როგორ მოვძებნოთ პირველის ჯამი. არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი.

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი მარტივი რამ არის. მნიშვნელობითაც და ფორმულითაც. მაგრამ ამ თემაზე ყველანაირი დავალებაა. ძირითადიდან საკმაოდ მყარი.

ჯერ გავიგოთ თანხის მნიშვნელობა და ფორმულა. და მერე გადავწყვეტთ. თქვენივე სიამოვნებისთვის.) თანხის მნიშვნელობა ისეთივე მარტივია, როგორც მოო. არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის საპოვნელად, თქვენ უბრალოდ უნდა ყურადღებით დაამატოთ მისი ყველა პირობა. თუ ეს ტერმინები ცოტაა, შეგიძლიათ დაამატოთ ყოველგვარი ფორმულების გარეშე. მაგრამ თუ ბევრია, ან ბევრი... დამატება შემაწუხებელია.) ამ შემთხვევაში ფორმულა შველის.

თანხის ფორმულა მარტივია:

მოდით გავარკვიოთ, რა სახის ასოები შედის ფორმულაში. ეს ბევრ რამეს გაარკვევს.

S n - არითმეტიკული პროგრესიის ჯამი. დამატების შედეგი ყველასწევრებთან ერთად პირველიმიერ ბოლო.ეს მნიშვნელოვანია. ისინი ზუსტად აგროვებენ ყველაწევრები ზედიზედ, გამოტოვების ან გამოტოვების გარეშე. და, ზუსტად, დაწყებული პირველი.ისეთ პრობლემებში, როგორიცაა მესამე და მერვე წევრთა ჯამის პოვნა, ან მეხუთედან მეოცე პუნქტების ჯამი, ფორმულის პირდაპირი გამოყენება იმედგაცრუებას გამოიწვევს.)

a 1 - პირველიპროგრესის წევრი. აქ ყველაფერი გასაგებია, მარტივია პირველირიგის ნომერი.

a n- ბოლოპროგრესის წევრი. სერიის ბოლო ნომერი. არც თუ ისე ნაცნობი სახელია, მაგრამ თანხაზე გამოყენებისას ძალიან შესაფერისია. მერე თავად ნახავ.

ნ - ბოლო წევრის ნომერი. მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ ფორმულაში ეს რიცხვი ემთხვევა დამატებული ტერმინების რაოდენობას.

მოდით განვსაზღვროთ კონცეფცია ბოლოწევრი a n. რთული კითხვა: რომელი წევრი იქნება უკანასკნელითუ მოცემულია გაუთავებელიარითმეტიკული პროგრესია?)

თავდაჯერებულად რომ უპასუხოთ, უნდა გესმოდეთ არითმეტიკული პროგრესიის ელემენტარული მნიშვნელობა და... ყურადღებით წაიკითხეთ დავალება!)

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის პოვნის ამოცანაში ყოველთვის ჩნდება ბოლო წევრი (პირდაპირ ან ირიბად), რომელიც შეზღუდული უნდა იყოს.წინააღმდეგ შემთხვევაში, საბოლოო, კონკრეტული თანხა უბრალოდ არ არსებობს.ამოხსნისთვის არ აქვს მნიშვნელობა პროგრესია მოცემულია: სასრული თუ უსასრულო. არ აქვს მნიშვნელობა როგორ არის მოცემული: რიცხვების სერია, თუ ფორმულა n-ე წევრისთვის.

ყველაზე მნიშვნელოვანი ის არის, რომ გვესმოდეს, რომ ფორმულა მუშაობს პროგრესირების პირველი ტერმინიდან რიცხვით ტერმინამდე ნ.სინამდვილეში, ფორმულის სრული სახელი ასე გამოიყურება: არითმეტიკული პროგრესიის პირველი n წევრის ჯამი.ამ პირველივე წევრების რაოდენობა, ე.ი. ნ, განისაზღვრება მხოლოდ ამოცანის მიხედვით. ამოცანაში, მთელი ეს ღირებული ინფორმაცია ხშირად დაშიფრულია, დიახ... მაგრამ არ მადარდებს, ქვემოთ მოცემულ მაგალითებში ჩვენ ამ საიდუმლოებებს ვამხელთ.)

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ამოცანების მაგალითები.

პირველ რიგში, სასარგებლო ინფორმაცია:

არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ამოცანების ძირითადი სირთულე მდგომარეობს ფორმულის ელემენტების სწორად განსაზღვრაში.

ამოცანების დამწერები სწორედ ამ ელემენტებს შიფრავენ უსაზღვრო ფანტაზიით.) აქ მთავარია არ შეგეშინდეთ. ელემენტების არსის გაგება, საკმარისია მათი უბრალოდ გაშიფვრა. მოდით განვიხილოთ რამდენიმე მაგალითი დეტალურად. დავიწყოთ დავალებით, რომელიც დაფუძნებულია რეალურ GIA-ზე.

1. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია პირობით: a n = 2n-3.5. იპოვეთ მისი პირველი 10 წევრის ჯამი.

კარგი სამუშაო. მარტივია.) რა უნდა ვიცოდეთ ფორმულით თანხის დასადგენად? პირველი წევრი a 1, ბოლო ვადა a nდიახ, ბოლო წევრის ნომერი ნ.

სად შემიძლია მივიღო ბოლო წევრის ნომერი? ნ? დიახ, იქ, იმ პირობით! ნათქვამია: იპოვე თანხა პირველი 10 წევრი.აბა, რა ნომრით იქნება? ბოლო,მეათე წევრი?) არ დაიჯერებთ, მისი ნომერი მეათეა!) ამიტომ, ნაცვლად a nჩავანაცვლებთ ფორმულაში a 10და სამაგიეროდ ნ-ათი. ვიმეორებ, ბოლო წევრის რაოდენობა ემთხვევა წევრების რაოდენობას.

რჩება განსაზღვრა a 1და a 10. ეს ადვილად გამოითვლება n-ე ტერმინის ფორმულის გამოყენებით, რომელიც მოცემულია პრობლემის განცხადებაში. არ იცით როგორ გააკეთოთ ეს? დაესწარით წინა გაკვეთილს, ამის გარეშე გზა არ არის.

a 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

a 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

ჩვენ გავარკვიეთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ფორმულის ყველა ელემენტის მნიშვნელობა. რჩება მხოლოდ მათი ჩანაცვლება და დათვლა:

ესე იგი. პასუხი: 75.

კიდევ ერთი დავალება, რომელიც ეფუძნება GIA-ს. ცოტა უფრო რთული:

2. მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია (a n), რომლის სხვაობა არის 3,7; a 1 = 2.3. იპოვეთ მისი პირველი 15 წევრის ჯამი.

ჩვენ დაუყოვნებლივ ვწერთ ჯამის ფორმულას:

ეს ფორმულა საშუალებას გვაძლევს ვიპოვოთ ნებისმიერი ტერმინის მნიშვნელობა მისი რიცხვით. ჩვენ ვეძებთ მარტივ ჩანაცვლებას:

a 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1

რჩება ყველა ელემენტის ჩანაცვლება არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ფორმულაში და პასუხის გამოთვლა:

პასუხი: 423.

სხვათა შორის, თუ ჯამის ფორმულაში ნაცვლად a nჩვენ უბრალოდ ვცვლით ფორმულას n-ე წევრისთვის და ვიღებთ:

მოდით წარმოვიდგინოთ მსგავსი და მივიღოთ ახალი ფორმულა არითმეტიკული პროგრესიის წევრთა ჯამისთვის:

როგორც ხედავთ, n-ე ტერმინი აქ არ არის საჭირო a n. ზოგიერთ პრობლემაში ეს ფორმულა ძალიან ეხმარება, დიახ... შეგიძლიათ დაიმახსოვროთ ეს ფორმულა. ან შეგიძლიათ უბრალოდ ამოიღოთ ის საჭირო დროს, როგორც აქ. ყოველივე ამის შემდეგ, თქვენ ყოველთვის უნდა გახსოვდეთ ჯამის ფორმულა და n-ე ტერმინის ფორმულა.)

ახლა დავალება მოკლე დაშიფვრის სახით):

3. იპოვნეთ ყველა დადებითი ორნიშნა რიცხვის ჯამი, რომლებიც სამის ჯერადია.

ვაა! არც პირველი წევრი, არც უკანასკნელი, არც პროგრესი... როგორ იცხოვრო!?

მოგიწევთ თავით იფიქროთ და მდგომარეობიდან ამოიღოთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ყველა ელემენტი. ჩვენ ვიცით რა არის ორნიშნა რიცხვები. ისინი შედგება ორი რიცხვისაგან.) რა ორნიშნა რიცხვი იქნება პირველი? 10, სავარაუდოდ.) ა ბოლოორნიშნა რიცხვი? 99, რა თქმა უნდა! სამნიშნაები მოჰყვებიან მას...

სამის ნამრავლები... ჰმ... ეს ის რიცხვებია, რომლებიც იყოფა სამზე, აი! ათი არ იყოფა სამზე, 11 არ იყოფა... 12... იყოფა! ასე რომ, რაღაც ჩნდება. თქვენ უკვე შეგიძლიათ დაწეროთ სერიები პრობლემის პირობების მიხედვით:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

იქნება ეს სერია არითმეტიკული პროგრესია? რა თქმა უნდა! თითოეული ტერმინი წინადან განსხვავდება მკაცრად სამით. თუ ტერმინს დაუმატებთ 2 ან 4-ს, ვთქვათ, შედეგი, ე.ი. ახალი რიცხვი აღარ იყოფა 3-ზე. თქვენ შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ განსაზღვროთ არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა: d = 3.ეს გამოდგება!)

ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია უსაფრთხოდ ჩავწეროთ პროგრესის რამდენიმე პარამეტრი:

რა რიცხვი იქნება? ნბოლო წევრი? ვინც ფიქრობს, რომ 99, სასიკვდილოდ ცდება... რიცხვები ყოველთვის ზედიზედ მიდის, მაგრამ ჩვენი წევრები სამზე ახტებიან. ისინი არ ემთხვევა.

აქ ორი გამოსავალია. ერთი გზა არის სუპერ შრომისმოყვარეებისთვის. შეგიძლიათ ჩაწეროთ პროგრესია, რიცხვების მთელი სერია და თითით დათვალოთ წევრების რაოდენობა.) მეორე გზა არის მოაზროვნეებისთვის. თქვენ უნდა გახსოვდეთ ფორმულა n-ე ტერმინისთვის. თუ გამოვიყენებთ ფორმულას ჩვენს პრობლემაზე, აღმოვაჩენთ, რომ 99 არის პროგრესიის ოცდამეათე წევრი. იმათ. n = 30.

მოდით შევხედოთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის ფორმულას:

ჩვენ ვუყურებთ და ვხარობთ.) პრობლემის განცხადებიდან ამოვიღეთ ყველაფერი, რაც იყო საჭირო თანხის გამოსათვლელად:

a 1= 12.

30= 99.

S n = S 30.

რჩება მხოლოდ ელემენტარული არითმეტიკა. ჩვენ ვცვლით რიცხვებს ფორმულაში და ვიანგარიშებთ:

პასუხი: 1665 წ

სხვა ტიპის პოპულარული თავსატეხი:

4. მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

იპოვეთ ტერმინების ჯამი მეოცედან ოცდათოთხმეტამდე.

თანხის ფორმულას ვუყურებთ და... ვწუწუნებთ.) ფორმულა, შეგახსენებთ, ითვლის თანხას. პირველიდანწევრი. და პრობლემაში თქვენ უნდა გამოთვალოთ ჯამი მეოცე წლიდან...ფორმულა არ იმუშავებს.

თქვენ, რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ დაწეროთ მთელი პროგრესი სერიებში და დაამატოთ ტერმინები 20-დან 34-მდე. მაგრამ... ეს რაღაცნაირად სულელურია და დიდ დროს მოითხოვს, არა?)

არსებობს უფრო ელეგანტური გადაწყვეტა. მოდით გავყოთ ჩვენი სერია ორ ნაწილად. პირველი ნაწილი იქნება პირველი ტერმინიდან მეცხრამეტემდე.მეორე ნაწილი - ოცდათოთხმეტიდან.გასაგებია, რომ თუ გამოვთვლით პირველი ნაწილის წევრთა ჯამს S 1-19, დავუმატოთ მეორე ნაწილის პირობების ჯამს S 20-34, ვიღებთ პროგრესირების ჯამს პირველი ტერმინიდან ოცდამეოთხემდე S 1-34. მოსწონს ეს:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

აქედან ჩვენ ვხედავთ, რომ იპოვნეთ თანხა S 20-34შეიძლება გაკეთდეს მარტივი გამოკლებით

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

განიხილება ორივე თანხა მარჯვენა მხარეს პირველიდანწევრი, ე.ი. სტანდარტული ჯამის ფორმულა საკმაოდ გამოიყენება მათთვის. დავიწყოთ?

ჩვენ გამოვყოფთ პროგრესირების პარამეტრებს პრობლემის განცხადებიდან:

d = 1.5.

a 1= -21,5.

პირველი 19 და პირველი 34 წევრის ჯამების გამოსათვლელად დაგვჭირდება მე-19 და 34-ე წევრი. ჩვენ ვიანგარიშებთ მათ n-ე წევრის ფორმულის გამოყენებით, როგორც ამოცანა 2-ში:

19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

a 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

აღარაფერი დარჩა. 34 წევრის ჯამს გამოაკელი 19 წევრის ჯამი:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

პასუხი: 262.5

ერთი მნიშვნელოვანი შენიშვნა! ამ პრობლემის გადასაჭრელად ძალიან სასარგებლო ხრიკი არსებობს. პირდაპირი გაანგარიშების ნაცვლად რაც გჭირდებათ (S 20-34),ჩვენ დავთვალეთ ის, რაც, როგორც ჩანს, არ არის საჭირო - S 1-19.და მერე გადაწყვიტეს S 20-34სრული შედეგიდან არასაჭიროს უგულებელყოფა. ასეთი სახის „ყურებით გამოცხადება“ ხშირად გიხსნის ბოროტ პრობლემებს.)

