Duhamel интеграл.

Нэг эвгүй нөлөөнд хэлхээний хариу урвалыг мэдэх, i.e. Түр зуурын дамжуулалтын функц ба/эсвэл түр зуурын хүчдэлийн функцийг ашигласнаар дурын хэлбэрийн нөлөөллийн хэлхээний хариу урвалыг олж болно. Духамелийн интегралыг ашиглан тооцоолох арга нь суперпозиция зарчим дээр суурилдаг.

Духамелийн интегралыг ашиглан интеграл хийгдэж байгаа хувьсагч болон хэлхээн дэх гүйдэл тодорхойлогдох цаг хугацааны агшинг тодорхойлох хувьсагчийг салгахад эхнийхийг ихэвчлэн , хоёр дахь нь t гэж тэмдэглэдэг.

Цагийн агшинд тэг анхны нөхцөлтэй хэлхээг (идэвхгүй хоёр терминалын сүлжээ ПДЗураг дээр. 1) дурын хэлбэрийн хүчдэлтэй эх үүсвэр холбогдсон. Хэлхээний гүйдлийг олохын тулд бид анхны муруйг нэг алхамаар солино (2-р зургийг үз), дараа нь хэлхээ нь шугаман гэдгийг харгалзан бид эхний хүчдэлийн үсрэлтээс гүйдэл ба бүх хүчдэлийн үе шатуудыг нэгтгэн гаргадаг. цаг хугацааны хоцрогдолтой хүчин төгөлдөр болох t мөч хүртэл.

t үед эхний хүчдэлийн өсөлтөөр тодорхойлогдсон нийт гүйдлийн бүрэлдэхүүн хэсэг нь тэнцүү байна.

Энэ үед хүчдэлийн өсөлт гарч байна , энэ нь үсрэлт эхлэхээс t цаг хүртэлх хугацааны интервалыг харгалзан үзэхэд одоогийн бүрэлдэхүүн хэсгийг тодорхойлно.

t үеийн нийт гүйдэл нь бие даасан хүчдэлийн өсөлтөөс үүссэн бүх гүйдлийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн нийлбэртэй тэнцүү байх нь ойлгомжтой.

Хязгаарлагдмал хугацааны өсөлтийн интервалыг хязгааргүй жижигээр солих, i.e. нийлбэрээс интеграл руу шилжихдээ бид бичнэ

.

(1)

Харилцаа (1) гэж нэрлэдэг Duhamel интеграл.

Духамелийн интеграл ашиглан хүчдэлийг бас тодорхойлж болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Энэ тохиолдолд шилжилтийн дамжуулагчийн оронд (1) шилжилтийн хүчдэлийн функцийг оруулна.

Тооцооллын дарааллыг ашиглан
Duhamel интеграл

Duhamel интегралыг ашиглах жишээ болгон бид хэлхээний гүйдлийг Зураг дээр тодорхойлно. 3, өмнөх лекцэнд оруулах томъёогоор тооцоолсон.

Тооцооллын эхний өгөгдөл: , , .

1. Түр зуурын дамжуулалт

.

18. Дамжуулах функц.

Нөлөөллийн операторын өөрийн оператортой харилцах харилцааг шилжүүлэх функц эсвэл оператор хэлбэрээр шилжүүлэх функц гэж нэрлэдэг.

Симбол болон оператор хэлбэрээр тэгшитгэл эсвэл тэгшитгэлээр дүрслэгдсэн холбоосыг хоёр дамжуулах функцээр тодорхойлж болно: оролтын утгыг шилжүүлэх функц u; болон оролтын хэмжигдэхүүнийг шилжүүлэх функц f.

Тэгээд

Дамжуулах функцийг ашиглан тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичнэ . Энэ тэгшитгэл нь анхны тэгшитгэлийг бичих нөхцөлт, илүү нягт хэлбэр юм.

Оператор хэлбэрээр дамжуулах функцийн зэрэгцээ Лаплас дүрс хэлбэрээр дамжуулах функц өргөн хэрэглэгддэг.

Лаплас дүрс болон операторын хэлбэрт шилжүүлэх функцууд нь тэмдэглэгээ хүртэл давхцдаг. Лапласын дүрс хэлбэрээр шилжүүлэх функцийг оператор хэлбэрээр шилжүүлэх функцээс авч болно, хэрэв сүүлийнх нь p=s орлуулалт хийгдсэн бол. Ерөнхий тохиолдолд энэ нь анхны тэг нөхцлөөр эхийг ялгах - эхийг p-ээр бэлгэдлийн үржүүлэх нь зургийг s цогцолбор тоогоор үржүүлэхтэй тохирч байгаагаас үүдэлтэй юм.

Лаплас дүрс ба операторын хэлбэр дэх дамжуулах функцүүдийн хоорондын ижил төстэй байдал нь зөвхөн гадаад шинж чанартай бөгөөд энэ нь зөвхөн суурин холбоос (систем) тохиолдолд л тохиолддог. зөвхөн тэг анхны нөхцөлд.

Энгийн RLC (цуврал) хэлхээг авч үзье, түүний дамжуулах функц W(p)=U OUT /U IN

Фурье интеграл.

Чиг үүрэг е(x), бүх тооны мөрөнд тодорхойлогдсоныг дуудна үе үе, хэрэв ямар нэгэн утгын хувьд ийм тоо байвал Xтэгш байдал хадгалагдана . Тоо Тдуудсан функцийн хугацаа.

Энэ функцийн зарим шинж чанарыг тэмдэглэе:

1) Хугацааны үечилсэн функцүүдийн нийлбэр, зөрүү, үржвэр, коэффициент Тнь хугацааны үечилсэн функц юм Т.

2) Хэрэв функц е(x) хугацаа Т, дараа нь функц е(сүх) хугацаатай.

3) Хэрэв е(x) - хугацааны үечилсэн функц Т, дараа нь энэ функцийн дурын хоёр интегралыг уртын интервалаар авна Т(энэ тохиолдолд интеграл байдаг), өөрөөр хэлбэл аль ч тохиолдолд аТэгээд бтэгш байдал үнэн .

Тригонометрийн цуврал. Фурье цуврал

Хэрэв е(x) сегмент дээр жигд нийлсэн тригонометрийн цуваа болгон өргөжүүлнэ. (1)

Дараа нь энэ өргөтгөл нь өвөрмөц бөгөөд коэффициентийг дараах томъёогоор тодорхойлно.

Хаана n=1,2, . . .

Коэффициентээр авч үзсэн төрлийн тригонометрийн цуваа (1) гэж нэрлэдэг тригонометрийн Фурье цуврал.

Фурье цувралын цогц хэлбэр

Илэрхийллийг функцийн Фурье цувралын цогц хэлбэр гэж нэрлэдэг е(x), тэгш эрхээр тодорхойлогдсон бол

, Хаана

Фурьегийн цувралаас цогц хэлбэрээс бодит хэлбэрт болон арын цуврал руу шилжих ажлыг дараахь томъёог ашиглан гүйцэтгэнэ.

(n=1,2, . . .)

f(x) функцийн Фурье интеграл нь дараах хэлбэрийн интеграл юм.

, Хаана .

Давтамжийн функцууд.

Хэрэв та дамжуулах функцтэй системийн оролтод хэрэглэх бол W(p)гармоник дохио

дараа нь шилжилтийн процесс дууссаны дараа гармонид гармоник хэлбэлзэл үүснэ

ижил давтамжтай, гэхдээ өөр өөр далайц ба фаз нь хөндөх нөлөөллийн давтамжаас хамаарна. Тэдгээрээс системийн динамик шинж чанарыг шүүж болно. Гаралтын дохионы далайц ба фазыг оролтын дохионы давтамжтай холбодог харилцааг нэрлэдэг давтамжийн шинж чанар(CH). Системийн динамик шинж чанарыг судлахын тулд давтамжийн хариу урвалын шинжилгээ гэж нэрлэдэг давтамжийн шинжилгээ.

илэрхийллийг орлуулъя u(t)Тэгээд y(t)динамикийн тэгшитгэлд оруулна

(aоp n + a 1 pn - 1 + a 2 p n - 2 + ... + a n)y = (bоp m + b 1 p m-1 + ... + b m)u.

Үүнийг анхаарч үзье

pnu = pnU m ejwt = U m (jw)nejwt = (jw)nu.

Үүнтэй төстэй хамаарлыг тэгшитгэлийн зүүн талд бичиж болно. Бид авах:

Дамжуулах функцтэй зүйрлэвэл бид дараахь зүйлийг бичиж болно.

Гармоник хуулийн дагуу оролтын дохио өөрчлөгдөхөд гаралтын дохионы оролтын дохионы харьцаатай тэнцүү W(j) гэж нэрлэдэг. давтамж дамжуулах функц. W(p) илэрхийлэл дэх p-г j-ээр орлуулснаар л авч болно гэдгийг харахад хялбар байдаг.

