წრედის გარდამავალი და იმპულსური მახასიათებლების გამოთვლა. ნაბიჯი და იმპულსური პასუხი წრიული პასუხი დელტა ფუნქციაზე

დუჰამელის ინტეგრალი.

მიკროსქემის პასუხის ცოდნა ერთ შემაშფოთებელ ზემოქმედებაზე, ე.ი. გარდამავალი გამტარობის ფუნქცია და/ან გარდამავალი ძაბვის ფუნქცია, შეგიძლიათ იპოვოთ მიკროსქემის რეაქცია თვითნებური ფორმის ზემოქმედებაზე. მეთოდი, გაანგარიშების მეთოდი დუჰამელის ინტეგრალის გამოყენებით, ეფუძნება სუპერპოზიციის პრინციპს.

დუჰამელის ინტეგრალის გამოყენებისას ცვლადის გამოყოფა, რომელზედაც შესრულებულია ინტეგრაცია და ცვლადი, რომელიც განსაზღვრავს დროის მომენტს, რომლის დროსაც დენი განისაზღვრება წრედში, პირველი ჩვეულებრივ აღინიშნება როგორც , ხოლო მეორე როგორც t.

დროის მომენტში ჩართეთ ნულოვანი საწყისი პირობებით (პასიური ორტერმინალური ქსელი PDნახ. 1) მიერთებულია წყარო თვითნებური ფორმის ძაბვით. წრეში დენის საპოვნელად, ჩვენ ვცვლით თავდაპირველ მრუდს პირველი ნაბიჯით (იხ. ნახ. 2), რის შემდეგაც, იმის გათვალისწინებით, რომ წრე წრფივია, ვაჯამებთ დენებს საწყისი ძაბვის ნახტომიდან და ძაბვის ყველა საფეხურზე. t მომენტამდე, რომლებიც ძალაში შედის დროის დაგვიანებით.

t დროს, საწყისი ძაბვის ტალღით განსაზღვრული მთლიანი დენის კომპონენტი უდრის .

დროის მომენტში ხდება ძაბვის მატება , რომელიც დროის ინტერვალის გათვალისწინებით ნახტომის დაწყებიდან t დროის საინტერესო წერტილამდე განსაზღვრავს მიმდინარე კომპონენტს.

მთლიანი დენი t დროს აშკარად უდრის ყველა დენის კომპონენტის ჯამს ინდივიდუალური ძაბვის ტალღებიდან, იმის გათვალისწინებით, რომ ე.ი.

სასრული დროის ნამატის ინტერვალის ჩანაცვლება უსასრულო მცირეთი, ე.ი. ჯამიდან ინტეგრალზე გადასვლისას ვწერთ

(1)

ურთიერთობა (1) ე.წ დუჰამელის ინტეგრალი.

უნდა აღინიშნოს, რომ ძაბვის დადგენა შესაძლებელია დუჰამელის ინტეგრალის გამოყენებითაც. ამ შემთხვევაში, გარდამავალი გამტარობის ნაცვლად, (1) მოიცავს გარდამავალი ძაბვის ფუნქციას.

გაანგარიშების თანმიმდევრობა გამოყენებით
დუჰამელის ინტეგრალი

როგორც დუჰამელის ინტეგრალის გამოყენების მაგალითი, ჩვენ ვადგენთ დენს წრეში ნახ. 3, გამოითვლება წინა ლექციაზე ჩართვის ფორმულით.

საწყისი მონაცემები გაანგარიშებისთვის: , , .

გარდამავალი გამტარობა

18. გადაცემის ფუნქცია.

გავლენის ოპერატორის მიმართებას საკუთარ ოპერატორთან ეწოდება გადაცემის ფუნქცია ან გადაცემის ფუნქცია ოპერატორის სახით.

სიმბოლური ან ოპერატორის სახით განტოლებით ან განტოლებებით აღწერილი ბმული შეიძლება ხასიათდებოდეს ორი გადაცემის ფუნქციით: გადაცემის ფუნქცია შეყვანის u მნიშვნელობისთვის; და გადაცემის ფუნქცია შემავალი რაოდენობის f.

და

გადაცემის ფუნქციების გამოყენებით განტოლება იწერება როგორც . ეს განტოლება ორიგინალური განტოლების ჩაწერის პირობითი, უფრო კომპაქტური ფორმაა.

ოპერატორის სახით გადაცემის ფუნქციასთან ერთად ფართოდ გამოიყენება გადაცემის ფუნქცია ლაპლასის გამოსახულების სახით.

გადაცემის ფუნქციები ლაპლასის გამოსახულების და ოპერატორის ფორმის სახით ემთხვევა ნოტაციას. გადაცემის ფუნქცია ლაპლასის გამოსახულების სახით შეიძლება მივიღოთ გადაცემის ფუნქციიდან ოპერატორის სახით, თუ ამ უკანასკნელში ჩანაცვლება ხდება p=s. ზოგადად, ეს გამომდინარეობს იქიდან, რომ ორიგინალის დიფერენციაცია - ორიგინალის სიმბოლური გამრავლება p-ზე - ნულოვან საწყის პირობებში, შეესაბამება გამოსახულების გამრავლებას რთული რიცხვით s.

გადაცემის ფუნქციებს შორის მსგავსება ლაპლასის გამოსახულების სახით და ოპერატორის სახით არის წმინდად გარეგანი და ეს ხდება მხოლოდ სტაციონარული ბმულების (სისტემების) შემთხვევაში, ე.ი. მხოლოდ ნულოვანი საწყისი პირობებით.

განვიხილოთ მარტივი RLC (სერიის) წრე, მისი გადაცემის ფუნქცია W(p)=U OUT /U IN

ფურიეს ინტეგრალი.

ფუნქცია ვ(x), მთელ რიცხვით წრფეზე განსაზღვრული ეწოდება პერიოდული, თუ არის ისეთი რიცხვი, რომელიც ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის Xთანასწორობა მოქმედებს . ნომერი თდაურეკა ფუნქციის პერიოდი.

მოდით აღვნიშნოთ ამ ფუნქციის რამდენიმე თვისება:

1) პერიოდის პერიოდული ფუნქციების ჯამი, სხვაობა, ნამრავლი და კოეფიციენტი თპერიოდის პერიოდული ფუნქციაა თ.

2) თუ ფუნქცია ვ(x) პერიოდი თ, შემდეგ ფუნქცია ვ(ცული) აქვს პერიოდი.

3) თუ ვ(x) - პერიოდის პერიოდული ფუნქცია თ, მაშინ ამ ფუნქციის ნებისმიერი ორი ინტეგრალი, აღებული სიგრძის ინტერვალებზე თ(ამ შემთხვევაში ინტეგრალი არსებობს), ანუ ნებისმიერისთვის ადა ბთანასწორობა მართალია .

ტრიგონომეტრიული სერია. ფურიეს სერია

თუ ვ(x) გაფართოებულია სეგმენტზე ერთნაირად კონვერგენციულ ტრიგონომეტრიულ სერიაში: (1)

მაშინ ეს გაფართოება უნიკალურია და კოეფიციენტები განისაზღვრება ფორმულებით:

სად ნ=1,2, . . .

კოეფიციენტებით განხილული ტიპის ტრიგონომეტრიული სერია (1) ეწოდება ტრიგონომეტრიული ფურიეს სერია.

ფურიეს სერიის რთული ფორმა

გამონათქვამს ეწოდება ფუნქციის ფურიეს სერიის რთული ფორმა ვ(x), თუ განისაზღვრება თანასწორობით

, სად

ფურიეს სერიიდან კომპლექსური ფორმით გადასვლა სერიებზე რეალურ ფორმაში და უკან ხდება ფორმულების გამოყენებით:

(ნ=1,2, . . .)

f(x) ფუნქციის ფურიეს ინტეგრალი არის ფორმის ინტეგრალი:

, სად .

სიხშირის ფუნქციები.

თუ თქვენ მიმართავთ სისტემის შეყვანას გადაცემის ფუნქციით W(p)ჰარმონიული სიგნალი

შემდეგ გარდამავალი პროცესის დასრულების შემდეგ გამოსავალზე დამყარდება ჰარმონიული რხევები

იგივე სიხშირით, მაგრამ განსხვავებული ამპლიტუდა და ფაზა, რაც დამოკიდებულია შემაშფოთებელი გავლენის სიხშირეზე. მათგან შეიძლება ვიმსჯელოთ სისტემის დინამიურ თვისებებზე. ურთიერთობები, რომლებიც აკავშირებს გამომავალი სიგნალის ამპლიტუდასა და ფაზას შემავალი სიგნალის სიხშირესთან, ე.წ. სიხშირის მახასიათებლები(CH). სისტემის სიხშირეზე პასუხის ანალიზი მისი დინამიური თვისებების შესასწავლად ე.წ სიხშირის ანალიზი.

ჩავანაცვლოთ გამონათქვამები u(t)და y(t)დინამიკის განტოლებაში

(aоp n + a 1 pn - 1 + a 2 p n - 2 + ... + a n)y = (bоp m + b 1 p m-1 + ... + b m)u.

გავითვალისწინოთ რომ

pnu = pnU m ejwt = U m (jw)nejwt = (jw)nu.

