Классификации математических моделей. Пример математической модели

Главная / Тормозит

Моделированияе Моделирование – это изучение реальной системы (оригинала), путем замещения его новым объектом его моделью, имеющего с ней определенное объектное соответствие и позволяющее прогнозировать ее функциональные особенности, т.е. при моделировании экспериментируют не самим объектом, а объектом, который называют заменителем.

Процесс моделирования включает несколько этапов:

1. Постановка задачи и определение свойств реального объекта, подлежащего исследованию.

2. Констатация затруднительности или невозможности исследования реального объекта.

3. Выбор модели, хорошо функционирующие основные свойства объекта с одной стороны и легко поддающиеся исследованию с другой. Модель должна отражать основные свойства объекта и не должна быть грамосткой.

4. Исследование модели в соответствии с поставленной целью.

5. Проверка адекватности объекта и модели. Если нет соответствия, то необходимо повторить первые четыре пункта.

Существует классический и системный подход к решению задач моделирования. Суть метода заключается в следующем: Реальный объект, подлежащий к исследованию, разбивается на отдельные компоненты Д и выбираются определенные цели Ц формирования отдельных компонентов модели К . Затем на основе исходных данных создаются компоненты модели, совокупн6ость которых, с учетом их соотношений, объединяются в модель. Данный метод является индуктивным, т.е. построение модели происходит от частного к общему.

Классический метод используется для моделирования относительно простых систем, например, САУ.Системный подход Суть метода заключается в том, чтобы на основе исходных данных Д , которые известны из анализа внешней среды, с учетом ограничений, которые накладываются на систему и в соответствии с поставленной целью Ц , формируются требования Т и модели объекта. На базе этих требований строится подсистема П и элементы подсистем Э и с помощью критерия выбора КВ осуществляется выбор наилучшей модели, т.е. построение модели происходит от общего к частному.

Системный подход используется для моделирования сложных систем.

Классификация видов моделирования 1. По способу построения модели.а) Теоретические (аналитические) – строятся по данным о внутренней структуре на основе соотношений, вытекающих из физических данных. б) Формальные – по зависимости между выходом и входом в систему. Строится на основе принципа черного ящика.в) Комбинированные.2. По изменению переменных во времени.а) Статические.б) Динамические.Статическая модель описывает состояние объекта и не содержит производных х и у (входных и выходных) сигналов по времени.Математическая модель б) описывает статику объема с распределенными по длине координатами.Динамическая модель описывает переходные процессы во времени и содержит производные у i dt .Динамическая модель, в зависимости от способа получения, представляется в виде дифференциального уравнения переходной импульсной или частотной характеристики в виде передаточной функции.Динамика объектов с сосредоточенными параметрами описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, а объекты с распределенными параметрами описываются дифференциальными уравнениями в частотных производных.3. По зависимости переменных модулей от пространственных координат.а) С распределенными параметрами.б) С сосредоточенными параметрами.4. По принципу построения.а) Стохастические.б) Детерминированные.Если х и у (вход и выход) постоянные или известные величины (детерминированные), то модель называется стохастическая.Если х и у случайные (вероятные) величины, то модель называется стохастической.

Стохастические модели содержат вероятные элементы и представляют собой систему зависимости, полученную в результате статического исследования действующего объекта.

Детерминированная – это система функциональных зависимостей, построенная с использованием теоретического подхода.

Детерминированные модели имеют ряд преимуществ. Их можно разрабатывать даже при отсутствии действующего объекта, как это часто бывает при проектировании. Они качественно, более правильно характеризуют процессы, протекающие в объекте даже при наличии недостаточно точных в количественном отношении параметров модели.

Если информация об объекте моделирования не обладает достаточно высокой полнотой или из-за его значительной сложности, невозможно описать в виде модели все входные воздействия, а влияние ненаблюдаемых переменных на выходные координаты существенны, то применяют статическую модель.

5. По зависимости параметров модели от переменных.

а) Зависимые (нелинейные).

б) Независимые (линейные).

Если параметры (коэффициенты) модели зависят от переменных или последнее мультипликативные, то модель является нелинейной.

Модель считают линейной при непрерывном отклике на входное воздействие и при аддетивности от параметров модели.

Адетивность величин - это свойство, заключающее в том, что значение величины целого объекта равно сумме значений соответствующих частот целого при любом разбиении объекта на части.

Мультипликативность величин – это свойство, заключающееся в том, что значение величины целого объекта равно произведению значения величины соответствующих частей целого при любом разбиении объекта на части.

6. По приспособляемости модели.

а) Адаптивные.

б) Неадаптивные.

Адаптивная – это модель, структура и параметры которой изменяются так, чтобы некоторая мера погрешности между выходными переменными модели и объекта была минимальна.

Они делятся на поисковые и беспоисковые.

В поисковых моделях автоматический оптимизатор варьирует параметры модели так, чтобы получилось минимальная мера ошибки между выходными моделями объекта.

Лекция № 2

Математические схемы моделирования

Основные подходы к построению математической модели системы

Исходная информация при построении математической модели, процесса функционирования систем служат данные о назначении и условии работы исследуемой системы. Эта информация определяет основную цель моделирования систем S и позволяет сформулировать требования и разрабатываемой математической модели М .

Математическая схема – это звено, при переходе от содержательного к формальному описанию процесса функционирования процесса, с учетом воздействия внешней среды, т.е. имеет место цепочка: описательная модель → математическая схема → математическая модель.

Каждая система S характеризуется набором свойств, отражающих поведение системы и условия ее функционирования во взаимодействии с внешней средой ε .

Полнота модели регулируется в основном выбором границы системой S и внешней средой Е .

Задачу упрощения модели помогает выделить основные свойства системы, отбросив второстепенные.

