Duhamela integrālis.

Zinot ķēdes reakciju uz vienu traucējošu ietekmi, t.i. pārejošas vadītspējas funkcija un/vai pārejoša sprieguma funkcija, jūs varat atrast ķēdes reakciju uz patvaļīgas formas ietekmi. Metode, aprēķina metode, izmantojot Duhamela integrāli, ir balstīta uz superpozīcijas principu.

Izmantojot Duhamela integrāli, lai atdalītu mainīgo, pār kuru tiek veikta integrācija, un mainīgo, kas nosaka laika momentu, kurā tiek noteikta strāva ķēdē, pirmo parasti apzīmē kā , bet otro kā t.

Ļaujiet šajā brīdī ķēdei ar nulles sākuma nosacījumiem (pasīvais divu termināļu tīkls PD attēlā. 1) ir pievienots avots ar patvaļīgas formas spriegumu. Lai atrastu strāvu ķēdē, sākotnējo līkni aizstājam ar soli vienu (skat. 2. att.), pēc kura, ņemot vērā, ka ķēde ir lineāra, mēs summējam strāvas no sākotnējā sprieguma lēciena un visiem sprieguma soļiem. līdz brīdim t, kas stājas spēkā ar laika nobīdi.

Laikā t kopējās strāvas komponents, ko nosaka sākotnējā sprieguma lēciens, ir vienāds ar .

Šobrīd ir sprieguma pārspriegums , kas, ņemot vērā laika intervālu no lēciena sākuma līdz interesējošajam laika punktam t, noteiks pašreizējo komponentu.

Kopējā strāva brīdī t acīmredzami ir vienāda ar visu strāvas komponentu summu no atsevišķiem sprieguma pārspriegumiem, ņemot vērā , t.i.

Ierobežotā laika pieauguma intervāla aizstāšana ar bezgalīgi mazu, t.i. pārejot no summas uz integrāli, mēs rakstām

.

(1)

Attiecības (1) sauc Duhamela integrālis.

Jāņem vērā, ka spriegumu var noteikt arī izmantojot Duhamela integrāli. Šajā gadījumā pārejas vadītspējas vietā (1) ietvers pārejas sprieguma funkciju.

Aprēķinu secība, izmantojot
Duhamela integrālis

Kā piemēru Duhamel integrāļa izmantošanai mēs nosakām strāvu ķēdē attēlā. 3, aprēķināts iepriekšējā lekcijā, izmantojot iekļaušanas formulu.

Sākotnējie dati aprēķinam: , , .

1. Pārejoša vadītspēja

.

18. Pārsūtīšanas funkcija.

Ietekmes operatora attiecības ar savu operatoru sauc par pārsūtīšanas funkciju vai pārneses funkciju operatora formā.

Saikni, kas aprakstīta ar vienādojumu vai vienādojumiem simboliskā vai operatora formā, var raksturot ar divām pārsūtīšanas funkcijām: pārsūtīšanas funkcija ievades vērtībai u; un ievades daudzuma f pārsūtīšanas funkcija.

Un

Izmantojot pārsūtīšanas funkcijas, vienādojums tiek uzrakstīts kā . Šis vienādojums ir nosacīta, kompaktāka sākotnējā vienādojuma rakstīšanas forma.

Kopā ar pārsūtīšanas funkciju operatora formā plaši tiek izmantota pārsūtīšanas funkcija Laplasa attēlu veidā.

Pārsūtīšanas funkcijas Laplasa attēlu un operatora formas veidā sakrīt līdz notācijai. Pārsūtīšanas funkciju Laplasa attēla formā var iegūt no pārsūtīšanas funkcijas operatora formā, ja pēdējā tiek veikta aizstāšana p=s. Vispārīgā gadījumā tas izriet no tā, ka oriģināla diferencēšana - oriģināla simboliskā reizināšana ar p - nulles sākuma apstākļos atbilst attēla reizināšanai ar komplekso skaitli s.

Pārsūtīšanas funkciju līdzība Laplasa attēla formā un operatora formā ir tīri ārēja, un tā notiek tikai stacionāro saišu (sistēmu) gadījumā, t.i. tikai nulles sākuma apstākļos.

Apskatīsim vienkāršu RLC (sērijas) ķēdi, tās pārsūtīšanas funkcija W(p)=U OUT /U IN

Furjē integrālis.

Funkcija f(x), tiek izsaukts visā skaitļu rindā periodiski, ja ir tāds skaitlis, ka jebkurai vērtībai X vienlīdzība pastāv . Numurs T sauca funkcijas periods.

Ļaujiet mums atzīmēt dažas šīs funkcijas īpašības:

1) Perioda periodisko funkciju summa, starpība, reizinājums un koeficients T ir periodiska perioda funkcija T.

2) Ja funkcija f(x) periods T, tad funkcija f(cirvis)ir periods.

3) Ja f(x) - perioda periodiska funkcija T, tad jebkuri divi šīs funkcijas integrāļi, pārņemot garuma intervālus T(šajā gadījumā integrālis pastāv), t.i., jebkuram a Un b vienlīdzība ir taisnība .

Trigonometriskās sērijas. Furjē sērija

Ja f(x) segmentā tiek izvērsts vienmērīgi konverģējošā trigonometriskā rindā: (1)

Tad šis paplašinājums ir unikāls un koeficientus nosaka pēc formulas:

Kur n=1,2, . . .

Tiek izsauktas trigonometriskās rindas (1), kuras tiek aplūkotas ar koeficientiem trigonometriskā Furjē sērija.

Furjē sērijas kompleksā forma

Izteiksmi sauc par funkcijas Furjē sērijas komplekso formu f(x), ja to nosaka vienlīdzība

, Kur

Pāreja no Furjē sērijas sarežģītajā formā uz sēriju reālā formā un atpakaļ tiek veikta, izmantojot formulas:

(n=1,2, . . .)

Funkcijas f(x) Furjē integrālis ir formas integrālis:

, Kur .

Frekvences funkcijas.

Ja piesakāties sistēmas ievadei ar pārsūtīšanas funkciju W(p) harmonisks signāls

tad pēc pārejas procesa pabeigšanas izejā tiks izveidotas harmoniskas svārstības

ar tādu pašu frekvenci, bet atšķirīgu amplitūdu un fāzi atkarībā no traucējošās ietekmes biežuma. Pēc tiem var spriest par sistēmas dinamiskajām īpašībām. Tiek sauktas atkarības, kas savieno izejas signāla amplitūdu un fāzi ar ieejas signāla frekvenci frekvences raksturlielumi(CH). Sistēmas frekvences reakcijas analīzi sauc, lai izpētītu tās dinamiskās īpašības frekvences analīze.

Aizstāsim izteicienus u(t) Un y(t) dinamikas vienādojumā

(aоp n + a 1 pn - 1 + a 2 p n - 2 + ... + a n)y = (bоp m + b 1 p m-1 + ... + b m)u.

Ņemsim to vērā

pnu = pnU m ejwt = U m (jw)nejwt = (jw)nu.