W(j) нь нарийн төвөгтэй функц тул:

Энд P() - бодит давтамжийн хариу үйлдэл (RFC); Q() - төсөөллийн давтамжийн хариу үйлдэл (ICH); A() - далайцын давтамжийн хариу үйлдэл (AFC): () - фазын давтамжийн хариу үйлдэл (PFC). Давтамжийн хариу үйлдэл нь гаралт ба оролтын дохионы далайцын харьцааг өгдөг бол фазын хариу үйлдэл нь оролттой харьцуулахад гаралтын хэмжигдэхүүний фазын шилжилтийг өгдөг.

;

Хэрэв W(j) нь нийлмэл хавтгай дээр вектор хэлбэрээр дүрслэгдсэн бол 0-ээс + хүртэл өөрчлөгдөхөд түүний төгсгөл гэж нэрлэгддэг муруй зурна. вектор годограф W(j), эсвэл далайц-фазын давтамжийн хариу урвал (APFC)(Зураг 48).

AFC-ийн салбарыг --ээс 0 хүртэл өөрчлөх үед энэ муруйг бодит тэнхлэгтэй харьцуулан толин тусгах замаар олж авч болно.

TAU өргөн хэрэглэгддэг Логарифмын давтамжийн шинж чанар (LFC)(Зураг 49): логарифмын далайцын давтамжийн хариу үйлдэл (LAFC) L() ба Логарифмын фазын давтамжийн хариу үйлдэл (LPFC) ().

Тэдгээрийг шилжүүлгийн функцийн логарифмыг авах замаар олж авна.

LFC-ийг эхний гишүүнээс авдаг бөгөөд үүнийг масштабын шалтгаанаар 20-оор үржүүлдэг бөгөөд натурал логарифмыг ашигладаггүй, харин аравтын нэг буюу L() = 20lgA(). L()-ийн утгыг ординатын тэнхлэгийн дагуу зурна децибел.

Дохионы түвшний 10 дБ өөрчлөлт нь түүний хүч 10 дахин өөрчлөгдсөнтэй тохирч байна. P гармоник дохионы хүч нь түүний далайцын квадраттай пропорциональ байдаг тул дохионы 10 дахин өөрчлөлт нь түүний түвшний 20 дБ өөрчлөлттэй тохирч байна.

log(P 2 /P 1) = log(A 2 2 /A 1 2) = 20log(A 2 /A 1).

Абсцисса тэнхлэг нь логарифмын масштабаар w давтамжийг харуулдаг. Өөрөөр хэлбэл абсцисса тэнхлэгийн дагуух нэгж интервалууд нь w-ийн 10 дахин өөрчлөлттэй тохирч байна. Энэ интервал гэж нэрлэгддэг арван жил. log(0) = - тул ордны тэнхлэгийг дур зоргоороо зурна.

Хоёр дахь нэр томъёоноос олж авсан LPFC нь фазын хариу урвалаас зөвхөн тэнхлэгийн дагуух масштабаар ялгаатай байдаг. () утгыг ординатын тэнхлэгийн дагуу градусаар эсвэл радианаар зурна. Анхан шатны холбоосуудын хувьд энэ нь: - +-ээс хэтрэхгүй.

Давтамжийн шинж чанар нь системийн иж бүрэн шинж чанар юм. Системийн давтамжийн хариу урвалыг мэдсэнээр та түүний дамжуулах функцийг сэргээж, параметрүүдийг нь тодорхойлж болно.

Санал хүсэлт.

Хэрэв гаралтын дохио нь өөр холбоосоор дамжин оролт руу орж байвал холбоос нь санал хүсэлтэд хамрагдана гэж ерөнхийд нь хүлээн зөвшөөрдөг. Түүнээс гадна, хэрэв санал хүсэлтийн дохио нь оролтын үйлдлээс () хасагдсан бол санал хүсэлтийг сөрөг гэж нэрлэдэг. Хэрэв оролтын үйлдэл () дээр санал хүсэлтийн дохио нэмэгдсэн бол санал хүсэлтийг эерэг гэж нэрлэдэг.

Сөрөг санал хүсэлт бүхий хаалттай давталтын дамжуулах функц - сөрөг санал хүсэлтээр бүрхэгдсэн холбоос нь шууд дамжуулалтын функцийг нэг дээр хуваасан нээлттэй давталтын дамжуулах функцтэй тэнцүү байна.

Эерэг санал хүсэлт бүхий хаалттай хүрд дамжуулах функц нь нээлттэй давталтын дамжуулах функцийг нэгээр хуваасантай тэнцүү байна.

22. 23. Дөрвөн туйлт.

Шинжилгээ хийх үед цахилгаан хэлхээХэлхээний хоёр салбарын хувьсагч (гүйдэл, хүчдэл, хүч гэх мэт) хоорондын хамаарлыг судлах асуудалд дөрвөн терминалын сүлжээний онолыг өргөн ашигладаг.

Дөрвөн туйлт- Энэ нь ихэвчлэн оролт, гаралт гэж нэрлэгддэг хоёр хос терминалтай (иймээс нэр нь) ямар ч тохиргооны хэлхээний хэсэг юм.

Дөрвөн терминалын сүлжээний жишээ бол трансформатор, өсгөгч, потенциометр, цахилгаан шугам болон хоёр хос туйлыг ялгах боломжтой бусад цахилгаан төхөөрөмжүүд юм.

Ерөнхийдөө квадриполуудыг хувааж болно идэвхтэй,түүний бүтцэд эрчим хүчний эх үүсвэр багтсан ба идэвхгүй,эрчим хүчний эх үүсвэр агуулаагүй салбарууд.

Дөрвөн портын сүлжээний тэгшитгэлийг бичихийн тулд бид дурын хэлхээнд салбарыг сонгоно цорын ганц эх сурвалжэрчим хүч болон зарим эсэргүүцэлтэй бусад аливаа салбар (1-р зургийг үз, а).

Нөхөн олговрын зарчмын дагуу бид анхны эсэргүүцлийг хүчдэлтэй эх үүсвэрээр солино (1,б-р зургийг үз). Дараа нь, Зураг дээрх хэлхээний суперпозиция аргад үндэслэн. 1б бичиж болно

Тэгшитгэл (3) ба (4) нь квадрипольын үндсэн тэгшитгэл юм; тэдгээрийг мөн А хэлбэрийн квадриполь тэгшитгэл гэж нэрлэдэг (Хүснэгт 1-ийг үз). Ерөнхийдөө идэвхгүй квадриполийн тэгшитгэлийг бичих зургаан хэлбэр байдаг. Үнэн хэрэгтээ дөрвөн терминалын сүлжээ нь хоёр хүчдэл ба хоёр гүйдлээр тодорхойлогддог. Дурын хоёр хэмжигдэхүүнийг бусдаас нь илэрхийлж болно. Дөрөв хоёрын хослолын тоо зургаа байх тул идэвхгүй квадриполь тэгшитгэлийг бичих зургаан хэлбэрийг хүснэгтэд өгсөн болно. 1. Төрөл бүрийн хэлбэрийн тэгшитгэл бичих гүйдлийн эерэг чиглэлийг Зураг дээр үзүүлэв. 2. Нэг буюу өөр хэлбэрийн тэгшитгэлийн сонголт нь шийдэж буй асуудлын талбар, төрлөөр тодорхойлогддог болохыг анхаарна уу.

Хүснэгт 1. Идэвхгүй квадриполь тэгшитгэлийг бичих хэлбэрүүд

Маягт	Тэгшитгэл	Үндсэн тэгшитгэлийн коэффициентуудтай холболт
А хэлбэртэй	; ;
Y хэлбэртэй	; ;	; ; ; ;
Z хэлбэртэй	; ;	; ; ; ;
H хэлбэртэй	; ;	; ; ; ;
G хэлбэртэй	; ;	; ; ; ;
B хэлбэртэй	; .	; ; ; .

Онцлогийн эсэргүүцэл ба коэффициент
тэгш хэмтэй квадрипольын тархалт

Харилцаа холбооны хувьд тэгш хэмтэй дөрвөн терминалын сүлжээний ажиллах горимыг өргөн ашигладаг бөгөөд түүний оролтын эсэргүүцэл нь ачааллын эсэргүүцэлтэй тэнцүү байдаг.

.

Энэ эсэргүүцлийг нэрлэж, нэрлэдэг онцлог эсэргүүцэлтэгш хэмтэй дөрвөн портын сүлжээ, дөрвөн портын сүлжээний ажиллах горим, энэ нь үнэн юм

,

Оролтын нөлөөллийг хүлээн авах, дамжуулах цахилгаан төхөөрөмжүүдийн чадварыг үнэлэхийн тулд тэд түр зуурын болон импульсийн шинж чанарыг судлахад ашигладаг.