Введем следующее обозначение:

1) Совокупность входных воздействий на систему

2) Совокупность воздействий внешней среды

3) Совокупность внутренних или собственных параметров системы

4) Совокупность выходных характеристик системы

Для использования ЭВМ при решении прикладных задач прежде всего прикладная задача должна быть "переведена" на формальный математический язык, т.е. для реального объекта, процесса или системы должна быть построена его математическая модель .

Математические модели в количественной форме, с помощью логико-математических конструкций, описывают основные свойства объекта, процесса или системы, его параметры, внутренние и внешние связи .

Для построения математической модели необходимо:

тщательно проанализировать реальный объект или процесс;
выделить его наиболее существенные черты и свойства;
определить переменные, т.е. параметры, значения которых влияют на основные черты и свойства объекта;
описать зависимость основных свойств объекта, процесса или системы от значения переменных с помощью логико-математических соотношений (уравнения, равенства, неравенства, логико-математические конструкций);
выделить внутренние связи объекта, процесса или системы с помощью ограничений, уравнений, равенств, неравенств, логико-математических конструкций;
определить внешние связи и описать их с помощью ограничений, уравнений, равенств, неравенств, логико-математических конструкций.

Математическое моделирование , кроме исследования объекта, процесса или системы и составления их математического описания, также включает:

построение алгоритма, моделирующего поведение объекта, процесса или системы;
проверка адекватности модели и объекта, процесса или системы на основе вычислительного и натурного эксперимента;
корректировка модели;
использование модели.

Математическое описание исследуемых процессов и систем зависит от:

природы реального процесса или системы и составляется на основе законов физики, химии, механики, термодинамики, гидродинамики, электротехники, теории пластичности , теории упругости и т.д.
требуемой достоверности и точности изучения и исследования реальных процессов и систем.

На этапе выбора математической модели устанавливаются: линейность и нелинейность объекта, процесса или системы, динамичность или статичность, стационарность или нестационарность, а также степень детерминированности исследуемого объекта или процесса. При математическом моделировании сознательно отвлекаются от конкретной физической природы объектов, процессов или систем и, в основном, сосредотачиваются на изучении количественных зависимостей между величинами, описывающими эти процессы.

Математическая модель никогда не бывает полностью тождественна рассматриваемому объекту, процессу или системе. Основанная на упрощении, идеализации , она является приближенным описанием объекта. Поэтому результаты, полученные при анализе модели, носят приближенный характер. Их точность определяется степенью адекватности (соответствия) модели и объекта.

Обычно начинается с построения и анализа простейшей, наиболее грубой математической модели рассматриваемого объекта, процесса или системы. В дальнейшем, в случае необходимости, модель уточняется, делается ее соответствие объекту более полным.

Возьмем простой пример. Нужно определить площадь поверхности письменного стола. Обычно для этого измеряют его длину и ширину, а затем перемножают полученные числа. Такая элементарная процедура фактически обозначает следующее: реальный объект (поверхность стола) заменяется абстрактной математической моделью – прямоугольником. Прямоугольнику приписываются размеры, полученные в результате измерения длины и ширины поверхности стола, и площадь такого прямоугольника приближенно принимается за искомую площадь стола.

Однако модель прямоугольника для письменного стола – это простейшая, наиболее грубая модель. При более серьезном подходе к задаче прежде, чем воспользоваться для определения площади стола моделью прямоугольника, эту модель нужно проверить. Проверки можно осуществить следующим образом: измерить длины противоположных сторон стола, а также длины его диагоналей и сравнить их между собой. Если, с требуемой степенью точности, длины противоположных сторон и длины диагоналей попарно равны между собой, то поверхность стола действительно можно рассматривать как прямоугольник . В противном случае модель прямоугольника придется отвергнуть и заменить моделью четырехугольника общего вида. При более высоком требовании к точности может возникнуть необходимость пойти в уточнении модели еще дальше, например, учесть закругления углов стола.

С помощью этого простого примера было показано, что математическая модель не определяется однозначно исследуемым объектом, процессом или системой. Для одного и того же стола мы можем принять либо модель прямоугольника, либо более сложную модель четырехугольника общего вида, либо четырехугольника с закругленными углами. Выбор той или иной модели определяется требованием точности. С повышением точности модель приходится усложнять, учитывая новые и новые особенности изучаемого объекта, процесса или системы.

Рассмотрим другой пример: исследование движения кривошипно-шатунного механизма (Рис. 2.1) .

Рис. 2.1.

Для кинематического анализа этого механизма, прежде всего, необходимо построить его кинематическую модель. Для этого:

Заменяем механизм его кинематической схемой, где все звенья заменены жесткими связями ;
Пользуясь этой схемой, мы выводим уравнение движения механизма;
Дифференцируя последнее, получаем уравнения скоростей и ускорения, которые представляют собой дифференциальные уравнения 1-го и 2-го порядка.

Запишем эти уравнения:

где С 0 – крайнее правое положение ползуна С:

r – радиус кривошипа AB;

l – длина шатуна BC;

– угол поворота кривошипа;

Полученные трансцендентные уравнения представляют математическую модель движения плоского аксиального кривошипно-шатунного механизма, основанную на следующих упрощающих предположениях:

нас не интересовали конструктивные формы и расположение масс, входящих в механизм тел, и все тела механизма мы заменили отрезками прямых. На самом деле, все звенья механизма имеют массу и довольно сложную форму. Например, шатун – это сложное сборное соединение, форма и размеры которого, конечно, будут влиять на движение механизма;
при движения рассматриваемого механизма мы также не учитывали упругость входящих в механизм тел, т.е. все звенья рассматривали как абстрактные абсолютно жесткие тела. В действительности же, все входящие в механизм тела – упругие тела. Они при движении механизма будут как-то деформироваться, в них могут даже возникнуть упругие колебания. Это все, конечно, также будет влиять на движение механизма;
мы не учитывали погрешность изготовления звеньев, зазоры в кинематических парах A, B, C и т.д.

