수학적 모델의 분류. 수학적 모델의 예

모델링 모델링은 학습이다 실제 시스템(원본) 모델을 사용하여 특정 객체 대응을 갖고 기능적 특징을 예측할 수 있는 새로운 객체로 대체합니다. 모델링을 할 때 사물 자체를 실험하는 것이 아니라 대체물이라는 사물을 가지고 실험을 합니다.

모델링 프로세스에는 여러 단계가 포함됩니다.

1. 연구할 실제 물체의 특성에 대한 문제 설명 및 결정.

2. 실제 물체를 연구하는 것이 어렵거나 불가능하다는 진술.

3. 모델 선택, 한편으로는 객체의 기본 속성이 잘 작동하고 다른 한편으로는 연구하기 쉽습니다. 모델은 객체의 기본 속성을 반영해야 하며 문법적이지 않아야 합니다.

4. 목표에 따른 모델 연구.

5. 대상과 모델의 적합성을 확인합니다. 일치하는 항목이 없으면 처음 4개 항목을 반복해야 합니다.

모델링 문제를 해결하는 데는 고전적이고 체계적인 접근 방식이 있습니다. 이 방법의 본질은 다음과 같습니다. 연구할 실제 개체를 별도의 구성 요소로 나눕니다. 디특정 목표가 선택되었습니다. 기음모델의 개별 구성 요소 형성 에게. 그런 다음 초기 데이터를 기반으로 모델 구성 요소가 생성되고 해당 관계를 고려하여 전체가 모델로 결합됩니다. 이 방법은 유도적입니다. 모델의 구성은 특수한 것에서 일반적인 것으로 진행됩니다.

고전적인 방법은 상대적으로 모델링하는 데 사용됩니다. 간단한 시스템, 예를 들어 자주포. 체계적인 접근 이 방법의 핵심은 초기 데이터를 기반으로 디, 이는 시스템에 부과된 제한 사항을 고려하고 목표에 따라 외부 환경 분석을 통해 알려져 있습니다. 기음, 요구 사항이 형성됩니다 티그리고 객체 모델. 이러한 요구 사항을 기반으로 하위 시스템이 구축됩니다. 피및 하위 시스템의 요소 이자형 CV 선택 기준을 사용하여 최상의 모델이 선택됩니다. 모델의 구성은 일반적인 것에서 구체적인 것으로 진행됩니다.

시스템 접근법은 복잡한 시스템을 모델링하는 데 사용됩니다.

모델링 유형 분류 1. 모델 구성 방법에 따라 a) 이론적 (분석적) - 물리적 데이터에서 발생하는 관계를 기반으로 내부 구조에 대한 데이터에 따라 구축됩니다. b) 형식적 - 시스템에 대한 출력과 입력 간의 관계를 기반으로 합니다. c) 결합형 2의 원리를 바탕으로 제작되었습니다. 시간에 따른 변수의 변화 a) 정적. b) 정적 모델은 객체의 상태를 설명하며 파생 항목을 포함하지 않습니다. 엑스그리고 ~에(입력 및 출력)은 시간에 따른 신호입니다. b) 동적 모델은 시간에 따른 과도 프로세스를 설명하고 도함수를 포함하는 볼륨의 정적 특성을 설명합니다. ~에나dt.동적 모델은 획득 방법에 따라 과도 임펄스 또는 주파수 응답의 미분 방정식 형태로 전달 함수 형태로 제시됩니다. 집중 매개변수를 갖는 물체의 동역학은 일반 미분 방정식으로 설명됩니다. 분포된 매개변수를 가진 객체는 주파수 미분의 미분 방정식으로 설명됩니다.3. 공간 좌표에 대한 가변 모듈의 의존성에 따라 a) 분산 매개변수 사용 b) 집중 매개변수 사용. 구성 원칙에 따르면 a) 확률론적입니다. 엑스그리고 ~에(입력 및 출력)이 일정하거나 알려진 수량(결정론적)인 경우 모델을 확률론적이라고 합니다. 엑스그리고 ~에확률적(가능성 있는) 변수인 경우 모델을 확률론적이라고 합니다.

확률론적 모델은 가능한 요소를 포함하고 운영 개체에 대한 정적 연구의 결과로 얻은 종속성 시스템을 나타냅니다.

결정론적이란 이론적 접근 방식을 사용하여 구축된 기능적 종속성 시스템입니다.

결정론적 모델에는 여러 가지 장점이 있습니다. 설계 과정에서 종종 발생하는 것처럼 기존 시설이 없더라도 개발이 가능합니다. 정량적으로 정확하지 않은 모델 매개변수가 있는 경우에도 물체에서 발생하는 프로세스를 질적으로 더 정확하게 특성화합니다.

모델링 객체에 대한 정보가 충분히 완전하지 않거나 상당한 복잡성으로 인해 모든 입력 영향을 모델 형태로 설명하는 것이 불가능하고 관찰할 수 없는 변수가 출력 좌표에 미치는 영향이 중요한 경우 정적 모델 사용됩니다.

5. 변수에 대한 모델 매개변수의 의존성을 기반으로 합니다.

a) 종속적(비선형).

b) 독립적(선형).

모델의 매개변수(계수)가 변수에 따라 달라지거나 곱셈적인 경우 모델은 비선형입니다.

모델은 입력 영향에 대한 연속적인 반응과 모델 매개변수의 추가성을 통해 선형으로 간주됩니다.

수량의 접착은 전체 개체의 수량 값이 개체를 부분으로 분할하는 경우 전체의 해당 빈도 값의 합과 동일함을 의미하는 속성입니다.

수량의 곱셈은 전체 객체의 크기 값이 객체를 부분으로 분할하는 경우 전체의 해당 부분 값의 곱과 동일하다는 속성입니다.

6. 모델의 적응성에 따라.

a) 적응력.

b) 비적응.

적응형은 모델의 출력 변수와 객체 사이의 일부 오류 측정이 최소화되도록 구조와 매개변수가 변경되는 모델입니다.

검색형과 비검색형으로 구분됩니다.

검색 모델에서 자동 최적화 프로그램은 모델 매개변수를 변경하여 개체의 출력 모델 간의 최소 오류 측정값을 얻습니다.

2번 강의

수학적 모델링 방식

시스템의 수학적 모델을 구성하는 기본 접근 방식

수학적 모델과 시스템 기능 프로세스를 구축할 때 초기 정보는 연구 중인 시스템의 목적과 작동 조건에 대한 데이터입니다. 이 정보는 시스템 모델링의 주요 목적을 정의합니다. 에스요구 사항과 개발된 수학적 모델을 공식화할 수 있습니다. 중.

수학적 체계는 외부 환경의 영향을 고려하여 프로세스 기능 프로세스에 대한 의미 있는 설명에서 형식적인 설명으로 전환하는 링크입니다. 설명적 모델 → 수학적 체계 → 수학적 모델이라는 사슬이 있습니다.

각 시스템 에스시스템의 동작과 외부 환경과의 상호 작용에서 기능하는 조건을 반영하는 일련의 속성이 특징입니다. ε .

모델의 완전성은 주로 시스템의 경계 선택에 의해 제어됩니다. 에스그리고 외부 환경 이자형.

모델을 단순화하는 작업은 시스템의 주요 속성을 강조하고 보조 속성을 폐기하는 데 도움이 됩니다.