მსგავსი ურთიერთობები შეიძლება დაიწეროს განტოლების მარცხენა მხარეს. ჩვენ ვიღებთ:

გადაცემის ფუნქციის ანალოგიით შეგვიძლია დავწეროთ:

W(j), რომელიც უდრის გამომავალი სიგნალის შეფარდებას შემავალ სიგნალთან, როდესაც შემავალი სიგნალი იცვლება ჰარმონიული კანონის მიხედვით, ე.წ. სიხშირის გადაცემის ფუნქცია. ადვილი მისახვედრია, რომ მისი მიღება შესაძლებელია მხოლოდ p-ით j-ით ჩანაცვლებით გამოსახულებაში W(p).

W(j) რთული ფუნქციაა, ამიტომ:

სადაც P() - რეალური სიხშირის პასუხი (RFC); Q() - წარმოსახვითი სიხშირის პასუხი (ICH); A() - ამპლიტუდის სიხშირის პასუხი (AFC): () - ფაზის სიხშირის პასუხი (PFC). სიხშირის პასუხი იძლევა გამომავალი და შემავალი სიგნალების ამპლიტუდების თანაფარდობას, ფაზის პასუხი იძლევა გამომავალი რაოდენობის ფაზურ ცვლას შეყვანის მიმართ:

;

თუ W(j) წარმოდგენილია როგორც ვექტორი კომპლექსურ სიბრტყეზე, მაშინ 0-დან +-ზე გადასვლისას მისი ბოლო დახატავს მრუდს ე.წ. ვექტორული ჰოდოგრაფი W(j), ან ამპლიტუდა-ფაზის სიხშირის პასუხი (APFC)(სურ. 48).

AFC განშტოება --დან 0-მდე გადასვლისას შეიძლება მიღებულ იქნეს ამ მრუდის რეალური ღერძის არეკვით.

TAU ფართოდ გამოიყენება ლოგარითმული სიხშირის მახასიათებლები (LFC)(სურ.49): ლოგარითმული ამპლიტუდის სიხშირის პასუხი (LAFC) L() და ლოგარითმული ფაზის სიხშირის პასუხი (LPFC) ().

ისინი მიიღება გადაცემის ფუნქციის ლოგარითმის აღებით:

LFC მიიღება პირველი წევრიდან, რომელიც მრავლდება 20-ზე სკალირების მიზეზების გამო და გამოიყენება არა ბუნებრივი ლოგარითმი, არამედ ათობითი, ანუ L() = 20lgA(). L()-ის მნიშვნელობა გამოსახულია ორდინატთა ღერძის გასწვრივ დეციბელი.

სიგნალის დონის ცვლილება 10 დბ-ით შეესაბამება მისი სიმძლავრის ცვლილებას 10-ჯერ. ვინაიდან ჰარმონიული სიგნალის სიმძლავრე P არის მისი A ამპლიტუდის კვადრატის პროპორციული, სიგნალის ცვლილება 10-ჯერ შეესაბამება მისი დონის ცვლილებას 20 დბ-ით, ვინაიდან

log(P 2 /P 1) = log(A 2 2 /A 1 2) = 20log (A 2 /A 1).

აბსცისის ღერძი აჩვენებს w სიხშირეს ლოგარითმული მასშტაბით. ანუ, აბსცისის ღერძის გასწვრივ ერთეული ინტერვალები შეესაბამება w-ის ცვლილებას 10-ჯერ. ამ ინტერვალს ე.წ ათწლეული. ვინაიდან log(0) = -, ორდინატთა ღერძი შედგენილია თვითნებურად.

მეორე ტერმინიდან მიღებული LPFC განსხვავდება ფაზის პასუხისგან მხოლოდ ღერძის გასწვრივ მასშტაბით. მნიშვნელობა () გამოსახულია ორდინატთა ღერძის გასწვრივ გრადუსებში ან რადიანებში. ელემენტარული ბმულებისთვის ის არ სცილდება: - +.

სიხშირის მახასიათებლები სისტემის ყოვლისმომცველი მახასიათებლებია. სისტემის სიხშირის პასუხის გაცნობით, შეგიძლიათ აღადგინოთ მისი გადაცემის ფუნქცია და განსაზღვროთ მისი პარამეტრები.

კავშირი.

ზოგადად მიღებულია, რომ ბმული დაფარულია უკუკავშირით, თუ მისი გამომავალი სიგნალი მიეწოდება შესასვლელს სხვა ბმულის საშუალებით. უფრო მეტიც, თუ უკუკავშირის სიგნალი გამოკლებულია შეყვანის მოქმედებას (), მაშინ უკუკავშირს ეწოდება უარყოფითი. თუ უკუკავშირის სიგნალი დაემატება შეყვანის მოქმედებას (), მაშინ გამოხმაურებას პოზიტიური ეწოდება.

დახურული მარყუჟის გადაცემის ფუნქცია უარყოფითი გამოხმაურებით - ბმული დაფარულია უარყოფითი გამოხმაურებით - უდრის წინა მარყუჟის გადაცემის ფუნქციას გაყოფილი ერთზე პლუს ღია მარყუჟის გადაცემის ფუნქციაზე.

დახურული მარყუჟის გადაცემის ფუნქცია დადებითი გამოხმაურებით უდრის წინდაწინ გადაცემის ფუნქციას გაყოფილი ერთზე გამოკლებული ღია მარყუჟის გადაცემის ფუნქცია.

22. 23. ოთხპოლუსები.

გაანალიზებისას ელექტრული სქემებიწრედის ორი განშტოების ცვლადებს (დენები, ძაბვები, სიმძლავრეები და ა.შ.) ურთიერთკავშირის შესწავლის პრობლემებში ფართოდ გამოიყენება ოთხტერმინალური ქსელების თეორია.

ოთხპოლუსი- ეს არის ნებისმიერი კონფიგურაციის მიკროსქემის ნაწილი, რომელსაც აქვს ორი წყვილი ტერმინალი (აქედან გამომდინარე, მისი სახელი), რომელსაც ჩვეულებრივ უწოდებენ შეყვანას და გამომავალს.

ოთხი ტერმინალური ქსელის მაგალითებია ტრანსფორმატორი, გამაძლიერებელი, პოტენციომეტრი, ელექტროგადამცემი ხაზი და სხვა ელექტრული მოწყობილობები, რომლებშიც შეიძლება გამოირჩეოდეს ორი წყვილი ბოძი.

ზოგადად, ოთხპოლუსები შეიძლება დაიყოს აქტიური,რომლის სტრუქტურა მოიცავს ენერგიის წყაროებს და პასიური,რომლის ტოტები არ შეიცავს ენერგიის წყაროებს.

ოთხპორტიანი ქსელის განტოლებების ჩასაწერად, თვითნებურ წრეში ვირჩევთ განშტოებას ერთადერთი წყაროენერგია და ნებისმიერი სხვა განშტოება გარკვეული წინააღმდეგობის მქონე (იხ. სურ. 1, ა).

კომპენსაციის პრინციპის შესაბამისად, ჩვენ ვცვლით თავდაპირველ წინაღობას ძაბვის მქონე წყაროთი (იხ. სურ. 1,ბ). შემდეგ, ნახ. 1b შეიძლება დაიწეროს

განტოლებები (3) და (4) არის კვადრიპოლუსის ძირითადი განტოლებები; მათ ასევე უწოდებენ ოთხპოლუსურ განტოლებებს A-ფორმაში (იხ. ცხრილი 1). ზოგადად რომ ვთქვათ, არსებობს პასიური ოთხკუთხედის განტოლებების ჩაწერის ექვსი ფორმა. მართლაც, ოთხი ტერმინალის ქსელი ხასიათდება ორი ძაბვით და ორი დენით და. ნებისმიერი ორი სიდიდე შეიძლება გამოისახოს დანარჩენების მიხედვით. ვინაიდან ოთხის ორზე კომბინაციების რიცხვი არის ექვსი, მაშინ შესაძლებელია პასიური ოთხკუთხედის განტოლებების ჩაწერის ექვსი ფორმა, რომლებიც მოცემულია ცხრილში. 1. დენების დადებითი მიმართულებები ჩაწერის განტოლებების სხვადასხვა ფორმისთვის ნაჩვენებია ნახ. 2. გაითვალისწინეთ, რომ განტოლებების ამა თუ იმ ფორმის არჩევანი განისაზღვრება ამოხსნილი ამოცანის ფართობითა და ტიპებით.

ცხრილი 1. პასიური ოთხკუთხედის განტოლებების ჩაწერის ფორმები

ფორმა	განტოლებები	კავშირი ძირითადი განტოლებების კოეფიციენტებთან
A- ფორმის	; ;
Y- ფორმის	; ;	; ; ; ;
Z- ფორმის	; ;	; ; ; ;
H- ფორმის	; ;	; ; ; ;
G- ფორმის	; ;	; ; ; ;
B- ფორმის	; .	; ; ; .

დამახასიათებელი წინაღობა და კოეფიციენტი
სიმეტრიული კვადრიპოლუსის გავრცელება

ტელეკომუნიკაციაში ფართოდ გამოიყენება სიმეტრიული ოთხტერმინალური ქსელის მუშაობის რეჟიმი, რომელშიც მისი შეყვანის წინააღმდეგობა უდრის დატვირთვის წინააღმდეგობას, ე.ი.

ეს წინააღმდეგობა არის დანიშნული და ე.წ დამახასიათებელი წინააღმდეგობასიმეტრიული ოთხპორტიანი ქსელი და ოთხპორტიანი ქსელის მუშაობის რეჟიმი, რისთვისაც ეს მართალია

ელექტრული მოწყობილობების შესაძლებლობების შესაფასებლად, რომლებიც იღებენ და გადასცემენ შეყვანის გავლენებს, ისინი მიმართავენ მათი გარდამავალი და იმპულსური მახასიათებლების შესწავლას.