Līdzīgas attiecības var uzrakstīt vienādojuma kreisajai pusei. Mēs iegūstam:

Pēc analoģijas ar pārsūtīšanas funkciju mēs varam rakstīt:

W(j), kas vienāds ar izejas signāla attiecību pret ieejas signālu, kad ieejas signāls mainās saskaņā ar harmonikas likumu, sauc frekvences pārsūtīšanas funkcija. Ir viegli redzēt, ka to var iegūt, vienkārši aizstājot p ar j izteiksmē W(p).

W(j) ir sarežģīta funkcija, tāpēc:

kur P() - reālā frekvences reakcija (RFC); Q() - iedomātā frekvences reakcija (ICH); A() - amplitūdas frekvences reakcija (AFC): () - fāzes frekvences reakcija (PFC). Frekvences reakcija norāda izejas un ieejas signālu amplitūdu attiecību, fāzes reakcija norāda izejas daudzuma fāzes nobīdi attiecībā pret ieeju:

;

Ja W(j) ir attēlots kā vektors kompleksajā plaknē, tad, mainot no 0 uz +, tā beigas uzzīmēs līkni ar nosaukumu vektoru hodogrāfs W(j), vai amplitūdas fāzes frekvences reakcija (APFC)(48. att.).

AFC atzaru, mainot no - uz 0, var iegūt, atspoguļojot šo līkni attiecībā pret reālo asi.

TAU tiek plaši izmantots logaritmiskās frekvences raksturlielumi (LFC)(49. att.): logaritmiskā amplitūdas frekvences reakcija (LAFC) L() un logaritmiskā fāzes frekvences reakcija (LPFC) ().

Tos iegūst, izmantojot pārsūtīšanas funkcijas logaritmu:

LAC tiek iegūts no pirmā vārda, kas mērogošanas apsvērumu dēļ tiek reizināts ar 20, un tiek izmantots nevis naturālais logaritms, bet decimāldaļskaitlis, tas ir, L() = 20lgA(). L() vērtība tiek attēlota pa ordinātu asi in decibeli.

Signāla līmeņa izmaiņas par 10 dB atbilst tā jaudas izmaiņām par koeficientu 10. Tā kā harmoniskā signāla P jauda ir proporcionāla tā amplitūdas A kvadrātam, signāla izmaiņas 10 reizes atbilst tā līmeņa izmaiņām par 20 dB, jo

log(P 2 /P 1) = log(A 2 2 /A 1 2) = 20 log(A 2 / A 1).

Abscisu ass parāda frekvenci w logaritmiskā skalā. Tas nozīmē, ka vienību intervāli gar abscisu asi atbilst w izmaiņām ar koeficientu 10. Šo intervālu sauc desmitgade. Tā kā log(0) = -, ordinātu ass tiek uzzīmēta patvaļīgi.

LPFC, kas iegūts no otrā termina, atšķiras no fāzes reakcijas tikai skalā gar asi. Vērtība () tiek attēlota pa ordinātu asi grādos vai radiānos. Elementārām saitēm tas nepārsniedz: - +.

Frekvences raksturlielumi ir visaptveroši sistēmas raksturlielumi. Zinot sistēmas frekvences reakciju, jūs varat atjaunot tās pārsūtīšanas funkciju un noteikt tās parametrus.

Atsauksmes.

Ir vispārpieņemts, ka saite ir ietverta atgriezeniskā saite, ja tās izejas signāls tiek ievadīts ieejā caur kādu citu saiti. Turklāt, ja atgriezeniskās saites signālu atņem no ievades darbības (), atgriezenisko saiti sauc par negatīvu. Ja atgriezeniskās saites signāls tiek pievienots ievades darbībai (), atgriezeniskā saite tiek saukta par pozitīvu.

Slēgtas ķēdes ar negatīvu atgriezenisko saiti pārsūtīšanas funkcija - saite, ko aptver negatīva atgriezeniskā saite - ir vienāda ar tiešās ķēdes pārsūtīšanas funkciju, kas dalīta ar vienu plus atvērtas ķēdes pārsūtīšanas funkcija

Slēgtās cilpas pārsūtīšanas funkcija ar pozitīvu atgriezenisko saiti ir vienāda ar tiešās cilpas pārsūtīšanas funkciju, kas dalīta ar vienu mīnus atvērtā cikla pārsūtīšanas funkcija

22. 23. Četrpoli.

Analizējot elektriskās ķēdes divu ķēdes atzaru mainīgo (strāvu, spriegumu, jaudu u.c.) attiecību izpētes problēmās plaši tiek izmantota četru terminālu tīklu teorija.

Kvadrupole- Šī ir jebkuras konfigurācijas ķēdes daļa, kurai ir divi spaiļu pāri (tātad tās nosaukums), ko parasti sauc par ievadi un izvadi.

Četru terminālu tīkla piemēri ir transformators, pastiprinātājs, potenciometrs, elektropārvades līnija un citas elektriskās ierīces, kurās var atšķirt divus stabu pārus.

Kopumā kvadripolus var iedalīt aktīvs, kuras struktūra ietver enerģijas avotus, un pasīvs, kuru zari nesatur enerģijas avotus.

Lai uzrakstītu četru portu tīkla vienādojumus, mēs patvaļīgā shēmā izvēlamies atzaru ar vienīgais avots enerģiju un jebkuru citu zaru ar zināmu pretestību (sk. 1. att., a).

Atbilstoši kompensācijas principam sākotnējo pretestību aizstājam ar avotu ar spriegumu (skat. 1.,b att.). Pēc tam, pamatojoties uz superpozīcijas metodi ķēdei attēlā. 1b var uzrakstīt

(3) un (4) vienādojumi ir četrpola pamatvienādojumi; tos sauc arī par kvadripola vienādojumiem A formā (sk. 1. tabulu). Vispārīgi runājot, ir sešas pasīvā kvadripola vienādojumu rakstīšanas formas. Patiešām, četru terminālu tīklu raksturo divi spriegumi un divas strāvas un. Jebkurus divus lielumus var izteikt ar pārējiem. Tā kā kombināciju skaits četri pret divi ir seši, tad ir iespējamas sešas pasīvā kvadripola vienādojumu rakstīšanas formas, kas dotas tabulā. 1. Pozitīvie strāvu virzieni dažādām vienādojumu rakstīšanas formām parādīti att. 2. Ņemiet vērā, ka vienas vai otras vienādojumu formas izvēli nosaka risināmās problēmas apgabals un veids.

1. tabula. Pasīvā kvadripola vienādojumu rakstīšanas formas

Veidlapa	Vienādojumi	Saistība ar pamatvienādojumu koeficientiem
A-forma	; ;
Y-forma	; ;	; ; ; ;
Z-forma	; ;	; ; ; ;
H-forma	; ;	; ; ; ;
G-forma	; ;	; ; ; ;
B-forma	; .	; ; ; .

Raksturīgā pretestība un koeficients
simetriska kvadripola izplatīšanās

Telekomunikācijās plaši tiek izmantots simetriska četru terminālu tīkla darbības režīms, kurā tā ieejas pretestība ir vienāda ar slodzes pretestību, t.i.

.

Šī pretestība ir apzīmēta kā un tiek saukta raksturīga pretestība simetrisks četru portu tīkls un četru portu tīkla darbības režīms, attiecībā uz kuru tā ir taisnība

,

Lai spriestu par to elektrisko ierīču iespējām, kuras uztver un pārraida ievades ietekmi, viņi izmanto to īslaicīgo un impulsu raksturlielumu izpēti.