다음 표기법을 소개하겠습니다.

1) 시스템에 대한 입력 영향 세트

.

2) 환경 영향의 총체

.

3) 시스템의 내부 또는 자체 매개변수 세트

.

4) 시스템의 출력 특성 세트

응용 문제를 해결하는 데 컴퓨터를 사용하려면 먼저 응용 문제를 공식적인 수학 언어로 "번역"해야 합니다. 실제 객체, 프로세스 또는 시스템의 경우 구축되어야 합니다. 수학적 모델.

논리적 및 수학적 구성을 사용하여 정량적 형태의 수학적 모델은 객체, 프로세스 또는 시스템의 기본 속성, 해당 매개 변수, 내부 및 대외관계.

을 위한 수학적 모델 구축필요한:

1. 실제 객체나 프로세스를 주의 깊게 분석합니다.
2. 가장 중요한 특징과 특성을 강조합니다.
3. 변수를 정의합니다. 즉, 값이 객체의 주요 특징과 속성에 영향을 미치는 매개변수
4. 논리-수학적 관계(방정식, 평등, 불평등, 논리-수학적 구성)를 사용하여 변수 값에 대한 객체, 프로세스 또는 시스템의 기본 속성의 의존성을 설명합니다.
5. 가장 밝은 부분 내부 커뮤니케이션제한, 방정식, 평등, 불평등, 논리적 및 수학적 구성을 사용하는 객체, 프로세스 또는 시스템;
6. 외부 연결을 식별하고 제한, 방정식, 등식, 부등식, 논리적 및 수학적 구성을 사용하여 설명합니다.

수학적 모델링, 객체, 프로세스 또는 시스템을 연구하고 수학적 설명을 작성하는 것 외에도 다음이 포함됩니다.

1. 객체, 프로세스 또는 시스템의 동작을 모델링하는 알고리즘을 구축합니다.
2. 시험 모델의 적절성컴퓨터 및 자연 실험을 기반으로 하는 개체, 프로세스 또는 시스템;
3. 모델 조정;
4. 모델을 사용합니다.

연구 중인 프로세스 및 시스템에 대한 수학적 설명은 다음에 따라 달라집니다.

1. 실제 프로세스 또는 시스템의 본질을 나타내며 물리, 화학, 역학, 열역학, 유체 역학, 전기 공학, 가소성 이론, 탄성 이론 등의 법칙을 기반으로 작성됩니다.
2. 실제 프로세스와 시스템에 대한 연구와 연구에 필요한 신뢰성과 정확성.

수학적 모델을 선택하는 단계에서는 객체, 프로세스 또는 시스템의 선형성과 비선형성, 역동성 또는 정적성, 정상성 또는 비정상성, 연구 중인 객체 또는 프로세스의 결정성 정도가 설정됩니다. 수학적 모델링에서는 대상, 프로세스 또는 시스템의 특정 물리적 특성을 의도적으로 추상화하고 주로 이러한 프로세스를 설명하는 수량 간의 정량적 종속성에 대한 연구에 중점을 둡니다.

수학적 모델문제의 객체, 프로세스 또는 시스템과 완전히 동일하지 않습니다. 단순화, 이상화를 바탕으로 대상에 대한 대략적인 설명입니다. 따라서 모델 분석을 통해 얻은 결과는 근사치입니다. 정확도는 모델과 객체 간의 적합성(준수) 정도에 따라 결정됩니다.

이는 일반적으로 고려 중인 객체, 프로세스 또는 시스템의 가장 단순하고 조악한 수학적 모델을 구성하고 분석하는 것으로 시작됩니다. 앞으로는 필요하다면 모델이 개선되고 객체와의 대응이 더욱 완전해집니다.

간단한 예를 들어보겠습니다. 책상의 표면적을 결정하는 것이 필요합니다. 일반적으로 이는 길이와 너비를 측정한 다음 결과 숫자를 곱하여 수행됩니다. 이 기본 절차는 실제로 다음을 의미합니다. 실제 객체(테이블 표면)가 추상적인 수학적 모델(사각형)으로 대체됩니다. 테이블 표면의 길이와 너비를 측정하여 얻은 치수는 직사각형에 할당되며 이러한 직사각형의 면적은 대략 테이블의 필요한 면적으로 간주됩니다.

그러나 책상의 직사각형 모델은 가장 단순하고 조잡한 모델입니다. 문제에 좀 더 진지하게 접근한다면, 직사각형 모델을 사용하여 테이블의 면적을 결정하기 전에 이 모델을 확인해야 합니다. 검사는 다음과 같이 수행할 수 있습니다. 테이블의 반대쪽 길이와 대각선 길이를 측정하고 서로 비교합니다. 필요한 정확도로 반대쪽 변의 길이와 대각선의 길이가 쌍으로 동일하다면 테이블 표면은 실제로 직사각형으로 간주될 수 있습니다. 안에 그렇지 않으면직사각형 모델은 거부되고 일반적인 사변형 모델로 대체되어야 합니다. 정확도에 대한 요구 사항이 높을수록 테이블 모서리의 둥근 부분을 고려하는 등 모델을 더욱 구체화해야 할 수도 있습니다.

이것으로 간단한 예그것은 보여졌다 수학적 모델연구 대상, 프로세스 또는 시스템에 의해 고유하게 결정되지 않습니다. 동일한 테이블에 대해 직사각형 모델, 일반 사변형의 보다 복잡한 모델 또는 모서리가 둥근 사변형을 채택할 수 있습니다. 하나의 모델 또는 다른 모델의 선택은 정확성 요구 사항에 따라 결정됩니다. 정확성이 높아짐에 따라 모델은 연구 대상, 프로세스 또는 시스템의 새롭고 새로운 기능을 고려하여 복잡해져야 합니다.

또 다른 예를 생각해 보겠습니다. 크랭크 메커니즘의 움직임을 연구합니다(그림 2.1).

쌀. 2.1.

이 메커니즘의 운동학적 해석을 위해서는 우선 그것의 운동학적 모델을 구성하는 것이 필요하다. 이렇게 하려면:

1. 모든 링크가 교체되는 운동학적 다이어그램으로 메커니즘을 교체합니다. 단단한 유대;
2. 이 다이어그램을 사용하여 메커니즘의 운동 방정식을 유도합니다.
3. 후자를 미분하면 1차와 2차 미분방정식인 속도와 가속도의 방정식을 얻는다.

다음 방정식을 작성해 보겠습니다.

여기서 C 0은 슬라이더 C의 가장 오른쪽 위치입니다.

r – 크랭크 반경 AB;

l – 커넥팅로드 길이 BC;

– 크랭크 회전 각도;

받았다 초월 방정식다음과 같은 단순화된 가정을 기반으로 평면 축방향 크랭크 메커니즘의 동작에 대한 수학적 모델을 제시합니다.