Таким образом, важно еще раз подчеркнуть, что, чем выше требования к точности результатов решения задачи, тем больше необходимость учитывать при построении математической модели особенности изучаемого объекта, процесса или системы. Однако, здесь важно во время остановиться, так как сложная математическая модель может превратиться в трудно разрешимую задачу.

Наиболее просто строится модель, когда хорошо известны законы, определяющие поведение и свойства объекта, процесса или системы, и имеется большой практический опыт их применения.

Более сложная ситуация возникает тогда, когда наши знания об изучаемом объекте, процессе или системе недостаточны. В этом случае при построении математической модели приходится делать дополнительные предположения, которые носят характер гипотез, такая модель называется гипотетической. Выводы, полученные в результате исследования такой гипотетической модели, носят условный характер. Для проверки выводов необходимо сопоставить результаты исследования модели на ЭВМ с результатами натурного эксперимента. Таким образом, вопрос применимости некоторой математической модели к изучению рассматриваемого объекта, процесса или системы не является математическим вопросом и не может быть решен математическими методами.

Основным критерием истинности является эксперимент, практика в самом широком смысле этого слова.

Построение математической модели в прикладных задачах – один из наиболее сложных и ответственных этапов работы. Опыт показывает, что во многих случаях правильно выбрать модель – значит решить проблему более, чем наполовину. Трудность данного этапа состоит в том, что он требует соединения математических и специальных знаний. Поэтому очень важно, чтобы при решении прикладных задач математики обладали специальными знаниями об объекте, а их партнеры, специалисты, – определенной математической культурой, опытом исследования в своей области, знанием ЭВМ и программирования.

Исходной информацией при построении ММ процессов функционирования систем служат данные о назначении и условиях работы исследуемой(проектируемой) системы . Эта информация определяет основную цель моделирования, требования к ММ, уровень абстрагирования, выбор математической схемы моделирования.

Понятие математическая схема позволяет рассматривать математику не как метод расчета, а как метод мышления, средства формирования понятий, что является наиболее важным при переходе от словесного описания к формализованному представлению процесса ее функционирования в виде некоторой ММ.

При пользовании математической схемой в первую очередь исследователя системы должен интересовать вопрос об адекватности отображение в виде конкретных схем реальных процессов в исследуемой системе, а не возможность получения ответа(результата решения) на конкретный вопрос исследования.

Например представление процесса функционирования ИВС коллективного пользования в виде сети схем массового обслуживания дает возможность хорошо описать процессы, происходящие в системе, но при сложных законах входящий потоков и потоков обслуживания не дает возможности получения результатов в явном виде.

Математическую схему можно определить как звено при переходе содержательного к формализованному описанию процесса функционирования системы с учетом воздействия внешней среды. Т.е. имеет место цепочка: описательная модель - математическая схема- имитационная модель.

Каждая конкретная система характеризуется набором свойств, под которыми понимаются величины, отображающие поведение моделируемого объекта (реальной системы) и учитываются условия ее функционирования во взаимодействии с внешней средой(системой) Е.

При построении ММ системы необходимо решить вопрос о ее полноте. Полнота моделирования регулируется, в основном, выбором границ "Система -среда Е". Так же должна быть решена задача упрощения ММ, которая помогает выделить основные свойства системы, отбросив второстепенные, в плане цели, моделирования.

ММ объекта моделирования, т.е. системы можно представить в виде множества величин, описывающих процесс функционирования реальной системы и образующих в общем случае следующие под множества:

Совокупность -входных воздействий на

Совокупность воздействий внешней среды

Совокупность внутренних (собственных) параметров системы

Совокупность выходных характеристик системы

В перечисленных множествах можно выделить управляемые и неуправляемые величины. В общем случае X, V, H, Y не пресекаемые множества, содержат как детерминированные, так и стохастические составляющие.

Таким образом под ММ объекта понимаем конечное множество переменных вместе с математическими связями между ними и характеристиками .

Моделирование называется детерминированным, если операторы F, Ф детерминированные, т.е. для конкретного входа вход детерминированный. Детерминированное моделирование - частный случай стохастического моделирования. В практике моделирование объектов в области системном анализа на первичных этапах исследования рациональнее использовать типовые математические схемы: дифференциальные уравнения, конечные и вероятностные автоматы, СМО и т.д.

В качестве детерминированных моделей, когда при исследовании случайный факт не учитывается, для представления систем, функционирующих в непрерывном времени используются дифференциальные, интегральные и другие уравнения, а для представления систем, функционирующих в дискретном времени - конечные автоматы и разностные схемы.

Общие методические указания

Цель дисциплины "Методы оптимальных решений" – освоить методологию моделирования торгово - экономических процессов для их анализа и оптимального управления ими.

Цель настоящих методических указаний - оказать помощь студентам в изучении основ экономико-математического моделирования, показать необходимые практические навыки по применению математических методов в построении моделей связи показателей задач торговой практики и на их основе научного обоснования выбора управленческих решений.

Объектом изучения курса являются экономические механизмы управления торговых организаций и предприятий.

Предметом изучения курса являются информационные и функциональные связи торгово-экономических систем.

Результатом допуска к зачету по дисциплине «Методы оптимальных решений» является решенная контрольная работа со всеми заданиями с отметкой преподавателя «Зачтено». Зачтенная контрольная работа остается у преподавателя, в учебно-методический отдел сдается рецензия. В случае неясности условий заданий и с возникновением трудностей при решении задач необходимо проконсультироваться студенту у ведущего преподавателя. Если решенная работы не зачтена, студенту необходимо устранить замечания и сдать контрольную на повторное рецензирование.

ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ РАБОТЫ

На титульном листе тетради должны быть написаны наименование дисциплины, наименование факультета, курс, фамилия, имя, отчество.

В начале работы или на титульном листе должны быть указаны номера задач, выполненных в контрольном задании.

Перед решением каждой задачи надо полностью записать ее условие. Решение задач должно включать развернутые расчеты и краткие пояснения, экономический анализ полученных результатов. В конце контрольной работы привести список использованной литературы и поставить свою подпись.

Задание №1

Построить экономико-математическую модель определения структуры блюд на предприятии общественного питания, обеспечивающую максимальную прибыль на основе заданных нормативов затрат продуктов на первые и вторые блюда, представленных в следующей таблице 1.

Данные для задач следует выбирать из таблицы 2 по первым буквам фамилии, имени и отчества студента. Например, студент Корниенко Николай Сергеевич должен решить задачу с данными a 11 =2, a 12 =3, a 21 =2, a 23 =13, a 31 =6, a 32 =7, a 33 =8, a 41 =9, a 42 =6, a 44 =4, a 54 =19, b 1 =450, b 2 =310, b 3 =410, b 4 =315, b 5 =400, c 1 =89, c 2 =41, c 3 =50.

Классификация в любой области знаний необходима. Она позволяет обобщить накопленный опыт, упорядочить понятия предметной области. Стремительное развитие методов математического моделирования и многообразие областей их применения привели появлению большого количества моделей различных видов и к необходимости классификации моделей по тем категориям, которые являются универсальными для всех моделей или необходимы в области построенной модели, например. Приведем пример некоторых категорий: область использования; учёт в модели временного фактора (динамики); отрасль знаний; способ представления моделей; наличие или отсутствие случайных (или неопределенных) факторов; вид критерия эффективности и наложенных ограничений и т.д.

Анализируя математическую литературу, мы выделили наиболее часто встречающиеся признаки классификаций:

1. По методу реализации (в том числе формальному языку) все математические модели можно разбить на аналитические и алгоритмические.

Аналитические – модели, в которых используется стандартный математический язык. Имитационные – модели, в которых использован специальный язык моделирования или универсальный язык программирования.

Аналитические модели могут быть записаны в виде аналитических выражений, т.е. в виде выражений, содержащих счетное число арифметических действий и переходов к пределу, например: . Алгебраическое выражение является частным случаем аналитического выражения, оно обеспечивает в результате точное значение. Существуют также конструкции, позволяющие находить результирующее значение с заданной точностью (например, разложение элементарной функции в степенной ряд). Модели, использующие подобный прием, называют приближенными.

В свою очередь, аналитические модели разбиваются на теоретические и эмпирические модели. Теоретические модели отражают реальные структуры и процессы в исследуемых объектах, то есть, опираются на теорию их работы. Эмпирические модели строятся на основе изучения реакций объекта на изменение условий окружающей среды. При этом теория работы объекта не рассматривается, сам объект представляет собой так называемый «черный ящик», а модель – некоторую интерполяционную зависимость. Эмпирические модели могут быть построены на основе экспериментальных данных. Эти данные получают непосредственно на исследуемых объектах или с помощью их физических моделей.

Если какой-либо процесс не может быть описан в виде аналитической модели, его описывают с помощью специального алгоритма или программы. Такая модель является алгоритмической. При построении алгоритмических моделей используют численный или имитационный подходы. При численном подходе совокупность математических соотношений заменяется конечномерным аналогом (например, переход от функции непрерывного аргумента к функции дискретного аргумента). Затем выполняется построение вычислительного алгоритма, т.е. последовательности арифметических и логических действий. Найденное решение дискретного аналога принимается за приближенное решение исходной задачи. При имитационном подходе дискретизируется сам объект моделирования, строятся модели отдельных элементов системы.

2. По форме представления математических моделей различают:

1) Инвариантная модель – математическая модель представляющаяся системой уравнений (дифференциальных, алгебраических) без учета методов решения этих уравнений.

2) Алгебраическая модель – соотношение моделей связаны с выбранным численным методом решения и записаны в виде алгоритма (последовательности вычислений).

3) Аналитическая модель – представляет собой явные зависимости искомых переменных от заданных величин. Такие модели получают на основе физических законов, либо в результате прямого интегрирования исходных дифференциальных уравнений, используя табличные интегралы. К ним относятся также регрессионные модели, получаемые на основе результатов эксперимента.

4) Графическая модель представляется в виде графиков, эквивалентных схем, диаграмм и тому подобное. Для использования графических моделей должно существовать правило однозначного соответствия условных изображений элементов графической и компонентов инвариантной математической модели.

3. В зависимости от вида критерия эффективности и наложенных ограничений модели подразделяются на линейные и нелинейные. В линейных моделях критерий эффективности и наложенные ограничения являются линейными функциями переменных модели (иначе нелинейные модели). Допущение о линейной зависимости критерия эффективности и совокупности наложенных ограничений от переменных модели на практике вполне приемлемо. Это позволяет для выработки решений использовать хорошо разработанный аппарат линейного программирования.

4. Учитывая фактор времени и области использования, выделяют статические и динамические модели . Если все входящие в модель величины не зависят от времени, то имеем статическую модель объекта или процесса (одномоментный срез информации по объекту). Т.е. статическая модель – это модель, в которой время не является переменной величиной. Динамическая модель позволяет увидеть изменения объекта во времени.

5. В зависимости от числа сторон, принимающих решение, выделяют два типа математических моделей: описательные и нормативные . В описательной модели нет сторон, принимающих решения. Формально число таких сторон в описательной модели равно нулю. Типичным примером подобных моделей является модели систем массового обслуживания. Для построения описательных моделей может также использоваться теория надежности, теория графов, теория вероятностей, метод статистических испытаний (метод Монте-Карло).