ამ გაკვეთილზე ჩვენ გადავხედეთ ამოცანებს, რომლებისთვისაც საკმარისია გავიგოთ არითმეტიკული პროგრესიის ჯამის მნიშვნელობა. კარგად, თქვენ უნდა იცოდეთ რამდენიმე ფორმულა.)

პრაქტიკული რჩევა:

ნებისმიერი პრობლემის გადაჭრისას, რომელიც მოიცავს არითმეტიკული პროგრესიის ჯამს, გირჩევთ დაუყოვნებლივ ჩამოწეროთ ორი ძირითადი ფორმულა ამ თემიდან.

ფორმულა n-ე ტერმინისთვის:

ეს ფორმულები დაუყოვნებლივ გეტყვით, რა უნდა მოძებნოთ და რა მიმართულებით იფიქროთ პრობლემის გადასაჭრელად. ეხმარება.

ახლა კი ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის.

5. იპოვეთ ყველა ორნიშნა რიცხვის ჯამი, რომელიც არ იყოფა სამზე.

მაგარია?) მინიშნება დამალულია 4-ე პრობლემის შენიშვნაში. კარგი, პრობლემა 3 დაგეხმარებათ.

6. არითმეტიკული პროგრესია მოცემულია პირობით: a 1 = -5.5; a n+1 = a n +0.5. იპოვეთ მისი პირველი 24 წევრის ჯამი.

არაჩვეულებრივი?) ეს განმეორებადი ფორმულაა. ამის შესახებ შეგიძლიათ წაიკითხოთ წინა გაკვეთილზე. ნუ უგულებელყოფთ ბმულს, ასეთი პრობლემები ხშირად გვხვდება მეცნიერებათა სახელმწიფო აკადემიაში.

7. ვასიამ დაზოგა ფული დღესასწაულისთვის. 4550 რუბლს შეადგენს! და გადავწყვიტე ჩემს საყვარელ ადამიანს (საკუთარ თავს) ბედნიერების რამდენიმე დღე მიმეცა). იცხოვრე ლამაზად, საკუთარი თავის არაფრის უარყოფის გარეშე. პირველ დღეს დახარჯეთ 500 მანეთი, ხოლო ყოველ მომდევნო დღეს 50 მანეთი მეტი წინაზე! სანამ ფული არ ამოიწურება. ბედნიერების რამდენი დღე ჰქონდა ვასიას?

რთულია?) მე-2 პრობლემის დამატებითი ფორმულა დაგეხმარებათ.

პასუხები (არეულად): 7, 3240, 6.

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. ვისწავლოთ - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

სანამ გადაწყვეტილების მიღებას დავიწყებთ არითმეტიკული პროგრესირების პრობლემები, განვიხილოთ რა არის რიცხვითი თანმიმდევრობა, რადგან არითმეტიკული პროგრესია არის რიცხვების მიმდევრობის განსაკუთრებული შემთხვევა.

რიცხვების თანმიმდევრობა არის რიცხვების ნაკრები, რომლის თითოეულ ელემენტს აქვს საკუთარი სერიული ნომერი. ამ ნაკრების ელემენტებს უწოდებენ მიმდევრობის წევრებს. მიმდევრობის ელემენტის სერიული ნომერი მითითებულია ინდექსით:

მიმდევრობის პირველი ელემენტი;

მიმდევრობის მეხუთე ელემენტი;

- თანმიმდევრობის "nth" ელემენტი, ე.ი. ელემენტი "იდგა რიგში" ნომერზე n.

არსებობს კავშირი მიმდევრობის ელემენტის მნიშვნელობასა და მის მიმდევრობის რიცხვს შორის. მაშასადამე, ჩვენ შეგვიძლია მივიჩნიოთ მიმდევრობა, როგორც ფუნქცია, რომლის არგუმენტი არის მიმდევრობის ელემენტის რიგითი რიცხვი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, შეგვიძლია ვთქვათ თანმიმდევრობა არის ბუნებრივი არგუმენტის ფუნქცია:

თანმიმდევრობა შეიძლება დაინიშნოს სამი გზით:

1 . თანმიმდევრობა შეიძლება განისაზღვროს ცხრილის გამოყენებით.ამ შემთხვევაში, ჩვენ უბრალოდ ვაყენებთ მიმდევრობის თითოეული წევრის მნიშვნელობას.