Soli atbilde h(t) lineārai ķēdei, kas nesatur neatkarīgus avotus, ir skaitliski vienāda ar ķēdes reakciju uz vienas strāvas vai sprieguma lēciena darbību vienpakāpes funkcijas veidā 1( t) vai 1( t – t 0) pie nulles sākuma nosacījumiem (14. att.). Pārejas raksturlieluma izmērs ir vienāds ar reakcijas dimensijas attiecību pret trieciena izmēru. Tas var būt bezizmēra, tā izmērs ir Ohm, Siemens (Cm).

Rīsi. 14

Impulsu reakcija k(t) lineārai ķēdei, kas nesatur neatkarīgus avotus, ir skaitliski vienāda ar ķēdes reakciju uz viena impulsa darbību formā d( t) vai d( t – t 0) funkcijas ar nulles sākuma nosacījumiem. Tā izmērs ir vienāds ar reakcijas dimensijas attiecību pret trieciena izmēra un laika reizinājumu, tāpēc tam var būt izmēri c –1, omi –1, Sms –1.

Impulsa funkcija d( t) var uzskatīt par vienības soļa funkcijas d( t) = d 1(t)/dt. Attiecīgi impulsa reakcija vienmēr ir pakāpeniskas reakcijas laika atvasinājums: k(t) = h(0+)d( t) + dh(t)/dt. Šo attiecību izmanto, lai noteiktu impulsa reakciju. Piemēram, ja kādai ķēdei h(t) = 0,7e –100t, Tas k(t) = 0,7 d( t) – 70e –100 t. Pārejošo reakciju var noteikt ar klasisko vai operatora pārejas procesu aprēķināšanas metodi.

Pastāv saikne starp ķēdes laika un frekvences raksturlielumiem. Zinot operatora pārsūtīšanas funkciju, varat atrast ķēdes reakcijas attēlu: Y(s) = W(s)X(s), t.i. pārsūtīšanas funkcija satur pilna informācija par ķēdes īpašībām kā sistēmu signālu pārraidīšanai no tās ieejas uz izeju nulles sākuma apstākļos. Šajā gadījumā trieciena un reakcijas raksturs atbilst tiem, kuriem tiek noteikta pārneses funkcija.

Lineāro ķēžu pārsūtīšanas funkcija nav atkarīga no ievades darbības veida, tāpēc to var iegūt no pārejas reakcijas. Tādējādi, kad vienības soļa funkcija 1( t) pārsūtīšanas funkcija, ņemot vērā to, ka 1( t) = 1/s, ir vienāds

W(s) = L [h(t)] / L = L [h(t)] / (1/s), Kur L [f(t)] - tiešā Laplasa transformācijas apzīmējums virs funkcijas f(t). Pakāpju reakciju var noteikt, izmantojot pārsūtīšanas funkciju, izmantojot apgriezto Laplasa transformāciju, t.i. h(t) = L –1 [W(s)(1/s)], Kur L –1 [F(s)] - apgrieztās Laplasa transformācijas apzīmējums pār funkciju F(s). Tādējādi pārejoša reakcija h(t) ir funkcija, kuras attēls ir vienāds ar W(s) /s.

Kad viena impulsa funkcija d( t) pārsūtīšanas funkcija W(s) = L [k(t)] / L = L [k(t)] / 1 = L [k(t)]. Tādējādi ķēdes impulsa reakcija k(t) ir pārsūtīšanas funkcijas oriģināls. No zināmās ķēdes operatora funkcijas, izmantojot apgriezto Laplasa transformāciju, var noteikt impulsa reakciju: k(t) W(s). Tas nozīmē, ka ķēdes impulsa reakcija unikāli nosaka ķēdes frekvences raksturlielumus un otrādi, jo

W(j w) = W(s)s = j w. Tā kā ķēdes pārejošo reakciju var atrast no zināmas impulsa reakcijas (un otrādi), pēdējo arī unikāli nosaka ķēdes frekvences raksturlielumi.

8. piemērs. Aprēķiniet ķēdes pārejas un impulsa raksturlielumus (15. att.) ieejas strāvai un izejas spriegumam pie dotie parametri elementi: R= 50 omi, L 1 = L 2 = L= 125 mH,
AR= 80 µF.

Rīsi. 15

Risinājums. Izmantosim klasisko aprēķina metodi. Raksturīgais vienādojums Zin = R + pL +
+ 1 / (dators) = 0 dotajiem elementu parametriem ir sarežģītas konjugācijas saknes: lpp 1,2 =
= – d j w A 2 = – 100 j 200, kas nosaka pārejas procesa svārstīgo raksturu. Šajā gadījumā strāvu un spriegumu izmaiņu likumus un to atvasinājumus parasti raksta šādi:

y(t) = (Mсosw A 2 t+ N sinw A 2 t)e–d t + yārā; dy(t) / dt =

=[(–M d+ N w A 2) cos w A 2 t – (M w A 2+ N d) sinw A 2 t]e–d t + dyārā / dt, kur w A 2 ir brīvo svārstību frekvence; y out - pārejas procesa piespiedu sastāvdaļa.

Pirmkārt, atradīsim risinājumu u C(t) Un iC(t) = C du C(t) / dt, izmantojot augstāk minētos vienādojumus un pēc tam izmantojot Kirhhofa vienādojumus, nosakām nepieciešamos spriegumus, strāvas un attiecīgi pārejas un impulsa raksturlielumus.

Lai noteiktu integrācijas konstantes, ir nepieciešamas norādīto funkciju sākotnējās un piespiedu vērtības. To sākotnējās vērtības ir zināmas: u C(0 +) = 0 (no definīcijas h(t) Un k(t)), jo iC(t) = es L(t) = i(t), Tas iC(0 +) = es L(0 +) = 0. Mēs nosakām piespiedu vērtības no vienādojuma, kas sastādīts saskaņā ar Kirhhofa otro likumu t 0 + : u 1 = R i(t) + (L 1 + L 2) i(t) / dt + u C(t), u 1 = 1(t) = 1 = nemainīgs,

no šejienes u C() = u Cārā = 1, iC() = iCārā = i() = 0.

Izveidosim vienādojumus, lai noteiktu integrācijas konstantes M, N:

u C(0 +) = M + u Cārā (0+), iC(0 +) = AR(–M d+ N w A 2) + iC out(0+); vai: 0 = M + 1; 0 = –M 100 + N 200; no šejienes: M = –1, N= –0,5. Iegūtās vērtības ļauj pierakstīt risinājumus u C(t) Un iC(t) = i(t): u C(t) = [–cos200 t– -0.5sin200 t)e –100t+ 1] B, iC(t) = i(t) = e –100 t] = 0,02
grēks200 t)e –100 t A. Saskaņā ar Kirhhofa otro likumu

u 2 (t) = u C(t) + u L 2 (t), u L 2 (t) = u L(t) = Ldi(t) / dt= (0.5cos200 t– 0,25sin200 t) e –100t B. Tad u 2 (t) =

=(–0.5сos200 t– 0,75sin200 t) e –100t+ 1 = [–0,901sin(200 t + 33,69) e –100t+ 1] B.