Алхам хариу h(т) бие даасан эх үүсвэр агуулаагүй шугаман хэлхээний нэг алхамын функцын хэлбэрээр нэг гүйдэл эсвэл хүчдэлийн үсрэлтэнд үзүүлэх хэлхээний хариу үйлдэлтэй тоогоор тэнцүү байна 1( т) эсвэл 1( т – т 0) тэг анхны нөхцөлд (Зураг 14). Шилжилтийн шинж чанарын хэмжээс нь урвалын хэмжээсийг нөлөөллийн хэмжээстэй харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна. Энэ нь хэмжээсгүй байж болно, Ом, Сименс (См) хэмжээтэй байна.

Цагаан будаа. 14

Импульсийн хариу урвал к(т) бие даасан эх үүсвэр агуулаагүй шугаман хэлхээний d( хэлбэрийн нэг импульсийн үйлчлэлд хэлхээний хариу үйлдэлтэй тоон хувьд тэнцүү байна. т) эсвэл d( т – т 0) анхны нөхцөл нь тэгтэй функцууд. Түүний хэмжээс нь урвалын хэмжээсийг нөлөөллийн хэмжээ ба цаг хугацааны бүтээгдэхүүнд харьцуулсан харьцаатай тэнцүү тул c –1, Ohms –1, Sms –1 хэмжээтэй байж болно.

Импульсийн функц d( т) нэгж алхамын функцийн дериватив гэж үзэж болно d( т) = г 1(т)/dt. Үүний дагуу импульсийн хариу үйлдэл нь үргэлж алхамын хариуны цаг хугацааны дериватив юм. к(т) = h(0 +)d( т) + dh(т)/dt. Энэ хамаарлыг импульсийн хариу урвалыг тодорхойлоход ашигладаг. Жишээ нь, хэрэв зарим гинжин хэлхээний хувьд h(т) = 0,7д –100т, Тэр к(т) = 0.7d( т) – 70д –100 т. Түр зуурын хариу урвалыг түр зуурын процессыг тооцоолох сонгодог эсвэл операторын аргаар тодорхойлж болно.

Хэлхээний цаг ба давтамжийн шинж чанаруудын хооронд холбоо байдаг. Операторын шилжүүлгийн функцийг мэдэхийн тулд та хэлхээний урвалын зургийг олж болно. Ю(с) = В(с)X(с), i.e. дамжуулах функцийг агуулна бүрэн мэдээлэлАнхны тэг нөхцөлд оролтоос гаралт хүртэл дохиог дамжуулах систем болох хэлхээний шинж чанаруудын тухай. Энэ тохиолдолд нөлөөлөл ба урвалын шинж чанар нь шилжүүлэх функцийг тодорхойлсон шинж чанартай тохирч байна.

Шугаман хэлхээний дамжуулах функц нь оролтын үйлдлийн төрлөөс хамаардаггүй тул түр зуурын хариу урвалаас авч болно. Тиймээс нэгж алхамын функц 1( т) 1( т) = 1/с, тэнцүү байна

В(с) = Л [h(т)] / Л = Л [h(т)] / (1/с), Хаана Л [е(т)] - функц дээрх Лапласын шууд хувиргалтын тэмдэглэгээ е(т). Алхам хариуг урвуу Лаплас хувиргалтыг ашиглан дамжуулах функцээр тодорхойлж болно, i.e. h(т) = Л –1 [В(с)(1/с)], Хаана Л –1 [Ф(с)] - функц дээр урвуу Лаплас хувиргалтын тэмдэглэгээ Ф(с). Тиймээс түр зуурын хариу үйлдэл h(т) нь дүрс нь тэнцүү функц юм В(с) /с.

Нэг импульсийн функц d( т) дамжуулах функц В(с) = Л [к(т)] / Л = Л [к(т)] / 1 = Л [к(т)]. Тиймээс хэлхээний импульсийн хариу урвал к(т) нь шилжүүлгийн функцийн эх хувь юм. Хэлхээний мэдэгдэж буй операторын функцээс урвуу Лаплас хувиргалтыг ашиглан импульсийн хариу урвалыг тодорхойлж болно. к(т) В(с). Энэ нь хэлхээний импульсийн хариу урвал нь хэлхээний давтамжийн шинж чанарыг өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог гэсэн үг бөгөөд эсрэгээр нь

В(j w) = В(с)с = j w. Хэлхээний түр зуурын хариу урвалыг мэдэгдэж буй импульсийн хариу урвалаас (мөн эсрэгээр) олж болох тул сүүлийнх нь хэлхээний давтамжийн шинж чанараар тодорхойлогддог.

Жишээ 8.Оролтын гүйдэл ба гаралтын хүчдэлийн хэлхээний түр зуурын болон импульсийн шинж чанарыг (Зураг 15) тооцоол. өгөгдсөн параметрүүдэлементүүд: Р= 50 Ом, Л 1 = Л 2 = Л= 125 мГ,
ХАМТ= 80 мкФ.

Цагаан будаа. 15

Шийдэл.Тооцооллын сонгодог аргыг ашиглая. Шинж чанарын тэгшитгэл Zin = Р + pL +
+ 1 / (pCЭлементүүдийн өгөгдсөн параметрүүдийн хувьд ) = 0 нь нарийн төвөгтэй коньюгат үндэстэй: х 1,2 =
= – г j w A 2 = – 100 j 200, энэ нь шилжилтийн үйл явцын хэлбэлзлийн шинж чанарыг тодорхойлдог. Энэ тохиолдолд гүйдэл ба хүчдэл, тэдгээрийн деривативын өөрчлөлтийн хуулиудыг ерөнхийд нь дараах байдлаар бичнэ.

y(т) = (Мсosw A 2 т+ Н sinw A 2 т)д–d т + yгарах; dy(т) / dt =

=[(–М d+ Н w A 2) cos w A 2 т – (М w A 2 + Н d) A 2 т]д–d т + dyгарах / dt, энд w A 2 нь чөлөөт хэлбэлзлийн давтамж; yгадагшаа - шилжилтийн үйл явцын албадан бүрэлдэхүүн хэсэг.

Эхлээд шийдлийг олъё у C(т) Мөн iC(т) = C du C(т) / dt, дээрх тэгшитгэлийг ашиглан, дараа нь Кирхгофын тэгшитгэлийг ашиглан бид шаардлагатай хүчдэл, гүйдэл, үүний дагуу түр зуурын болон импульсийн шинж чанарыг тодорхойлно.

Интеграцийн тогтмолуудыг тодорхойлохын тулд заасан функцүүдийн анхны болон албадан утгууд шаардлагатай. Тэдний анхны утгууд нь мэдэгдэж байна: у C(0 +) = 0 (тодорхойлолтоос h(т) Мөн к(т)), учир нь iC(т) = би Л(т) = би(т), Тэр iC(0 +) = би Л(0 +) = 0. Кирхгофын хоёрдугаар хуулийн дагуу эмхэтгэсэн тэгшитгэлээс албадан утгыг тодорхойлно. т 0 + : у 1 = R i(т) + (Л 1 + Л 2) би(т) / dt + у C(т), у 1 = 1(т) = 1 = const,

эндээс у C() = у Cгарч = 1, iC() = iCгарч = би() = 0.

Интегралчлалын тогтмолуудыг тодорхойлох тэгшитгэлүүдийг байгуулъя М, Н:

у C(0 +) = М + у Cгарах (0 +), iC(0 +) = ХАМТ(–М d+ Н w A 2) + iCгарах (0+); эсвэл: 0 = М + 1; 0 = –М 100 + Н 200; эндээс: М = –1, Н= –0.5. Хүлээн авсан утгууд нь шийдлүүдийг бичих боломжийг бидэнд олгодог у C(т) Мөн iC(т) = би(т): у C(т) = [–cos200 т– -0.5 син200 т)д –100т+ 1] B, iC(т) = би(т) = д –100 т] = 0,02
нүгэл 200 т)д –100 тА.Кирхгофын хоёрдугаар хуулийн дагуу.

у 2 (т) = у C(т) + у Л 2 (т), у Л 2 (т) = у Л(т) = Лди(т) / dt= (0.5cos200 т- 0.25sin200 т) д –100т B. Дараа нь у 2 (т) =

=(–0.5сos200 т- 0.75 син200 т) д –100т+ 1 = [–0.901sin(200 т + 33,69) д –100т+ 1] Б.

Анхны утгыг ашиглан олж авсан үр дүнгийн зөв эсэхийг шалгацгаая: нэг талаас, у 2 (0 +) = –0.901 нүгэл (33.69) + 1 = 0.5, нөгөө талаас, у 2 (0 +) = у C (0 +) + у Л(0 +) = 0 + 0.5 - утга нь ижил байна.

Украины Боловсрол, шинжлэх ухааны яам

Донецкийн үндэсний их сургууль

Тайлан

сэдвээр: Радио инженерийн хэлхээ ба дохио

NF-3-ын өдрийн ангийн 3-р курсын оюутан

Оюутан боловсруулсан:

Александрович С.В.

