլորը հնարավոր համակցություններԵվ .

Երկու իրական թվերի բազմությունների արտադրյալը տարածության մեջ ստեղծում է բազմություն: Այս աշխատանքի գրաֆիկական պատկերը հարթություն է կամ այս հարթության մի մասը:

Սահմանում 5.1.2 . Երկու փոփոխականների ֆունկցիան հարաբերություն է, որը յուրաքանչյուր զույգ թվին վերագրում է մեկ և միայն մեկ թիվ:

Եթե ​​կա փոփոխականների ֆունկցիա, ապա դրա սահմանման տիրույթը կլինի տարածությունը կամ դրա մի մասը: Նման հավաքածուն այլևս գրաֆիկորեն ներկայացելի չէ:

Երկու փոփոխականների ֆունկցիաները, ինչպես նաև մեկ փոփոխականի ֆունկցիաները կարող են ներկայացվել աղյուսակի, գրաֆիկի կամ վերլուծական արտահայտության միջոցով: Աղյուսակային մեթոդը ամենաքիչ հարմարն է, սակայն, երբ փորձնականորեն որոշվում է ֆունկցիայի արժեքը, այն կարող է լինել միակը։ Գործառույթի գրաֆիկական և վերլուծական ճշգրտումն ավելի տեղեկատվական է: Այս դեպքում վերջին մեթոդը ամենահարմարն է, քանի որ այն հնարավորություն է տալիս իրականացնել այս հայեցակարգի ամբողջական ուսումնասիրությունը:

Երկու փոփոխականների ֆունկցիաները գրաֆիկորեն ներկայացնելու համար գծեք եռաչափ կոորդինատային համակարգ, օրինակ՝ ուղղանկյուն դեկարտյան: Հարթության վրա պատկերված է տվյալ ֆունկցիայի սահմանման տիրույթը։ Սահմանման տիրույթի յուրաքանչյուր կետում վերականգնվում է ուղղահայաց, որն ունի այս կետի ֆունկցիայի արժեքին հավասար երկարություն։ Ստացված բոլոր կետերը համադրելով՝ ստացվում է որոշակի մակերես (նկ. 5.1.1): Այսպիսով, գրաֆիկորեն երկու փոփոխականների ֆունկցիան մակերեսն է: Ավելի մեծ թվով փոփոխականների գործառույթներ պատկերելու համար գրաֆիկական մեթոդն այլևս կիրառելի չէ:

Երկու փոփոխականների ֆունկցիան վերլուծական կերպով նշելիս գրվում է բանաձև, որի օգնությամբ անկախ փոփոխականների տրված արժեքների հիման վրա հայտնաբերվում է ֆունկցիայի արժեքը։ Փոփոխականների քանակի ավելացումը ֆունկցիան վերլուծական կերպով նշելիս խնդիրներ չի ստեղծում ( ).

Երկու կամ ավելի փոփոխականների ֆունկցիան ուսումնասիրելիս առաջանում են նույն հասկացությունները, ինչ մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի դեպքում՝ սահման, շարունակականություն, հավելումներ, ածանցյալ։

Նախ դիտարկենք մակերեսի հատվածներն ըստ հարթությունների և (նկ. 5.1.2):

Քանի որ գծի վրա հաստատուն է, այն փոխվում է միայն կախված փոփոխությունից: Եթե ​​որևէ կետում ավելացում եք սահմանում, ապա կտեղափոխվեք կետ . Այս կետերում հավելվածների միջև տարբերությունը հավասար կլինի ֆունկցիայի արժեքի փոփոխությանը, որը կախված չի լինի փոփոխականից։

Այսպիսով, տալով հավելում, ստանում ենք աճ, որը կոչվում է մասնակի աճով նշվում է և-ով .

Մասնակի աճը որոշվում է նույն կերպ՝ .

Միաժամանակ ավելացնելով փոփոխականներին և , մենք ստանում ենք ֆունկցիայի ամբողջական աճը՝ . Պետք է նկատի ունենալ, որ .