Pārbaudīsim iegūtā rezultāta pareizību, izmantojot sākotnējo vērtību: no vienas puses, u 2 (0 +) = –0,901 sin (33,69) + 1 = 0,5, un, no otras puses, u 2 (0 +) = u C (0 +) + u L(0 +) = 0 + 0,5 - vērtības ir vienādas.

Ukrainas Izglītības un zinātnes ministrija

Doņeckas Nacionālā universitāte

Ziņojums

par tēmu: Radio ķēdes un signāli

NF-3 3. kursa pilna laika students

Izstrādājis students:

Aleksandrovičs S.V.

Pārbaudījis skolotājs:

Dolbeščenkovs V.V.

IEVADS

"Radio inženierijas shēmas un signāli" ​​(RTC un S)– kurss, kas ir kursa “Shēmu teorijas pamati” turpinājums. Tās mērķis ir izpētīt pamatprincipus, kas saistīti ar signālu uztveršanu, to pārraidi pa sakaru kanāliem, apstrādi un pārveidošanu radio ķēdēs. Kursā "RTC un C" piedāvātās signālu un radioinženierijas ķēžu analīzes metodes izmanto matemātisko un fizisko informāciju, kas galvenokārt zināma iepriekšējo disciplīnu studentiem. Būtisks kursa "RTC un S" mērķis ir iemācīt studentiem izvēlēties matemātisko aparātu, kas ir adekvāts saskarsmes problēmai, un parādīt, kā šis aparāts darbojas, risinot specifiskas radiotehnikas nozares problēmas. Tikpat svarīgi ir iemācīt skolēniem saskatīt ciešo saikni starp matemātisko aprakstu un aplūkojamās parādības fizisko pusi, prast sastādīt matemātiskie modeļi tiek pētīti procesi.

Kursā "Radioinženierijas shēmas un signāli" ​​apgūtās galvenās sadaļas:

1. Ķēžu laika analīze, pamatojoties uz konvolūciju;

2. Spektrālā analīze signāli;

3. Radiosignāli ar amplitūdas un leņķa modulāciju;

4. Signālu korelācijas analīze;

5. Aktīvās lineārās shēmas;

6. Signālu caurlaidības šaurjoslas shēmās analīze;

7. Negatīvs atsauksmes lineārajās ķēdēs;

8. Filtru sintēze;

9. Nelineārās shēmas un to analīzes metodes;

10. Ķēdes ar mainīgiem parametriem;

11. Harmonisko svārstību ģenerēšanas principi;

12. Diskrētā laika signālu apstrādes principi;

13. Izlases signāli;

14. Nejaušo signālu pārejas caur lineārajām shēmām analīze;

15. Analīze par nejaušu signālu pāreju caur nelineārām shēmām;

16. Optimāla deterministisko signālu filtrēšana trokšņos;

17. Optimāla nejaušo signālu filtrēšana;

18. Skaitliskās metodes lineāro ķēžu aprēķināšanai.

SHĒMU LAIKA ANALĪZE, PAMATOJOTIES UZ KONVOLUCIJU

Solis un impulsa reakcija

Laika metode ir balstīta uz ķēdes pārejas un impulsa raksturlielumu koncepciju. Soli atbildeķēdes ir ķēdes reakcija uz ietekmi vienības funkcijas veidā. Norāda ķēdes pārejošu reakciju g(t).Impulsu reakcijaķēdes sauc par ķēdes reakciju uz viena impulsa funkciju (d-funkcija). Apzīmē impulsa reakciju h(t). Turklāt g(t) Un h(t) tiek noteikti nulles sākuma apstākļos ķēdē. Atkarībā no reakcijas veida un trieciena veida (strāva vai spriegums) pārejas un impulsa raksturlielumi var būt bezizmēra lielumi vai arī tiem var būt izmēri A/B vai V/A.

Ķēdes pārejas un impulsa raksturlielumu jēdzienu izmantošana ļauj samazināt ķēdes reakcijas aprēķinu no patvaļīgas formas neperiodiska signāla darbības līdz ķēdes reakcijas noteikšanai līdz visvienkāršākajam triecienam, piemēram, vienam 1( t) vai impulsa funkcija d( t), ar kuras palīdzību tiek tuvināts sākotnējais signāls. Šajā gadījumā iegūtā lineārās ķēdes reakcija tiek atrasta (izmantojot superpozīcijas principu) kā ķēdes reakciju uz elementārām ietekmēm summa 1( t) vai d( t).

Starp pārejas g(t) un pulsu h(t) pastāv noteikta saikne starp lineāras pasīvās ķēdes raksturlielumiem. To var noteikt, attēlojot vienības impulsa funkciju caur pāreju līdz divu vienību funkciju starpības robežai, kuras lielums ir 1/t, kas nobīdītas viena pret otru ar laiku t:

i., vienības impulsa funkcija ir vienāda ar vienības funkcijas atvasinājumu. Tā kā tiek pieņemts, ka aplūkojamā ķēde ir lineāra, ķēdes impulsu un pārejošo reakciju attiecība paliek nemainīga

i., impulsa reakcija ir ķēdes pakāpes reakcijas atvasinājums.

Vienādojums ir spēkā gadījumam, kad g(0) = 0 (nulles sākuma nosacījumi ķēdei). Ja g(0) ¹ 0, pēc tam tiek prezentēts g(t) formā g(t) = , kur = 0, mēs iegūstam savienojuma vienādojumu šim gadījumam:

Lai atrastu ķēdes pārejas un impulsa raksturlielumus, varat izmantot gan klasiskās, gan operatora metodes. Klasiskās metodes būtība ir noteikt ķēdes laika reakciju (sprieguma vai strāvas veidā atsevišķos ķēdes atzaros) uz viena 1( t) vai impulss d( t) funkcijas. Parasti ir ērti noteikt pārejošu reakciju, izmantojot klasisko metodi g(t) un impulsa reakciju h(t) atrast, izmantojot savienojuma vienādojumus vai operatora metodi.

Jāatzīmē, ka vērtība es(r)V vienādojums ir skaitliski vienāds ar pārejošas vadītspējas attēlu. Līdzīgs impulsa reakcijas attēls ir skaitliski vienāds ar ķēdes operatora vadītspēju

Piemēram, priekš RС- ķēdes mums ir:

Piesakoties uz Y(lpp) paplašināšanas teorēmu, iegūstam:

Tabulā 1.1 ir apkopotas strāvas un sprieguma pārejas un impulsa raksturlielumu vērtības dažām pirmās un otrās kārtas ķēdēm.

Impulsu reakcija(svara funkcija) ir sistēmas reakcija uz vienu bezgalīgu impulsu (delta funkcija vai Dirac funkcija) nulles sākuma apstākļos. Delta funkciju nosaka vienādības

, .

Šis vispārīga funkcija– matemātisks objekts, kas attēlo ideālu signālu, nē īsta ierīce nespēj to reproducēt. Delta funkciju var uzskatīt par robežu taisnstūra impulsam ar laukuma vienības centru, kura centrā ir punkts, jo impulsa platumam ir tendence uz nulli.

Tagad mums jāanalizē šīs summas robežas. Tātad, mums ir jāizmanto integrāļi, lai pareizi izprastu šāda veida sistēmu. Šim nolūkam mums ir vajadzīga konvolūcija! Šai problēmai pieņemsim, ka \\ ir lielāks par nulli. Izmēģiniet šīs divas funkcijas.