ნაბიჯი პასუხი თ(ტ) ხაზოვანი წრე, რომელიც არ შეიცავს დამოუკიდებელ წყაროებს, რიცხობრივად უდრის წრედის რეაქციას ერთი დენის ან ძაბვის ნახტომის ზემოქმედებაზე ერთი ნაბიჯის ფუნქციის სახით 1( ტ) ან 1( ტ – ტ 0) ნულოვანი საწყის პირობებში (ნახ. 14). გარდამავალი მახასიათებლის განზომილება უდრის რეაქციის განზომილების თანაფარდობას დარტყმის განზომილებას. ის შეიძლება იყოს უგანზომილებიანი, ჰქონდეს Ohm, Siemens (სმ) განზომილება.

ბრინჯი. 14

იმპულსური პასუხი კ(ტ) წრფივი წრედის, რომელიც არ შეიცავს დამოუკიდებელ წყაროებს, რიცხობრივად უდრის წრედის პასუხს ერთი იმპულსის მოქმედებაზე d( ტ) ან დ( ტ – ტ 0) ფუნქციები ნულოვანი საწყისი პირობებით. მისი განზომილება უდრის რეაქციის განზომილების თანაფარდობას ზემოქმედების განზომილების და დროის ნამრავლთან, ამიტომ მას შეიძლება ჰქონდეს ზომები c –1, Ohms –1, Sms –1.

იმპულსური ფუნქცია d( ტ) შეიძლება ჩაითვალოს ერთეული საფეხურის ფუნქციის წარმოებულად d( ტ) = დ 1(ტ)/dt. შესაბამისად, იმპულსური პასუხი ყოველთვის არის ნაბიჯის პასუხის დროის წარმოებული: კ(ტ) = თ(0 +)d( ტ) + დჰ(ტ)/dt. ეს ურთიერთობა გამოიყენება იმპულსური პასუხის დასადგენად. მაგალითად, თუ რაიმე ჯაჭვისთვის თ(ტ) = 0,7ე –100ტ, ეს კ(ტ) = 0.7d( ტ) – 70ე –100 ტ. გარდამავალი პასუხის დადგენა შესაძლებელია გარდამავალი პროცესების გამოთვლის კლასიკური ან ოპერატორის მეთოდით.

არსებობს კავშირი წრედის დროისა და სიხშირის მახასიათებლებს შორის. ოპერატორის გადაცემის ფუნქციის ცოდნა, შეგიძლიათ იპოვოთ მიკროსქემის რეაქციის სურათი: ი(ს) = ვ(ს)X(ს), ე.ი. გადაცემის ფუნქცია შეიცავს სრული ინფორმაციამიკროსქემის, როგორც სისტემის თვისებების შესახებ, რომელიც გადასცემს სიგნალებს მისი შეყვანიდან გამომავალზე ნულოვან საწყის პირობებში. ამ შემთხვევაში, ზემოქმედებისა და რეაქციის ბუნება შეესაბამება მათ, რისთვისაც განისაზღვრება გადაცემის ფუნქცია.

ხაზოვანი სქემების გადაცემის ფუნქცია არ არის დამოკიდებული შეყვანის მოქმედების ტიპზე, ამიტომ მისი მიღება შესაძლებელია გარდამავალი პასუხიდან. ამრიგად, როდესაც ერთეული ნაბიჯის ფუნქცია 1( ტ) გადაცემის ფუნქცია იმის გათვალისწინებით, რომ 1( ტ) = 1/ს, ტოლია

ვ(ს) = ლ [თ(ტ)] / ლ = ლ [თ(ტ)] / (1/ს), სად ლ [ვ(ტ)] - პირდაპირი ლაპლასის გარდაქმნის აღნიშვნა ფუნქციაზე ვ(ტ). ნაბიჯის პასუხის დადგენა შესაძლებელია გადაცემის ფუნქციის მეშვეობით ლაპლასის შებრუნებული ტრანსფორმაციის გამოყენებით, ე.ი. თ(ტ) = ლ –1 [ვ(ს)(1/ს)], სად ლ –1 [ფ(ს)] - შებრუნებული ლაპლასის გარდაქმნის აღნიშვნა ფუნქციაზე ფ(ს). ამრიგად, გარდამავალი პასუხი თ(ტ) არის ფუნქცია, რომლის გამოსახულება უდრის ვ(ს) /ს.

როდესაც ერთი პულსის ფუნქცია d( ტ) გადაცემის ფუნქცია ვ(ს) = ლ [კ(ტ)] / ლ = ლ [კ(ტ)] / 1 = ლ [კ(ტ)]. ამრიგად, წრედის იმპულსური პასუხი კ(ტ) არის გადაცემის ფუნქციის ორიგინალი. მიკროსქემის ცნობილი ოპერატორის ფუნქციიდან, ლაპლასის შებრუნებული ტრანსფორმაციის გამოყენებით, შეიძლება განვსაზღვროთ იმპულსური პასუხი: კ(ტ) ვ(ს). ეს ნიშნავს, რომ მიკროსქემის იმპულსური პასუხი ცალსახად განსაზღვრავს მიკროსქემის სიხშირის მახასიათებლებს და პირიქით, ვინაიდან

ვ(ჯვ) = ვ(ს)ს = ჯვ. ვინაიდან მიკროსქემის გარდამავალი პასუხი შეიძლება მოიძებნოს ცნობილი იმპულსური პასუხიდან (და პირიქით), ეს უკანასკნელი ასევე ცალსახად განისაზღვრება მიკროსქემის სიხშირის მახასიათებლებით.

მაგალითი 8.გამოთვალეთ მიკროსქემის გარდამავალი და იმპულსური მახასიათებლები (ნახ. 15) შეყვანის დენის და გამომავალი ძაბვისთვის მოცემული პარამეტრებიელემენტები: რ= 50 Ohm, ლ 1 = ლ 2 = ლ= 125 mH,
თან= 80 μF.

ბრინჯი. 15

გამოსავალი.გამოვიყენოთ გაანგარიშების კლასიკური მეთოდი. დამახასიათებელი განტოლება Zin = რ + pL +
+ 1 / (pC) = 0 ელემენტების მოცემულ პარამეტრებს აქვს რთული კონიუგირებული ფესვები: გვ 1,2 =
= – დ ჯ w A 2 = – 100 ჯ 200, რომელიც განსაზღვრავს გარდამავალი პროცესის რხევად ხასიათს. ამ შემთხვევაში, დენებისა და ძაბვების ცვლილებების კანონები და მათი წარმოებულები ჩვეულებრივ იწერება შემდეგნაირად:

წ(ტ) = (მ ssw A 2 ტ+ ნსინო A 2 ტ)ე-დ ტ + წგარეთ; დი(ტ) / dt =

=[(–მ d+ ნ w A 2) cos w A 2 ტ – (მ w A 2 + ნდ) ცოდვა A 2 ტ]ე-დ ტ + დიგარეთ / dt, სადაც w A 2 არის თავისუფალი რხევების სიხშირე; წგარდამავალი პროცესის იძულებითი კომპონენტი.

პირველ რიგში, მოდი ვიპოვოთ გამოსავალი u C(ტ) და iC(ტ) = C du C(ტ) / dtზემოაღნიშნული განტოლებების გამოყენებით, შემდეგ კი კირჩჰოფის განტოლებების გამოყენებით განვსაზღვრავთ საჭირო ძაბვებს, დენებს და, შესაბამისად, გარდამავალ და იმპულსურ მახასიათებლებს.

ინტეგრაციის მუდმივების დასადგენად აუცილებელია მითითებული ფუნქციების საწყისი და იძულებითი მნიშვნელობები. მათი საწყისი მნიშვნელობები ცნობილია: u C(0 +) = 0 (განმარტებიდან თ(ტ) და კ(ტ)), რადგან iC(ტ) = მე ლ(ტ) = მე(ტ), ეს iC(0 +) = მე ლ(0 +) = 0. ჩვენ განვსაზღვრავთ იძულებით მნიშვნელობებს კირჩჰოფის მეორე კანონის მიხედვით შედგენილი განტოლებიდან. ტ 0 + : u 1 = რ ი(ტ) + (ლ 1 + ლ 2) მე(ტ) / dt + u C(ტ), u 1 = 1(ტ) = 1 = კონსტი,

აქედან u C() = u Cგარეთ = 1, iC() = iCგარეთ = მე() = 0.

შევქმნათ განტოლებები ინტეგრაციის მუდმივების დასადგენად მ, ნ:

u C(0 +) = მ + u Cგარეთ (0 +), iC(0 +) = თან(–მ d+ ნ w A 2) + iCგარეთ (0+); ან: 0 = მ + 1; 0 = –მ 100 + ნ 200; აქედან: მ = –1, ნ= –0,5. მიღებული მნიშვნელობები საშუალებას გვაძლევს დავწეროთ ამონახსნები u C(ტ) და iC(ტ) = მე(ტ): u C(ტ) = [–cos200 ტ– -0,5ს200 ტ)ე –100ტ+ 1] B, iC(ტ) = მე(ტ) = ე –100 ტ] = 0,02
sin200 ტ)ე –100 ტა. კირჩჰოფის მეორე კანონის მიხედვით,

u 2 (ტ) = u C(ტ) + u ლ 2 (ტ), u ლ 2 (ტ) = u ლ(ტ) = Ldi(ტ) / dt= (0.5cos200 ტ– 0.25 200-ში ტ) ე –100ტ B. მაშინ u 2 (ტ) =

=(–0.5сos200 ტ– 0,75 200 ცინ ტ) ე –100ტ+ 1 = [–0,901 ცოდვა(200 ტ + 33,69) ე –100ტ+ 1] ბ.