Багш шалгасан:

Долбещенков В.В.

ТАНИЛЦУУЛГА

"Радио инженерийн хэлхээ ба дохио" (RTC ба S)– “Хэлхээний онолын үндэс” хичээлийн үргэлжлэл болох хичээл. Үүний зорилго нь дохиог хүлээн авах, тэдгээрийг холбооны сувгаар дамжуулах, радио хэлхээнд боловсруулах, хөрвүүлэхтэй холбоотой үндсэн хуулиудыг судлах явдал юм. "RTC ба C" хичээлд танилцуулсан дохио, радио инженерийн хэлхээний шинжилгээний аргууд нь өмнөх мэргэжлээр суралцаж байсан оюутнуудын мэддэг математик, физик мэдээллийг ашигладаг. "RTC and S" хичээлийн чухал зорилго нь оюутнуудад тулгарч буй асуудалд тохирсон математикийн аппаратыг сонгоход сургах, радио инженерийн чиглэлээр тодорхой асуудлыг шийдвэрлэхэд энэ аппарат хэрхэн ажилладагийг харуулах явдал юм. Оюутнуудад үзэж буй үзэгдлийн математик дүрслэл ба физик тал хоорондын нягт уялдааг олж харах, зохиох чадварыг сургах нь адил чухал юм. математик загваруудпроцессуудыг судалж байна.

"Радио инженерийн хэлхээ ба дохио" хичээлд судалсан үндсэн хэсгүүд:

1. Хувиралт дээр суурилсан хэлхээний цаг хугацааны шинжилгээ;

2. Спектрийн шинжилгээдохио;

3. Далайц ба өнцгийн модуляц бүхий радио дохио;

4. Дохионы корреляцийн шинжилгээ;

5. Идэвхтэй шугаман хэлхээ;

6. Нарийн зурвасын хэлхээгээр дамжих дохионы дүн шинжилгээ;

7. Сөрөг санал хүсэлтшугаман хэлхээнд;

8. Шүүлтүүрийн синтез;

9. Шугаман бус хэлхээ, тэдгээрийн шинжилгээний арга;

10. Хувьсах параметр бүхий хэлхээнүүд;

11. Гармоник хэлбэлзлийг үүсгэх зарчим;

12. Дискрет цагийн дохиог боловсруулах зарчим;

13. Санамсаргүй дохио;

14. Шугаман хэлхээгээр санамсаргүй дохио дамжих шинжилгээ;

15. Шугаман бус хэлхээгээр санамсаргүй дохио дамжих шинжилгээ;

16. Шуугиан дахь детерминистик дохиог оновчтой шүүх;

17. Санамсаргүй дохиог оновчтой шүүх;

18. Шугаман хэлхээг тооцоолох тоон аргууд.

ХУГАЦААНЫ ХЭЛХЭЭНИЙ ШИНЖИЛГЭЭНИЙ ХУВИРАЛТАД СУУРИЛСАН

Алхам ба импульсийн хариу урвал

Цагийн арга нь хэлхээний түр зуурын болон импульсийн шинж чанарын тухай ойлголт дээр суурилдаг. Алхам хариугинж нь нэгж функц хэлбэрээр үзүүлэх нөлөөллийн гинжин хэлхээний хариу үйлдэл юм. Хэлхээний түр зуурын хариу урвалыг заана g(т).Импульсийн хариу урвалхэлхээг нэг импульсийн функцэд (d-функц) хэлхээний хариу үйлдэл гэж нэрлэдэг. Импульсийн хариу урвалыг илэрхийлдэг h(т). Түүнээс гадна, g(т) Мөн h(т) нь хэлхээний тэг анхны нөхцөлд тодорхойлогддог. Урвалын төрөл, нөлөөллийн төрлөөс (гүйдэл эсвэл хүчдэл) хамааран түр зуурын болон импульсийн шинж чанар нь хэмжээсгүй хэмжигдэхүүн эсвэл A/B эсвэл V/A хэмжээтэй байж болно.

Хэлхээний түр зуурын болон импульсийн шинж чанарын тухай ойлголтыг ашиглах нь дурын хэлбэрийн үечилсэн бус дохионы үйлчлэлээс хэлхээний хариу урвалын тооцоог хамгийн энгийн нөлөөллийн 1(1) гэх мэт хэлхээний хариу урвалыг тодорхойлох хүртэл багасгах боломжийг олгодог. т) эсвэл импульсийн функц d( т), түүний тусламжтайгаар анхны дохиог ойртуулна. Энэ тохиолдолд шугаман гинжин хэлхээний үр дүнд үүссэн урвалыг (суперпозиция зарчмыг ашиглан) гинжин хэлхээний энгийн нөлөөнд үзүүлэх урвалын нийлбэрээр олно 1( т) эсвэл d( т).

Шилжилтийн хооронд g(т) ба импульс h(т) шугаман идэвхгүй хэлхээний шинж чанаруудын хооронд тодорхой холболт байдаг. Хэрэв бид импульсийн нэгж функцийг t хугацаанд бие биенээсээ шилжүүлсэн 1/t магнитудын хоёр нэгж функцын зөрүүний хязгаарт шилжүүлбэл үүнийг тогтоож болно.

өөрөөр хэлбэл нэгж импульсийн функц нь нэгж функцийн деривативтай тэнцүү байна. Хэлэлцэж буй хэлхээг шугаман гэж тооцсон тул хэлхээний импульс болон түр зуурын урвалын хувьд хамаарал хэвээр байна.

өөрөөр хэлбэл, импульсийн хариу үйлдэл нь хэлхээний алхамын хариу урвалын дериватив юм.

Тухайн тохиолдолд тэгшитгэл хүчинтэй байна g(0) = 0 (хэлхээний анхны нөхцөл тэг). Хэрэв g(0) ¹ 0, дараа нь харуулж байна g(т) хэлбэрээр g(т) =, энд = 0, бид энэ тохиолдолд холбох тэгшитгэлийг олж авна.

Хэлхээний түр зуурын болон импульсийн шинж чанарыг олохын тулд та сонгодог болон операторын аргыг ашиглаж болно. Сонгодог аргын мөн чанар нь хэлхээний цаг хугацааны хариу урвалыг (хэлхээний бие даасан салбар дахь хүчдэл эсвэл гүйдэл хэлбэрээр) нэг 1-ийн нөлөөллийг тодорхойлох явдал юм. т) эсвэл импульс d( т) функцууд. Сонгодог аргыг ашиглан түр зуурын хариу урвалыг тодорхойлох нь ихэвчлэн тохиромжтой байдаг g(т), импульсийн хариу урвал h(т) холбох тэгшитгэл эсвэл операторын аргыг ашиглан олно.

Энэ нь үнэ цэнэ гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй I(r)Втэгшитгэл нь түр зуурын дамжуулалтын дүрстэй тоон хувьд тэнцүү байна. Импульсийн хариу урвалын ижил төстэй зураг нь хэлхээний операторын дамжуулалттай тоогоор тэнцүү байна

Жишээ нь, төлөө RС- Бидэнд байгаа гинж:

-д өргөдөл гаргаж байна Ю(х) тэлэлтийн теоремоос бид дараахь зүйлийг олж авна.

Хүснэгтэнд 1.1-д зарим нэг ба хоёрдугаар эрэмбийн хэлхээний гүйдэл ба хүчдэлийн түр зуурын болон импульсийн шинж чанарын утгыг нэгтгэн харуулав.

Импульсийн хариу урвал(жингийн функц) нь тэг анхны нөхцөлд нэг хязгааргүй импульсийн (дельта функц эсвэл Дирак функц) системийн хариу үйлдэл юм. Дельта функц нь тэгшитгэлээр тодорхойлогддог

, .

Энэ ерөнхий функц– хамгийн тохиромжтой дохиог илэрхийлдэг математикийн объект, үгүй жинхэнэ төхөөрөмжүүнийг дахин үйлдвэрлэх боломжгүй. Дельта функцийг импульсийн өргөн тэг рүү чиглэдэг тул цэг дээр төвлөрсөн нэгж талбайн тэгш өнцөгт импульсийн хязгаар гэж үзэж болно.

Одоо бид энэ хэмжээний хязгаарыг шинжлэх хэрэгтэй. Тиймээс бид энэ төрлийн системийг зөв ойлгохын тулд интеграл ашиглах ёстой. Үүний тулд бидэнд эргэлт хэрэгтэй! Энэ асуудлын хувьд \\ тэгээс их байна гэж үзье. Дараах хоёр функцийг туршиж үзээрэй.