1. 우리는 몸체의 메커니즘에 포함된 질량의 구조적 형태와 배열에 관심이 없었으며 메커니즘의 모든 몸체를 직선 세그먼트로 대체했습니다. 실제로 메커니즘의 모든 링크는 질량과 다소 복잡한 모양을 가지고 있습니다. 예를 들어, 커넥팅 로드는 복잡한 어셈블리이며 모양과 치수는 물론 메커니즘의 움직임에 영향을 미칩니다.
2. 고려 중인 메커니즘을 이동할 때 메커니즘에 포함된 몸체의 탄성도 고려하지 않았습니다. 모든 링크는 추상적이고 절대적인 강체로 간주되었습니다. 실제로 메커니즘에 포함된 모든 몸체는 탄성체입니다. 메커니즘이 움직이면 어떻게든 변형되고 탄성 진동이 발생할 수도 있습니다. 물론 이 모든 것은 메커니즘의 움직임에도 영향을 미칩니다.
3. 우리는 링크의 제조 오류, 운동학적 쌍 A, B, C의 간격 등을 고려하지 않았습니다.

따라서 문제 해결 결과의 정확성에 대한 요구 사항이 높을수록 다음 사항을 고려할 필요성이 커진다는 점을 다시 한 번 강조하는 것이 중요합니다. 수학적 모델 구축연구 중인 객체, 프로세스 또는 시스템의 특징. 하지만 힘들기 때문에 제 시간에 여기서 멈추는 것이 중요합니다. 수학적 모델해결하기 어려운 문제로 변할 수 있습니다.

모델은 객체, 프로세스 또는 시스템의 동작과 속성을 결정하는 법칙이 잘 알려져 있고 해당 법칙을 적용하는 데 있어 광범위한 실제 경험이 있을 때 가장 쉽게 구성됩니다.

연구 대상, 프로세스 또는 시스템에 대한 지식이 충분하지 않을 때 더 복잡한 상황이 발생합니다. 이 경우, 언제 수학적 모델 구축가설의 성격에 따라 추가 가정을 하는 것이 필요합니다. 이러한 모델을 가설이라고 합니다. 이러한 가상 모델을 연구한 결과 얻은 결론은 조건부입니다. 결론을 검증하려면 컴퓨터에서 모델을 연구한 결과와 실제 규모 실험 결과를 비교할 필요가 있습니다. 따라서 고려 중인 대상, 프로세스 또는 시스템 연구에 특정 수학적 모델을 적용할 수 있는지에 대한 문제는 수학적 문제가 아니며 수학적 방법으로 해결할 수 없습니다.

진실의 주요 기준은 가장 넓은 의미의 실험, 실천입니다.

수학적 모델 구축응용 작업에서 – 가장 복잡하고 중요한 작업 단계 중 하나입니다. 경험에 따르면 많은 경우 올바른 모델을 선택하는 것은 문제를 절반 이상 해결하는 것을 의미합니다. 이 단계의 어려움은 수학적 지식과 특수 지식의 조합이 필요하다는 것입니다. 따라서 응용 문제를 해결할 때 수학자들은 대상에 대한 특별한 지식을 갖고, 파트너인 전문가들은 특정 수학적 문화, 해당 분야의 연구 경험, 컴퓨터 및 프로그래밍에 대한 지식을 가지고 있는 것이 매우 중요합니다.

시스템 기능의 MM 프로세스를 구축할 때 초기 정보는 연구(설계)되는 시스템의 목적 및 작동 조건에 대한 데이터입니다. 이 정보는 모델링의 주요 목표, MM 요구 사항, 추상화 수준 및 수학적 모델링 체계 선택을 결정합니다.

수학적 체계의 개념을 통해 우리는 수학을 계산 방법이 아니라 사고 방법, 개념 형성 수단으로 고려할 수 있습니다. 이는 언어 설명에서 프로세스의 공식화 된 표현으로 전환하는 데 가장 중요합니다. 일부 MM의 형태로 기능합니다.

수학적 체계를 사용할 때, 먼저 시스템 연구자는 답을 얻을 가능성이 아니라 연구 중인 시스템의 실제 프로세스에 대한 특정 다이어그램 형태로 표현의 적절성에 대한 질문에 관심을 가져야 합니다. 해결 결과)를 특정 연구 질문에 적용합니다.

예를 들어, 큐잉 체계 네트워크 형태로 집단 IVS의 기능 프로세스를 표현하면 시스템에서 발생하는 프로세스를 잘 설명할 수 있지만 들어오는 흐름과 서비스 흐름의 복잡한 법칙으로는 설명할 수 없습니다. 명시적인 형태로 결과를 얻을 수 있습니다.

수학적 체계외부 환경의 영향을 고려하여 시스템 기능 프로세스에 대한 의미 있는 설명에서 형식화된 설명으로 전환하는 링크로 정의할 수 있습니다. 저것들. 설명 모델 - 수학적 체계 - 시뮬레이션 모델이라는 체인이 있습니다.

각 특정 시스템은 시뮬레이션된 개체(실제 시스템)의 동작을 반영하고 외부 환경(시스템)과 상호 작용하는 기능 조건을 고려하는 수량으로 이해되는 일련의 속성을 특징으로 합니다. E.

MM 시스템을 구축할 때에는 완전성 문제를 해결해야 한다. 모델링의 완전성은 주로 "시스템 - 환경 E" 경계의 선택에 따라 규제됩니다. MM을 단순화하는 문제도 해결되어야 합니다. 이는 시스템의 주요 속성을 강조하고 모델링 목적 측면에서 부차적인 속성을 삭제하는 데 도움이 됩니다.

모델링 객체의 MM, 즉 시스템은 실제 시스템의 기능 과정과 형태를 설명하는 양의 집합으로 표현될 수 있습니다. 일반적인 경우다음 하위 집합:

입력 세트는 다음에 영향을 미칩니다.

환경 영향의 총체

시스템의 내부(자체) 매개변수 세트

시스템의 출력 특성 세트

나열된 세트에서는 제어 가능한 수량과 제어 불가능한 수량을 구분할 수 있습니다. 일반적인 경우 X, V, H, Y는 교차할 수 없는 세트이며 결정론적 구성요소와 확률론적 구성요소를 모두 포함합니다.

따라서 객체의 MM을 통해 우리는 변수와 특성 사이의 수학적 연결과 함께 유한한 변수 집합을 이해합니다.

연산자 F, Ф가 결정적이면 모델링을 결정적이라고 합니다. 즉, 특정 입력의 경우 입력은 결정적입니다. 결정론적 모델링은 확률론적 모델링의 특별한 경우입니다. 실제로 연구 초기 단계에서 시스템 분석 분야의 개체 모델링은 미분 방정식, 유한 및 확률 자동 장치, QS 등과 같은 표준 수학적 체계를 사용하는 것이 더 합리적입니다.

결정론적 모델로서 연구에서 확률적 사실을 고려하지 않는 경우 연속시간에서 작동하는 시스템을 표현하기 위해 미분방정식, 적분방정식 및 기타 방정식을 사용하고, 이산시간에서 작동하는 시스템을 표현하기 위해 유한 오토마타 및 차분 방식을 사용합니다.

일반 지침

"최적의 결정 방법"이라는 학문의 목표는 분석 및 최적의 관리를 위해 무역 및 경제 프로세스를 모델링하는 방법론을 익히는 것입니다.

이 지침의 목적은 학생들이 경제 및 수학적 모델링의 기초를 연구하도록 돕고, 무역 관행 문제의 지표를 연결하기 위한 모델을 구성하는 데 수학적 방법을 사용하는 데 필요한 실용적인 기술을 보여주고, 이에 기초하여 경영 결정의 선택.