Для нормативной модели характерно множество сторон. Принципиально можно выделить два вида нормативных моделей: модели оптимизации и теоретико-игровые. В моделях оптимизации основная задача выработки решений технически сводится к строгой максимизации или минимизации критерия эффективности, т.е. определяются такие значения управляемых переменных, при которых критерий эффективности достигает экстремального значения (максимума или минимума).

Для выработки решений, отображаемых моделями оптимизации, наряду с классическими и новыми вариационными методами (поиск экстремума) наиболее широко используются методы математического программирования (линейное, нелинейное, динамическое). Для теоретико-игровой модели характерна множественность числа сторон (не менее двух). Если имеются две стороны с противоположными интересами, то используется теория игр, если число сторон более двух и между ними невозможны коалиции и компромиссы, то применяется теория бескоалиционных игр n лиц.

6. В зависимости от наличия или отсутствия случайных (или неопределенных) факторов выделяют детерминированные и стохастические математические модели. В детерминированных моделях все взаимосвязи, переменные и константы заданы точно, что приводит к однозначному определению результирующей функции. Детерминированная модель строится в тех случаях, когда факторы, влияющие на исход операции, поддаются достаточно точному измерению или оценке, а случайные факторы либо отсутствуют, либо ими можно пренебречь.

Если часть или все параметры, входящие в модель по своей природе являются случайными величинами или случайными функциями, то модель относят к классу стохастических моделей. В стохастических моделях задаются законы распределения случайных величин, что приводит к вероятностной оценке результирующей функции и реальность отображается как некоторый случайный процесс, ход и исход которого описывается теми или иными характеристиками случайных величин: математическими ожиданиями, дисперсиями, функциями распределения и т.д. Построение такой модели возможно, если имеется достаточный фактический материал для оценки необходимых вероятностных распределений или если теория рассматриваемого явления позволяет определить эти распределения теоретически (на основе формул теории вероятностей, предельных теорем и т.д.).

7. В зависимости от целей моделирования различают дескриптивные, оптимизационные и управленческие модели. В дескриптивных (от лат. descriptio – описание) моделях исследуются законы изменения параметров модели. Например, модель движения материальной точки под воздействием приложенных сил на основании второго закона Ньютона: . Задавая положение и ускорение точки в данный момент времени (входные параметры), массу (собственный параметр) и закон изменения прикладываемых сил (внешние воздействия), можно определить координаты точки и скорость в любой момент времени (выходные данные).

Оптимизационные модели применяются для определения наилучших (оптимальных), на основе некоторого критерия, параметров моделируемого объекта или способов управления этим объектом. Оптимизационные модели строятся с помощью одной и ли нескольких дескриптивных моделей и имеют несколько критериев определения оптимальности. На область значений входных параметров могут быть наложены ограничения в виде равенств или неравенств, связанных с особенностями рассматриваемого объекта или процесса. Примером оптимизационной модели служит составление рациона питания в определенной диете (в качестве входных данных выступают калорийность продукта, ценовые значения стоимости и т.д.).

Управленческие модели применяются для принятия решений в различных областях целенаправленной деятельности человека, когда из всего множества альтернатив выбирают несколько и общий процесс принятия решения представляет собой последовательность таких альтернатив. Например, выбор доклада для поощрения из нескольких подготовленных студентами. Сложность задачи состоит как в неопределенности о входных данных (самостоятельно подготовлен доклад или использован чей-то труд), так и целей (научность работы и ее структура, уровень изложения и уровень подготовки студента, результаты эксперимента и полученные выводы). Так как оптимальность принятого решения в одной и той же ситуации может трактоваться различным образом, то вид критерия оптимальности в управленческих моделях заранее не фиксируется. Методы формирования критериев оптимальности в зависимости от вида неопределенности рассматриваются в теории выбора и принятия решений, базирующейся на теории игр и исследовании операций.

8. По методу исследования различают аналитические, численные и имитационные модели. Аналитической моделью называют такое формализованное описание системы, которое позволяет получить решение уравнения в явном виде, используя известный математический аппарат. Численная модель характеризуется зависимостью, которая допускает только частные численные решения для конкретных начальных условий и количественных параметров модели. Имитационная модель – это совокупность описания системы и внешних воздействий, алгоритмов функционирования системы или правил изменения состояния системы под влиянием внешних и внутренних возмущений. Эти алгоритмы и правила не дают возможности использования имеющихся математических методов аналитического и численного решения, но позволяют имитировать процесс функционирования системы и фиксировать интересующие характеристики . Далее будут более подробно рассмотрены некоторые аналитические и имитационные модели, изучение именно этих видов моделей связано со спецификой профессиональной деятельности студентов указанного направления подготовки.

1.4. Графическое представление математических моделей

В математике формы связи между величинами могут быть представлены уравнениями вида независимая переменная (аргумент), y – зависимая переменная (функция). В теории математического моделирования независимую переменную называют фактором, зависимую – откликом. Причем в зависимости от области построения математической модели терминология несколько видоизменяется. Некоторые примеры определений фактора и отклика, в зависимости от области исследования, приведены в таблице 1.

Таблица 1. Некоторые определения понятий «фактор» и «отклик»

Представляя графически математическую модель, мы будем считать факторы и отклики переменными величинами, значения которых принадлежат множеству действительных чисел.

Графическим представлением математической модели являетсянекоторая поверхность отклика, соответствующая расположению точек в k- мерном факторном пространстве Х . Наглядно можно представить себе только одномерную и двухмерную поверхности отклика. В первом случае это множество точек на действительной плоскости, а во втором – множество точек, образующих поверхность в пространстве (для изображения таких точек удобно применять линии уровня – способ изображения рельефа поверхности пространства, построенного в двумерном факторном пространстве Х (Рис. 8).