,

системийн дамжуулах функц хаана байна, энэ нь Лапласын хувиргалт юм. Нэг интегратортой системийн импульсийн хариу үйлдэл нь интеграторгүй системийн статик дамжуулалтын коэффициенттэй тэнцүү тогтмол утгатай байх хандлагатай байдаг. Хоёр интегратортой системийн хувьд импульсийн хариу үйлдэл нь шулуун шугам руу, гурван интегратортой - парабол гэх мэт хандлагатай байдаг.

Харгалзах дискрет дохио нь дараалал юм. Үргэлжилсэн дохионы Фурье хувиргалтыг авч үзье. Фурье хувиргалтын ойролцоо утгыг хайрцагны аргыг ашиглан дискрет дохионоос гаргаж авдаг.

Нийлбэр эцсийн зэрэглэлд зогсоход бид олдог.

Хязгаарлагдмал импульсийн хариу үйлдэл бүхий шугаман систем

Гаралтын төлөв нь зөвхөн өмнөх оролтын төлөвүүдээс хамаардаг тул энэ системийг учир шалтгаан гэж нэрлэдэг. Дискрет дохиог тодорхойлсон.

Оролтын импульсийн хувьд шугаман систем нь дохиог гаргадаг.

Гаралтын дохио нь оролтын дохиог импульсийн хариу урвалаар эргүүлсний үр дүн гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

8. Шугаман цахилгаан хэлхээн дэх түр зуурын процессыг шинжлэх цаг хугацааны арга

8.1. Цахилгаан хэлхээний түр зуурын ба импульсийн шинж чанарууд

Цагийн арга нь хэлхээний түр зуурын болон импульсийн шинж чанарын тухай ойлголт дээр суурилдаг. Алхам хариугинж нь нэгж функц хэлбэрээр үзүүлэх нөлөөллийн гинжний хариу үйлдэл юм (7.19). Хэлхээний түр зуурын хариу урвалыг заана g(т).Импульсийн хариу урвалхэлхээг нэгж импульсийн функц (d-функц)-ын нөлөөллийн хэлхээний хариу үйлдэл гэж нэрлэдэг (7.21). Импульсийн хариу урвалыг илэрхийлдэг h(т). g(тТүүнээс гадна, h(т) ) Мөн

хэлхээнд тэг анхны нөхцөлд тодорхойлогддог. Урвалын төрөл, нөлөөллийн төрлөөс (гүйдэл эсвэл хүчдэл) хамааран түр зуурын болон импульсийн шинж чанар нь хэмжээсгүй хэмжигдэхүүн эсвэл A/B эсвэл V/A хэмжээтэй байж болно.

Энэ систем нь хязгаарлагдмал импульсийн хариу шүүлтүүр юм. Энэ нь импульсийн хариу урвалын салангид Фурье хувирал юм. гэж үзэхэнгийн жишээ

хоёр дараалсан оролтын утгын арифметик дундажийг хэрэгжүүлдэг шүүлтүүр. тХэлхээний түр зуурын болон импульсийн шинж чанарын тухай ойлголтыг ашиглах нь дурын хэлбэрийн үечилсэн бус дохионы үйлчлэлээс хэлхээний хариу урвалын тооцоог хамгийн энгийн нөлөөллийн 1(1) гэх мэт хэлхээний хариу урвалыг тодорхойлох хүртэл багасгах боломжийг олгодог. т) эсвэл импульсийн функц d( т) эсвэл d( т).

), түүний тусламжтайгаар анхны дохиог ойртуулна. Энэ тохиолдолд шугаман гинжин хэлхээний үр дүнд үүссэн урвалыг (суперпозиция зарчмыг ашиглан) гинжин хэлхээний энгийн нөлөөнд үзүүлэх урвалын нийлбэрээр олно 1(

Дунд шүүлтүүр нь бага дамжуулалтын шүүлтүүр юм. Фазын шилжилт нь давтамжаас хамааран шугаман байдлаар өөрчлөгддөг. Үүнийг дараах давтамжийн хариу илэрхийллээр нотолж байна. Энэ шүүлтүүрийн дохионд үзүүлэх нөлөөг дуурайхын тулд дараах тасралтгүй дохио болон түүний дээжийг авч үзье. Шүүгдэхийн тулдсалангид дохио

Шүүлтүүрээр дамжин өнгөрөх үед бүх дохионы давтамж ижил шилжилтийг τ хийдэг. τ - тархалтын хугацаа.

Шилжилтийн хооронд g(т) ба импульс h(т) шугаман идэвхгүй хэлхээний шинж чанаруудын хооронд тодорхой холболт байдаг. Энэ нь t хугацаанд бие биенээсээ шилжсэн 1/t магнитудын хоёр нэгж функцийн зөрүүний хязгаарт шилжих замаар нэгж импульсийн функцийг дүрслэх замаар тогтоож болно (7.4-р зургийг үз):

өөрөөр хэлбэл нэгж импульсийн функц нь нэгж функцийн деривативтай тэнцүү байна. Хэлэлцэж буй хэлхээг шугаман гэж үздэг тул хэлхээний импульс болон түр зуурын урвалын хувьд (8.1) хамаарлыг мөн хадгална.

Дамжуулах шүүлтүүрээр дохионы хэлбэр өөрчлөгддөггүй. Фазыг агуулсан нэр томъёог тусгаарласнаар давтамжийн хариуг илэрхийллийн дагуу бичнэ. Хувьсагчийг өөрчилсний дараа олзын илэрхийлэл нийлбэрээр гарна. Давтамжийн хариуг бичнэ. Хязгаарыг харгалзан бид авдаг.

Хязгааргүй импульсийн хариу үйлдэл бүхий шугаман фазын шүүлтүүрийг олж авна. Энэ арга нь Фурьегийн коэффициентүүдэд тэгш өнцөгт цонх хэрэглэхтэй адил юм.

Энэ функцийн Фурье коэффициентүүд.

Үр дүнг синусын кардинал функцийг ашиглан илэрхийлж болох бөгөөд зөвхөн хязгаарын давтамжийг дээж авах давтамжийн харьцаанаас хамаарна.

өөрөөр хэлбэл, импульсийн хариу үйлдэл нь хэлхээний алхамын хариу урвалын дериватив юм.

(8.2) тэгшитгэл нь дараах тохиолдолд хүчинтэй байна g(0) = 0 (хэлхээний анхны нөхцөл тэг). Хэрэв g(0) ¹ 0, дараа нь харуулж байна g(т) хэлбэрээр g(т) =, энд = 0, бид энэ тохиолдолд холбох тэгшитгэлийг олж авна.

Давтамжийн хариуг авахын тулд дараах функцийг ашиглана. Шүүлтүүрийн ашиг ба фазын графикийг энд харуулав. Эндээс харахад фаз нь дамжих зурваст үнэхээр шугаман байдаг боловч олз нь маш хүчтэй долгионтой байдаг. Сунгах зурвас дахь π үе шатанд тасалдал үүсдэг. Мэдээжийн хэрэг, хүссэн шилжүүлгийн функцийн ялгаа нь импульсийн хариу үйлдлийг таслахтай холбоотой юм.

Ханна цонхоор тайрч үзье. Дамжуулах зурвас ба сулруулсан зурвас дахь долгион нь мэдэгдэхүйц багассан. Дамжуулах зурвас дахь фазын шугаман байдал үргэлж хангагдсан байдаг. Хэрэв саатал τ тогтмол хэвээр байвал дээж авах хурдыг нэгэн зэрэг нэмэгдүүлэх шаардлагатай. Дуу чимээтэй дохиог сонгосон.

Хэлхээний түр зуурын болон импульсийн шинж чанарыг олохын тулд та сонгодог болон операторын аргыг ашиглаж болно. Сонгодог аргын мөн чанар нь хэлхээний цаг хугацааны хариу урвалыг (хэлхээний бие даасан салбар дахь хүчдэл эсвэл гүйдэл хэлбэрээр) нэг 1-ийн нөлөөллийг тодорхойлох явдал юм. т) эсвэл импульс d( т) функцууд. Сонгодог аргыг ашиглан түр зуурын хариу урвалыг тодорхойлох нь ихэвчлэн тохиромжтой байдаг g(т), импульсийн хариу урвал h(т) холболтын тэгшитгэл (8.2), (8.3) эсвэл операторын аргыг ашиглан олно.

Жишээ.Зурагт үзүүлсэн хэлхээний хүчдэлийн түр зуурын хариу урвалыг олохын тулд сонгодог аргыг ашиглацгаая. 8.1. Тооноор г у(т) өгөгдсөн хэлхээний хувьд тухайн үед холбогдсон үед багтаамж дээрх хүчдэлтэй давхцдаг т= 0 хүчдэлийн эх үүсвэр У 1 = л V:

Хүчдэлийн өөрчлөлтийн хууль уC(т) тавих шаардлагатай (6.27) тэгшитгэлээр тодорхойлно У= l V:

Онцлог шинж чанаруудыг олох үед g(тТүүнээс гадна, h(т) операторын аргыг ашиглан функц 1( т), d( т) болон бүлэгт заасан түр зуурын процессыг тооцоолох аргачлал. 7.