Այժմ ներկայացնենք հարթության վրա գտնվող կետի հարևանության հասկացությունը:

Սահմանում 5.1.3 . - շառավղով կետի հարևանությունը անհավասարությանը բավարարող բոլոր կետերի բազմությունն է , կամ, այլ կերպ ասած, բոլոր կետերի բազմությունը, որոնք գտնվում են մի կետում կենտրոն ունեցող շառավղով շրջանագծի ներսում (նկ. 5.1.3):

Հիմնվելով -հարևանության սահմանման վրա՝ կարող ենք ներկայացնել երկու փոփոխականների ֆունկցիայի սահմանի հասկացությունը։ Թող ֆունկցիան սահմանվի որոշակի տարածքում (նկ. 5.1.3): Եկեք այս ոլորտում որոշ կետ վերցնենք: դեպի կետ;

3) սահմանված է բոլոր կետերում, բայց .

Ներբեռնեք Depositfiles-ից

Դասախոսություններ 1-4

ՄԻ քանի ՓՈՓՈԽԱԿԱՆՆԵՐԻ ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐ.

Թեստային հարցեր.

Մի քանի փոփոխականների ֆունկցիայի մասնակի և ընդհանուր ավելացում (FNP):

Մի քանի փոփոխականների ֆունկցիայի սահմանը: FNP սահմանաչափերի հատկությունները.

FNP-ի շարունակականությունը. Շարունակական ֆունկցիաների հատկությունները.

Առաջին կարգի մասնակի ածանցյալներ.

Սահմանում Եթե ​​փոփոխական արժեքների յուրաքանչյուր դիտարկված հավաքածու համապատասխանում է որոշակի փոփոխական արժեքիw, հետո կզանգենքw անկախ փոփոխականների ֆունկցիա.

(1)

Սահմանում : սահմանման տիրույթԴ ( զ ) ֆունկցիան (1) թվերի նման բազմությունների հավաքածու է
, որի համար սահմանված է ֆունկցիան (1):

Տարածաշրջան Դ ( զ ) կարող է լինել բաց կամ փակ: Օրինակ՝ ֆունկցիայի համար.

Դ (զ ) Տարածության մեջ կլինեն բոլոր կետերը, որոնց համար անհավասարություն է պահպանվում (փակ գնդակ), և ֆունկցիայի համար (բաց գնդակ):

Հետևյալում մենք հիմնականում կդիտարկենք երկու փոփոխականների գործառույթները, քանի որ նախ, երկու կամ ավելի փոփոխականների միջև հիմնարար տարբերություն չկա. Երկրորդ, երկու փոփոխականների դեպքը թույլ է տալիս հստակ երկրաչափական մեկնաբանություն:

Երկու փոփոխականի ֆունկցիայի երկրաչափական ներկայացում
ինչ-որ մակերես է, որը կարելի է հստակորեն կամ անուղղակիորեն նշել: Օրինակ՝ա )
- հստակ առաջադրանք (պտույտի պարաբոլոիդ), բ)
— անուղղակի առաջադրանք (ոլորտ):

Գրաֆիկ կառուցելիս հաճախ օգտագործվում են ֆունկցիաներհատվածի մեթոդով .

Օրինակ . Կառուցեք ֆունկցիայի գրաֆիկը:
Եկեք օգտագործենք հատվածի մեթոդը:

– ինքնաթիռում
- պարաբոլա.

– ինքնաթիռում
- պարաբոլա.

– ինքնաթիռում
- շրջան.

Պահանջվող մակերեսը հեղափոխության պարաբոլոիդ է։

Հեռավորությունը երկու կամայական կետերի միջև
Եվ
(էվկլիդյան) տարածություններ
զանգահարած համարը

Կետերի բազմությունը կոչվում էբաց շրջան շառավիղը կենտրոնացած մի կետի վրա , – շրջապատ շառավիղը կենտրոնով կետում:

Բաց շառավղով շրջան կենտրոնով կետում կոչվում է- շրջակայքը կետեր

ՄԱՍԻՆ

վճռականություն. Կետը կոչվում էներքին կետ հավաքածուներ , եթե կա -հարեւանություն
կետը, որն ամբողջությամբ պատկանում է բազմությանը (այսինքն.
).