이 과정의 연구 목표는 무역 조직 및 기업 관리의 경제적 메커니즘입니다.

이 과정의 주제는 무역과 경제 시스템의 정보와 기능적 연결입니다.

"최적 솔루션 방법" 분야의 시험 합격 결과는 교사가 "통과"라고 표시한 모든 과제를 해결한 시험입니다. 합격한 시험은 교사에게 남아 있으며 검토는 교육 및 방법론 부서에 제출됩니다. 과제의 조건이 불분명하거나 문제 해결에 어려움이 있는 경우에는 지도교사와 상담해야 합니다. 해결된 과제가 승인되지 않을 경우 학생은 의견을 수정하고 재검토를 위한 시험에 응시해야 합니다.

취업 등록 규칙

노트 제목 페이지에는 학과명, 교수명, 코스, 성, 이름, 후원을 기재해야 합니다.

작업 시작 부분이나 제목 페이지에는 제어 작업에서 수행되는 작업 수를 표시해야 합니다.

각 문제를 해결하기 전에 해당 문제의 조건을 모두 적어야 합니다. 문제 해결에는 상세한 계산과 간략한 설명, 그리고 얻은 결과에 대한 경제적 분석이 포함되어야 합니다. 마지막에 테스트 작업사용된 참고문헌 목록을 제공하고 서명하십시오.

과제 1번

케이터링 기업에서 요리 구조를 결정하기 위한 경제-수학적 모델을 구축하여 다음 표 1에 제시된 첫 번째 및 두 번째 코스에 대해 주어진 제품 비용 표준을 기반으로 최대 이익을 보장합니다.

과제에 대한 데이터는 학생의 성, 이름, 부칭의 첫 글자를 기준으로 표 2에서 선택해야 합니다. 예를 들어, 학생 Nikolay Sergeevich Kornienko는 a 11 =2, a 12 =3, a 21 =2, a 23 =13, a 31 =6, a 32 =7, a 33 =8, a 데이터로 문제를 풀어야 합니다. 41 =9 , 42 =6, 44 =4, 54 =19, b1 =450, b2 =310, b3 =410, b4 =315, b5 =400, c1 =89, c 2 =41, c3 =50.

모든 지식 분야의 분류가 필요합니다. 축적된 경험을 일반화하고, 교과영역의 개념을 정리할 수 있습니다. 수학적 모델링 방법의 급속한 발전과 다양한 적용 분야로 인해 대량예를 들어 다양한 유형의 모델과 모든 모델에 보편적이거나 구성된 모델 분야에 필요한 범주로 모델을 분류해야 할 필요성이 있습니다. 다음은 일부 범주의 예입니다. 사용 영역; 모델의 시간 요소(역학)를 고려합니다. 지식 분야; 모델 제시 방법; 무작위(또는 불확실한) 요인의 존재 여부; 효율성 기준 유형 및 부과된 제한 사항 등

수학 문헌을 분석하여 가장 일반적인 분류 기능을 확인했습니다.

1. 구현 방법(공식 언어 포함)에 따라 모든 수학적 모델은 다음과 같이 나눌 수 있습니다. 분석적이고 알고리즘적입니다.

분석 – 표준 수학 언어를 사용하는 모델입니다. 시뮬레이션 모델은 특수 모델링 언어 또는 범용 프로그래밍 언어를 사용하는 모델입니다.

분석 모델은 분석 표현의 형태로 작성될 수 있습니다. 셀 수 있는 수의 산술 연산과 한계까지의 전환을 포함하는 표현식 형식입니다. 예: . 대수식은 분석식의 특별한 경우로 결과적으로 정확한 값을 제공합니다. 주어진 정확도로 결과 값을 찾을 수 있는 구성도 있습니다(예: 기본 함수를 거듭제곱 계열로 확장). 이 기술을 사용하는 모델을 근사 모델이라고 합니다.

차례로 분석 모델은 다음과 같이 나뉩니다. 이론적이고 경험적인모델. 이론적 모델은 연구 대상의 실제 구조와 프로세스를 반영합니다. 즉, 작동 이론을 기반으로 합니다. 경험적 모델은 환경 조건 변화에 대한 물체의 반응 연구를 기반으로 구축되었습니다. 이 경우 객체의 작동 이론은 고려되지 않습니다. 객체 자체는 소위 "블랙 박스"이며 모델은 일종의 보간 의존성입니다. 실험 데이터를 기반으로 경험적 모델을 구축할 수 있습니다. 이러한 데이터는 연구 대상 개체에서 직접 얻거나 물리적 모델을 사용하여 얻습니다.

분석 모델의 형태로 프로세스를 설명할 수 없는 경우 특수 알고리즘이나 프로그램을 사용하여 설명합니다. 이 모델은 알고리즘적입니다. 알고리즘 모델을 구성할 때 수치 또는 시뮬레이션 접근 방식이 사용됩니다. 수치적 접근 방식에서는 일련의 수학적 관계가 유한 차원 아날로그로 대체됩니다(예: 연속 인수 함수에서 이산 인수 함수로의 전환). 그런 다음 계산 알고리즘의 구성이 수행됩니다. 산술 및 논리 연산의 순서. 이산 아날로그의 발견된 해는 원래 문제의 대략적인 해로 간주됩니다. 시뮬레이션 접근 방식에서는 모델링 객체 자체가 이산화되어 모델이 구축됩니다. 개별 요소시스템.

2. 수학적 모델의 표현 형식에 따라 다음과 같이 구별됩니다.

1) 불변 모델 – 이러한 방정식을 풀기 위한 방법을 고려하지 않고 방정식 시스템(미분, 대수)으로 표현되는 수학적 모델입니다.

2) 대수적 모델 - 모델의 관계는 선택한 수치해법과 연관되어 있으며 알고리즘(계산 순서) 형식으로 작성됩니다.

3) 분석 모델 – 주어진 값에 대한 탐색 변수의 명시적인 의존성을 나타냅니다. 이러한 모델은 물리적 법칙을 기반으로 하거나 표 적분을 사용하여 원래 미분 방정식을 직접 통합한 결과로 얻어집니다. 여기에는 실험 결과를 기반으로 얻은 회귀 모델도 포함됩니다.

4) 그래픽 모델은 그래프, 등가회로, 다이어그램 등의 형태로 표현됩니다. 사용하려면 그래픽 모델그래픽 요소의 전통적인 이미지와 불변 수학적 모델의 구성요소 사이에는 일대일 대응에 대한 규칙이 있어야 합니다.

3. 효율성 기준의 유형과 부과된 제한 사항에 따라 모델은 다음과 같이 구분됩니다. 선형 및 비선형.선형 모델에서 성능 기준과 부과된 제약 조건은 모델 변수의 선형 함수(비선형 모델이라고도 함)입니다. 효율성 기준과 모델 변수에 부과된 제한 세트의 선형 의존성에 대한 가정은 실제로 상당히 수용 가능합니다. 이를 통해 잘 개발된 선형 프로그래밍 장치를 사용하여 솔루션을 개발할 수 있습니다.