მაგალითად, ვიღაცამ გადაწყვიტა აეღო პირადი დროის მენეჯმენტი და დასაწყისისთვის დათვალა რამდენ დროს ატარებს VKontakte-ზე კვირის განმავლობაში. ცხრილში დროის ჩაწერით, ის მიიღებს თანმიმდევრობას, რომელიც შედგება შვიდი ელემენტისგან:

ცხრილის პირველი ხაზი მიუთითებს კვირის დღის რაოდენობაზე, მეორეში - დრო წუთებში. ჩვენ ვხედავთ, რომ, ანუ ორშაბათს ვიღაცამ დახარჯა 125 წუთი VKontakte-ზე, ანუ ხუთშაბათს - 248 წუთი და, ანუ პარასკევს მხოლოდ 15.

2 . თანმიმდევრობა შეიძლება განისაზღვროს n-ე ტერმინის ფორმულის გამოყენებით.

ამ შემთხვევაში, მიმდევრობის ელემენტის მნიშვნელობის დამოკიდებულება მის რიცხვზე გამოიხატება პირდაპირ ფორმულის სახით.

მაგალითად, თუ, მაშინ

მიმდევრობის ელემენტის მნიშვნელობის საპოვნელად მოცემული რიცხვით, ელემენტის რიცხვს ვცვლით n-ე წევრის ფორმულაში.

ჩვენ იგივეს ვაკეთებთ, თუ გვჭირდება ფუნქციის მნიშვნელობის პოვნა, თუ არგუმენტის მნიშვნელობა ცნობილია. ჩვენ ვცვლით არგუმენტის მნიშვნელობას ფუნქციის განტოლებაში:

თუ, მაგალითად, , ეს

კიდევ ერთხელ აღვნიშნავ, რომ თანმიმდევრობით, თვითნებური რიცხვითი ფუნქციისგან განსხვავებით, არგუმენტი შეიძლება იყოს მხოლოდ ნატურალური რიცხვი.

3 . თანმიმდევრობა შეიძლება განისაზღვროს ფორმულის გამოყენებით, რომელიც გამოხატავს მიმდევრობის წევრის ნომერი n მნიშვნელობის დამოკიდებულებას წინა წევრების მნიშვნელობებზე.

ამ შემთხვევაში ჩვენთვის საკმარისი არ არის მხოლოდ მიმდევრობის წევრის რიცხვის ცოდნა მისი მნიშვნელობის საპოვნელად. ჩვენ უნდა დავაკონკრეტოთ პირველი წევრი ან პირველი რამდენიმე წევრი მიმდევრობის. ,

ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ მიმდევრობის წევრების მნიშვნელობები სათითაოდმესამედან დაწყებული:

ანუ ყოველ ჯერზე, რომ ვიპოვოთ მიმდევრობის n-ე წევრის მნიშვნელობა, ვუბრუნდებით წინა ორს. მიმდევრობის დაზუსტების ამ მეთოდს ე.წ განმეორებადი, ლათინური სიტყვიდან განმეორებითი-დაბრუნდი.

ახლა ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ არითმეტიკული პროგრესია. არითმეტიკული პროგრესია არის რიცხვების მიმდევრობის მარტივი სპეციალური შემთხვევა.

არითმეტიკული პროგრესია არის რიცხვითი თანმიმდევრობა, რომლის თითოეული წევრი, მეორიდან დაწყებული, უდრის იმავე რიცხვს დამატებულ წინას.

ნომერზე იწოდება არითმეტიკული პროგრესიის განსხვავება. არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა შეიძლება იყოს დადებითი, უარყოფითი ან ნულის ტოლი.

If title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} იზრდება.

მაგალითად, 2; 5; 8; 11;...

თუ , მაშინ არითმეტიკული პროგრესიის ყოველი წევრი წინაზე ნაკლებია და პროგრესია არის მცირდება.

მაგალითად, 2; -1; -4; -7;...

თუ , მაშინ პროგრესიის ყველა პირობა ტოლია ერთი და იგივე რიცხვისა და პროგრესია არის სტაციონარული.

მაგალითად, 2;2;2;2;...

არითმეტიკული პროგრესიის ძირითადი თვისება:

მოდით შევხედოთ სურათს.

ჩვენ ამას ვხედავთ

, და ამავე დროს

ამ ორი ტოლობის დამატება მივიღებთ:

.

მოდით გავყოთ ტოლობის ორივე მხარე 2-ზე:

ასე რომ, არითმეტიკული პროგრესიის თითოეული წევრი, მეორედან დაწყებული, უდრის ორი მეზობელი არითმეტიკული საშუალოს:

უფრო მეტიც, მას შემდეგ

, და ამავე დროს

, ეს

და ამიტომ

არითმეტიკული პროგრესიის თითოეული წევრი, დაწყებული title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

ტერმინის ფორმულა.

ჩვენ ვხედავთ, რომ არითმეტიკული პროგრესიის პირობები აკმაყოფილებს შემდეგ ურთიერთობებს:

და ბოლოს

მივიღეთ n-ე ტერმინის ფორმულა.