მოდით შევამოწმოთ მიღებული შედეგის სისწორე საწყისი მნიშვნელობის გამოყენებით: ერთის მხრივ, u 2 (0 +) = –0.901 ცოდვა (33.69) + 1 = 0.5 და მეორეს მხრივ, u 2 (0 +) = u C (0 +) + u ლ(0 +) = 0 + 0.5 - მნიშვნელობები იგივეა.

უკრაინის განათლებისა და მეცნიერების სამინისტრო

დონეცკის ეროვნული უნივერსიტეტი

მოხსენება

თემაზე: რადიოსაინჟინრო სქემები და სიგნალები

NF-3-ის მე-3 კურსის სრულ განაკვეთზე სტუდენტი

შემუშავებულია სტუდენტის მიერ:

ალექსანდროვიჩ ს.ვ.

შემოწმებულია მასწავლებლის მიერ:

დოლბეშჩენკოვი ვ.ვ.

შესავალი

"რადიო საინჟინრო სქემები და სიგნალები" (RTC და S)– კურსი, რომელიც არის კურსის „სქემების თეორიის საფუძვლების“ გაგრძელება. მისი მიზანია შეისწავლოს ფუნდამენტური კანონები, რომლებიც დაკავშირებულია სიგნალების მიღებასთან, მათ გადაცემასთან საკომუნიკაციო არხებით, დამუშავებასა და კონვერტაციასთან რადიო სქემებში. კურსში „RTC და C“ წარმოდგენილი სიგნალებისა და რადიოინჟინერიის სქემების ანალიზის მეთოდებში გამოიყენება მათემატიკური და ფიზიკური ინფორმაცია, რომელიც ძირითადად ცნობილია წინა დისციპლინების სტუდენტებისთვის. კურსის "RTC და S" მნიშვნელოვანი მიზანია ასწავლოს სტუდენტებს აირჩიონ მათემატიკური აპარატი, რომელიც ადეკვატურია პრობლემის წინაშე და აჩვენოს, თუ როგორ მუშაობს ეს აპარატი რადიოინჟინერიის სფეროში კონკრეტული ამოცანების გადაჭრისას. თანაბრად მნიშვნელოვანია ვასწავლოთ მოსწავლეებს მჭიდრო კავშირის დანახვა განსახილველი ფენომენის მათემატიკურ აღწერასა და ფიზიკურ მხარეს შორის, რათა შეძლონ შედგენა. მათემატიკური მოდელებიშესწავლილი პროცესები.

კურსში "რადიოინჟინერიის სქემები და სიგნალები" შესწავლილი ძირითადი სექციები:

1. სქემების დროის ანალიზი კონვოლუციაზე დაყრდნობით;

2. სპექტრული ანალიზისიგნალები;

3. რადიოსიგნალები ამპლიტუდისა და კუთხის მოდულაციით;

4. სიგნალების კორელაციური ანალიზი;

5. აქტიური ხაზოვანი სქემები;

6. ვიწროზოლიანი სქემებით სიგნალების გავლის ანალიზი;

7. უარყოფითი უკუკავშირიწრფივ წრეებში;

8. ფილტრის სინთეზი;

9. არაწრფივი სქემები და მათი ანალიზის მეთოდები;

10. ცვლადი პარამეტრების სქემები;

11. ჰარმონიული რხევების წარმოქმნის პრინციპები;

12. დისკრეტული დროის სიგნალების დამუშავების პრინციპები;

13. შემთხვევითი სიგნალები;

14. შემთხვევითი სიგნალების წრფივი სქემებით გავლის ანალიზი;

15. არაწრფივი სქემებით შემთხვევითი სიგნალების გავლის ანალიზი;

16. დეტერმინისტული სიგნალების ოპტიმალური გაფილტვრა ხმაურში;

17. შემთხვევითი სიგნალების ოპტიმალური ფილტრაცია;

18. წრფივი სქემების გამოთვლის რიცხვითი მეთოდები.

დროის წრედის ანალიზი კონვოლუციაზე დაფუძნებული

ნაბიჯი და იმპულსური პასუხი

დროის მეთოდი ეფუძნება მიკროსქემის გარდამავალი და იმპულსური მახასიათებლების კონცეფციას. ნაბიჯი პასუხიჯაჭვები არის ჯაჭვის პასუხი გავლენებზე ერთეული ფუნქციის სახით. მიუთითებს წრედის გარდამავალ რეაქციაზე გ(ტ).იმპულსური პასუხისქემებს უწოდებენ წრედის რეაქციას ერთ იმპულსურ ფუნქციაზე (d-ფუნქცია). აღნიშნავს იმპულსურ რეაქციას თ(ტ). უფრო მეტიც, გ(ტ) და თ(ტ) განისაზღვრება წრედის ნულოვან საწყის პირობებში. რეაქციის ტიპისა და ზემოქმედების ტიპის მიხედვით (დენი ან ძაბვა), გარდამავალი და იმპულსური მახასიათებლები შეიძლება იყოს განზომილებიანი სიდიდეები, ან ჰქონდეს ზომები A/B ან V/A.

მიკროსქემის გარდამავალი და იმპულსური მახასიათებლების ცნებების გამოყენება საშუალებას გვაძლევს შევამციროთ მიკროსქემის პასუხის გამოთვლა თვითნებური ფორმის არაპერიოდული სიგნალის მოქმედებიდან მიკროსქემის პასუხის განსაზღვრამდე უმარტივეს ზემოქმედებაზე, როგორიცაა ერთი 1( ტ) ან იმპულსური ფუნქცია d( ტ), რომლის დახმარებით ხდება ორიგინალური სიგნალის დაახლოება. ამ შემთხვევაში, ხაზოვანი ჯაჭვის შედეგად მიღებული რეაქცია გვხვდება (სუპერპოზიციის პრინციპის გამოყენებით), როგორც ჯაჭვის რეაქციების ჯამი ელემენტარულ გავლენებზე 1( ტ) ან დ( ტ).

გარდამავალს შორის გ(ტ) და პულსი თ(ტ) არის გარკვეული კავშირი ხაზოვანი პასიური წრედის მახასიათებლებს შორის. ეს შეიძლება დადგინდეს, თუ ჩვენ წარმოვადგენთ ერთეული იმპულსური ფუნქციას გადასვლის გზით 1/t სიდიდის ორი ერთეული ფუნქციის განსხვავების ზღვარზე, რომლებიც გადავიდნენ ერთმანეთთან შედარებით t დროით:

ანუ ერთეული იმპულსური ფუნქცია უდრის ერთეულის ფუნქციის წარმოებულს. ვინაიდან განხილული წრე მიჩნეულია წრფივად, მიმართება იგივე რჩება წრედის იმპულსური და გარდამავალი რეაქციებისთვის.

ანუ იმპულსური პასუხი არის წრედის საფეხურის პასუხის წარმოებული.

განტოლება მოქმედებს იმ შემთხვევისთვის, როცა გ(0) = 0 (ნულოვანი საწყისი პირობები წრედისთვის). თუ გ(0) ¹ 0, შემდეგ პრეზენტაცია გ(ტ) სახით გ(ტ) = , სადაც = 0, ვიღებთ დაწყვილების განტოლებას ამ შემთხვევისთვის:

მიკროსქემის გარდამავალი და იმპულსური მახასიათებლების საპოვნელად შეგიძლიათ გამოიყენოთ როგორც კლასიკური, ასევე ოპერატორის მეთოდები. კლასიკური მეთოდის არსი მდგომარეობს იმაში, რომ დადგინდეს მიკროსქემის დროული პასუხი (ძაბვის ან დენის სახით წრედის ცალკეულ ტოტებში) ერთი 1-ის ზემოქმედებაზე. ტ) ან იმპულსი d( ტ) ფუნქციები. ჩვეულებრივ მოსახერხებელია გარდამავალი პასუხის დადგენა კლასიკური მეთოდით გ(ტ), და იმპულსური პასუხი თ(ტ) იპოვეთ დაწყვილების განტოლებების ან ოპერატორის მეთოდის გამოყენებით.

უნდა აღინიშნოს, რომ ღირებულება მე(რ)ვგანტოლება რიცხობრივად უდრის გარდამავალი გამტარობის გამოსახულებას. იმპულსური პასუხის მსგავსი გამოსახულება რიცხობრივად უდრის მიკროსქემის ოპერატორის გამტარობას

მაგალითად, ამისთვის RС- ჯაჭვები გვაქვს:

მიმართვა ი(გვ) გაფართოების თეორემა, ვიღებთ:

მაგიდაზე 1.1 აჯამებს დენის და ძაბვის გარდამავალი და იმპულსური მახასიათებლების მნიშვნელობებს პირველი და მეორე რიგის სქემებისთვის.

იმპულსური პასუხი(წონის ფუნქცია) არის სისტემის პასუხი ერთ უსასრულო იმპულსზე (დელტა ფუნქცია ან დირაკის ფუნქცია) ნულოვან საწყის პირობებში. დელტა ფუნქცია განისაზღვრება ტოლობებით

, .