Область, в которой определена поверхность отклика, называется областью определения Х * . Эта область составляет, как правило, лишь часть полного факторного пространства Х (Х* Ì Х ) и выделяется с помощью ограничений, наложенных на управляющие переменные x i , записанных в виде равенств:

x i = C i , i = 1,…, m ;

f j (x ) = C j , j = 1,…, l

или неравенств:

x i min £ x i £ x i max , i = 1,…, k ;

f j (x ) £ C j , j = 1,…, n ,

При этом функции f j (x ) могут зависеть как одновременно от всех переменных, так и от некоторой их части.

Ограничения типа неравенств характеризуют или физические ограничения на процессы в изучаемом объекте (например, ограничения температуры), или технические ограничения, связанные с условиями работы объекта (например, предельная скорость резания, ограничения по запасам сырья).

Возможности исследования моделей существенно зависят от свойств (рельефа) поверхности отклика, в частности, от количества имеющихся на ней «вершин» и ее контрастности. Количество вершин (впадин) определяет модальность поверхности отклика. Если в области определения на поверхности отклика имеется одна вершина (впадина), модель называется унимодальной .

Характер изменения функции при этом может быть различным (Рис. 9).

Модель может иметь точки разрыва первого рода (Рис. 9 (а)), точки разрыва второго рода (Рис. 9(б)). На рисунке 9(в) показана непрерывно-дифференцируемая унимодальная модель.

Для всех трех случаев, представленных на рисунке 9, выполняется общее требование унимодальности:

если W(x*) – экстремум W, то из условия х 1 < x 2 < x* (x 1 > x 2 > x*) следует W(x 1) < W(x 2) < W(x*) , если экстремум – максимум, или W(x 1) > W(x 2) > W(x*) , если экстремум – минимум, то есть, по мере удаления от экстремальной точки значение функции W(x) непрерывно уменьшается (увеличивается).

Наряду с унимодальными рассматривают полимодальные модели (Рис.10).

Другим важным свойством поверхности отклика является ее контрастность, показывающая чувствительность результирующей функции к изменению факторов. Контрастность характеризуется величинами производных. Продемонстрируем характеристики контрастности на примере двумерной поверхности отклика (Рис. 11).

Точка а расположена на «склоне», характеризующем равную контрастность по всем переменным х i (i =1,2), точка b расположена в «овраге», в котором различная контрастность по различным переменным (имеем плохую обусловленность функции), точка с расположена на «плато», на котором низкая контрастность по всем переменным х i говорит о близости экстремума.

1.5. Основные методы построения математических моделей

Приведем классификацию методов формализованного представления моделируемых систем Волковой В.Н. и Денисова А.А.. Авторами выделены аналитические, статистические, теоретико-множественные, лингвистические, логические, графические методы. Основная терминология, примеры теорий, развивающихся на базе описанных классов методов, а также сфера и возможности их применения предложены в приложении 1.

В практике моделирования систем наибольшее распространение получили аналитические и статистические методы.

1) Аналитические методы построения математических моделей.

Основу терминологического аппарата аналитических методов построения математических моделей составляют понятия классической математики (формула, функция, уравнение и система уравнений, неравенство, производная, интеграл и т.д.). Для этих методов характерна четкость и обоснованность терминологии с использованием языка классической математики.

На основе аналитических представлений возникли и получили развитие такие математические теории, как классический математический анализ (например, методы исследования функций), так и современные основы математического программирования и теории игр. К тому же, математическое программирование (линейное, нелинейное, динамическое, целочисленное и т.д.) содержит как средства постановки задачи, так и расширяет возможности доказательства адекватности модели, в отличие от ряда других направлений математики. Идеи оптимального математического программирования для решения экономических (в частности, решения задачи оптимального раскроя листа фанеры) задач были предложены Л.В. Канторовичем.

Поясним особенности метода на примере.

Пример. Предположим, что для производства двух видов продукций А и В нужно использовать сырьё трёх видов. При этом на изготовление единицы продукции вида А расходуется 4ед. сырья первого вида, 2 ед. 2-го и 3ед. 3-го вида. На изготовление единицы продукции вида В расходуется 2ед. сырья 1-го вида, 5 ед. 2-го вида и 4 ед. 3-го вида сырья. На складе фабрики имеется 35 ед. сырья 1-го вида, 43 – 2-го, 40 – 3-го вида. От реализации единицы продукции вида А фабрика имеет прибыль 5 тыс. руб., а от реализации единицы продукции вида В прибыль составляет 9 тыс. руб. Необходимо составить математическую модель задачи, в которой предусматривается получение максимальной прибыли.

Нормы расхода сырья каждого вида на изготовление единицы данного вида продукции приведены в таблице. В ней же указаны прибыль от реализации каждого вида продукции и общее количества сырья данного вида, которое может быть использовано предприятием.

Обозначим через х 1 и х 2 объем выпускаемой продукции видов А и В соответственно. Затраты материала первого сорта на план составят 4х 1 + 2х 2 , и они не должны превосходить запасов, т.е. 35 кг:

4х 1 + 2х 2 35.

Аналогичны ограничения по материалу второго сорта:

2х 1 + 5х 2 43,

и по материалу третьего сорта

3х 1 + 4х 2 40.

Прибыль от реализации х 1 единиц продукции А и х 2 единиц продукции В составит z = 5x 1 + 9x 2 (целевая функция).

Получили модель задачи:

Графическое решение задачи приведено на рисунке 11.

Оптимальное (наилучшее, т.е. максимум функции z ) решение задачи – в точке А (решение пояснено в главе 5).