,

kur ir sistēmas pārsūtīšanas funkcija, kas ir Laplasa transformācija. Sistēmas ar vienu integratoru impulsa reakcijai ir tendence uz nemainīgu vērtību, kas vienāda ar statisko pārneses koeficientu sistēmā bez integratora. Sistēmai ar diviem integratoriem impulsa reakcija asimptotiski tiecas uz taisnu līniju, ar trim integratoriem - uz parabolu utt.

Atbilstošais diskrētais signāls ir secība. Apskatīsim nepārtraukta signāla Furjē transformāciju. Furjē transformācijas aproksimāciju iegūst no diskrētā signāla, izmantojot lodziņa metodi.

Kad summa tiek apturēta pie galīgā ranga, mēs atrodam.

Lineāra sistēma ar ierobežotu impulsa reakciju

Šo sistēmu sauc par cēloņsakarību, jo izvades stāvoklis ir atkarīgs tikai no iepriekšējiem ievades stāvokļiem. Definēts diskrēts signāls.

Ievades impulsam lineārā sistēma izvada signālu.

Jāņem vērā, ka izejas signāls ir ieejas signāla savērpšanas rezultāts ar impulsa reakciju.

8. Laika metode pārejas procesu analīzei lineārās elektriskās ķēdēs

8.1. Elektrisko ķēžu pārejas un impulsu raksturlielumi

Laika metode ir balstīta uz ķēdes pārejas un impulsa raksturlielumu koncepciju. Soli atbildeķēdes ir ķēdes reakcija uz ietekmi vienības funkcijas veidā (7.19.). Norāda ķēdes pārejošu reakciju g(t).Impulsu reakcijaķēdes sauc par ķēdes reakciju uz vienības impulsa funkcijas (d-funkcijas) ietekmi (7.21). Apzīmē impulsa reakciju h(t). g(t Turklāt h(t) ) Un

tiek noteikti nulles sākuma apstākļos ķēdē. Atkarībā no reakcijas veida un trieciena veida (strāva vai spriegums) pārejas un impulsa raksturlielumi var būt bezizmēra lielumi vai arī tiem var būt izmēri A/B vai V/A.

Šī sistēma ir ierobežotas impulsu atbildes filtrs. Kas ir impulsa reakcijas diskrētā Furjē transformācija. Apsveriet kā vienkāršs piemērs

filtrs, kas realizē divu secīgu ievades vērtību vidējo aritmētisko. tĶēdes pārejas un impulsa raksturlielumu jēdzienu izmantošana ļauj samazināt ķēdes reakcijas aprēķinu no patvaļīgas formas neperiodiska signāla darbības līdz ķēdes reakcijas noteikšanai līdz visvienkāršākajam triecienam, piemēram, vienam 1( t) vai impulsa funkcija d( t) vai d( t).

), ar kuras palīdzību tiek tuvināts sākotnējais signāls. Šajā gadījumā iegūtā lineārās ķēdes reakcija tiek atrasta (izmantojot superpozīcijas principu) kā ķēdes reakciju summa uz elementārām ietekmēm 1(

Vidējais filtrs ir zemas caurlaidības filtrs. Fāzes nobīde mainās lineāri atkarībā no frekvences. To apstiprina šāda frekvences reakcijas izteiksme. Lai simulētu šī filtra ietekmi uz signālu, apsveriet šādu nepārtrauktu signālu un tā paraugu. Lai tiktu filtrēts diskrēts signāls

Visām signāla frekvencēm, izejot cauri filtram, tiek veikta tāda pati nobīde τ. τ - izplatīšanās laiks.

Starp pārejas g(t) un pulsu h(t) pastāv noteikta saikne starp lineāras pasīvās ķēdes raksturlielumiem. To var noteikt, attēlojot vienības impulsa funkciju cauri divu vienību funkciju starpības robežai ar lielumu 1/t, kas viena pret otru nobīdītas ar laiku t (sk. 7.4. att.):

i., vienības impulsa funkcija ir vienāda ar vienības funkcijas atvasinājumu. Tā kā tiek pieņemts, ka aplūkojamā ķēde ir lineāra, tad sakarība (8.1) tiek saglabāta arī ķēdes impulsu un pārejas reakcijām.

Signāla formu nemaina joslas caurlaides filtrēšana. Izolējot terminu, kas satur fāzi, frekvences reakcija tiek uzrakstīta atbilstoši izteiksmei. Pēc mainīgā maiņas pastiprinājuma izteiksme tiek izvadīta summā. Frekvences reakcija ir uzrakstīta. Ņemot vērā limitu, mēs iegūstam.

Tiek iegūts lineārās fāzes filtrs ar bezgalīgu impulsa reakciju. Šī metode ir līdzvērtīga taisnstūra loga piemērošanai Furjē koeficientiem.

Šīs funkcijas Furjē koeficienti.

Rezultātu var izteikt, izmantojot sinusa kardinālo funkciju, un tas ir atkarīgs tikai no robežfrekvences un paraugu ņemšanas frekvences attiecības.

i., impulsa reakcija ir ķēdes pakāpes reakcijas atvasinājums.

Vienādojums (8.2) ir spēkā gadījumam, kad g(0) = 0 (nulles sākuma nosacījumi ķēdei). Ja g(0) ¹ 0, pēc tam tiek prezentēts g(t) formā g(t) = , kur = 0, mēs iegūstam savienojuma vienādojumu šim gadījumam:

Frekvences reakcijas iegūšanai tiek izmantota šāda funkcija. Šeit ir filtra pastiprinājuma un fāzes grafiks. Var redzēt, ka fāze patiešām ir lineāra caurlaides joslā, bet pastiprinājumam ir ļoti spēcīgi viļņi. Vājinātajā joslā π fāzē ir pārtraukumi. Protams, atšķirības vēlamās pārsūtīšanas funkcijas ziņā ir saistītas ar impulsa reakcijas saīsināšanu.

Mēģināsim saīsināt ar Hannas logu. Viļņi caurlaides joslā un novājinātajā joslā ir ievērojami samazināti. Fāzes linearitāte caurlaides joslā vienmēr tiek nodrošināta. Ja aizkave τ jāpaliek nemainīgai, vienlaikus jāpalielina paraugu ņemšanas ātrums. Ir izvēlēts trokšņains signāls.

Lai atrastu ķēdes pārejas un impulsa raksturlielumus, varat izmantot gan klasiskās, gan operatora metodes. Klasiskās metodes būtība ir noteikt ķēdes laika reakciju (sprieguma vai strāvas veidā atsevišķos ķēdes atzaros) uz viena 1( t) vai impulss d( t) funkcijas. Parasti ir ērti noteikt pārejošu reakciju, izmantojot klasisko metodi g(t) un impulsa reakciju h(t) atrast, izmantojot savienojuma vienādojumus (8.2), (8.3) vai operatora metodi.

Piemērs.Ļaujiet mums izmantot klasisko metodi, lai atrastu sprieguma pārejas reakciju ķēdei, kas parādīta attēlā. 8.1. Skaitliski g u(t) konkrētai ķēdei sakrīt ar spriegumu uz kapacitātes, kad tā ir pievienota brīdī t= 0 sprieguma avotam U 1 = l V:

Sprieguma maiņas likums uC(t) nosaka vienādojums (6.27), kur nepieciešams ievietot U= l V:

Meklējot īpašības g(t Turklāt h(t) izmantojot operatora metodi, funkciju attēli 1( t), d( t) un pārejas procesu aprēķināšanas metodiku, kas izklāstīta nodaļā. 7.