მნიშვნელოვანია!არითმეტიკული პროგრესიის ნებისმიერი წევრი შეიძლება გამოისახოს და. პირველი წევრისა და არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობის გაცნობით, შეგიძლიათ იპოვოთ მისი რომელიმე ტერმინი.

არითმეტიკული პროგრესიის n წევრთა ჯამი.

თვითნებური არითმეტიკული პროგრესიის დროს, უკიდურესებისგან თანაბარი მანძილის მქონე ტერმინების ჯამები ერთმანეთის ტოლია:

განვიხილოთ არითმეტიკული პროგრესია n წევრით. მოდით ამ პროგრესიის n წევრთა ჯამი ტოლი იყოს.

მოდით მოვაწყოთ პროგრესიის ტერმინები ჯერ რიცხვების ზრდადი, შემდეგ კი კლების მიხედვით:

დავამატოთ წყვილებში:

თითოეულ ფრჩხილში ჯამი არის , წყვილების რაოდენობა არის n.

ჩვენ ვიღებთ:

ასე რომ, არითმეტიკული პროგრესიის n წევრთა ჯამი შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულების გამოყენებით:

განვიხილოთ არითმეტიკული პროგრესირების ამოცანების ამოხსნა.

1 . თანმიმდევრობა მოცემულია n-ე წევრის ფორმულით: . დაამტკიცეთ, რომ ეს თანმიმდევრობა არის არითმეტიკული პროგრესია.

დავამტკიცოთ, რომ სხვაობა მიმდევრობის ორ მომიჯნავე წევრს შორის ტოლია ერთი და იგივე რიცხვის.

ჩვენ აღმოვაჩინეთ, რომ სხვაობა მიმდევრობის ორ მეზობელ წევრს შორის არ არის დამოკიდებული მათ რიცხვზე და არის მუდმივი. ამიტომ, განსაზღვრებით, ეს თანმიმდევრობა არის არითმეტიკული პროგრესია.

2 . მოცემულია არითმეტიკული პროგრესია -31; -27;...

ა) იპოვეთ პროგრესიის 31 წევრი.

ბ) დაადგინეთ შედის თუ არა რიცხვი 41 ამ პროგრესიაში.

ა)ჩვენ ვხედავთ ამას;

მოდით ჩამოვწეროთ ჩვენი პროგრესირების n-ე წევრის ფორმულა.

ზოგადად

ჩვენს შემთხვევაში , სწორედ ამიტომ

უპასუხე: სერია განსხვავდება.

მაგალითი No3

იპოვეთ $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3)) სერიის ჯამი.

ვინაიდან შეჯამების ქვედა ზღვარი არის 1, სერიის საერთო ტერმინი იწერება ჯამის ნიშნის ქვეშ: $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$. შევადგინოთ n-ე ნაწილობრივისერიის ჯამი, ე.ი. მოდით შევაჯამოთ მოცემული რიცხვების სერიის პირველი $n$ პირობები:

$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9 )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3)). $$

რატომ ვწერ ზუსტად $\frac(2)(3\cdot 5)$ და არა $\frac(2)(15)$, შემდგომი თხრობიდან ირკვევა. თუმცა ნაწილობრივი თანხის ჩაწერამ მიზანთან ერთი იოტიც არ დაგვაახლოვა. ჩვენ უნდა ვიპოვოთ $\lim_(n\to\infty)S_n$, მაგრამ თუ უბრალოდ დავწერთ:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\მარჯვნივ), $$

მაშინ ეს ჩანაწერი, სრულიად სწორი ფორმით, არაფერს მოგვცემს არსებითად. ლიმიტის მოსაძებნად, ნაწილობრივი ჯამის გამოხატვა ჯერ უნდა გამარტივდეს.

ამისათვის არსებობს სტანდარტული ტრანსფორმაცია, რომელიც შედგება $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ წილადის დაშლაში, რომელიც წარმოადგენს სერიის ზოგად ტერმინს, ელემენტარულ წილადებად. ცალკე თემა ეთმობა რაციონალური წილადების ელემენტარულებად დაშლის საკითხს (იხილეთ, მაგალითად, ამ გვერდზე მაგალითი No3). $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ წილადის ელემენტარულ წილადებად გაფართოებით, გვექნება:

$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3)). $$

ჩვენ ვაიგივებთ წილადების მრიცხველებს მიღებული ტოლობის მარცხენა და მარჯვენა მხარეს:

$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$

არსებობს ორი გზა, რომ იპოვოთ $A$ და $B$ მნიშვნელობები. შეგიძლიათ გახსნათ ფრჩხილები და გადაანაწილოთ პირობები, ან შეგიძლიათ უბრალოდ შეცვალოთ რამდენიმე შესაფერისი მნიშვნელობა $n$-ის ნაცვლად. მხოლოდ მრავალფეროვნებისთვის, ამ მაგალითში ჩვენ მივდივართ პირველ გზაზე, ხოლო შემდეგში ჩვენ ჩავანაცვლებთ კერძო მნიშვნელობებს $n$. ფრჩხილების გახსნით და პირობების გადალაგებით, მივიღებთ:

$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$

ტოლობის მარცხენა მხარეს $n$-ს წინ უძღვის ნული. თუ გსურთ, სიცხადისთვის, ტოლობის მარცხენა მხარე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც $0\cdot n+ 2$. ვინაიდან ტოლობის მარცხენა მხარეს $n$ წინ უსწრებს ნულს, ხოლო $n$ ტოლობის მარჯვენა მხარეს $2A+2B$, გვაქვს პირველი განტოლება: $2A+2B=0$. მოდით დაუყოვნებლივ გავყოთ ამ განტოლების ორივე მხარე 2-ზე, რის შემდეგაც მივიღებთ $A+B=0$.

ვინაიდან ტოლობის მარცხენა მხარეს თავისუფალი წევრი უდრის 2-ს, ხოლო ტოლობის მარჯვენა მხარეს თავისუფალი წევრი უდრის $3A+B$, მაშინ $3A+B=2$. ასე რომ, ჩვენ გვაქვს სისტემა:

$$ \მარცხნივ\(\ დასაწყისი (გასწორებული) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end (გასწორებული)\მარჯვნივ. $$

ჩვენ განვახორციელებთ მტკიცებულებას მათემატიკური ინდუქციის მეთოდით. პირველ ეტაპზე, თქვენ უნდა შეამოწმოთ არის თუ არა დადასტურებული თანასწორობა $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ $n=1$-ისთვის. ჩვენ ვიცით, რომ $S_1=u_1=\frac(2)(15)$, მაგრამ გამონათქვამი $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ მისცემს მნიშვნელობას $\frac( 2 )(15)$, თუ ჩავანაცვლებთ მასში $n=1$? მოდით შევამოწმოთ:

$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15). $$

ასე რომ, $n=1$-ისთვის $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ თანასწორობა დაკმაყოფილებულია. ეს ასრულებს მათემატიკური ინდუქციის მეთოდის პირველ საფეხურს.

დავუშვათ, რომ $n=k$-ისთვის თანასწორობა დაკმაყოფილებულია, ე.ი. $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$. დავამტკიცოთ, რომ იგივე ტოლობა დაკმაყოფილდება $n=k+1$-ისთვის. ამისათვის განიხილეთ $S_(k+1)$:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1). $$

ვინაიდან $u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$, მაშინ $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1 )-\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$. ზემოთ გაკეთებული დაშვების მიხედვით $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$, შესაბამისად ფორმულა $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ მიიღებს ფორმას:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2(k+1)+3). $$

დასკვნა: ფორმულა $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ სწორია $n=k+1$-ისთვის. მაშასადამე, მათემატიკური ინდუქციის მეთოდის მიხედვით, ფორმულა $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ მართალია ნებისმიერი $n\N$-ისთვის. თანასწორობა დადასტურდა.

IN სტანდარტული კურსიუმაღლესი მათემატიკოსები, როგორც წესი, კმაყოფილნი არიან გაუქმების პირობების „გადაკვეთით“, ყოველგვარი მტკიცებულების საჭიროების გარეშე. ასე რომ, მივიღეთ გამოხატულება n-ე ნაწილობრივი ჯამისთვის: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. მოდით ვიპოვოთ $\lim_(n\to\infty)S_n$-ის მნიშვნელობა:

დასკვნა: მოცემული სერია იყრის თავს და მისი ჯამია $S=\frac(1)(3)$.

მეორე გზა ნაწილობრივი ჯამის ფორმულის გამარტივებისთვის.

მართალი გითხრათ, მე თვითონ მირჩევნია ეს მეთოდი :) მოდი, ნაწილობრივი თანხა ჩამოვწეროთ შემოკლებით:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)). $$

ადრე მივიღეთ, რომ $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$, შესაბამისად:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\sum\limits_(k=1)^(n)\მარცხნივ (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\მარჯვნივ). $$

$S_n$ ჯამი შეიცავს ტერმინების სასრულ რაოდენობას, ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია მათი გადალაგება, როგორც გვსურს. მსურს ჯერ დავამატო $\frac(1)(2k+1)$ ფორმის ყველა პირობა და მხოლოდ ამის შემდეგ გადავიდეთ $\frac(1)(2k+3)$ ფორმის პირობებზე. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ წარმოგიდგენთ ნაწილობრივ თანხას შემდეგნაირად:

$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ldots+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1 )-\left(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\right). $$

რა თქმა უნდა, გაფართოებული აღნიშვნა უკიდურესად მოუხერხებელია, ამიტომ ზემოთ წარმოდგენილი თანასწორობა შეიძლება უფრო კომპაქტურად დაიწეროს:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\sum\limits_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3). $$

ახლა მოდით გადავაქციოთ გამონათქვამები $\frac(1)(2k+1)$ და $\frac(1)(2k+3)$ ერთ ფორმად. უფრო დიდი წილადის სახით დაყვანა უფრო მოსახერხებელია მგონი (თუმცა შესაძლებელია უფრო მცირეც, ეს გემოვნების საკითხია). ვინაიდან $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (რაც უფრო დიდია მნიშვნელი, მით უფრო მცირეა წილადი), მივცემთ წილადს $\frac(1)(2k+ 3) $ ფორმაში $\frac(1)(2k+1)$.

გამონათქვამს $\frac(1)(2k+3)$ წილადის მნიშვნელში წარმოვადგენ შემდეგნაირად:

$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1). $$

და ჯამი $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ ახლა შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1) ) )+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1). $$

თუ ტოლობა $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+ 1) $ არ ბადებს კითხვებს, მაშინ მოდით გადავიდეთ. თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები, გთხოვთ გააფართოვოთ შენიშვნა.

როგორ მივიღეთ კონვერტაციული თანხა? ჩვენება/დამალვა

ჩვენ გვქონდა სერია $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2( კ+1)+1)$. მოდით შემოვიტანოთ ახალი ცვლადი $k+1$-ის ნაცვლად, მაგალითად, $t$. ასე რომ, $t=k+1$.

როგორ შეიცვალა ძველი ცვლადი $k$? და ის შეიცვალა 1-დან $n$-მდე. მოდით გავარკვიოთ, როგორ შეიცვლება ახალი ცვლადი $t$. თუ $k=1$, მაშინ $t=1+1=2$. თუ $k=n$, მაშინ $t=n+1$. ასე რომ, გამოთქმა $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ ახლა ხდება: $\sum\limits_(t=2)^(n +1)\frac(1)(2t+1)$.

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1 )(2ტ+1). $$

გვაქვს ჯამი $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$. კითხვა: აქვს მნიშვნელობა რა ასო იქნება გამოყენებული ამ თანხაში? :) უბრალოდ $t$-ის ნაცვლად ასო $k$-ის დაწერით, მივიღებთ შემდეგს:

$$ \sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1). $$

ასე მივიღებთ $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+) ტოლობას 1) \frac(1)(2k+1)$.

ამრიგად, ნაწილობრივი ჯამი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1) ). $$

გაითვალისწინეთ, რომ ჯამები $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ და $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1 )(2k+1)$ განსხვავდება მხოლოდ შეჯამების ლიმიტებში. მოდით, ეს საზღვრები იგივე გავხადოთ. $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ ჯამიდან პირველი ელემენტის „ამოღება“ გვექნება:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1). $$

$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$ ჯამიდან ბოლო ელემენტის „ამოღებით“ მივიღებთ:

$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+ 3 ).$$

შემდეგ გამოხატულება ნაწილობრივი ჯამისთვის მიიღებს ფორმას:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\right)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

თუ გამოტოვებთ ყველა ახსნას, მაშინ n-ე ნაწილობრივი ჯამისთვის შემოკლებული ფორმულის პოვნის პროცესი მიიღებს შემდეგ ფორმას:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\\ =\sum\limits_(k =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2n+3)\right)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

შეგახსენებთ, რომ $\frac(1)(2k+3)$ წილადი შევამცირეთ $\frac(1)(2k+1)$ სახით. რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ პირიქით გააკეთოთ, ე.ი. წარმოადგინეთ წილადი $\frac(1)(2k+1)$ როგორც $\frac(1)(2k+3)$. ნაწილობრივი ჯამის საბოლოო გამოხატულება არ შეიცვლება. ამ შემთხვევაში ნაწილობრივი თანხის პოვნის პროცესს შენიშვნის ქვეშ დავმალავ.

როგორ მოვძებნოთ $S_n$, თუ გადაკეთებულია სხვა წილადზე? ჩვენება/დამალვა

$$ S_n =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 ) =\sum\limits_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\left(\sum\limits_(k= 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\right) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3 ). $$

ასე რომ, $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. იპოვეთ ლიმიტი $\lim_(n\to\infty)S_n$:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3). $$

მოცემული რიგი იყრის თავს და მისი ჯამი $S=\frac(1)(3)$.

უპასუხე: $S=\frac(1)(3)$.

სერიის ჯამის პოვნის თემის გაგრძელება მეორე და მესამე ნაწილებში იქნება განხილული.