Получили, что х 1 =4, х 2 =7, значение функции z в точке А: .

Таким образом, значение максимальной прибыли равно 83 тыс. руб.

Кроме графического существует еще ряд специальных методов решения задачи (например, симплекс-метод) или применяются пакеты прикладных программ, их реализующих. В зависимости от вида целевой функции различают линейное и нелинейное программирование, в зависимости от характера переменных выделяют целочисленное программирование.

Можно выделить общие черты математического программирования:

1) введение понятия целевой функции и ограничений являются средствами постановки задачи;

2) возможно объединение в одной модели разнородных критериев (разных размерностей, в примере – запасы сырья и прибыль);

3) модель математического программирования допускает выход на границу области допустимых значений переменных;

4) возможность реализации пошагового алгоритма получения результатов (пошаговое приближение к оптимальному решению);

5) наглядность, достигаемая посредством геометрической интерпретацией задачи, помогающая в тех случаях, когда невозможно решить задачу формально.

2) Статистические методы построения математических моделей.

Статистические методы построения математических моделей получили распространение и начали широко применяться с развитием теории вероятностей в 19 веке. В их основе лежат вероятностные закономерности случайных (стохастических) событий, отображающие реальные явления. Термин «стохастические» - уточнение понятия «случайные», указывает на заранее заданные, определенные причины, воздействующие на процесс, а понятие «случайные» характеризуется независимостью от воздействия или отсутствия таких причин.

Статистические закономерности представлены в виде дискретных случайных величин и закономерностей появления их значений или в виде непрерывных зависимостей распределения событий (процессов). Теоретические основы построения стохастических моделей подробно описаны в главе 2.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте основную задачу математического моделирования.

2. Дайте определение математической модели.

3. Перечислите основные недостатки экспериментального подхода в исследовании.

4. Перечислите основные этапы построения модели.

5. Перечислите виды математических моделей.

6. Дайте краткую характеристику видов моделей.

7. Какой вид принимает математическая модель, представленная геометрически?

8. Как задаются математические модели аналитического типа?

Задания

1. Составить математическую модель решения задачи и провести классификацию модели:

1) Определить наибольшую вместимость цилиндрического ведра, поверхность которого (без крышки) равна S.

2) Предприятие обеспечивает регулярных выпуск продукции при безотказной поставке комплектующих от двух смежников. Вероятность отказа в поставке от первого из смежников – , от второго – . Найти вероятность сбоя в работе предприятия.

2. Модель Мальтуса (1798) описывает размножение популяции со скоростью, пропорциональной ее численности. В дискретном виде этот закон представляет собой геометрическую прогрессию: ; или .Закон, записанный в виде дифференциального уравнения, представляет собой модель экспоненциального роста популяции и хорошо описывает рост клеточных популяций в отсутствии какого-либо лимитирования: . Задайте начальные условия и продемонстрируйте работу модели.

Модель сложной системы, рассмотренная ранее, представляет собой математическую схему моделирования общего вида. На практике для формализации концептуальных моделей ряда систем выгоднее применять типовые математические схемы моделирования, учитывающие с одной стороны способ представления времени в модели (непрерывная переменная или дискретная), а с другой стороны степень случайности моделируемых процессов. По этим признакам различают следующие математические схемы моделирования (классы ММ).

Непрерывно – детерминированные модели (D – схемы).

Дискретно – детерминированные модели (F – схемы).

Дискретно – вероятностные модели (P – схемы).

Непрерывно - вероятностные модели (Q – схемы).

Сетевые модели (N – схемы).

Агрегатные модели (А – схемы).

Непрерывно-детерминированные модели . В этих моделях время t полагается непрерывной переменной, а случайными факторами в системе пренебрегают. Математический аппарат моделей – теория дифференциальных и интегральных уравнений, с помощью которой достигается адекватное описание динамических систем. Наиболее глубоко разработан операторный метод описания и исследования процессов функционирования динамических систем и их структур.

Примером непрерывно – детерминированной модели одноканальной системы автоматического управления является неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

В этом уравнении x(t)- входное воздействие; y(t) – выходная величина, характеризующая положение объекта управления; - внутренние параметры системы.

Если динамическая система описывается нелинейным дифференциальным уравнением, то его линеаризуют и решают как линейное.

Применение непрерывно – детерминированных моделей позволяет количественно осуществлять не только анализ динамических систем, но и оптимальный синтез их.

Дискретно-детерминированные модели . В дискретно–детерминированных (ДД) моделях время t является дискретной переменной , где – шаг дискретизации, а – дискретные моменты времени.

Основной математический аппарат, используемый при построении ДД – моделей – это теория разностных уравнений и аппарат дискретной математики, в частности, теория конечных автоматов.

Разностное уравнение – это уравнение, содержащее конечные разности искомой функции

где – соответственно состояние системы и внешнее воздействие в дискретные моменты времени .

В прикладных задачах ДД – модели в виде (2.6) часто возникают как промежуточные при исследовании НД – моделей на ЭВМ, когда аналитическое решение дифференциального уравнения получить не удается и приходится применять разностные схемы.

Кратко рассмотрим теорию конечных автоматов, которая используется для построения ДД – моделей.

Конечный автомат – это математическая модель дискретной системы, которая под действием входных сигналов вырабатывает выходные сигналы , и которая может иметь некоторые изменяемые внутренние состояния ; здесь – конечные множества.

Конечный автомат характеризуется: входным алфавитом ; выходным алфавитом ; внутренним алфавитом состояний ; начальным состоянием ; функцией переходов ; функцией выходов .