Piemērs. Noteiksim pārejas raksturlielumu, izmantojot operatora metodi g u(t) RС-ķēdes (skat. 8.1. att.). Šai ķēdei saskaņā ar Oma likumu operatora formā (7.35) varam rakstīt:

Beidzot saņemam

No šejienes, izmantojot paplašināšanas teorēmu (7.31), mēs atrodam

i., tāda pati vērtība, kas iegūta ar klasisko metodi.

Jāatzīmē, ka vērtība es(r)V vienādojums (8.4) ir skaitliski vienāds ar pārejas vadītspējas attēlu. Līdzīgs impulsa reakcijas attēls ir skaitliski vienāds ar ķēdes operatora vadītspēju

Piemēram, priekš RС-ķēde (skat. 8.1. att.) mums ir:

Piesakoties uz Y(lpp) paplašināšanas teorēmu (7.30), iegūstam:

Jāņem vērā, ka formula (8.5) nosaka ķēdes reakcijas brīvo komponentu viena impulsa iedarbībā. Vispārīgā gadījumā ķēdes reakcijā papildus brīvā režīma eksponenciālajiem komponentiem plkst t> 0 ir impulsa termins, kas atspoguļo efektu, kad t= 0 impulsa vienība. Patiešām, ja mēs to uzskatām RС-ķēdes (sk. 8.1. att.) strāvas pārejas raksturlielums pie U= 1(t) saskaņā ar (6.28) būs

tad pēc diferencēšanas (8.6) saskaņā ar (8.2) iegūstam impulsa reakciju RС- ķēdes h i(t) formā

i., reakcija hi(t) satur divus terminus – impulsu un eksponenciālu.

Pirmā termina fiziskā nozīme (8.7) nozīmē, ka kad t= 0 impulsa sprieguma d( t) lādēšanas strāva momentā sasniedz bezgalīgi lielu vērtību, savukārt laikā no 0 – līdz 0 + kapacitātes elements tiek pārnests uz galīgo lādiņu un pēkšņi tiek uzlādēts līdz spriegumam. es/R.C.. t Otrais termins nosaka brīvo procesu ķēdē plkst t> 0 un ir saistīts ar kondensatora izlādi caur īssavienojuma ieeju (kopš t> 0 d( R.C.) = 0, kas ir ekvivalents ieejas īssavienojumam) ar laika konstanti t = t. RС- ķēde pārtrauc uzlādes nepārtrauktību uz kapacitātes (otrais komutācijas likums). Līdzīgi tiek pārkāpts strāvas nepārtrauktības nosacījums induktivitātē (pirmais komutācijas likums), ja spriegums formā d( t).

Tabulā 8.1 ir apkopotas strāvas un sprieguma pārejas un impulsa raksturlielumu vērtības dažām pirmās un otrās kārtas ķēdēm.

8.2. Duhamela integrālis

Duhamela integrāli var iegūt, tuvinot pielikto spēku f 1 (t)Ar izmantojot vienību funkcijas, kas viena pret otru nobīdītas par laiku Dt (8.2. att.).

Ķēdes reakcija uz katru soļa efekts tiks noteikts kā

Iegūto ķēdes reakciju uz pakāpenisku ietekmju sistēmu var atrast, pamatojoties uz superpozīcijas principu:

Kur p - aptuveno sadaļu skaits, kurās ir sadalīts intervāls 0 ... t.

Sareizinot un dalot izteiksmi zem summas zīmes ar Dt un pārejot uz robežu, ņemot to vērā, iegūstam vienu no Duhamela integrāļa formām:

Vienādojums (8.8) atspoguļo ķēdes reakciju uz doto triecienu, jo aproksimējošā funkcija tiecas uz sākotnējo. Duhamela integrāļa otro formu var iegūt, izmantojot konvolūcijas teorēmu (sk.): , b), tad ķēdes reakciju nosaka ar klasisko jeb operatora metodi, kad attiecīgais atzars ir savienots ar aktīvu divu terminālu tīklu. (8.4. att. V

). Iegūtā reakcija tiek atrasta kā reakciju summa: .

8.3. Uzlikšanas integrālis h(t Meklējot ķēdes reakciju, izmantojot superpozīcijas integrāli, tiek izmantota ķēdes impulsa reakcija f 1 (t). d Lai iegūtu superpozīcijas integrāļa vispārīgu izteiksmi, mēs aproksimējam ieejas signālu f), izmantojot viena ilguma impulsu sistēmu f t, amplitūdas d 1 (t) un platība

1(t)

t (8.5. att.). Ķēdes izejas reakcija uz katru atsevišķu impulsu Izmantojot superpozīcijas principu, nav grūti iegūt kopējo ķēdes reakciju uz atsevišķu impulsu sistēmu: Tiek izsaukts integrāls (8.12). uzlikšanas integrālis. Starp superpozīciju un Duhamela integrāļiem ir h(t) vienkāršs savienojums g(t, ko nosaka attiecība (8.3) starp impulsu h(t un pārejas

Piemērs.) ķēdes raksturlielumi. Aizstājot, piemēram, vērtību RС) no (8.3) formulā (8.12), ņemot vērā d-funkcijas (7.23) filtrēšanas īpašību, iegūstam Duhamela integrāli formā (8.11). U Pie ieejas

- ķēde (skat. 8.1. att.) tiek pielietots sprieguma pārspriegums h1. Nosakiet ķēdes reakciju pie izejas, izmantojot superpozīcijas integrāļus (8.12) un Duhamela (8.11).(tŠīs ķēdes impulsa reakcija ir vienāda ar (sk. 8.1. tabulu): t / u) = = (1/RC)e – h1. Nosakiet ķēdes reakciju pie izejas, izmantojot superpozīcijas integrāļus (8.12) un Duhamela (8.11).(t R.C. . Pēc tam aizvietojot– t) = (1/RC)e – ( u formulā (8.12) iegūstam:

Līdzīgu rezultātu iegūstam, izmantojot šīs shēmas pārejas funkciju un Duhamela integrāli (8.11):

Ja ietekmes sākums nesakrīt ar laika skaitīšanas sākumu, tad integrālis (8.12) iegūst formu

Superpozīcijas integrāļi (8.12) un (8.13) attēlo ieejas signāla konvolūciju ar ķēdes impulsa reakciju un tiek plaši izmantoti elektrisko ķēžu teorijā un signālu pārraides teorijā. Tās fiziskā nozīme ir tāda, ka ievades signāls f 1 (t) it kā tiek nosvērts, izmantojot funkciju h(t- t): jo lēnāk tas ar laiku samazinās h(t), jo lielāku ietekmi uz izejas signālu rada ieejas ietekmes vērtība, kas ir attālāka no novērošanas brīža.

Attēlā 8.6, A parādīts signāls f 1(t) un impulsa reakcija h(t- t), kas ir spoguļattēls h(t) un attēlā. 8.6, b tiek parādīta signāla konvolūcija f 1(t) Ar funkciju h(t- t) (ēnotā daļa), skaitliski vienāds ar ķēdes reakciju uz doto brīdi t.