4. 시간적 요인과 사용지역을 고려하여 정적 및 동적 모델. 모델에 포함된 모든 양이 시간에 의존하지 않는 경우 객체 또는 프로세스의 정적 모델(객체에 대한 정보의 일회성 스냅샷)이 있습니다. 저것들. 정적 모델은 시간이 변수가 아닌 모델입니다. 동적 모델을 사용하면 시간이 지남에 따라 개체의 변화를 확인할 수 있습니다.

5. 의사결정 당사자의 수에 따라 두 가지 유형의 수학적 모델이 있습니다. 설명적이고 규범적인. 설명적 모델에는 의사결정자가 없습니다. 공식적으로 설명 모델에서 그러한 당사자의 수는 0입니다. 이러한 모델의 전형적인 예는 큐잉 시스템 모델입니다. 기술 모델을 구축하기 위해 신뢰도 이론, 그래프 이론, 확률 이론, 통계 검정 방법(몬테카를로 방법)도 사용할 수 있습니다.

규범적 모델에는 여러 측면이 있습니다. 원칙적으로 두 가지 유형의 규범 모델, 즉 최적화 모델과 게임 이론 모델을 구분할 수 있습니다. 최적화 모델에서 솔루션 개발의 주요 작업은 기술적으로 효율성 기준의 엄격한 최대화 또는 최소화로 축소됩니다. 제어 변수의 이러한 값은 효율성 기준이 극한값(최대 또는 최소)에 도달하는 지점에서 결정됩니다.

최적화 모델이 표시하는 솔루션을 개발하기 위해서는 고전적 및 새로운 변형 방법(극한 검색)과 함께 수학적 프로그래밍 방법(선형, 비선형, 동적)이 가장 널리 사용됩니다. 게임이론 모델은 다수의 당사자(최소 2개)가 특징입니다. 이해관계가 반대되는 두 정당이 있을 경우에는 게임이론을, 정당의 수가 2 이상이고 연합과 타협이 불가능할 경우에는 비협조적 게임이론을 사용한다. N명

6. 무작위(또는 불확실) 요인의 유무에 따라, 결정론적 및 확률론적수학적 모델. 결정론적 모델에서는 모든 관계, 변수 및 상수가 정확하게 지정되므로 결과 함수가 명확하게 정의됩니다. 결정론적 모델은 작업 결과에 영향을 미치는 요소를 상당히 정확하게 측정하거나 평가할 수 있고, 무작위 요소가 없거나 무시할 수 있는 경우에 구축됩니다.

모델에 포함된 매개변수 중 일부 또는 전부가 본질적으로 확률변수 또는 확률함수인 경우 해당 모델은 확률론적 모델로 분류됩니다. 확률론적 모델에서는 무작위 변수의 분포 법칙이 지정되어 결과 함수에 대한 확률론적 평가가 이루어지며 현실은 무작위 프로세스로 표시되며 그 과정과 결과는 무작위 변수의 특정 특성인 수학적 기대로 설명됩니다. , 분산, 분포 함수 등 필요한 확률 분포를 추정하는 데 충분한 사실 자료가 있거나 고려 중인 현상 이론을 통해 이러한 분포를 이론적으로 결정할 수 있는 경우(확률 이론, 극한 정리 등의 공식을 기반으로) 이러한 모델의 구성이 가능합니다. .

7. 모델링 목적에 따라 다음과 같은 것들이 있습니다. 설명, 최적화 및 관리모델. 설명(라틴어 설명 - 설명) 모델에서는 모델 매개변수의 변화 법칙이 연구됩니다. 예를 들어, 뉴턴의 제2법칙을 기반으로 적용된 힘의 영향을 받는 물질 점의 이동 모델은 다음과 같습니다. 점의 위치와 가속도 지정 지금은시간(입력 매개변수), 질량(자체 매개변수) 및 적용된 힘의 변화 법칙(외부 영향)을 통해 언제든지 지점의 좌표와 속도(출력 데이터)를 결정할 수 있습니다.

최적화 모델은 일부 기준, 모델링된 개체의 매개변수 또는 이 개체를 제어하는 ​​방법을 기반으로 최상의(최적)을 결정하는 데 사용됩니다. 최적화 모델은 하나 이상의 설명 모델을 사용하여 구축되며 최적성을 결정하기 위한 여러 기준을 갖습니다. 입력 매개변수의 값 범위에는 고려 중인 객체 또는 프로세스의 특성과 관련된 등식 또는 불평등 형태의 제한이 적용될 수 있습니다. 최적화 모델의 예로는 특정 다이어트에 대한 다이어트 준비가 있습니다(제품의 칼로리 함량, 가격 값 등이 입력 데이터임).

관리 모델은 전체 대안 세트에서 여러 가지가 선택되고 전반적인 의사 결정 프로세스가 그러한 대안의 순서일 때 의도적인 인간 활동의 다양한 영역에서 결정을 내리는 데 사용됩니다. 예를 들어, 학생들이 준비한 여러 보고서 중에서 승진 보고서를 선택합니다. 작업의 복잡성은 입력 데이터(보고서가 독립적으로 준비되었는지 또는 다른 사람의 작업이 사용되었는지 여부)와 목표(작업의 과학적 성격과 구조, 프레젠테이션 수준 및 준비 수준)에 대한 불확실성에 있습니다. 학생의 실험 결과 및 얻은 결론). 동일한 상황에서 내려진 의사결정의 최적성은 서로 다른 방식으로 해석될 수 있으므로 관리 모델의 최적성 기준 유형은 미리 고정되어 있지 않습니다. 게임이론과 운영연구를 바탕으로 선택이론과 의사결정이론에서는 불확실성의 종류에 따른 최적성 기준을 형성하는 방법을 고려한다.

8. 연구방법에 따라 다음과 같이 구분한다. 분석, 수치 및 시뮬레이션모델. 분석 모델은 잘 알려진 수학적 장치를 사용하여 방정식에 대한 명시적인 해를 얻을 수 있도록 하는 시스템에 대한 형식화된 설명입니다. 수치 모델은 특정 초기 조건과 모델의 정량적 매개변수에 대해 부분적인 수치 솔루션만 허용하는 의존성을 특징으로 합니다. 시뮬레이션 모델은 시스템 및 외부 영향에 대한 설명, 시스템 기능을 위한 알고리즘 또는 외부 및 내부 교란의 영향으로 시스템 상태를 변경하는 규칙의 집합입니다. 이러한 알고리즘과 규칙을 사용하면 분석적 및 수치적 솔루션에 기존 수학적 방법을 사용할 수 없지만 시스템 기능 프로세스를 시뮬레이션하고 관심 있는 특성을 기록할 수 있습니다. 다음으로, 이러한 특정 유형의 모델에 대한 연구는 이 훈련 분야에서 학생들의 전문적인 활동과 관련되어 일부 분석 및 시뮬레이션 모델을 더 자세히 조사합니다.

1.4. 수학적 모델의 그래픽 표현

수학에서 양 사이의 관계 형태는 독립변수(인수) 형태의 방정식으로 표현될 수 있습니다. 와이– 종속변수(함수). 수학적 모델링 이론에서는 독립변수를 요인이라고 하고, 종속변수를 반응이라고 합니다. 또한 수학적 모델의 구성 영역에 따라 용어가 다소 변경됩니다. 연구 분야에 따른 요인 및 반응 정의의 몇 가지 예가 표 1에 나와 있습니다.