Жишээ.Операторын аргыг ашиглан шилжилтийн шинж чанарыг тодорхойлъё г у(т) RС-гинж (8.1-р зургийг үз). Энэ гинжин хэлхээний хувьд Ом хуулийн дагуу операторын хэлбэрээр (7.35) бид дараахь зүйлийг бичиж болно.

Эцэст нь бид авдаг

Эндээс тэлэлтийн теоремыг (7.31) ашиглан бид олдог

өөрөөр хэлбэл сонгодог аргаар олж авсан утгатай ижил утгатай.

Энэ нь үнэ цэнэ гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй I(r)Втэгшитгэл (8.4) нь шилжилтийн дамжуулалтын дүрстэй тоон хувьд тэнцүү байна. Импульсийн хариу урвалын ижил төстэй зураг нь хэлхээний операторын дамжуулалттай тоогоор тэнцүү байна

Жишээ нь, төлөө RС-гинж (8.1-р зургийг үз) бидэнд:

-д өргөдөл гаргаж байна Ю(х) тэлэлтийн теорем (7.30), бид дараахь зүйлийг олж авна.

Томъёо (8.5) нь нэг импульсийн үйл ажиллагааны дор хэлхээний урвалын чөлөөт бүрэлдэхүүнийг тодорхойлдог гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Ерөнхий тохиолдолд гинжин урвалд, чөлөөт горимын экспоненциал бүрэлдэхүүн хэсгүүдээс гадна at т> 0 үед нөлөөллийг тусгасан импульсийн нэр томъёо байдаг т= 0 нэгж импульс. Үнэхээр, хэрэв бид үүнийг анхаарч үзвэл RС-хэлхээний (8.1-р зургийг үз) гүйдлийн түр зуурын шинж чанар У= 1(т) (6.28)-ын дагуу байх болно

дараа нь (8.2)-ын дагуу (8.6) ялгасны дараа бид импульсийн хариуг авна RС- гинж h i(т) хэлбэрээр

өөрөөр хэлбэл хариу үйлдэл hби(т) импульс ба экспоненциал гэсэн хоёр нэр томъёог агуулна.

(8.7)-д заасан эхний нэр томъёоны физик утга нь хэзээ т= 0 импульсийн хүчдэлийн хэлхээнд нөлөөлсний үр дүнд d( т) цэнэглэх гүйдэл тэр даруй хязгааргүй их утгад хүрдэг бол 0 - 0 + багтаамжийн элемент нь хязгаарлагдмал цэнэгийг шилжүүлж, хүчдэлд огцом цэнэглэгддэг. I/R.C.. тХоёр дахь нэр томъёо нь гинжин хэлхээний чөлөөт процессыг тодорхойлдог т> 0 ба богино залгааны оролтоор дамжих конденсаторын цэнэг алдалтаас үүдэлтэй (энэ үеэс хойш). т> 0 d( R.C.) = 0, энэ нь оролтын богино холболттой тэнцүү) цаг хугацааны тогтмол t = т. RС- хэлхээ нь багтаамж дээрх цэнэгийн тасралтгүй байдлыг эвддэг (коммутацийн хоёр дахь хууль). Үүний нэгэн адил индукц дэх гүйдлийн тасралтгүй байдлын нөхцөл (коммутацийн эхний хууль) нь d( хэлбэрийн хүчдэлтэй байвал зөрчигдөнө. т).

Хүснэгтэнд 8.1-д зарим нэг ба хоёрдугаар эрэмбийн хэлхээний гүйдэл ба хүчдэлийн түр зуурын болон импульсийн шинж чанарын утгыг нэгтгэн харуулав.

8.2. Duhamel интеграл

Хэрэглэсэн хүчийг ойролцоолсноор Duhamel интегралыг олж авч болно е 1 (т)-тайнэгж функцуудыг ашиглан бие биенээсээ Dt цаг хугацаагаар шилжсэн (Зураг 8.2).

Тус бүрт хэлхээний хариу үйлдэл алхам нөлөөгэж тогтооно

Хэлхээний шаталсан нөлөөллийн системд үзүүлэх хариу урвалыг суперпозиция зарчим дээр үндэслэн олж болно.

Хаана p - 0 ... интервалд хуваагдсан ойролцоо хэсгүүдийн тоо т.

Нийлбэрийн тэмдгийн доорх илэрхийлэлийг Dt-ээр үржүүлж, хувааж, хязгаарт шилжүүлснээр бид Духамелийн интегралын нэг хэлбэрийг олж авна.

Тэгшитгэл (8.8) нь өгөгдсөн нөлөөллийн хэлхээний хариу урвалыг тусгасан болно, учир нь ойролцоолох функц нь анхных руу чиглэдэг. Духамелийн интегралын хоёр дахь хэлбэрийг эргэлтийн теоремыг ашиглан олж авч болно (харна уу): , b), дараа нь тухайн салбар идэвхтэй хоёр терминалын сүлжээнд холбогдсон үед хэлхээний урвалыг сонгодог эсвэл операторын аргаар тодорхойлно. (Зураг 8.4,В

). Үүссэн урвалыг урвалын нийлбэрээр олно: .

8.3. Оруулсан интеграл h(тСуперпозиция интеграл ашиглан хэлхээний хариуг олохдоо хэлхээний импульсийн хариу урвалыг ашиглана. е 1 (т). гСуперпозиция интегралын ерөнхий илэрхийлэлийг олж авахын тулд бид оролтын дохиог ойролцоолно е) нэг үргэлжлэх импульсийн системийг ашиглан е t, далайц г 1 (t) ба талбай

1(т)

t (Зураг 8.5). Нэг импульс бүрт хэлхээний гаралтын хариу үйлдэл Суперпозиция зарчмыг ашигласнаар нэг импульсийн системд хэлхээний нийт хариу урвалыг олж авах нь тийм ч хэцүү биш юм.Интеграл (8.12) гэж нэрлэдэг ногдуулах интеграл. Суперпозиция ба Духамелийн интегралын хооронд байна h(т) энгийн холболт g(т, импульсийн хоорондын хамаарлаар (8.3) тодорхойлогддог h(тболон шилжилтийн

Жишээ.) хэлхээний шинж чанар. Жишээлбэл, утгыг орлуулах RС) (8.3)-аас (8.12) томьёо руу d-функцийн (7.23) шүүлтүүрийн шинж чанарыг харгалзан үзээд бид (8.11) хэлбэрээр Духамелийн интегралыг олж авна. УОрцонд

- хэлхээ (8.1-р зургийг үз) хүчдэлийн өсөлтийг ашигладаг h1. Суперпозиция интеграл (8.12) ба Духамел (8.11) ашиглан гаралт дээрх хэлхээний хариу урвалыг тодорхойлно.(тЭнэ хэлхээний импульсийн хариу дараах байдалтай тэнцүү байна (Хүснэгт 8.1-ийг үз): т / у) = = (1/RC)e – h1. Суперпозиция интеграл (8.12) ба Духамел (8.11) ашиглан гаралт дээрх хэлхээний хариу урвалыг тодорхойлно.(т R.C. . Дараа нь орлуулах– t) = (1/RC)e –( у(8.12) томъёонд бид дараахь зүйлийг авна.

Энэ хэлхээний шилжилтийн функц ба Духамелийн интеграл (8.11) -ийг ашиглах үед бид ижил төстэй үр дүнг олж авдаг.

Хэрэв нөлөөллийн эхлэл нь цаг тоолох эхлэлтэй давхцахгүй бол интеграл (8.12) хэлбэрийг авна.

Суперпозиция интеграл (8.12) ба (8.13) нь хэлхээний импульсийн хариу үйлдэлтэй оролтын дохионы эргэлтийг илэрхийлдэг бөгөөд цахилгаан хэлхээний онол, дохио дамжуулах онолд өргөн хэрэглэгддэг. Үүний физик утга нь оролтын дохио юм е 1 (t) нь функцийг ашиглан жинлэв h(т- t): цаг хугацаа өнгөрөх тусам аажмаар буурдаг h(т), ажиглалтын мөчөөс илүү хол байгаа оролтын нөлөөллийн утга нь гаралтын дохионд үзүүлэх нөлөөлөл их байх болно.

Зураг дээр. 8.6, Адохио харуулав е 1(t) ба импульсийн хариу урвал h(т- t), энэ нь толин тусгал дүрс юм h(t) ба Зураг дээр. 8.6, бдохионы эргэлтийг харуулав е 1(т) -тайфункц h(т- t) (сүүдэрлэсэн хэсэг), тухайн үеийн гинжин хэлхээний урвалтай тоогоор тэнцүү байна т.