No att. 8.6 parāda, ka reakcija pie ķēdes izejas nevar būt īsāka par kopējo signāla ilgumu t 1 un impulsa reakcija t h. Tādējādi, lai izejas signāls netiktu izkropļots, ķēdes impulsa reakcijai ir jātiecas uz d funkciju.

Ir arī skaidrs, ka fiziski realizētā ķēdē reakcija nevar notikt pirms trieciena.

Tas nozīmē, ka fiziski īstenotas ķēdes impulsa reakcijai ir jāatbilst nosacījumam

Turklāt fiziski realizējamai stabilai ķēdei ir jāizpilda impulsa reakcijas absolūtās integrējamības nosacījums:

Ja ievades darbībai ir sarežģīta forma vai tā ir norādīta grafiski, tad ķēdes reakcijas aprēķināšanai tiek izmantotas grafiski analītiskas metodes, nevis konvolūcijas integrālis (8.12).

Pašpārbaudes jautājumi un uzdevumi

1. Definējiet ķēdes pārejas un impulsa raksturlielumus.

2. Norādiet saistību starp impulsa un pārejošiem raksturlielumiem.

3. Kā noteikt ķēdes pārejošo un impulsa reakciju?

4. Kāda ir atšķirība starp pārejošiem raksturlielumiem, izskaidro to fizisko nozīmi.

5. Kā noteikt, kurš no četriem pārejas vai impulsa raksturlielumu veidiem ir jāpiemēro katrā konkrētajā gadījumā, aprēķinot ķēdes reakciju? g(t) Un h(t)?

6. Kāda ir pārejas procesu aprēķina būtība, izmantojot

7. Kā noteikt ķēdes reakciju, ja efektam ir sarežģīta forma?

8. Kādiem nosacījumiem ir jāatbilst ķēdei, izmantojot Duhamela integrāli?

10. Vai ķēdes reakcijas aprēķināšana, izmantojot Duhamela un superpozīcijas integrāļus, dod tādus pašus vai atšķirīgus rezultātus?

11. Noteikt virknē savienotas pretestības un induktivitātes ķēdes pārejas vadītspēju.

12. Definēt ķēdi, ko veido virknē savienota pretestība un kapacitāte.

Atbilde: .

13. No konvolūcijas vienādojuma (8.10) iegūstiet Duhamela integrāļa (8.10) trešo formu.

Krievijas akadēmija

Fizikas katedra

Lekcija

Elektrisko ķēžu pārejas un impulsu raksturlielumi

Ērglis 2009

Izglītības un izglītības mērķi:

Izskaidrot studentiem elektrisko ķēžu pārejošo un impulsu raksturlielumu būtību, parādīt saikni starp raksturlielumiem, pievērst uzmanību aplūkojamo raksturlielumu izmantošanai elektrisko ķēžu analīzei un sintēzei, kā arī mērķēt uz kvalitatīvu sagatavošanos praktiskajam darbam. apmācību.

Lekciju laika sadale

Ievaddaļa………………………………………………………5 min.

Studiju jautājumi:

1. Elektrisko ķēžu pārejas raksturlielumi………………15 min.

2. Duhamela integrāļi………………………………………………………………25 min.

3. Elektrisko ķēžu impulsu raksturlielumi. Saistība starp raksturlielumiem………………………………………….…………25 min.

4. Konvolūcijas integrāļi………………………………………….15 min.

Secinājums………………………………………………………5 min.

1. Elektrisko ķēžu pārejas raksturlielumi

Ķēdes pārejoša reakcija (tāpat kā impulsa reakcija) attiecas uz ķēdes pagaidu raksturlielumiem, t.i., tā izsaka noteiktu pārejošu procesu iepriekš noteiktās ietekmēs un sākotnējos apstākļos.

Lai salīdzinātu elektriskās ķēdes pēc to reakcijas uz šīm ietekmēm, ķēdes ir jānovieto vienādos apstākļos. Vienkāršākais un ērtākais ir nulles sākuma nosacījumi.

Ķēdes pārejoša reakcija ir ķēdes reakcijas uz pakāpenisku triecienu attiecība pret šīs ietekmes lielumu nulles sākuma apstākļos.

Pēc definīcijas

kur ir ķēdes reakcija uz pakāpenisku ietekmi;

– soļa efekta lielums [B] vai [A].

Tā kā un tiek dalīts ar ietekmes lielumu (tas ir reāls skaitlis), tad faktiski - ķēdes reakcija uz viena soļa efektu.

Ja ķēdes pārejošā reakcija ir zināma (vai to var aprēķināt), tad no formulas var atrast šīs ķēdes reakciju uz pakāpenisku efektu pie nulles NL

.

Izveidosim savienojumu starp ķēdes operatora pārsūtīšanas funkciju, kas bieži ir zināma (vai atrodama), un šīs ķēdes pārejošo reakciju. Lai to izdarītu, mēs izmantojam ieviesto operatora pārsūtīšanas funkcijas koncepciju:

.

Ķēdes Laplasa pārveidotās reakcijas attiecība pret trieciena lielumu ir ķēdes operatora pārejas raksturlielums:

Līdz ar to.

No šejienes tiek atrasts ķēdes operatora pārejas raksturlielums, izmantojot operatora pārsūtīšanas funkciju.

Lai noteiktu ķēdes pārejošo reakciju, ir jāpiemēro apgrieztā Laplasa transformācija:

izmantojot atbilstības tabulu vai (provizoriski) dekompozīcijas teorēmu.

Piemērs: nosakiet pārejošo reakciju sprieguma reakcijai uz kondensatora virknes ķēdē (1. att.):

Šeit ir reakcija uz pakāpenisku lieluma efektu:

,

no kurienes nāk pārejas raksturlielums:

.

Visbiežāk sastopamo ķēžu pārejas raksturlielumi ir atrasti un norādīti atsauces literatūrā.

2. Duhamela integrāļi

Pārejošo reakciju bieži izmanto, lai atrastu ķēdes reakciju uz sarežģītu stimulu. Nodibināsim šīs attiecības.

Vienosimies, ka ietekme ir nepārtraukta funkcija un tiek piemērota ķēdei laikā , un sākotnējie nosacījumi ir nulle.

Doto triecienu var attēlot kā ķēdei vienā brīdī pieliktas pakāpeniskas ietekmes un bezgalīgi liela skaita bezgalīgi mazu pakāpenisku triecienu, kas nepārtraukti seko viens otram, summu. Viens no šiem elementārajiem triecieniem, kas atbilst pielietošanas brīdim, ir parādīts 2. attēlā.

Atradīsim ķēdes reakcijas vērtību kādā brīdī.

Pakāpenisks efekts ar atšķirību laika momentā izraisa reakciju, kas vienāda ar starpības reizinājumu ar ķēdes pārejas raksturlieluma vērtību pie , t.i., vienāda ar:

Bezgalīgi mazs pakāpenisks efekts ar atšķirību izraisa bezgalīgi mazu reakciju , kur ir laiks, kas pagājis no ietekmes piemērošanas brīža līdz novērošanas brīdim. Tā kā pēc nosacījuma funkcija ir nepārtraukta, tad:

Atbilstoši superpozīcijas principam reakcija būs vienāda ar to reakciju summu, ko izraisījusi ietekmju kopums pirms novērošanas brīža, t.i.