표 1. "요인"과 "반응" 개념의 일부 정의

수학적 모델을 그래픽으로 표현하여 요인과 응답을 값이 실수 집합에 속하는 변수로 간주합니다.

수학적 모델의 그래픽 표현은 점의 위치에 해당하는 일부 반응 표면입니다. 케이-차원 인자 공간 엑스. 1차원 및 2차원 반응 표면만 시각화할 수 있습니다. 첫 번째 경우에는 실제 평면의 점 집합이고 두 번째 경우에는 공간에서 표면을 형성하는 점 집합입니다(이러한 점을 묘사하려면 레벨 선을 사용하는 것이 편리합니다. 표면 릴리프를 묘사하는 방법). 2차원 요소 공간으로 구성된 공간 엑스(그림 8).

반응 표면이 정의된 영역을 X *의 정의 영역.이 영역은 일반적으로 전체 요인 공간의 일부일 뿐입니다. 엑스(엑스*Ì 엑스) 제어 변수에 부과된 제한을 사용하여 강조 표시됩니다. x 나는, 평등의 형태로 작성됨:

x 나는 = C 나는 , 나 = 1,…, 중;

fj(엑스) = CJ, j = 1,…, 엘

또는 불평등:

x 나는분 £ x 나는£ x 나는최대, 나= 1,…, 케이;

fj(엑스) £ CJ, j = 1,…, N,

동시에, 기능 fj(엑스)은 모든 변수에 동시에 의존할 수도 있고 일부 변수에 의존할 수도 있습니다.

불평등 유형의 제약 조건은 연구 대상 개체의 프로세스에 대한 물리적 제한(예: 온도 제한) 또는 개체의 작동 조건과 관련된 기술적 제한(예: 최대 절단 속도, 원자재 매장량 제한)을 나타냅니다. ).

모델 연구의 가능성은 반응 표면의 속성(릴리프), 특히 표면에 존재하는 "정점"의 수와 대비에 따라 크게 달라집니다. 봉우리(골짜기)의 수에 따라 결정됩니다. 양식반응 표면. 반응 표면의 정의 영역에 하나의 피크(밸리)가 있는 경우 모델을 호출합니다. 단봉.

기능 변화의 성격은 다를 수 있습니다 (그림 9).

모델은 첫 번째 종류의 불연속점(그림 9(a))과 두 번째 종류의 불연속점(그림 9(b))을 가질 수 있습니다. 그림 9(c)는 연속적으로 미분 가능한 단봉 모델을 보여줍니다.

그림 9에 제시된 세 가지 사례 모두에 대해 일반 요구 사항단봉성:

W(x*)가 W의 극값이면 조건 ​​x 1에서< x 2 < x* (x 1 >x 2 > x*)는 W(x 1)을 따릅니다.< W(x 2) < W(x*) , если экстремум – максимум, или W(x 1) >W(x 2) > W(x*) 극값이 최소인 경우, 즉 극점에서 멀어질수록 함수 W(x)의 값은 지속적으로 감소(증가)합니다.

단봉 모델과 함께 다봉 모델이 고려됩니다(그림 10).

반응 표면의 또 다른 중요한 특성은 대비입니다. 이는 요인 변화에 대한 결과 함수의 민감도를 보여줍니다. 대비는 파생 상품의 값이 특징입니다. 2차원 반응 표면의 예를 사용하여 대비 특성을 설명하겠습니다(그림 11).

점 에이모든 변수에 대해 동일한 대비를 특징으로 하는 "기울기"에 위치 x 나는 (나=1,2), 점 비다양한 변수에 대해 서로 다른 대비가 있는 "계곡"에 위치합니다(함수 조건이 좋지 않음). 와 함께모든 변수에 대한 대비가 낮은 "고원"에 위치 x 나는극단의 근접성을 나타냅니다.

1.5. 수학적 모델을 구성하는 기본 방법

V.N.의 시뮬레이션 시스템을 공식적으로 표현하는 방법을 분류해 보겠습니다. 및 Denisova A.A.. 저자는 분석적, 통계적, 집합론적, 언어적, 논리적 및 그래픽 방법을 식별했습니다. 기본 용어, 설명된 방법 클래스를 기반으로 개발된 이론의 예, 적용 범위 및 가능성은 부록 1에 제안되어 있습니다.

시스템 모델링에서는 분석 및 통계 방법이 가장 널리 사용됩니다.

1) 수학적 모델을 구축하기 위한 분석 방법.

수학적 모델을 구성하기 위한 분석 방법의 용어 장치의 기본은 고전 수학의 개념(공식, 함수, 방정식 및 방정식 시스템, 부등식, 도함수, 적분 등)입니다. 이러한 방법은 고전 수학 언어를 사용하는 용어의 명확성과 타당성이 특징입니다.

분석 개념을 바탕으로 고전적인 수학적 분석(예: 함수 연구 방법)과 같은 수학적 이론과 수학적 프로그래밍 및 게임 이론의 현대 기초가 생겨나고 개발되었습니다. 또한, 수학 프로그래밍(선형, 비선형, 동적, 정수 등)에는 문제 공식화 수단이 모두 포함되어 있으며 다른 여러 수학 영역과 달리 모델의 적절성을 증명할 가능성이 확장됩니다. 경제적 문제(특히 합판 시트의 최적 절단 문제 해결)를 해결하기 위한 최적의 수학적 프로그래밍 아이디어는 L.V. 칸토로비치.

예를 들어 방법의 특징을 설명하겠습니다.

예.두 가지 유형의 제품을 생산한다고 가정해 보겠습니다. 에이그리고 안에세 가지 유형의 원료를 사용해야합니다. 동시에, 다음 유형의 제품 단위 생산을 위해 에이 4개 소모됩니다. 첫 번째 유형의 원자재, 2개 단위. 2번째와 3번째 유닛. 세 번째 유형. 다음 유형의 제품 단위 생산을 위해 안에 2개 소모됩니다. 첫 번째 유형의 원자재, 5개 단위. 2종 및 4개 유닛. 세 번째 유형의 원료. 공장 창고에는 35개 단위가 있습니다. 1 차 유형, 43 - 2 차, 40 - 3 차 유형의 원료. 해당 유형의 제품 단위 판매에서 에이공장의 이익은 5,000루블이며, 해당 유형의 제품 단위 판매로 인해 발생합니다. 안에이익은 9,000 루블입니다. 최대 이익을 얻을 수 있는 문제의 수학적 모델을 만드는 것이 필요합니다.

특정 유형의 제품 단위를 제조하기 위한 각 유형의 원자재 소비율이 표에 나와 있습니다. 또한 각 유형의 제품 판매로 인한 이익과 기업에서 사용할 수 있는 해당 유형의 원자재 총액을 나타냅니다.

다음으로 나타내자 x 1그리고 x 2생산된 제품의 양 에이그리고 안에각기. 계획에 필요한 1등급 재료 비용은 다음과 같습니다. 4x1 + 2x 2, 그리고 준비금을 초과해서는 안 됩니다. 즉, 35kg:

4x 1 + 2x 2 35.

2등급 자료에 대한 제한 사항은 비슷합니다.

2x 1 + 5x 2 43,

그리고 3학년 자료를 바탕으로

3x 1 + 4x 2 40.

판매이익 x 1생산 단위 A 및 x 2 B의 생산 단위는 지 = 5x 1+ 9x 2(목적 함수).