Зураг дээрээс. 8.6-аас харахад хэлхээний гаралтын хариу дохионы нийт үргэлжлэх хугацаанаас богино байж болохгүй т 1 ба импульсийн хариу урвал t h. Тиймээс гаралтын дохиог гажуудуулахгүйн тулд хэлхээний импульсийн хариу үйлдэл d-функц руу чиглэх ёстой.

Бие махбодийн хувьд ойлгосон гинжин хэлхээнд нөлөөллөөс өмнө урвал үүсэх боломжгүй нь ойлгомжтой.

Энэ нь физикээр хэрэгжсэн хэлхээний импульсийн хариу нөхцөлийг хангах ёстой гэсэн үг юм

Физикийн хувьд боломжтой тогтвортой хэлхээний хувьд импульсийн хариу урвалын үнэмлэхүй нэгдмэл байдлын нөхцөл хангагдсан байх ёстой.

Хэрэв оролтын үйлдэл нь нарийн төвөгтэй хэлбэртэй эсвэл графикаар тодорхойлогдсон бол эргэлтийн интеграл (8.12) оронд хэлхээний урвалыг тооцоолоход график-аналитик аргыг ашигладаг.

Өөрийгөө шалгах асуулт, даалгавар

1. Хэлхээний түр зуурын болон импульсийн шинж чанарыг тодорхойлно уу.

2. Импульс ба түр зуурын шинж чанаруудын хоорондын хамаарлыг заана уу.

3. Хэлхээний түр зуурын болон импульсийн хариу урвалыг хэрхэн тодорхойлох вэ?

4. Түр зуурын шинж чанаруудын ялгаа нь юу вэ, тэдгээрийн физик утгыг тайлбарла.

5. Хэлхээний хариу урвалыг тооцоолохдоо тодорхой тохиолдол бүрт түр зуурын буюу импульсийн дөрвөн төрлийн шинж чанарын алийг нь хэрэглэх ёстойг хэрхэн тодорхойлох вэ? g(т) Мөн h(т)?

6. ашиглан түр зуурын процессыг тооцоолохын мөн чанар юу вэ

7. Нөлөөллийн цогц хэлбэртэй бол гинжин хэлхээний урвалыг хэрхэн тодорхойлох вэ?

8. Духамелийн интегралыг ашиглахдаа хэлхээ ямар нөхцөлийг хангасан байх ёстой вэ?

10. Дюхамел болон суперпозиция интеграл ашиглан гинжин хэлхээний урвалыг тооцоолох нь ижил эсвэл өөр үр дүнд хүргэдэг үү?

11. Эсэргүүцэл ба индукцийг цуваа холбосноор үүссэн хэлхээний түр зуурын дамжуулалтыг тодорхойл.

12. Эсэргүүцэл ба багтаамжийг цуваа холбосноор үүссэн хэлхээг тодорхойл.

Хариулт: .

13. (8.10) эвдрэлийн тэгшитгэлээс Дюхамелийн интегралын гурав дахь хэлбэрийг (8.10) ол.

Оросын академи

Физикийн тэнхим

Лекц

Цахилгаан хэлхээний түр зуурын ба импульсийн шинж чанарууд

Бүргэд 2009

Боловсрол, боловсролын зорилго:

Оюутнуудад цахилгаан хэлхээний түр зуурын болон импульсийн шинж чанаруудын мөн чанарыг тайлбарлаж, шинж чанаруудын хоорондын уялдаа холбоог харуулах, цахилгаан хэлхээний шинжилгээ, нийлэгжилтэд авч үзэх шинж чанаруудыг ашиглахад анхаарлаа хандуулах, практикт өндөр чанартай бэлтгэх зорилготой. сургалт.

Лекцийн цагийн хуваарилалт

Танилцуулга…………………………………………………5 мин.

Сургалтын асуултууд:

1. Цахилгаан хэлхээний түр зуурын шинж чанар………………15 мин.

2. Дюхамелийн интеграл……………………………………………………………25 мин.

3. Цахилгаан хэлхээний импульсийн шинж чанар. Онцлог шинж чанаруудын хамаарал……………………………………….…………25 мин.

4. Хувиралын интеграл……………………………………….15 мин.

Дүгнэлт…………………………………………………5 мин.

1. Цахилгаан хэлхээний түр зуурын шинж чанар

Хэлхээний түр зуурын хариу үйлдэл (импульсийн хариу гэх мэт) нь хэлхээний түр зуурын шинж чанарыг илэрхийлдэг, өөрөөр хэлбэл, энэ нь урьдчилан тодорхойлсон нөлөөлөл болон анхны нөхцөлд тодорхой түр зуурын үйл явцыг илэрхийлдэг.

Цахилгаан хэлхээг эдгээр нөлөөлөлд үзүүлэх хариу үйлдэлээр нь харьцуулахын тулд хэлхээг ижил нөхцөлд байрлуулах шаардлагатай. Хамгийн энгийн бөгөөд хамгийн тохиромжтой нь тэг анхны нөхцөл юм.

Хэлхээний түр зуурын хариу үйлдэл Энэ нь гинжин хэлхээний урвалын үе шаттайгаар үзүүлэх нөлөөллийн харьцааг эхний 0 нөхцөлд энэ нөлөөллийн хэмжээ юм.

Тодорхойлолтоор,

алхам алхмаар нөлөөллийн гинжин урвал хаана байна;

– алхамын нөлөөний хэмжээ [B] эсвэл [A].

Учир нь ба нөлөөллийн хэмжээгээр хуваагддаг (энэ нь бодит тоо), дараа нь үнэн хэрэгтээ - нэг алхамын нөлөөнд хэлхээний урвал.

Хэрэв хэлхээний түр зуурын хариу мэдэгдэж байгаа бол (эсвэл тооцоолж болох юм бол) томъёоноос та NL-ийн тэг үед алхам алхмаар нөлөө үзүүлэхийн тулд энэ хэлхээний хариу урвалыг олж болно.

.

Ихэнхдээ мэдэгддэг (эсвэл олддог) хэлхээний оператор дамжуулах функц ба энэ хэлхээний түр зуурын хариу урвалын хооронд холболт тогтооцгооё. Үүнийг хийхийн тулд бид оператор шилжүүлэх функцийн тухай танилцуулсан ойлголтыг ашигладаг.

.

Гинжингийн Лапласаар өөрчлөгдсөн урвалын нөлөөллийн хэмжээн дэх харьцаа нь гинжин хэлхээний операторын түр зуурын шинж чанар юм.

Тиймээс .

Эндээс оператор дамжуулах функцийг ашиглан хэлхээний операторын шилжилтийн шинж чанарыг олно.

Хэлхээний түр зуурын хариу урвалыг тодорхойлохын тулд урвуу Лаплас хувиргалтыг ашиглах шаардлагатай.

захидал харилцааны хүснэгт эсвэл (урьдчилсан байдлаар) задралын теоремыг ашиглан.

Жишээ нь: цуваа хэлхээний конденсатор дээрх хүчдэлийн урвалын түр зуурын хариу урвалыг тодорхойлно (Зураг 1):

Хэмжээний алхам алхмаар үзүүлэх хариу үйлдэл нь:

,

Шилжилтийн шинж чанар хаанаас гардаг вэ:

.

Хамгийн их тулгардаг хэлхээнүүдийн түр зуурын шинж чанарыг лавлагаа номонд олж, өгөгдсөн.

2. Духамелийн интеграл

Түр зуурын хариу урвалыг ихэвчлэн нарийн төвөгтэй өдөөлтөд хэлхээний хариу урвалыг олоход ашигладаг. Эдгээр харилцааг бий болгоё.

Нөлөөлөл нь тасралтгүй функц бөгөөд тухайн үед хэлхээнд хэрэглэгдэх ба эхний нөхцөл нь тэгтэй тэнцүү гэдгийг хүлээн зөвшөөрцгөөе.

Өгөгдсөн нөлөөллийг хэлхээнд агшин зуурт үзүүлэх шаталсан цохилт ба бие биенээ тасралтгүй дагаж байгаа хязгааргүй олон тооны хязгааргүй жижиг цохилтуудын нийлбэрээр илэрхийлж болно. Хэрэглэх мөчид тохирох эдгээр энгийн нөлөөллийн нэгийг Зураг 2-т үзүүлэв.

Хэзээ нэгэн цагт гинжин урвалын утгыг олъё.

Цаг хугацааны зөрүүтэй алхам алхмаар нөлөө нь хэлхээний түр зуурын хариу урвалын утгын зөрүүний үржвэртэй тэнцэх урвалыг үүсгэдэг, өөрөөр хэлбэл::

Ялгаатай хязгааргүй жижиг алхамт нөлөө нь хязгааргүй жижиг урвал үүсгэдэг , нөлөөлөл үзүүлэх мөчөөс ажиглалт хийх мөч хүртэлх хугацаа хаана байна. Нөхцөлөөр функц тасралтгүй байх тул:

Суперпозиция зарчмын дагуу урвал нь ажиглалтын мөчөөс өмнөх нөлөөллийн нийлбэрээс үүссэн урвалын нийлбэртэй тэнцүү байх болно, жишээлбэл.

.

Ихэвчлэн сүүлийн томъёонд үүнийг зүгээр л орлуулдаг, учир нь олдсон томъёо нь ямар ч цаг хугацааны утгын хувьд зөв байдаг.

.

Эсвэл энгийн өөрчлөлтүүдийн дараа:

.

Эдгээр хамаарлын аль нэг нь хэлхээний мэдэгдэж буй түр зуурын хариу урвалыг ашиглан өгөгдсөн тасралтгүй үйлдэлд шугаман цахилгаан хэлхээний хариу урвалыг тооцоолох асуудлыг шийддэг. Эдгээр харилцааг Дюхамелийн интеграл гэж нэрлэдэг.

3. Цахилгаан хэлхээний импульсийн шинж чанар

Хэлхээний импульсийн хариу урвал Энэ нь тэг анхны нөхцөлд импульсийн үйлдэлд хэлхээний хариу урвалын энэ үйлдлийн талбайн харьцаа юм.

Тодорхойлолтоор,

импульсийн үйлдэлд хэлхээний хариу үйлдэл хаана байна;

- цохилтын импульсийн талбай.

Хэлхээний мэдэгдэж буй импульсийн хариу урвалыг ашиглан өгөгдсөн нөлөөллийн хэлхээний хариу урвалыг олж болно. .

Дельта функц эсвэл Дирак функц гэж нэрлэгддэг нэг импульсийн эффектийг ихэвчлэн нөлөөллийн функц болгон ашигладаг.

Дельта функц нь -аас бусад газар тэгтэй тэнцүү функц бөгөөд түүний талбай нь нэгдэл ():

.

Дельта функцийн тухай ойлголтыг тэгш өнцөгт импульсийн өндөр ба үргэлжлэх хугацааны хязгаарыг харгалзан үзэж болно (Зураг 3):

Операторын аргыг ашиглан хэлхээний дамжуулах функц ба түүний импульсийн хариу урвалын хоорондох холболтыг тогтооцгооё.

Тодорхойлолтоор:

.

Хэрэв нөлөөллийг (эх) хамгийн их гэж үзвэл ерөнхий тохиолдолдельта функцээр импульсийн талбайн бүтээгдэхүүн хэлбэрээр, өөрөөр хэлбэл хэлбэрээр, дараа нь захидал харилцааны хүснэгтийн дагуу энэ эффектийн дүрс нь дараах хэлбэртэй байна.

.

Дараа нь, нөгөө талаас, хэлхээний Лапласаар өөрчлөгдсөн урвалын нөлөөллийн импульсийн талбайн харьцаа нь хэлхээний операторын импульсийн хариу юм.

.

Тиймээс, .

Хэлхээний импульсийн хариу урвалыг олохын тулд урвуу Лаплас хувиргалтыг ашиглах шаардлагатай.

Энэ нь үнэндээ.

Томьёог нэгтгэн дүгнэснээр бид хэлхээний операторын шилжүүлгийн функц ба хэлхээний түр зуурын болон импульсийн шинж чанаруудын хоорондын холболтыг олж авна.

Тиймээс, хэлхээний шинж чанаруудын нэгийг мэдсэнээр та бусдыг тодорхойлох боломжтой.

Дунд хэсэгт нэмэх замаар тэгш байдлын ижил өөрчлөлтийг хийцгээе.

Дараа нь бид байх болно.

Энэ нь шилжилтийн шинж чанарын деривативын зураг тул анхны тэгш байдлыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

Анхны хэсэг рүү шилжихдээ бид хэлхээний импульсийн хариу урвалыг түүний мэдэгдэж буй түр зуурын хариу урвалаас тодорхойлох боломжийг олгодог томъёог олж авна.

Хэрэв, тэгвэл.

Эдгээр шинж чанаруудын хоорондын урвуу хамаарал нь дараах хэлбэртэй байна.

.

Дамжуулах функцийг ашиглан функцэд нэр томъёо байгаа эсэхийг тодорхойлоход хялбар байдаг.

Хэрэв тоологч ба хувагчийн эрх нь ижил байвал тухайн нэр томъёо нь байх болно. Хэрэв функц нь зөв бутархай бол энэ нэр томъёо байхгүй болно.

Жишээ: Зураг 4-т үзүүлсэн цуваа хэлхээний хүчдэл ба импульсийн шинж чанарыг тодорхойлно.

Тодорхойлъё:

Захидлын хүснэгтийг ашиглан эх хувь руу шилжье.

.

Энэ функцийн графикийг 5-р зурагт үзүүлэв.

Цагаан будаа. 5

Дамжуулах функц:

Захидлын хүснэгтийн дагуу бид дараах байдалтай байна.

.

Үүссэн функцийн графикийг Зураг 6-д үзүүлэв.

ба хоорондын холбоог бий болгох харилцааг ашиглан ижил илэрхийллийг олж авч болохыг онцлон тэмдэглэе.

Физик утгаараа импульсийн хариу үйлдэл нь чөлөөт хэлбэлзлийн процессыг тусгадаг тул бодит хэлхээнд дараахь нөхцөлийг үргэлж хангасан байх ёстой гэж үзэж болно.

4. Convolution (давхах) интегралууд

Хэрэв энэ хэлхээний импульсийн хариу мэдэгдэж байгаа бол шугаман цахилгаан хэлхээний нарийн төвөгтэй нөлөөллийн хариу урвалыг тодорхойлох журмыг авч үзье. Бид нөлөөллийг Зураг 7-д үзүүлсэн хэсэгчилсэн тасралтгүй функц гэж үзэх болно.

Хэзээ нэгэн цагт урвалын утгыг олох шаардлагатай байг. Энэ асуудлыг шийдэж, нөлөөллийг хязгааргүй жижиг үргэлжлэх тэгш өнцөгт импульсийн нийлбэр гэж төсөөлье, тэдгээрийн аль нэг нь цаг хугацааны агшинд тохирохыг Зураг 7-д үзүүлэв. Энэ импульс нь үргэлжлэх хугацаа ба өндрөөр тодорхойлогддог.

Өмнө нь авч үзсэн материалаас харахад хэлхээний богино импульсийн урвалыг хэлхээний импульсийн хариу урвал ба импульсийн үйл ажиллагааны талбайтай тэнцүү гэж үзэж болно. Үүний үр дүнд тухайн үеийн импульсийн үйлдлээс үүдэлтэй хариу урвалын хязгааргүй жижиг бүрэлдэхүүн хэсэг нь дараах байдалтай тэнцүү байх болно.

Учир нь импульсийн талбай нь -тэй тэнцүү бөгөөд цаг хугацаа нь түүнийг хэрэглэх мөчөөс ажиглалтын мөч хүртэл өнгөрдөг.

Суперпозиция зарчмыг ашиглан хэлхээний нийт урвалыг тухайн агшин зуурын өмнөх хязгааргүй жижиг талбайн импульсийн дарааллаас үүссэн хязгааргүй олон тооны хязгааргүй жижиг бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн нийлбэр гэж тодорхойлж болно.

Тиймээс:

.

Энэ томъёо нь ямар ч утгын хувьд үнэн байдаг тул ихэвчлэн хувьсагчийг энгийнээр тэмдэглэдэг. Дараа нь:

.

Үүссэн хамаарлыг конволюцийн интеграл эсвэл суперпозиция интеграл гэж нэрлэдэг. Хувиралын интегралыг тооцоолсны үр дүнд олдсон функцийг эвдрэл ба .

Хэрэв та үр дүнгийн илэрхийлэл дэх хувьсагчдыг өөрчилвөл эвдрэлийн интегралын өөр хэлбэрийг олж болно.

.

Жишээ: оролтод хэлбэрийн экспоненциал импульс ажиллаж байвал цуваа хэлхээний багтаамж дээрх хүчдэлийг ол (Зураг 8):

Хувиралын интегралыг ашиглая:

.

-д зориулсан илэрхийлэл өмнө нь хүлээн авсан.

Тиймээс, , Мөн .

Дюхамелийн интегралыг хэрэглэснээр ижил үр дүнд хүрч болно.

Уран зохиол:

Белецкий A.F. Шугаман цахилгаан хэлхээний онол. – М.: Радио, харилцаа холбоо, 1986. (Сурах бичиг)

Бакалов В.П. цахилгаан хэлхээний онол. – М.: Радио, харилцаа холбоо, 1998. (Сурах бичиг);

Качанов N. S. нар шугаман радио инженерийн төхөөрөмжүүд. М .: Цэргийн. хэвлэгдсэн, 1974. (Сурах бичиг);

Попов В.П. Хэлхээний онолын үндэс - М.: Дээд сургууль, 2000. (Сурах бичиг)