Процесс функционирования конечного автомата таков. В –м такте на вход автомата, находящегося в состоянии , поступает входной сигнал , на который автомат реагирует переходом на –м такте в состояние и выдачей выходного сигнала Например, конечный автомат Мили описывается следующими рекуррентными соотношениями:

Дискретно–вероятностные модели . В дискретно–вероятностной модели учитываются случайные элементы исследуемой сложной системы. Основной математический аппарат, используемый при построении и исследовании ДВ – моделей, – это теория разностных стохастических уравнений и теория вероятностных автоматов.

Разностное стохастическое уравнение – это такое уравнение, которое содержит случайные параметры или случайные входные воздействия .

Пусть на вероятностном пространстве определен случайный – вектор параметров и случайная последовательность входных воздействий

Нелинейное разностное стохастическое уравнение порядка имеет вид , (2.8)

где заданные начальные состояния системы; заданная функция переменных.

Решением этого уравнения является определенная на множестве случайная последовательность состояний моделируемой системы:

Если функция линейная по , то (2.8) примет вид:

(2.9)

где вектор параметров.

Другой математический аппарат построения ДВ – моделей сложных систем представляет теория вероятностных автоматов.

Вероятностный автомат, определенный на множестве , есть конечный автомат, в котором функция переходов и функция выходов являются случайными функциями, имеющими некоторые вероятностные распределения.

Примем обозначения для вероятностных распределений – начальное распределение вероятностей, – вероятность события, состоящего в том, что находящийся в –м такте в состоянии автомат под воздействием входного сигнала выдаст выходной сигнал и перейдет на –м такте в состояние

Математическая модель вероятностного автомата полностью определяется пятью элементами: .

Непрерывно – вероятностные модели . При построении и исследовании НВ – моделей используется теория стохастических дифференциальных уравнений и теория массового обслуживания.

Стохастическое дифференциальное уравнение (в форме Ито) имеет вид:

где – случайный процесс, определяющий состояние системы в момент времени ; – стандартный винеровский случайный процесс; – коэффициенты диффузии и переноса. НВ – модель часто используется при моделировании стохастических систем управления, процессов обмена.

Теория массового обслуживания разрабатывает и исследует математические модели различных по своей природе процессов функционирования систем, например: поставок сырья и комплектующих изделий некоторому предприятию; заданий, поступающих на ЭВМ от удаленных терминалов; вызов на телефонных станциях и т.д. Для функционирования таких систем характерна стохастичность: случайность моментов времени появления заявок на обслуживание и т.д.

Система, описываемая как система массового обслуживания (СМО), состоит из приборов обслуживания . Прибор обслуживания состоит из накопителя заявок , в котором могут одновременно находиться заявок , и канала обслуживания заявок; – емкость накопителя , то есть число мест в очереди на обслуживание заявок в канале .

На каждый элемент прибора поступают потоки событий; в накопитель – поток заявок , на канал – поток «обслуживаний» . Поток заявок представляет последовательность интервалов времени между моментами появления заявок на входе СМО и образует подмножество неуправляемых переменных СМО. А поток представляет собой последовательность интервалов времени между моментами начала и окончания обслуживания заявок и образует подмножество управляемых переменных.

Заявки, обслуженные СМО, образуют выходной поток – последовательность интервалов времени между моментами выхода заявок. Не обслуженные заявки, но покинувшие СМО по различным причинам, образуют выходной поток потерянных заявок.

Сетевые модели используют для формализации причинно – следственных связей в сложных системах с параллельными процессами. В основе этих моделей лежит сеть Петри. При графической интерпретации сеть Петри представляет собой граф особого вида, состоящий из вершин двух типов – позиций и переходов , соединенных ориентированными дугами, причем каждая дуга может связывать лишь разнотипные вершины (позицию с переходом или переход с позицией). Вершины-позиции обозначаются кружками, вершины-переходы – черточками. С содержательной точки зрения переходы соответствуют событиям, присущим исследуемой системе, а позиции – условиям их возникновения.

Таким образом, совокупность переходов, позиций и дуг позволяет описать причинно-следственные связи, присущие системе, но в статике. Чтобы сеть Петри «ожила», вводят еще один вид объектов сети – так называемые фишки или метки позиций, которые перемещаются по переходам сети при условии наличия метки во входной позиции и отсутствии метки в выходной позиции. Расположение фишек в позициях сети называется разметкой сети .

Агрегатные модели . Анализ существующих задач приводит к выводу о том, что комплексное решение проблем возможно лишь в том случае, если моделирующие системы имеют в своей основе единую математическую схему моделирования. Такой подход к формализации процесса функционирования сложной системы предложен Бусленко Н.П. и базируется на понятии «агрегата».

При агрегатном описании сложная система разбивается по подсистемы, сохраняя при этом связи обеспечивающие взаимодействие их. Если подсистема оказывается сложной, то процесс расчленения продолжается до тех пор, пока не образуются подсистемы, которые в условиях рассматриваемой задачи могут считаться удобными для математического описания.

В результате этого получается многоуровневая конструкция из взаимосвязанных элементов объединенных в подсистемы различных уровней. Элементами агрегатной модели являются агрегаты. Связи между агрегатами и внешней средой осуществляются с помощью операторов сопряжения. Сам агрегат тоже может рассматриваться как агрегатная модель, то есть разбиваться на элементы следующего уровня.

Любой агрегат характеризуется множествами: моментов времени T , входных X и выходных Y сигналов, состояний агрегата Z в каждый момент времени t . Процесс функционирования агрегата состоит из скачков состояний в моменты поступлений входных сигналов x и изменений состояний между этими моментами и .

Моменты скачков , не являющиеся моментами поступления входных сигналов называют особыми моментами времени , а состояния особыми состояниями агрегатной схемы. В множестве состояний Z выделяют подмножество , что если достигает , то это состояние является моментом выдачи выходного сигнала y .

Выбор редакции