ეს ზოგადი ფუნქცია– მათემატიკური ობიექტი, რომელიც წარმოადგენს იდეალურ სიგნალს, არა რეალური მოწყობილობაარ შეუძლია მისი გამრავლება. დელტა ფუნქცია შეიძლება ჩაითვალოს, როგორც ერთეული ფართობის მართკუთხა პულსის ზღვარი, რომელიც ორიენტირებულია წერტილზე, რადგან პულსის სიგანე ნულისკენ მიისწრაფვის.

ახლა ჩვენ უნდა გავაანალიზოთ ამ თანხის ლიმიტები. ასე რომ, ჩვენ უნდა გამოვიყენოთ ინტეგრალები ამ ტიპის სისტემის სწორად გასაგებად. ამისათვის ჩვენ გვჭირდება კონვოლუცია! ამ პრობლემისთვის, დავუშვათ, რომ \\ არის ნულზე მეტი. სცადეთ შემდეგი ორი ფუნქცია.

სად არის სისტემის გადაცემის ფუნქცია, რომლისთვისაც არის ლაპლასის ტრანსფორმაცია. სისტემის იმპულსური პასუხი ერთი ინტეგრატორით მიდრეკილია მუდმივი სიდიდისკენ, რომელიც უდრის ინტეგრატორის გარეშე სისტემის სტატიკური გადაცემის კოეფიციენტს. ორი ინტეგრატორის მქონე სისტემისთვის იმპულსური პასუხი ასიმპტომურად მიდრეკილია სწორი ხაზისკენ, სამი ინტეგრატორით - პარაბოლისკენ და ა.შ.

შესაბამისი დისკრეტული სიგნალი არის თანმიმდევრობა. განვიხილოთ უწყვეტი სიგნალის ფურიეს ტრანსფორმაცია. ფურიეს ტრანსფორმაციის მიახლოება მიიღება დისკრეტული სიგნალიდან ყუთის მეთოდის გამოყენებით.

როდესაც ჯამი შეჩერებულია საბოლოო წოდებაზე, ჩვენ ვპოულობთ.

ხაზოვანი სისტემა სასრული იმპულსური პასუხით

ამ სისტემას ეწოდება მიზეზობრივი, რადგან გამომავალი მდგომარეობა დამოკიდებულია მხოლოდ წინა შეყვანის მდგომარეობებზე. განსაზღვრულია დისკრეტული სიგნალი.

შეყვანის იმპულსისთვის, ხაზოვანი სისტემა გამოსცემს სიგნალს.

უნდა აღინიშნოს, რომ გამომავალი სიგნალი არის შემავალი სიგნალის იმპულსური პასუხით გადაყვანის შედეგი.

8. წრფივი ელექტრულ სქემებში გარდამავალი პროცესების ანალიზის დროის მეთოდი

8.1. ელექტრული წრეების გარდამავალი და იმპულსური მახასიათებლები

დროის მეთოდი ეფუძნება მიკროსქემის გარდამავალი და იმპულსური მახასიათებლების კონცეფციას. ნაბიჯი პასუხიჯაჭვები არის ჯაჭვის პასუხი გავლენისადმი ერთეული ფუნქციის სახით (7.19). მიუთითებს წრედის გარდამავალ რეაქციაზე გ(ტ).იმპულსური პასუხისქემებს უწოდებენ მიკროსქემის პასუხს ერთეული იმპულსური ფუნქციის (d-ფუნქციის) ზემოქმედებაზე (7.21). აღნიშნავს იმპულსურ რეაქციას თ(ტ). გ(ტუფრო მეტიც, თ(ტ) ) და

განისაზღვრება წრეში ნულოვანი საწყისი პირობებით. რეაქციის ტიპისა და ზემოქმედების ტიპის მიხედვით (დენი ან ძაბვა), გარდამავალი და იმპულსური მახასიათებლები შეიძლება იყოს განზომილებიანი სიდიდეები, ან ჰქონდეს ზომები A/B ან V/A.

ეს სისტემა არის სასრული იმპულსური პასუხის ფილტრი. რომელიც არის იმპულსური პასუხის დისკრეტული ფურიეს ტრანსფორმაცია. განვიხილოთ როგორცმარტივი მაგალითი

ფილტრი, რომელიც ახორციელებს ორი თანმიმდევრული შეყვანის მნიშვნელობის საშუალო არითმეტიკულ მნიშვნელობას. ტმიკროსქემის გარდამავალი და იმპულსური მახასიათებლების ცნებების გამოყენება საშუალებას გვაძლევს შევამციროთ მიკროსქემის პასუხის გამოთვლა თვითნებური ფორმის არაპერიოდული სიგნალის მოქმედებიდან მიკროსქემის პასუხის განსაზღვრამდე უმარტივეს ზემოქმედებაზე, როგორიცაა ერთი 1( ტ) ან იმპულსური ფუნქცია d( ტ) ან დ( ტ).

), რომლის დახმარებით ხდება ორიგინალური სიგნალის დაახლოება. ამ შემთხვევაში, ხაზოვანი ჯაჭვის შედეგად მიღებული რეაქცია გვხვდება (სუპერპოზიციის პრინციპის გამოყენებით), როგორც ჯაჭვის რეაქციების ჯამი ელემენტარულ გავლენებზე 1(

შუა ფილტრი არის დაბალი გამტარი ფილტრი. ფაზის ცვლა წრფივად იცვლება სიხშირით. ეს დასტურდება შემდეგი სიხშირის პასუხის გამოხატვით. ამ ფილტრის ეფექტის სიმულაციისთვის სიგნალზე, განიხილეთ შემდეგი უწყვეტი სიგნალი და მისი ნიმუში. გასაფილტრადდისკრეტული სიგნალი

ყველა სიგნალის სიხშირე განიცდის იგივე ცვლას τ ფილტრში გავლისას. τ - გამრავლების დრო.

გარდამავალს შორის გ(ტ) და პულსი თ(ტ) არის გარკვეული კავშირი ხაზოვანი პასიური წრედის მახასიათებლებს შორის. მისი დადგენა შესაძლებელია ერთეული იმპულსური ფუნქციის წარმოდგენით გავლის ზღვრამდე 1/t სიდიდის ორ ერთეულ ფუნქციას შორის განსხვავების ზღვრამდე, რომლებიც ერთმანეთის მიმართ გადაინაცვლებს t დროით (იხ. ნახ. 7.4):

ანუ ერთეული იმპულსური ფუნქცია უდრის ერთეულის ფუნქციის წარმოებულს. ვინაიდან განხილული წრე მიჩნეულია წრფივად, მიმართება (8.1) ასევე დაცულია წრედის იმპულსური და გარდამავალი რეაქციებისთვის.

სიგნალის ფორმა არ იცვლება გამტარი ფილტრით. ფაზის შემცველი ტერმინის იზოლირებით, სიხშირის პასუხი იწერება გამოხატვის მიხედვით. ცვლადის შეცვლის შემდეგ, მომატების გამოხატულება გამოდის ჯამში. სიხშირის პასუხი იწერება. ლიმიტის გათვალისწინებით ვიღებთ.

მიიღება ხაზოვანი ფაზის ფილტრი უსასრულო იმპულსური პასუხით. ეს მეთოდი ექვივალენტურია მართკუთხა ფანჯრის გამოყენებისას ფურიეს კოეფიციენტებზე.

ამ ფუნქციის ფურიეს კოეფიციენტები.

შედეგი შეიძლება გამოიხატოს სინუს კარდინალური ფუნქციის გამოყენებით და დამოკიდებულია მხოლოდ ათვლის სიხშირის შეფარდებაზე შერჩევის სიხშირეზე.

ანუ იმპულსური პასუხი არის წრედის საფეხურის პასუხის წარმოებული.

განტოლება (8.2) მოქმედებს იმ შემთხვევისთვის, როცა გ(0) = 0 (ნულოვანი საწყისი პირობები წრედისთვის). თუ გ(0) ¹ 0, შემდეგ პრეზენტაცია გ(ტ) სახით გ(ტ) = , სადაც = 0, ვიღებთ დაწყვილების განტოლებას ამ შემთხვევისთვის:

სიხშირის პასუხის მისაღებად გამოიყენება შემდეგი ფუნქცია. აქ არის ფილტრის მომატებისა და ფაზის გრაფიკი. ჩანს, რომ ფაზა მართლაც წრფივია გადასასვლელში, მაგრამ მომატებას აქვს ძალიან ძლიერი ტალღები. შესუსტებულ ზოლში π ფაზაში არის შეწყვეტები. რა თქმა უნდა, განსხვავებები სასურველი გადაცემის ფუნქციის მხრივ განპირობებულია იმპულსური პასუხის შეკვეცით.

მოდით ვცადოთ შეკვეცა ჰანას ფანჯრით. ტალღები უღელტეხილზე და დასუსტებულ ზოლში მნიშვნელოვნად მცირდება. გამშვები ზოლში ფაზის წრფივობა ყოველთვის უზრუნველყოფილია. თუ დაყოვნება τ დარჩება ფიქსირებული, სინჯის აღების სიჩქარე ერთდროულად უნდა გაიზარდოს. არჩეულია ხმაურიანი სიგნალი.

მიკროსქემის გარდამავალი და იმპულსური მახასიათებლების საპოვნელად შეგიძლიათ გამოიყენოთ როგორც კლასიკური, ასევე ოპერატორის მეთოდები. კლასიკური მეთოდის არსი მდგომარეობს იმაში, რომ დადგინდეს მიკროსქემის დროული პასუხი (ძაბვის ან დენის სახით წრედის ცალკეულ ტოტებში) ერთი 1-ის ზემოქმედებაზე. ტ) ან იმპულსი d( ტ) ფუნქციები. ჩვეულებრივ მოსახერხებელია გარდამავალი პასუხის დადგენა კლასიკური მეთოდით გ(ტ), და იმპულსური პასუხი თ(ტ) იპოვეთ კავშირის განტოლებების (8.2), (8.3) ან ოპერატორის მეთოდის გამოყენებით.