.

Parasti pēdējā formulā to vienkārši aizstāj ar , jo atrastā formula ir pareiza jebkurām laika vērtībām:

.

Vai arī pēc dažām vienkāršām pārvērtībām:

.

Jebkura no šīm attiecībām atrisina problēmu, kā aprēķināt lineāras elektriskās ķēdes reakciju uz noteiktu nepārtrauktu darbību, izmantojot zināmu ķēdes pārejošu reakciju. Šīs attiecības sauc par Duhamela integrāļiem.

3. Elektrisko ķēžu impulsu raksturlielumi

Ķēdes impulsa reakcija To sauc par ķēdes reakcijas uz impulsu darbību attiecību pret šīs darbības laukumu nulles sākuma apstākļos.

Pēc definīcijas

kur ir ķēdes reakcija uz impulsa darbību;

– trieciena impulsa laukums.

Izmantojot zināmo ķēdes impulsa reakciju, var atrast ķēdes reakciju uz noteiktu ietekmi: .

Viena impulsa efekts, ko sauc arī par delta funkciju vai Dirac funkciju, bieži tiek izmantots kā trieciena funkcija.

Delta funkcija ir funkcija, kas ir vienāda ar nulli visur, izņemot , un tās laukums ir vienāds ar vienību ():

.

Delta funkcijas jēdzienu var iegūt, ņemot vērā taisnstūra impulsa augstuma un ilguma robežu, kad (3. att.):

Izveidosim saikni starp ķēdes pārsūtīšanas funkciju un tās impulsa reakciju, kurai mēs izmantojam operatora metodi.

Pēc definīcijas:

.

Ja ietekme (sākotnējā) tiek uzskatīta par lielāko daļu vispārējs gadījums pulsa laukuma reizinājuma formā ar delta funkciju, t.i., formā, tad šī efekta attēlam saskaņā ar atbilstības tabulu ir šāda forma:

.

Tad, no otras puses, ķēdes Laplasa pārveidotās reakcijas attiecība pret trieciena impulsa laukumu ir ķēdes operatora impulsa reakcija:

.

Līdz ar to,.

Lai atrastu ķēdes impulsa reakciju, ir jāpiemēro apgrieztā Laplasa transformācija:

Tas ir, patiesībā.

Vispārinot formulas, iegūstam savienojumu starp ķēdes operatora pārsūtīšanas funkciju un ķēdes operatora pārejas un impulsa raksturlielumiem:

Tādējādi, zinot vienu no ķēdes īpašībām, jūs varat noteikt jebkuru citu.

Veiksim identisku vienlīdzības transformāciju, pievienojot vidusdaļai.

Tad mums būs.

Tā kā tas ir pārejas raksturlieluma atvasinājuma attēls, sākotnējo vienādību var pārrakstīt šādi:

Pārejot uz oriģinālu apgabalu, mēs iegūstam formulu, kas ļauj noteikt ķēdes impulsa reakciju no tās zināmās pārejas reakcijas:

Ja, tad.

Apgrieztā attiecība starp šiem raksturlielumiem ir šāda:

.

Izmantojot pārsūtīšanas funkciju, ir viegli noteikt termina klātbūtni funkcijā.

Ja skaitītāja un saucēja pakāpes ir vienādas, tad attiecīgais termins būs klāt. Ja funkcija ir pareiza daļa, šis termins nepastāvēs.

Piemērs: nosaka impulsu raksturlielumus spriegumiem un virknes ķēdē, kas parādīta 4. attēlā.

Definēsim:

Izmantojot atbilstības tabulu, pāriesim pie oriģināla:

.

Šīs funkcijas grafiks ir parādīts 5. attēlā.

Rīsi. 5

Pārsūtīšanas funkcija:

Saskaņā ar atbilstības tabulu mums ir:

.

Iegūtās funkcijas grafiks ir parādīts 6. attēlā.

Norādīsim, ka tādas pašas izteiksmes var iegūt, izmantojot attiecības, kas izveido savienojumu starp un .

Impulsu reakcija tās fiziskajā nozīmē atspoguļo brīvo svārstību procesu, un šī iemesla dēļ var apgalvot, ka reālās ķēdēs vienmēr ir jāievēro šāds nosacījums:

4. Konvolūcijas (pārklājuma) integrāļi

Apskatīsim procedūru lineāras elektriskās ķēdes reakcijas noteikšanai uz sarežģītu ietekmi, ja ir zināma šīs ķēdes impulsa reakcija. Mēs pieņemsim, ka trieciens ir pa daļām nepārtraukta funkcija, kas parādīta 7. attēlā.

Lai kādā brīdī ir jāatrod reakcijas vērtība. Atrisinot šo uzdevumu, iedomāsimies triecienu kā bezgalīgi maza ilguma taisnstūrveida impulsu summu, no kuriem viens, kas atbilst laika momentam, ir parādīts 7. attēlā. Šo impulsu raksturo ilgums un augstums.

No iepriekš apspriestā materiāla ir zināms, ka ķēdes reakciju uz īsu impulsu var uzskatīt par vienādu ar ķēdes impulsa reakcijas un impulsa darbības laukuma reizinājumu. Līdz ar to reakcijas bezgalīgi mazā komponente, kas rodas no šīs impulsa darbības laika brīdī, būs vienāda ar:

jo impulsa laukums ir vienāds ar , un laiks paiet no tā pielietošanas brīža līdz novērošanas brīdim.

Izmantojot superpozīcijas principu, ķēdes kopējo reakciju var definēt kā bezgalīgi liela skaita bezgalīgi mazu komponentu summu, ko izraisa bezgalīgi mazu laukumu impulsu virkne pirms laika momenta.

Tādējādi:

.

Šī formula ir patiesa jebkurai vērtībai, tāpēc parasti mainīgais tiek vienkārši apzīmēts. Pēc tam:

.

Iegūto attiecību sauc par konvolūcijas integrāli vai superpozīcijas integrāli. Funkciju, kas tiek atrasta konvolūcijas integrāļa aprēķina rezultātā, sauc par konvolūciju un .

Varat atrast citu konvolūcijas integrāļa formu, ja maināt mainīgos iegūtajā izteiksmē:

.

Piemērs: atrodiet spriegumu pāri seriālās ķēdes kapacitātei (8. att.), ja ieejā darbojas formas eksponenciāls impulss:

Izmantosim konvolūcijas integrāli:

.

Izteiksme priekš tika saņemts iepriekš.

Tāpēc , Un .

To pašu rezultātu var iegūt, pielietojot Duhamela integrāli.

Literatūra:

Beletskis A.F. Lineāro elektrisko ķēžu teorija. – M.: Radio un sakari, 1986. (Mācību grāmata)

Bakalovs V.P. elektrisko ķēžu teorija. – M.: Radio un sakari, 1998. (Mācību grāmata);

Kačanovs N. S. et al. Lineārās radiotehnikas ierīces. M.: Militārais. izdots, 1974. (Mācību grāmata);

Popovs V.P. Ķēdes teorijas pamati - M.: Augstskola, 2000. (Mācību grāmata)