우리는 작업 모델을 얻었습니다:

문제에 대한 그래픽 솔루션이 그림 11에 나와 있습니다.

최적(최적, 즉 최대 기능 지) 문제에 대한 해결책은 A 지점에 있습니다(해결책은 5장에서 설명됩니다).

알았어 x 1=4,x 2=7, 함수 값 지지점 A: .

따라서 최대 이익의 가치는 83,000 루블입니다.

그래픽 방식 외에도 문제를 해결하기 위한 여러 가지 특수 방법(예: 단순 방법)이 있거나 패키지가 사용됩니다. 응용 프로그램, 이를 구현합니다. 목적 함수의 유형에 따라 선형 프로그래밍과 비선형 프로그래밍이 구분되고, 변수의 특성에 따라 정수 프로그래밍이 구분됩니다.

우리는 수학 프로그래밍의 일반적인 특징을 강조할 수 있습니다:

1) 목적 함수 개념의 도입과 제한은 문제를 설정하는 수단입니다.

2) 하나의 모델에서 이질적인 기준(예: 원자재 매장량 및 이익 등 다양한 차원)을 결합하는 것이 가능합니다.

3) 수학적 프로그래밍 모델을 사용하면 허용되는 변수 값 영역의 경계에 도달할 수 있습니다.

4) 결과를 얻기 위한 단계별 알고리즘 구현 가능성(단계별 접근 방식) 최적의 솔루션);

5) 문제의 기하학적 해석을 통해 명확성이 달성되며, 이는 문제를 공식적으로 해결하는 것이 불가능한 경우에 도움이 됩니다.

2) 수학적 모델을 구축하기 위한 통계적 방법.

수학적 모델을 구축하기 위한 통계적 방법은 널리 보급되었으며, 19세기 확률론의 발전과 함께 널리 사용되기 시작했습니다. 이는 실제 현상을 반영하는 무작위(확률적) 사건의 확률적 패턴을 기반으로 합니다. 확률론적(stochastic)이라는 용어는 프로세스에 영향을 미치는 미리 결정된 특정 원인을 나타내는 "랜덤(random)" 개념을 명확히 한 것이며, "랜덤(random)"이라는 개념은 그러한 원인의 영향으로부터 독립되거나 부재하는 것이 특징입니다.

통계 패턴은 이산 확률 변수 및 값 발생 패턴의 형태로 또는 이벤트 분포(프로세스)의 연속 종속성 형태로 표시됩니다. 확률론적 모델을 구성하기 위한 이론적 기초는 2장에서 자세히 설명합니다.

보안 질문

1. 수학적 모델링의 주요 문제를 공식화합니다.

2. 수학적 모델을 정의합니다.

3. 연구에서 실험적 접근법의 주요 단점을 나열하십시오.

4. 모델 구축의 주요 단계를 나열하십시오.

5. 수학적 모델의 유형을 나열하십시오.

6. 주다 간략한 설명모델의 종류.

7. 기하학적으로 표현된 수학적 모델은 어떤 형태를 취합니까?

8. 분석 유형의 수학적 모델은 어떻게 정의됩니까?

퀘스트

1. 문제 해결을 위한 수학적 모델을 만들고 모델을 분류합니다.

1) 표면(뚜껑 제외)이 S와 동일한 원통형 버킷의 최대 용량을 결정합니다.

2) 회사는 두 하청업체로부터 부품을 문제 없이 공급받아 정기적인 생산을 보장합니다. 첫 번째 하청업체의 납품 거부 확률은 이고, 두 번째 하청업체의 납품 거부 확률은 - 입니다. 기업 운영에 실패할 확률을 찾아보세요.

2. Malthus의 모델(1798)은 인구의 크기에 비례하는 비율로 인구의 재생산을 설명합니다. 이산형에서 이 법칙은 기하학적 수열입니다. 또는 .미분 방정식의 형태로 작성된 법칙은 지수적 인구 증가 모델이며 어떠한 제한도 없이 세포 인구의 성장을 잘 설명합니다. 초기 조건을 설정하고 모델을 시연합니다.

앞에서 논의한 복잡한 시스템의 모델은 일반적인 수학적 모델링 방식입니다. 실제로 여러 시스템의 개념적 모델을 공식화하려면 한편으로는 모델에서 시간이 표현되는 방식(연속 변수 또는 이산)을 고려하는 표준 수학적 모델링 체계를 사용하는 것이 더 유리합니다. 다른 한편으로는 시뮬레이션된 프로세스의 무작위성 정도입니다. 이러한 특성을 기반으로 다음과 같은 수학적 모델링 방식(MM 클래스)이 구별됩니다.

연속형 - 결정론적 모델(D - 구성표).

이산형 - 결정론적 모델(F - 구성표).

이산형 - 확률 모델(P - 구성표).

연속 - 확률 모델(Q - 구성표).

네트워크 모델(N – 계획).

집계 모델(A – 다이어그램).

연속 결정론적 모델. 이 모델에서는 시간이 티연속변수로 가정되며 시스템의 무작위 요인은 무시됩니다. 모델의 수학적 장치는 미분 및 적분 방정식의 이론으로, 이를 통해 동적 시스템에 대한 적절한 설명이 달성됩니다. 동적 시스템과 그 구조의 기능 프로세스를 설명하고 연구하는 운영자 방법은 가장 철저하게 개발되었습니다.

단일 채널 시스템의 연속 결정론적 모델의 예 자동 제어는 상수 계수를 갖는 불균일 미분 방정식입니다.

이 방정식에서 x(티)-입력 영향; y(티)- 제어 대상의 위치를 ​​특성화하는 출력 값; - 시스템의 내부 매개변수.

동적 시스템이 비선형 미분 방정식으로 설명되면 선형화되어 선형 시스템으로 해결됩니다.

연속 결정론적 모델을 사용하면 동적 시스템의 분석뿐만 아니라 최적의 합성도 정량적으로 수행할 수 있습니다.

이산 결정적 모델. 이산 결정론적(DD) 모델에서는 시간 티는 이산 변수입니다. 여기서 는 샘플링 단계이고 는 이산 시간입니다.

DD 모델 구축에 사용되는 주요 수학적 장치는 차이 방정식 이론과 이산 수학 장치, 특히 유한 오토마타 이론입니다.

차이 방정식은 원하는 함수의 유한 차분을 포함하는 방정식입니다.

각각의 시간에 따른 시스템의 상태와 외부 영향은 어디에 있습니까?

응용 문제에서 (2.6) 형식의 DD 모델은 미분 방정식에 대한 분석적 해를 얻을 수 없고 차분 체계를 사용해야 하는 경우 컴퓨터에서 DD 모델을 연구할 때 중간 모델로 자주 발생합니다.

DD 모델을 구축하는 데 사용되는 유한 상태 기계 이론을 간략하게 살펴보겠습니다.

유한 상태 기계는 입력 신호의 영향을 받아 출력 신호를 생성하고 일부 변경 가능한 내부 상태를 가질 수 있는 이산 시스템의 수학적 모델입니다. 여기에 유한 집합이 있습니다.

유한 상태 기계의 특징은 다음과 같습니다. 알파벳 입력; 알파벳 출력; 상태의 내부 알파벳; 초기상태; 전환 기능; 출력 기능.