მაგალითი.მოდით გამოვიყენოთ კლასიკური მეთოდი ნახ. 8.1. რიცხობრივად გ u(ტ) მოცემული სქემისთვის ემთხვევა ძაბვას ტევადობაზე, როდესაც ის დაკავშირებულია მომენტში ტ= 0 ძაბვის წყაროსთან უ 1 = ლ V:

ძაბვის ცვლილების კანონი uC(ტ) განისაზღვრება განტოლებით (6.27), სადაც საჭიროა ჩასმა უ= l V:

მახასიათებლების პოვნისას გ(ტუფრო მეტიც, თ(ტ) ოპერატორის მეთოდის გამოყენებით, ფუნქციების სურათები 1( ტ), დ( ტ) და გარდამავალი პროცესების გამოთვლის მეთოდოლოგია, რომელიც მოცემულია თავში. 7.

მაგალითი.მოდით განვსაზღვროთ გადასვლის მახასიათებელი ოპერატორის მეთოდის გამოყენებით გ u(ტ) RС-ჯაჭვები (იხ. სურ. 8.1). ამ ჯაჭვისთვის, Ohm-ის კანონის შესაბამისად, ოპერატორის სახით (7.35) შეგვიძლია დავწეროთ:

ბოლოს მივიღებთ

აქედან, გაფართოების თეორემის გამოყენებით (7.31), ვპოულობთ

ანუ იგივე მნიშვნელობა რაც მიიღება კლასიკური მეთოდით.

უნდა აღინიშნოს, რომ ღირებულება მე(რ)ვგანტოლება (8.4) რიცხობრივად უდრის გარდამავალი გამტარობის გამოსახულებას. იმპულსური პასუხის მსგავსი გამოსახულება რიცხობრივად უდრის მიკროსქემის ოპერატორის გამტარობას

მაგალითად, ამისთვის RС-ჯაჭვი (იხ. სურ. 8.1) გვაქვს:

მიმართვა ი(გვ) გაფართოების თეორემა (7.30), ვიღებთ:

უნდა აღინიშნოს, რომ ფორმულა (8.5) განსაზღვრავს მიკროსქემის რეაქციის თავისუფალ კომპონენტს ერთი პულსის მოქმედებით. ზოგადად, ჯაჭვურ რეაქციაში, თავისუფალი რეჟიმის ექსპონენციალური კომპონენტების გარდა ტ> 0 არის პულსის ტერმინი, რომელიც ასახავს ეფექტს, როდესაც ტ= 0 ერთეული პულსი. მართლაც, თუ გავითვალისწინებთ იმას RС-ჩართვა (იხ. ნახ. 8.1) მიმდინარე გარდამავალი მახასიათებელი at უ= 1(ტ) (6.28) მიხედვით იქნება

შემდეგ (8.6) დიფერენცირების შემდეგ (8.2) ვიღებთ იმპულსურ პასუხს RС- ჯაჭვები სთ მე(ტ) სახით

ანუ რეაქცია თმე(ტ) შეიცავს ორ ტერმინს - იმპულსს და ექსპონენციას.

პირველი ტერმინის ფიზიკური მნიშვნელობა (8.7) ნიშნავს იმას, რომ როდესაც ტ= 0 იმპულსური ძაბვის წრეზე ზემოქმედების შედეგად d( ტ) დამტენის დენი მყისიერად აღწევს უსასრულოდ დიდ მნიშვნელობას, ხოლო 0-დან 0-მდე + ტევადობის ელემენტს გადაეცემა სასრული მუხტი და ის მკვეთრად იტენება ძაბვაზე. მე/რ.. ტმეორე ტერმინი განსაზღვრავს თავისუფალ პროცესს ჯაჭვში at ტ> 0 და გამოწვეულია კონდენსატორის გამონადენით მოკლედ შერთვის შეყვანის საშუალებით (როდიდან ტ> 0 d( რ.) = 0, რომელიც უდრის შეყვანის მოკლე ჩართვას) დროის მუდმივით t = ტ. RС- წრე არღვევს მუხტის უწყვეტობას ტევადობაზე (კომუტაციის მეორე კანონი). ანალოგიურად, დენის უწყვეტობის პირობა ინდუქციურობაში (კომუტაციის პირველი კანონი) ირღვევა, თუ ძაბვა d(-ის სახით. ტ).

მაგიდაზე 8.1 აჯამებს დენის და ძაბვის გარდამავალი და იმპულსური მახასიათებლების მნიშვნელობებს პირველი და მეორე რიგის სქემებისთვის.

8.2. დუჰამელის ინტეგრალი

დუჰამელის ინტეგრალი შეიძლება მივიღოთ გამოყენებული ძალის მიახლოებით ვ 1 (ტ)თანერთეულის ფუნქციების გამოყენებით გადაინაცვლებს ერთმანეთთან შედარებით Dt დროით (ნახ. 8.2).

წრიული რეაქცია თითოეულზე ნაბიჯის ეფექტიდადგინდება, როგორც

მიკროსქემის შედეგად მიღებული რეაქცია ეტაპობრივი გავლენის სისტემაზე შეიძლება მოიძებნოს სუპერპოზიციის პრინციპის საფუძველზე:

სად p -მიახლოებითი მონაკვეთების რაოდენობა, რომლებშიც იყოფა ინტერვალი 0 ... ტ.

ჯამის ნიშნის ქვეშ გამოსახულების Dt-ზე გამრავლებით და გაყოფით და ზღვრამდე გადასვლით, ამის გათვალისწინებით, მივიღებთ დუჰამელის ინტეგრალის ერთ-ერთ ფორმას:

განტოლება (8.8) ასახავს მიკროსქემის პასუხს მოცემულ ზემოქმედებაზე, ვინაიდან მიახლოებითი ფუნქცია მიდრეკილია თავდაპირველისკენ. დუჰამელის ინტეგრალის მეორე ფორმა შეიძლება მივიღოთ კონვოლუციის თეორემის გამოყენებით (იხ.): , ბ), შემდეგ წრედის რეაქცია განისაზღვრება კლასიკური ან ოპერატორის მეთოდით, როდესაც განსახილველი განშტოება დაკავშირებულია აქტიურ ორ ტერმინალურ ქსელთან. (ნახ. 8.4,ვ

). შედეგად მიღებული რეაქცია გვხვდება რეაქციების ჯამის სახით: .

8.3. დაწესების ინტეგრალი თ(ტმიკროსქემის პასუხის პოვნისას სუპერპოზიციური ინტეგრალის გამოყენებით, გამოიყენება წრედის იმპულსური პასუხი ვ 1 (ტ). დსუპერპოზიციის ინტეგრალის ზოგადი გამოხატვის მისაღებად, ჩვენ ვაახლოებთ შეყვანის სიგნალს ვ) ერთჯერადი ხანგრძლივობის იმპულსების სისტემის გამოყენებით ვტ, ამპლიტუდები დ 1 (ტ) და ფართობი

1 (ტ)

t (სურ. 8.5). მიკროსქემის გამომავალი პასუხი თითოეულ ერთ იმპულსზე სუპერპოზიციის პრინციპის გამოყენებით, არ არის რთული მიკროსქემის მთლიანი პასუხის მიღება ერთჯერადი იმპულსების სისტემაზე:ინტეგრალი (8.12) ეწოდება დაკისრების ინტეგრალი. სუპერპოზიციასა და დუჰამელის ინტეგრალებს შორის არის თ(ტ) მარტივი კავშირი გ(ტ, განსაზღვრულია პულსს შორის ურთიერთობით (8.3). თ(ტდა გარდამავალი

მაგალითი.) მიკროსქემის მახასიათებლები. ჩანაცვლება, მაგალითად, მნიშვნელობის RС) (8.3) ფორმულაში (8.12), d-ფუნქციის ფილტრაციის თვისების გათვალისწინებით (7.23), ვიღებთ დუჰამელის ინტეგრალს (8.11) სახით. უშესასვლელთან

- წრე (იხ. ნახ. 8.1) გამოიყენება ძაბვის ტალღა თ1. განსაზღვრეთ წრედის პასუხი გამოსავალზე სუპერპოზიციური ინტეგრალის (8.12) და დუჰამელის (8.11) გამოყენებით.(ტამ მიკროსქემის იმპულსური პასუხი უდრის (იხ. ცხრილი 8.1): ტ / u) = = (1/RC)e – თ1. განსაზღვრეთ წრედის პასუხი გამოსავალზე სუპერპოზიციური ინტეგრალის (8.12) და დუჰამელის (8.11) გამოყენებით.(ტრ. . შემდეგ, ჩანაცვლება– t) = (1/RC)e –( uფორმულაში (8.12), ვიღებთ:

მსგავს შედეგს ვიღებთ ამ წრედის გარდამავალი ფუნქციისა და დუჰამელის ინტეგრალის გამოყენებისას (8.11):

თუ გავლენის დასაწყისი არ ემთხვევა დროის დათვლის დასაწყისს, მაშინ ინტეგრალი (8.12) იღებს ფორმას.