Սահմանում . Կետը կոչվում էսահմանային կետ բազմության, եթե նրա հարևաններից որևէ մեկը պարունակում է միավորներ, որոնք պատկանում են և՛ բազմությանը, և՛ նրան չպատկանող կետերին:

Կոմպլեկտի սահմանային կետը կարող է պատկանել կամ չպատկանել այս բազմությանը:

Սահմանում . Հավաքածուն կոչվում էբացել , եթե նրա բոլոր կետերը ներքին են։

Սահմանում . Հավաքածուն կոչվում էփակված , եթե այն պարունակում է իր բոլոր սահմանային կետերը։ Բազմության բոլոր սահմանային կետերի բազմությունը կոչվում է իրսահման (և հաճախ նշվում է խորհրդանիշով
). Նշենք, որ հավաքածուն
փակ է և կոչվում էհավաքածուի փակումը.

Օրինակ . Եթե, ապա. Միևնույն ժամանակ.

Ֆունկցիայի մասնակի և ամբողջական ավելացում:

Եթե ​​մեկ անկախ փոփոխական (օրինակ,X ) ավելանում է X , իսկ մյուս փոփոխականը չի փոխվում, այնուհետև ֆունկցիան ավելանում է.

որը կոչվում է ֆունկցիայի մասնակի ավելացում ըստ արգումենտիX .

Եթե ​​բոլոր փոփոխականները ստանում են հավելումներ, ապա ֆունկցիան ստանում է լրիվ աճ.

Օրինակ՝ ֆունկցիայի համար
կունենանք.

Մի քանի փոփոխականների ֆունկցիայի սահման.

Սահմանում . Մենք կասենք, որ կետերի հաջորդականությունը
համընկնում է ժամը
դեպի կետ
, եթե ժամը .

Այս դեպքում կետը
կանչեցսահմանափակում նշված հաջորդականությունը և գրել.
ժամը
.

Հեշտ է ցույց տալ, որ եթե և միայն եթե երկուսն էլ
,
(այսինքն՝ տարածության մեջ կետերի հաջորդականության կոնվերգենցիան համարժեք էկոորդինատային համընկնում ).

Սահմանում. Համարը կոչվում է սահմանափակում գործառույթները
ժամը
, եթե համար

այնպիսին, որ
, հենց որ.

Այս դեպքում գրում են
կամ
ժամը
.

Չնայած մեկ և երկու փոփոխականների գործառույթների սահմանի հասկացությունների ակնհայտ ամբողջական անալոգիային, նրանց միջև կա խորը տարբերություն: Մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի դեպքում մի կետում սահմանի առկայության համար անհրաժեշտ և բավարար է միայն երկու թվի հավասարությունը՝ սահմանները երկու ուղղությամբ՝ սահմանային կետից աջ և ձախ։ . Երկու փոփոխականի ֆունկցիայի համար սահմանային կետի միտումը
հարթության վրա կարող է առաջանալ անսահման թվով ուղղություններով (և պարտադիր չէ, որ ուղիղ գծի երկայնքով), և, հետևաբար, երկու (կամ մի քանի) փոփոխականների ֆունկցիայի համար սահմանի առկայության պահանջը «ավելի խիստ» է՝ համեմատած ֆունկցիայի հետ. մեկ փոփոխական.

Օրինակ . Գտեք
.

Թող ցանկությունը սահմանափակող կետի համար
տեղի է ունենում ուղիղ գծով
. Հետո
.

Սահմանն ակնհայտորեն գոյություն չունի, քանի որ թիվը
կախված է .

FNP սահմանաչափերի հատկությունները:

Եթե ​​կան
, Դա:, Մասնակի ածանցյալը նկատմամբ և ներկայացվում է դրա նշումը։

Հեշտ է տեսնել, որ մասնակի ածանցյալը մի փոփոխականի ֆունկցիայի ածանցյալն է, երբ մյուս փոփոխականի արժեքը ֆիքսված է: Հետևաբար, մասնակի ածանցյալները հաշվարկվում են նույն կանոններով, ինչ մեկ փոփոխականի ֆունկցիաների ածանցյալների հաշվարկը:

Օրինակ . Գտեք ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալներ
.

Մենք ունենք.
,
.