유한 상태 기계의 작동 과정은 다음과 같습니다. th 사이클에서는 입력 신호가 오토마톤의 입력으로 수신되는데, 이는 오토마톤이 반응하여 th 틱의 상태로 전환하고 출력 신호를 발행하는 것입니다. 다음과 같은 반복 관계로 설명됩니다.

이산 확률 모델. 이산 확률 모델은 연구 중인 복잡한 시스템의 무작위 요소를 고려합니다. DV 모델의 구성 및 연구에 사용되는 주요 수학적 장치는 확률적 차이 방정식 이론과 확률적 오토마타 이론입니다.

차이 확률 방정식은 무작위 매개변수 또는 무작위 입력을 포함하는 방정식입니다.

매개변수의 무작위 벡터와 입력 동작의 무작위 시퀀스를 확률 공간에 정의합니다.

비선형 차이 확률적 차수 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다. (2.8)

주어진 것은 어디에 있는가 초기 상태시스템; 주어진 변수의 함수.

이 방정식의 해법은 세트에 정의된 모델링된 시스템의 무작위 상태 시퀀스입니다.

함수가 에서 선형인 경우 (2.8)은 다음과 같은 형식을 취합니다.

(2.9)

매개변수의 벡터는 어디에 있습니까?

복잡한 시스템의 DV 모델을 구성하는 또 다른 수학적 장치는 확률적 오토마타 이론입니다.

세트에 정의된 확률적 오토마톤은 전이 함수가 다음과 같은 유한 오토마톤입니다. 출력 함수는 일부 확률 분포를 갖는 무작위 함수입니다.

확률 분포(초기 확률 분포)에 대한 표기법을 받아들입니다. – 입력 신호의 영향을 받아 해당 상태의 번째 사이클에 있는 자동 장치가 출력 신호를 생성하고 번째 틱에서 상태로 전환된다는 사실로 구성된 이벤트의 확률

확률적 자동 장치의 수학적 모델은 완전히 다섯 가지 요소에 의해 결정됩니다.

연속 - 확률 모델. NV 모델을 구축하고 연구할 때 확률미분방정식 이론과 큐잉 이론이 사용됩니다.

확률적 미분 방정식(Ito 형식)은 다음과 같습니다.

특정 순간에 시스템 상태를 결정하는 무작위 프로세스는 어디에 있습니까? – 표준 Wiener 무작위 프로세스; – 확산 및 전달 계수. NV 모델은 확률론적 제어 시스템 및 교환 프로세스를 모델링하는 데 자주 사용됩니다.

대기열 이론은 본질적으로 다른 시스템 기능 프로세스의 수학적 모델을 개발하고 연구합니다. 예를 들어 특정 기업에 대한 원자재 및 구성 요소 공급; 원격 터미널에서 컴퓨터에 도착하는 작업; 전화 교환소 등에서 전화하기 이러한 시스템의 기능은 확률성, 즉 서비스 요청이 나타나는 시간의 무작위성 등이 특징입니다.

큐잉 시스템(QS)으로 설명되는 이 시스템은 서비스 장치로 구성됩니다. 서비스 장치는 청구가 동시에 상주할 수 있는 청구 누산기와 청구 서비스 채널로 구성됩니다. – 저장 용량, 즉 채널에서 요청을 처리하기 위해 대기열에 있는 위치의 수입니다.

장치의 각 요소는 이벤트 스트림을 수신합니다. 드라이브 - 요청 흐름, 채널 - "서비스"흐름. 요청 흐름은 QS 입력에 나타나는 애플리케이션 순간 사이의 일련의 시간 간격을 나타내며 QS의 제어되지 않는 변수의 하위 집합을 형성합니다. 그리고 흐름은 서비스 요청의 시작과 끝 사이의 일련의 시간 간격이며 제어된 변수의 하위 집합을 형성합니다.

QS가 제공하는 요청은 출력 스트림(요청이 발행되는 순간 사이의 일련의 시간 간격)을 형성합니다. 서비스되지 않았지만 다양한 이유로 QS를 떠난 애플리케이션은 손실된 애플리케이션의 출력 스트림을 형성합니다.

네트워크 모델병렬 프로세스가 있는 복잡한 시스템에서 원인과 결과 관계를 공식화하는 데 사용됩니다. 이 모델은 페트리 네트(Petri net)를 기반으로 합니다. 그래픽으로 해석할 때 페트리 넷은 두 가지 유형의 꼭지점으로 구성된 특별한 유형의 그래프입니다. 위치그리고 전환, 방향이 지정된 호로 연결되며 각 호는 서로 다른 유형의 정점(전환이 있는 위치 또는 위치가 있는 전환)만 연결할 수 있습니다. 위치 정점은 원으로 표시되고 전환 정점은 대시로 표시됩니다. 실질적인 관점에서 전환은 연구 중인 시스템에 내재된 이벤트에 해당하고 위치는 발생 조건에 해당합니다.

따라서 일련의 전환, 위치 및 호를 사용하면 시스템에 내재된 인과 관계를 정적 방식으로 설명할 수 있습니다. 페트리 넷이 "생명"을 이루기 위해서는 또 다른 유형의 네트워크 객체가 도입됩니다. 작은 조각또는 태그입력 위치에 레이블이 있고 출력 위치에 레이블이 없는 네트워크 전환을 따라 이동하는 위치입니다. 네트워크 위치에 칩을 배치하는 것을 다음과 같이 부릅니다. 네트워크 마크업.

집계 모델. 기존 문제를 분석하면 모델링 시스템이 통합된 수학적 모델링 체계를 기반으로 하는 경우에만 문제에 대한 포괄적인 해결이 가능하다는 결론에 도달합니다. 복잡한 시스템의 기능 프로세스를 공식화하는 이러한 접근 방식은 N.P. '집합'이라는 개념을 기반으로 합니다.

집계 설명을 사용하면 복잡한 시스템이 하위 시스템으로 나뉘면서 상호 작용을 보장하는 연결을 유지합니다. 하위 시스템이 복잡한 것으로 판명되면 고려 중인 문제의 조건 하에서 수학적 설명에 편리하다고 간주될 수 있는 하위 시스템이 형성될 때까지 분할 프로세스가 계속됩니다.

결과적으로, 다양한 레벨의 하위 시스템으로 결합된 상호 연결된 요소로부터 다중 레벨 구조가 얻어집니다. 집계 모델의 요소는 집계입니다. 장치와 외부 환경 간의 연결은 활용 연산자를 사용하여 수행됩니다. 단위 자체는 집합 모델, 즉 다음 수준의 요소로 구분되는 것으로 간주될 수도 있습니다.

모든 집계는 다음과 같은 집합으로 특징지어집니다. 티, 입력 엑스그리고 주말 와이신호, 단위 상태 지매 순간마다 티. 장치 작동 과정은 입력 신호 수신 순간의 상태 점프로 구성됩니다. 엑스그리고 이 순간과 사이의 상태 변화.

입력 신호의 도착 순간이 아닌 점프 순간을 특수 순간이라고 하며, 상태를 집합 회로의 특수 상태라고 합니다. 많은 주에서는 지도달하면 이 상태가 출력 신호를 발행하는 순간인 하위 집합을 선택합니다. 와이.