სუპერპოზიციური ინტეგრალები (8.12) და (8.13) წარმოადგენს შეყვანის სიგნალის კონვოლუციას მიკროსქემის იმპულსურ პასუხთან და ფართოდ გამოიყენება ელექტრული სქემების თეორიაში და სიგნალის გადაცემის თეორიაში. მისი ფიზიკური მნიშვნელობა არის შეყვანის სიგნალი ვ 1 (t), როგორც იქნა, იწონება ფუნქციის გამოყენებით თ(t- t): რაც უფრო ნელა მცირდება დროთა განმავლობაში თ(ტ), რაც უფრო დიდ გავლენას ახდენს გამომავალ სიგნალზე შეყვანის გავლენის მნიშვნელობა, რომელიც უფრო შორს არის დაკვირვების მომენტიდან.

ნახ. 8.6, ანაჩვენები სიგნალი ვ 1(t) და იმპულსური პასუხი თ(t- t), რომელიც სარკისებური გამოსახულებაა თ(t) და ნახ. 8.6, ბნაჩვენებია სიგნალის კონვოლუცია ვ 1 (ტ) თანფუნქცია თ(t-უ) (დაჩრდილული ნაწილი), რიცხობრივად უდრის ჯაჭვის რეაქციას მომენტში ტ.

ნახ. 8.6 გვიჩვენებს, რომ მიკროსქემის გამომავალზე პასუხი არ შეიძლება იყოს სიგნალის მთლიან ხანგრძლივობაზე მოკლე ტ 1 და იმპულსური პასუხი თ სთ. ამრიგად, იმისათვის, რომ გამომავალი სიგნალი არ იყოს დამახინჯებული, მიკროსქემის იმპულსური პასუხი უნდა მიდრეკილი იყოს d-ფუნქციისკენ.

ასევე აშკარაა, რომ ფიზიკურად რეალიზებულ ჯაჭვში რეაქცია არ შეიძლება მოხდეს ზემოქმედებამდე.

ეს ნიშნავს, რომ ფიზიკურად განხორციელებული მიკროსქემის იმპულსური პასუხი უნდა აკმაყოფილებდეს პირობას

ფიზიკურად რეალიზებადი სტაბილური სქემისთვის, გარდა ამისა, იმპულსური პასუხის აბსოლუტური ინტეგრირებულობის პირობა უნდა დაკმაყოფილდეს:

თუ შეყვანის მოქმედებას აქვს რთული ფორმა ან მითითებულია გრაფიკულად, მაშინ წრედის რეაქციის გამოსათვლელად გამოიყენება გრაფიკულ-ანალიტიკური მეთოდები კონვოლუციური ინტეგრალის ნაცვლად (8.12).

კითხვები და დავალებები თვითშემოწმებისთვის

1. განსაზღვრეთ წრედის გარდამავალი და იმპულსური მახასიათებლები.

2. მიუთითეთ კავშირი იმპულსსა და გარდამავალ მახასიათებლებს შორის.

3. როგორ განვსაზღვროთ წრედის გარდამავალი და იმპულსური პასუხი?

4. რა განსხვავებაა გარდამავალ მახასიათებლებს შორის, ახსენით მათი ფიზიკური მნიშვნელობა.

5. როგორ განვსაზღვროთ, თუ ოთხი ტიპის გარდამავალი ან იმპულსური მახასიათებლებიდან რომელი უნდა იყოს გამოყენებული თითოეულ კონკრეტულ შემთხვევაში წრედის პასუხის გაანგარიშებისას? გ(ტ) და თ(ტ)?

6. რა არის გარდამავალი პროცესების გამოთვლის არსი გამოყენებით

7. როგორ განვსაზღვროთ ჯაჭვის რეაქცია, თუ ეფექტს აქვს რთული ფორმა?

8. რა პირობებს უნდა აკმაყოფილებდეს წრედი დუჰამელის ინტეგრალის გამოყენებისას?

10. ჯაჭვის რეაქციის გამოთვლა დუჰამელისა და სუპერპოზიციური ინტეგრალის გამოყენებით ერთსა და იმავე შედეგებამდე მივყავართ?

11. განვსაზღვროთ წრედის გარდამავალი გამტარობა, რომელიც წარმოიქმნება სერიულად შეერთებული წინაღობისა და ინდუქციით.

12. განსაზღვრეთ სერიით დაკავშირებული წინაღობისა და ტევადობის მიერ წარმოქმნილი წრე.

პასუხი: .

13. მიიღე დუჰამელის ინტეგრალის (8.10) მესამე ფორმა კონვოლუციის განტოლებიდან (8.10).

რუსეთის აკადემია

ფიზიკის დეპარტამენტი

ლექცია

ელექტრული წრეების გარდამავალი და იმპულსური მახასიათებლები

არწივი 2009 წ

საგანმანათლებლო და საგანმანათლებლო მიზნები:

აუხსენით სტუდენტებს ელექტრული წრეების გარდამავალი და იმპულსური მახასიათებლების არსი, აჩვენეთ კავშირი მახასიათებლებს შორის, ყურადღება მიაქციეთ განხილული მახასიათებლების გამოყენებას ელექტრული წრეების ანალიზისა და სინთეზისთვის და მიზნად ისახავს მაღალი ხარისხის მომზადებას პრაქტიკული მუშაობისთვის. ტრენინგი.

ლექციის დროის განაწილება

შესავალი ნაწილი……………………………………………………… 5 წთ.

სასწავლო კითხვები:

1. ელექტრული წრეების გარდამავალი მახასიათებლები………………15 წთ.

2. დუჰამელის ინტეგრალები……………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ელექტრული წრეების პულსური მახასიათებლები. მახასიათებლებს შორის კავშირი………………………………………………………… 25 წთ.

4. კონვოლუციური ინტეგრალები………………………………………….15 წთ.

დასკვნა …………………………………………………… 5 წთ.

1. ელექტრული წრედების გარდამავალი მახასიათებლები

მიკროსქემის გარდამავალი პასუხი (იმპულსური პასუხის მსგავსად) ეხება მიკროსქემის დროებით მახასიათებლებს, ანუ გამოხატავს გარკვეულ გარდამავალ პროცესს წინასწარ განსაზღვრული გავლენითა და საწყისი პირობებით.

ელექტრული სქემების შედარებისთვის ამ გავლენებზე მათი რეაგირებით, აუცილებელია სქემების განთავსება იმავე პირობებში. ყველაზე მარტივი და მოსახერხებელი არის ნულოვანი საწყისი პირობები.

მიკროსქემის გარდამავალი რეაქცია არის ჯაჭვის რეაქციის თანაფარდობა ეტაპობრივ ზემოქმედებასთან ამ ზემოქმედების სიდიდესთან ნულოვან საწყის პირობებში.

განმარტებით,

სად არის ჯაჭვის რეაქცია ეტაპობრივ ზემოქმედებაზე;

– ნაბიჯის ეფექტის სიდიდე [B] ან [A].

ვინაიდან და იყოფა ზემოქმედების სიდიდეზე (ეს არის რეალური რიცხვი), შემდეგ ფაქტობრივად - მიკროსქემის რეაქცია ერთი ნაბიჯის ეფექტზე.

თუ მიკროსქემის გარდამავალი პასუხი ცნობილია (ან შეიძლება გამოითვალოს), მაშინ ფორმულიდან შეგიძლიათ იპოვოთ ამ წრედის რეაქცია ეტაპობრივ ეფექტზე ნულ NL-ზე.

მოდით დავამყაროთ კავშირი მიკროსქემის ოპერატორის გადაცემის ფუნქციას შორის, რომელიც ხშირად ცნობილია (ან შეიძლება მოიძებნოს) და ამ მიკროსქემის გარდამავალ პასუხს შორის. ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ ოპერატორის გადაცემის ფუნქციის შემოღებულ კონცეფციას:

ჯაჭვის ლაპლასის ტრანსფორმირებული რეაქციის თანაფარდობა დარტყმის სიდიდესთან არის ჯაჭვის ოპერატორის გარდამავალი მახასიათებელი:

აქედან გამომდინარე .

აქედან მიკროსქემის ოპერატორის გადასვლის მახასიათებელი გვხვდება ოპერატორის გადაცემის ფუნქციის გამოყენებით.

მიკროსქემის გარდამავალი პასუხის დასადგენად აუცილებელია ლაპლასის შებრუნებული ტრანსფორმაციის გამოყენება:

კორესპონდენციის ცხრილის ან (წინასწარ) დაშლის თეორემის გამოყენებით.

მაგალითი: განსაზღვრეთ გარდამავალი პასუხი ძაბვის რეაქციისთვის კონდენსატორზე სერიულ წრეში (ნახ. 1):

აქ არის რეაქცია სიდიდის ეტაპობრივ ეფექტზე:

საიდან მოდის გარდამავალი მახასიათებელი:

ყველაზე ხშირად ნაცნობი სქემების გარდამავალი მახასიათებლები ნაპოვნია და მოცემულია საცნობარო ლიტერატურაში.

2. დუჰამელის ინტეგრალები

გარდამავალი პასუხი ხშირად გამოიყენება მიკროსქემის პასუხის საპოვნელად რთულ სტიმულზე. მოდით დავამყაროთ ეს ურთიერთობები.

შევთანხმდეთ, რომ გავლენა არის უწყვეტი ფუნქცია და გამოიყენება წრედზე მომენტში, ხოლო საწყისი პირობები არის ნული.

მოცემული ზემოქმედება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს, როგორც წრეზე მომენტში გამოყენებული ეტაპობრივი ზემოქმედების ჯამი და უსასრულოდ დიდი რაოდენობის უსასრულო ეტაპობრივი ზემოქმედება, რომლებიც მუდმივად მიჰყვებიან ერთმანეთს. ერთ-ერთი ამ ელემენტარული ზემოქმედება, რომელიც შეესაბამება გამოყენების მომენტს, ნაჩვენებია ნახაზ 2-ში.

მოდით ვიპოვოთ ჯაჭვური რეაქციის მნიშვნელობა დროის გარკვეულ მომენტში.

ეტაპობრივი ეფექტი დროის მომენტში განსხვავებებით იწვევს რეაქციას, რომელიც ტოლია განსხვავების ნამრავლს მიკროსქემის გარდამავალი პასუხის მნიშვნელობით, ანუ ტოლია:

უსასრულოდ მცირე ეტაპობრივი ეფექტი განსხვავებულობით იწვევს უსასრულოდ მცირე რეაქციას , სადაც არის გავლენის გამოყენების მომენტიდან დაკვირვების მომენტამდე გასული დრო. ვინაიდან პირობით ფუნქცია უწყვეტია, მაშინ:

სუპერპოზიციის პრინციპის შესაბამისად, რეაქცია ტოლი იქნება დაკვირვების მომენტის წინამორბედი ზემოქმედების მთლიანობით გამოწვეული რეაქციების ჯამის, ე.ი.

ჩვეულებრივ ბოლო ფორმულაში ისინი უბრალოდ ანაცვლებენ მას , რადგან ნაპოვნი ფორმულა სწორია ნებისმიერი დროის მნიშვნელობებისთვის:

ან, რამდენიმე მარტივი ტრანსფორმაციის შემდეგ:

რომელიმე ეს მიმართება წყვეტს წრფივი ელექტრული წრის პასუხის გაანგარიშების პრობლემას მოცემულ უწყვეტ მოქმედებაზე მიკროსქემის ცნობილი გარდამავალი პასუხის გამოყენებით. ამ მიმართებებს დუჰამელის ინტეგრალებს უწოდებენ.

3. ელექტრული წრეების პულსური მახასიათებლები

წრედის იმპულსური რეაქცია არის მიკროსქემის პასუხის თანაფარდობა პულსირებულ მოქმედებაზე ამ მოქმედების არეალთან ნულოვან საწყის პირობებში.

განმარტებით,

სად არის წრედის რეაქცია იმპულსურ მოქმედებაზე;

- დარტყმის პულსის არე.

მიკროსქემის ცნობილი იმპულსური პასუხის გამოყენებით, შეგიძლიათ იპოვოთ მიკროსქემის პასუხი მოცემულ გავლენასზე: .

ერთი იმპულსური ეფექტი, რომელსაც ასევე უწოდებენ დელტა ფუნქციას ან დირაკის ფუნქციას, ხშირად გამოიყენება ზემოქმედების ფუნქციად.

დელტა ფუნქცია არის ნულის ტოლი ფუნქცია ყველგან, გარდა , და მისი ფართობი უდრის ერთიანობას ():

დელტა ფუნქციის კონცეფცია შეიძლება მივიღოთ მართკუთხა პულსის სიმაღლისა და ხანგრძლივობის ლიმიტის გათვალისწინებით, როდესაც (ნახ. 3):

დავამყაროთ კავშირი წრედის გადაცემის ფუნქციასა და მის იმპულსურ პასუხს შორის, რისთვისაც ვიყენებთ ოპერატორის მეთოდს.

განმარტებით:

თუ ზემოქმედება (ორიგინალი) განიხილება ყველაზე მეტად ზოგადი შემთხვევადელტა ფუნქციით პულსის არეალის ნამრავლის სახით, ანუ ფორმით, მაშინ ამ ეფექტის გამოსახულებას კორესპონდენციის ცხრილის მიხედვით აქვს ფორმა:

შემდეგ, მეორეს მხრივ, წრედის ლაპლასის ტრანსფორმირებული რეაქციის თანაფარდობა დარტყმის იმპულსის არეალთან არის მიკროსქემის ოპერატორის იმპულსური პასუხი:

აქედან გამომდინარე,.

წრედის იმპულსური პასუხის საპოვნელად აუცილებელია ლაპლასის შებრუნებული ტრანსფორმაციის გამოყენება:

ანუ რეალურად.

ფორმულების განზოგადება, ჩვენ ვიღებთ კავშირს მიკროსქემის ოპერატორის გადაცემის ფუნქციასა და მიკროსქემის ოპერატორის გარდამავალ და იმპულსურ მახასიათებლებს შორის:

ამრიგად, მიკროსქემის ერთ-ერთი მახასიათებლის ცოდნით, შეგიძლიათ განსაზღვროთ ნებისმიერი სხვა.

განვახორციელოთ თანასწორობის იდენტური ტრანსფორმაცია შუა ნაწილის მიმატებით.

მაშინ გვექნება.

ვინაიდან ეს არის გარდამავალი მახასიათებლის წარმოებულის გამოსახულება, ორიგინალური თანასწორობა შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

ორიგინალების არეში გადასვლისას, ჩვენ ვიღებთ ფორმულას, რომელიც საშუალებას გვაძლევს განვსაზღვროთ მიკროსქემის იმპულსური პასუხი მისი ცნობილი გარდამავალი პასუხიდან:

თუ, მაშინ.

ამ მახასიათებლებს შორის უკუკავშირს აქვს ფორმა:

გადაცემის ფუნქციის გამოყენებით მარტივია ფუნქციაში ტერმინის არსებობის დადგენა.

თუ მრიცხველისა და მნიშვნელის უფლებამოსილებები ერთნაირია, მაშინ მოცემული ტერმინი იქნება წარმოდგენილი. თუ ფუნქცია სწორი წილადია, მაშინ ეს ტერმინი არ იარსებებს.

მაგალითი: განსაზღვრეთ იმპულსური მახასიათებლები ძაბვისთვის და 4-ზე ნაჩვენები სერიების წრეში.

განვსაზღვროთ:

კორესპონდენციის ცხრილის გამოყენებით გადავიდეთ ორიგინალზე:

ამ ფუნქციის გრაფიკი ნაჩვენებია სურათზე 5.

ბრინჯი. 5

გადაცემის ფუნქცია:

კორესპონდენციის ცხრილის მიხედვით გვაქვს:

შედეგად მიღებული ფუნქციის გრაფიკი ნაჩვენებია ნახაზ 6-ში.

აღვნიშნოთ, რომ იგივე გამონათქვამები შეიძლება მივიღოთ ურთიერთობების გამოყენებით, რომლებიც ამყარებენ კავშირს და.

იმპულსური პასუხი მისი ფიზიკური მნიშვნელობით ასახავს თავისუფალი რხევების პროცესს და ამ მიზეზით შეიძლება ითქვას, რომ რეალურ წრეებში ყოველთვის უნდა დაკმაყოფილდეს შემდეგი პირობა:

4. კონვოლუციური (გადაფარვის) ინტეგრალები

განვიხილოთ წრფივი ელექტრული წრის პასუხის განსაზღვრის პროცედურა კომპლექსურ ზემოქმედებაზე, თუ ცნობილია ამ წრედის იმპულსური პასუხი. ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ ზემოქმედება არის ცალმხრივი უწყვეტი ფუნქცია, რომელიც ნაჩვენებია ნახაზ 7-ში.

დაე, საჭირო გახდეს რეაქციის მნიშვნელობის პოვნა დროის გარკვეულ მომენტში. ამ პრობლემის გადასაჭრელად, წარმოვიდგინოთ ზემოქმედება, როგორც უსასრულო ხანგრძლივობის მართკუთხა იმპულსების ჯამი, რომელთაგან ერთი, დროის მომენტის შესაბამისი, ნაჩვენებია ნახაზ 7-ზე. ეს პულსი ხასიათდება ხანგრძლივობითა და სიმაღლით.

ადრე განხილული მასალიდან ცნობილია, რომ მიკროსქემის რეაქცია მოკლე პულსზე შეიძლება ჩაითვალოს წრედის იმპულსური პასუხის პროდუქტისა და იმპულსური მოქმედების ფართობის ტოლფასად. შესაბამისად, ამ იმპულსური მოქმედებით გამოწვეული რეაქციის უსასრულოდ მცირე კომპონენტი დროის მომენტში ტოლი იქნება:

ვინაიდან პულსის ფართობი ტოლია და დრო გადის მისი გამოყენების მომენტიდან დაკვირვების მომენტამდე.

სუპერპოზიციის პრინციპის გამოყენებით, წრედის მთლიანი რეაქცია შეიძლება განისაზღვროს, როგორც უსასრულოდ დიდი რაოდენობის უსასრულოდ მცირე კომპონენტების ჯამი, რომელიც გამოწვეულია უსასრულოდ მცირე ფართობის იმპულსების თანმიმდევრობით, რომელიც წინ უსწრებს დროში.

ამრიგად:

ეს ფორმულა მართალია ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, ამიტომ ჩვეულებრივ ცვლადი უბრალოდ აღინიშნება. შემდეგ:

მიღებულ მიმართებას ეწოდება კონვოლუციური ინტეგრალი ან სუპერპოზიციური ინტეგრალი. ფუნქციას, რომელიც აღმოჩენილია კონვოლუციური ინტეგრალის გამოთვლის შედეგად, ეწოდება კონვოლუცია და .

თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ კონვოლუციის ინტეგრალის სხვა ფორმა, თუ შეცვლით ცვლადებს გამოსახულებაში: