Obliczanie charakterystyk przejściowych i impulsowych obwodu. Odpowiedź krokowa i impulsowa Odpowiedź obwodu na funkcję delta

Całka Duhamela.

Znajomość reakcji obwodu na pojedynczy zakłócający wpływ, tj. funkcję przewodności przejściowej i/lub funkcję napięcia przejściowego, można znaleźć reakcję obwodu na wpływ dowolnego kształtu. Metoda, metoda obliczeniowa wykorzystująca całkę Duhamela, opiera się na zasadzie superpozycji.

Kiedy stosuje się całkę Duhamela do oddzielenia zmiennej, po której przeprowadza się całkowanie, od zmiennej określającej moment, w którym wyznaczany jest prąd w obwodzie, pierwszą z nich zwykle oznacza się jako , a drugą jako t.

Pozwólmy w tej chwili na obwód z zerowymi warunkami początkowymi (pasywna sieć dwuzaciskowa PD na ryc. 1) podłącza się źródło o napięciu o dowolnym kształcie. Aby znaleźć prąd w obwodzie, zastępujemy pierwotną krzywą krokiem pierwszym (patrz rys. 2), po czym biorąc pod uwagę, że obwód jest liniowy, sumujemy prądy z początkowego skoku napięcia i wszystkich stopni napięcia do chwili t, które obowiązują z opóźnieniem czasowym.

W chwili t składowa całkowitego prądu określona przez początkowy udar napięcia jest równa .

W pewnym momencie następuje skok napięcia , co biorąc pod uwagę odstęp czasu od początku skoku do interesującego nas punktu czasowego t, określi składową prądu.

Prąd całkowity w chwili t jest oczywiście równy sumie wszystkich składowych prądu z poszczególnych skoków napięcia, z uwzględnieniem , tj.

Zastąpienie skończonego przedziału przyrostu czasu nieskończenie małym, tj. przechodząc od sumy do całki, piszemy

(1)

Nazywa się relację (1). Całka Duhamela.

Należy zauważyć, że napięcie można również wyznaczyć za pomocą całki Duhamela. W tym przypadku zamiast przewodności przejścia (1) będzie uwzględniona funkcja napięcia przejścia.

Sekwencja obliczeń przy użyciu
Całka Duhamela

Jako przykład wykorzystania całki Duhamela wyznaczamy prąd w obwodzie na ryc. 3, obliczone na poprzednim wykładzie ze wzoru na włączenie.

Wstępne dane do obliczeń: , , .

Przejściowa przewodność

18. Funkcja transferu.

Relacja operatora wpływu do jego własnego operatora nazywana jest funkcją przenoszenia lub funkcją przenoszenia w postaci operatora.

Łącze opisane równaniem lub równaniami w postaci symbolicznej lub operatorowej można scharakteryzować dwiema funkcjami przenoszenia: funkcją przenoszenia dla wartości wejściowej u; oraz funkcja przenoszenia wielkości wejściowej f.

Korzystając z funkcji przenoszenia, równanie zapisuje się jako . To równanie jest warunkową, bardziej zwartą formą zapisu pierwotnego równania.

Oprócz funkcji przenoszenia w postaci operatorowej szeroko stosowana jest funkcja przenoszenia w postaci obrazów Laplace'a.

Funkcje przenoszenia w postaci obrazów Laplace'a i postaci operatora pokrywają się aż do zapisu. Funkcję przenoszenia w postaci obrazu Laplace'a można otrzymać z funkcji przenoszenia w postaci operatora, jeśli w tym ostatnim dokona się podstawienia p=s. W ogólnym przypadku wynika to z faktu, że różniczkowanie oryginału – symboliczne pomnożenie oryginału przez p – przy zerowych warunkach początkowych odpowiada pomnożeniu obrazu przez liczbę zespoloną s.

Podobieństwo funkcji przenoszenia w postaci obrazu Laplace'a i w postaci operatorowej ma charakter czysto zewnętrzny i występuje jedynie w przypadku łączy (systemów) stacjonarnych, tj. tylko w zerowych warunkach początkowych.

Rozważmy prosty obwód RLC (szeregowy), jego funkcję przenoszenia W(p)=U OUT /U IN

Całka Fouriera.

Funkcjonować F(X), zdefiniowany na całej osi liczbowej okresowy, jeśli istnieje liczba taka, że dla dowolnej wartości X obowiązuje równość . Numer T zwany okres funkcji.

Zwróćmy uwagę na niektóre właściwości tej funkcji:

1) Suma, różnica, iloczyn i iloraz funkcji okresowych okresu T jest okresową funkcją okresu T.

2) Jeśli funkcja F(X) okres T, a następnie funkcja F(topór)ma okres.

3) Jeśli F(X) - okresowa funkcja okresu T, to dowolne dwie całki tej funkcji, przejęte przez przedziały długości T(w tym przypadku całka istnieje), tj. dla dowolnego A I B równość jest prawdą .

Szeregi trygonometryczne. Szereg Fouriera

Jeśli F(X) jest rozwijany na segmencie w jednostajnie zbieżny szereg trygonometryczny: (1)

Wtedy rozwinięcie to jest unikalne i współczynniki wyznaczane są według wzorów:

Gdzie N=1,2, . . .

Nazywa się szeregi trygonometryczne (1) typu rozważanego ze współczynnikami trygonometryczny szereg Fouriera.

Złożona postać szeregu Fouriera

Wyrażenie nazywa się złożoną formą szeregu Fouriera funkcji F(X), jeśli jest zdefiniowany przez równość

, Gdzie

Przejście z szeregu Fouriera w postaci zespolonej do szeregu w postaci rzeczywistej i odwrotnie odbywa się za pomocą wzorów:

(N=1,2, . . .)

Całka Fouriera funkcji f(x) jest całką postaci:

, Gdzie .

Funkcje częstotliwości.

Jeśli zastosujesz wejście systemu z funkcją przenoszenia W(p) sygnał harmoniczny

następnie po zakończeniu procesu przejścia na wyjściu zostaną ustalone oscylacje harmoniczne

o tej samej częstotliwości, ale o różnej amplitudzie i fazie, w zależności od częstotliwości zakłócającego wpływu. Na ich podstawie można ocenić właściwości dynamiczne układu. Nazywa się zależności łączące amplitudę i fazę sygnału wyjściowego z częstotliwością sygnału wejściowego charakterystyki częstotliwościowe(CH). Nazywa się analizę odpowiedzi częstotliwościowej systemu w celu zbadania jego właściwości dynamicznych analiza częstotliwości.

Zastąpmy wyrażenia ty (t) I y(t) w równaniu dynamiki

(aоp n + za 1 pn - 1 + za 2 p n - 2 + ... + za n)y = (bоp m + b 1 p m-1 + ... + b m)u.

Weźmy to pod uwagę

pnu = pnU m ejwt = U m (jw)nejwt = (jw)nu.

Podobne zależności można zapisać dla lewej strony równania. Otrzymujemy:

Analogicznie do funkcji przenoszenia możemy napisać:

W(j), równy stosunkowi sygnału wyjściowego do sygnału wejściowego, gdy sygnał wejściowy zmienia się zgodnie z prawem harmonicznym, nazywa się funkcja przenoszenia częstotliwości. Łatwo zauważyć, że można to uzyskać po prostu zastępując p przez j w wyrażeniu W(p).

W(j) jest funkcją złożoną, zatem:

gdzie P() - rzeczywista odpowiedź częstotliwościowa (RFC); Q() - wyimaginowana charakterystyka częstotliwościowa (ICH); A() - odpowiedź częstotliwościowa amplitudy (AFC): () - fazowa odpowiedź częstotliwościowa (PFC). Odpowiedź częstotliwościowa określa stosunek amplitud sygnałów wyjściowych i wejściowych, odpowiedź fazowa określa przesunięcie fazowe wielkości wyjściowej w stosunku do sygnału wejściowego:

;

Jeśli W(j) przedstawimy jako wektor na płaszczyźnie zespolonej, to przy zmianie od 0 do + jego koniec narysuje krzywą zwaną hodograf wektorowy W(j) lub odpowiedź częstotliwościowa amplitudowo-fazowa (APFC)(ryc. 48).

Gałąź AFC przy zmianie z - na 0 można uzyskać poprzez odbicie tej krzywej względem osi rzeczywistej.

TAU jest szeroko stosowany logarytmiczna charakterystyka częstotliwościowa (LFC)(ryc. 49): logarytmiczna amplituda odpowiedzi częstotliwościowej (LAFC) Grunt logarytmiczna odpowiedź częstotliwościowa fazowa (LPFC) ().

Uzyskuje się je poprzez logarytm funkcji przenoszenia:

LFC oblicza się z pierwszego członu, który ze względów skalowania mnoży się przez 20 i nie stosuje się logarytmu naturalnego, tylko dziesiętnego, czyli L() = 20lgA(). Wartość L() jest wykreślana wzdłuż osi rzędnych decybele.

Zmiana poziomu sygnału o 10 dB odpowiada 10-krotnej zmianie jego mocy. Ponieważ moc sygnału harmonicznego P jest proporcjonalna do kwadratu jego amplitudy A, 10-krotna zmiana sygnału odpowiada zmianie jego poziomu o 20 dB, gdyż

log(P 2 /P 1) = log(A 2 2 /A 1 2) = 20log(A 2 /A 1).

Oś odciętych pokazuje częstotliwość w w skali logarytmicznej. Oznacza to, że odstępy jednostkowe wzdłuż osi odciętych odpowiadają 10-krotnej zmianie w. Ten przedział nazywa się dekada. Ponieważ log(0) = -, oś rzędnych jest rysowana dowolnie.

LPFC uzyskany z drugiego składnika różni się od odpowiedzi fazowej jedynie skalą wzdłuż osi. Wartość () jest wykreślana wzdłuż osi współrzędnych w stopniach lub radianach. Dla linków elementarnych nie wykracza poza: - +.

Charakterystyki częstotliwościowe stanowią kompleksową charakterystykę systemu. Znając odpowiedź częstotliwościową systemu, można przywrócić jego funkcję przenoszenia i określić jego parametry.

Informacja zwrotna.

Ogólnie przyjmuje się, że łącze podlega sprzężeniu zwrotnemu, jeśli jego sygnał wyjściowy jest podawany na wejście przez inne łącze. Co więcej, jeśli sygnał sprzężenia zwrotnego zostanie odjęty od działania wejściowego (), wówczas sprzężenie zwrotne nazywa się ujemnym. Jeśli sygnał sprzężenia zwrotnego zostanie dodany do działania wejściowego (), wówczas sprzężenie zwrotne nazywa się dodatnim.

Funkcja przenoszenia w pętli zamkniętej z ujemnym sprzężeniem zwrotnym – łącze objęte ujemnym sprzężeniem zwrotnym – jest równa funkcji przenoszenia w pętli do przodu podzielonej przez jeden plus funkcja przenoszenia w otwartej pętli

Funkcja transferu w pętli zamkniętej z dodatnim sprzężeniem zwrotnym jest równa funkcji transferu w pętli do przodu podzielonej przez jeden minus funkcja transferu w pętli otwartej

22. 23. Kwadrupole.

Podczas analizowania obwody elektryczne w problematyce badania zależności między zmiennymi (prądami, napięciami, mocami itp.) dwóch gałęzi obwodu szeroko stosowana jest teoria sieci czterokońcówkowych.

Kwadrupol- Jest to część obwodu o dowolnej konfiguracji, która ma dwie pary zacisków (stąd jego nazwa), zwykle zwanych wejściem i wyjściem.

Przykładami sieci czterozaciskowej są transformator, wzmacniacz, potencjometr, linia energetyczna i inne urządzenia elektryczne, w których można rozróżnić dwie pary biegunów.

Ogólnie quadripole można podzielić na aktywny, którego struktura obejmuje źródła energii, oraz pasywny, gałęzie, które nie zawierają źródeł energii.

Aby napisać równania sieci czteroportowej, wybieramy gałąź w dowolnym obwodzie jedyne źródło energia i dowolna inna gałąź z pewnym oporem (patrz ryc. 1, a).

Zgodnie z zasadą kompensacji pierwotny opór zastępujemy źródłem napięcia (patrz ryc. 1, b). Następnie, w oparciu o metodę superpozycji dla obwodu z rys. 1b można zapisać

Równania (3) i (4) są podstawowymi równaniami kwadratu; nazywane są one również równaniami kwadrypolowymi w formie A (patrz tabela 1). Ogólnie rzecz biorąc, istnieje sześć form zapisywania równań biernego kwadrypola. Rzeczywiście, sieć z czterema zaciskami charakteryzuje się dwoma napięciami i dwoma prądami i. Dowolne dwie wielkości można wyrazić w kategoriach pozostałych. Ponieważ liczba kombinacji cztery na dwa wynosi sześć, możliwych jest sześć form zapisu równań biernego kwadrypola, które podano w tabeli. 1. Dodatnie kierunki prądów dla różnych form zapisu równań pokazano na ryc. 2. Zauważ, że wybór tej lub innej formy równań zależy od obszaru i rodzaju rozwiązywanego problemu.

Tabela 1. Formy zapisu równań kwadrypola pasywnego

Formularz	Równania	Powiązanie ze współczynnikami podstawowych równań
Kształt A	; ;
Kształt Y	; ;	; ; ; ;
Kształt Z	; ;	; ; ; ;
Kształt litery H	; ;	; ; ; ;
Kształt G	; ;	; ; ; ;
Kształt B	; .	; ; ; .

Impedancja charakterystyczna i współczynnik
propagacja symetrycznego kwadipola

W telekomunikacji szeroko stosowany jest tryb pracy symetrycznej sieci czterozaciskowej, w której jej rezystancja wejściowa jest równa rezystancji obciążenia, tj.

Ten opór jest oznaczony jako i nazywany charakterystyczny opór symetryczna sieć czteroportowa oraz tryb pracy sieci czteroportowej, dla którego jest to prawdą

Aby ocenić możliwości urządzeń elektrycznych odbierających i przesyłających wpływy wejściowe, uciekają się do badania ich charakterystyk przejściowych i impulsowych.

Odpowiedź krokowa H(T) obwodu liniowego niezawierającego niezależnych źródeł jest liczbowo równa odpowiedzi obwodu na wpływ pojedynczego skoku prądu lub napięcia w postaci funkcji jednokrokowej 1( T) lub 1( T – T 0) przy zerowych warunkach początkowych (ryc. 14). Wymiar charakterystyki przejścia jest równy stosunkowi wymiaru reakcji do wymiaru uderzenia. Może być bezwymiarowy, mieć wymiar Ohma, Siemensa (Cm).

Ryż. 14

Odpowiedź impulsowa k(T) obwodu liniowego niezawierającego niezależnych źródeł jest liczbowo równa odpowiedzi obwodu na działanie pojedynczego impulsu w postaci d( T) lub d( T – T 0) funkcje z zerowymi warunkami początkowymi. Jego wymiar jest równy stosunkowi wymiaru reakcji do iloczynu wymiaru uderzenia i czasu, zatem może mieć wymiary c –1, Ohm –1, Sms –1.

Funkcja impulsu d( T) można uznać za pochodną funkcji kroku jednostkowego d( T) = D 1(T)/dt. Odpowiednio odpowiedź impulsowa jest zawsze pochodną czasową odpowiedzi skokowej: k(T) = H(0 +)d( T) + dh(T)/dt. Zależność ta służy do określenia odpowiedzi impulsowej. Na przykład, jeśli dla jakiegoś łańcucha H(T) = 0,7mi –100T, To k(T) = 0,7d( T) – 70mi –100 T. Odpowiedź przejściową można wyznaczyć klasyczną lub operatorową metodą obliczania procesów przejściowych.

Istnieje związek między charakterystyką czasową i częstotliwościową obwodu. Znając funkcję przeniesienia operatora, można znaleźć obraz reakcji obwodu: Y(S) = W(S)X(S), tj. funkcja przenoszenia zawiera pełna informacja o właściwościach obwodu jako układu do przesyłania sygnałów z wejścia na wyjście w zerowych warunkach początkowych. W tym przypadku charakter uderzenia i reakcji odpowiada tym, dla których wyznacza się funkcję przenoszenia.

Funkcja przenoszenia dla obwodów liniowych nie zależy od rodzaju działania wejściowego, dlatego można ją uzyskać z odpowiedzi przejściowej. Zatem, gdy funkcja kroku jednostkowego 1 ( T) funkcja przenoszenia biorąc pod uwagę fakt, że 1( T) = 1/S, jest równe

W(S) = L [H(T)] / L = L [H(T)] / (1/S), Gdzie L [F(T)] - oznaczenie bezpośredniej transformaty Laplace'a po funkcji F(T). Odpowiedź skokową można wyznaczyć za pomocą funkcji przenoszenia, stosując odwrotną transformatę Laplace'a, tj. H(T) = L –1 [W(S)(1/S)], Gdzie L –1 [F(S)] - oznaczenie odwrotnej transformaty Laplace'a względem funkcji F(S). Stąd przejściowa reakcja H(T) jest funkcją, której obraz jest równy W(S) /S.

Gdy funkcja pojedynczego impulsu d( T) funkcja przenoszenia W(S) = L [k(T)] / L = L [k(T)] / 1 = L [k(T)]. Zatem odpowiedź impulsowa obwodu k(T) jest oryginałem funkcji przenoszenia. Ze znanej funkcji operatorowej obwodu, wykorzystując odwrotną transformatę Laplace'a, można wyznaczyć odpowiedź impulsową: k(T) W(S). Oznacza to, że odpowiedź impulsowa obwodu jednoznacznie określa charakterystykę częstotliwościową obwodu i odwrotnie

W(J w) = W(S)S = J w. Ponieważ przejściową odpowiedź obwodu można określić na podstawie znanej odpowiedzi impulsowej (i odwrotnie), ta ostatnia jest również jednoznacznie określona przez charakterystykę częstotliwościową obwodu.

Przykład 8. Oblicz charakterystykę przejściową i impulsową obwodu (ryc. 15) dla prądu wejściowego i napięcia wyjściowego przy podane parametry elementy: R= 50 omów, L 1 = L 2 = L= 125 mH,
Z= 80 µF.

Ryż. 15

Rozwiązanie. Zastosujmy klasyczną metodę obliczeń. Równanie charakterystyczne Zin = R + pl +
+ 1 / (komputer) = 0 dla danych parametrów pierwiastków ma zespolone pierwiastki sprzężone: P 1,2 =
= – re J w ZA 2 = – 100 J 200, który określa oscylacyjny charakter procesu przejścia. W tym przypadku prawa zmian prądów i napięć oraz ich pochodne są ogólnie zapisane w następujący sposób:

y(T) = (M cosw A 2 T+ N grzech A 2 T)mi-D T + y na zewnątrz; dy(T) / dt =

=[(–M d+ N w Za 2) cos w Za 2 T – (M w Za 2 + N d) sinw A 2 T]mi-D T + dy na zewnątrz / dt, gdzie w A 2 jest częstotliwością swobodnych oscylacji; y out - wymuszony element procesu przejścia.

Najpierw znajdźmy rozwiązanie ty C(T) I iC(T) = C i C(T) / dt, korzystając z powyższych równań, a następnie za pomocą równań Kirchhoffa określimy wymagane napięcia, prądy i odpowiednio charakterystyki przejściowe i impulsowe.

Do wyznaczenia stałych całkowania niezbędne są wartości początkowe i wymuszone wskazanych funkcji. Znane są ich wartości początkowe: ty C(0 +) = 0 (z definicji H(T) I k(T)), ponieważ iC(T) = ja L(T) = I(T), To iC(0 +) = ja L(0 +) = 0. Wartości wymuszone wyznaczamy z równania opracowanego zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa dla T 0 + : ty 1 = R ja(T) + (L 1 + L 2) I(T) / dt + ty C(T), ty 1 = 1(T) = 1 = stała,

stąd ty C() = ty C wyjście = 1, iC() = iC na zewnątrz = I() = 0.

Utwórzmy równania w celu określenia stałych całkowania M, N:

ty C(0 +) = M + ty C na zewnątrz (0 +), iC(0 +) = Z(–M d+ N w Za 2) + iC wyjście(0+); lub: 0 = M + 1; 0 = –M 100 + N 200; stąd: M = –1, N= –0,5. Uzyskane wartości pozwalają nam zapisać rozwiązania ty C(T) I iC(T) = I(T): ty C(T) = [–cos200 T– -0,5 sin200 T)mi –100T+ 1] B, iC(T) = I(T) = mi –100 T] = 0,02
grzech200 T)mi –100 T A. Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa:

ty 2 (T) = ty C(T) + ty L 2 (T), ty L 2 (T) = ty L(T) = Ldi(T) / dt= (0,5cos200 T– 0,25 sin200 T) mi –100T B. Następnie ty 2 (T) =

=(–0,5сos200 T– 0,75 sin200 T) mi –100T+ 1 = [–0,901 sin(200 T + 33,69) mi –100T+ 1] B.

Sprawdźmy poprawność otrzymanego wyniku korzystając z wartości początkowej: z jednej strony ty 2 (0 +) = –0,901 grzech (33,69) + 1 = 0,5, a z drugiej strony ty 2 (0 +) = ty C (0 +) + ty L(0 +) = 0 + 0,5 - wartości są takie same.

Ministerstwo Edukacji i Nauki Ukrainy

Doniecki Uniwersytet Narodowy

Raport

na temat: Obwody i sygnały radiotechniczne

Student III roku studiów stacjonarnych NF-3

Opracowane przez studenta:

Aleksandrowicz S. V.

Sprawdzone przez nauczyciela:

Dolbeshchenkov V.V.

WSTĘP

„Obwody i sygnały inżynierii radiowej” (RTC i S)– kurs będący kontynuacją kursu „Podstawy teorii obwodów”. Jego celem jest badanie podstawowych praw związanych z odbiorem sygnałów, ich przesyłaniem kanałami komunikacyjnymi, przetwarzaniem i konwersją w obwodach radiowych. Metody analizy sygnałów i obwodów radiotechnicznych prezentowane na kursie „RTC i C” wykorzystują informacje matematyczne i fizyczne, znane głównie studentom poprzednich kierunków. Ważnym celem zajęć „RTC i S” jest nauczenie studentów wyboru aparatu matematycznego adekwatnego do napotkanego problemu oraz pokazanie, jak ten aparat działa przy rozwiązywaniu konkretnych problemów z zakresu radiotechniki. Równie ważne jest nauczenie studentów dostrzegania ścisłego związku pomiędzy opisem matematycznym a fizyczną stroną rozpatrywanego zjawiska, umiejętności komponowania modele matematyczne badane procesy.

Główne sekcje studiowane w ramach kursu „Obwody i sygnały inżynierii radiowej”:

1. Analiza czasowa obwodów na podstawie splotu;

2. Analiza spektralna sygnały;

3. Sygnały radiowe z modulacją amplitudy i kąta;

4. Analiza korelacji sygnałów;

5. Aktywne obwody liniowe;

6. Analiza przejścia sygnałów w obwodach wąskopasmowych;

7. Negatywne informacja zwrotna w obwodach liniowych;

8. Synteza filtrów;

9. Obwody nieliniowe i metody ich analizy;

10. Obwody o zmiennych parametrach;

11. Zasady generowania oscylacji harmonicznych;

12. Zasady przetwarzania sygnałów czasu dyskretnego;

13. Sygnały losowe;

14. Analiza przejścia sygnałów losowych przez obwody liniowe;

15. Analiza przejścia sygnałów losowych przez obwody nieliniowe;

16. Optymalna filtracja sygnałów deterministycznych w szumie;

17. Optymalne filtrowanie sygnałów losowych;

18. Numeryczne metody obliczania obwodów liniowych.

ANALIZA OBWODÓW ROZRZĄDU W OPARCIU O SPLOT

Odpowiedź krokowa i impulsowa

Metoda czasowa opiera się na koncepcji charakterystyk przejściowych i impulsowych obwodu. Odpowiedź krokowałańcuchy są reakcją łańcucha na wpływ w postaci funkcji jednostkowej. Wskazuje przejściową odpowiedź obwodu G(T).Odpowiedź impulsowa obwody nazywane są odpowiedzią obwodu na funkcję pojedynczego impulsu (funkcja d). Oznacza reakcję impulsową H(T). Ponadto, G(T) I H(T) są wyznaczane przy zerowych warunkach początkowych w obwodzie. W zależności od rodzaju reakcji i rodzaju uderzenia (prąd lub napięcie) charakterystyki przejściowe i impulsowe mogą być wielkościami bezwymiarowymi lub mieć wymiary A/B lub V/A.

Stosowanie koncepcji charakterystyki przejściowej i impulsowej obwodu pozwala nam zredukować obliczenia odpowiedzi obwodu od działania nieokresowego sygnału o dowolnym kształcie do określenia odpowiedzi obwodu na najprostsze uderzenie, takie jak pojedyncza 1( T) lub funkcja impulsu d( T), za pomocą którego aproksymowany jest sygnał pierwotny. W tym przypadku wynikową reakcję łańcucha liniowego można znaleźć (stosując zasadę superpozycji) jako sumę reakcji łańcucha na wpływy elementarne 1( T) lub d( T).

Między przejściowymi G(T) i puls H(T) istnieje pewien związek między charakterystyką liniowego obwodu pasywnego. Można to wyznaczyć, jeśli przedstawimy jednostkową funkcję impulsu poprzez przejście do granicy różnicy dwóch funkcji jednostkowych o wielkości 1/t, przesuniętych względem siebie o czas t:

tj. jednostkowa funkcja impulsu jest równa pochodnej funkcji jednostkowej. Ponieważ zakłada się, że rozważany obwód jest liniowy, zależność pozostaje taka sama dla reakcji impulsowych i przejściowych obwodu

tj. odpowiedź impulsowa jest pochodną odpowiedzi skokowej obwodu.

Równanie obowiązuje w przypadku, gdy G(0) = 0 (zero warunków początkowych obwodu). Jeśli G(0) ¹ 0, następnie prezentacja G(T) w formularzu G(T) = , gdzie = 0, otrzymujemy dla tego przypadku równanie sprzężenia:

Aby znaleźć charakterystykę przejściową i impulsową obwodu, można zastosować metody klasyczne i operatorowe. Istotą metody klasycznej jest określenie odpowiedzi czasowej obwodu (w postaci napięcia lub prądu w poszczególnych gałęziach obwodu) na wpływ pojedynczego 1( T) lub impuls d( T) funkcje. Zwykle wygodnie jest określić odpowiedź przejściową metodą klasyczną G(T) i odpowiedź impulsową H(T) znajdź za pomocą równań sprzęgania lub metody operatorowej.

Warto zaznaczyć, że wartość I(R)V równanie jest liczbowo równe obrazowi przewodnictwa przejściowego. Podobny obraz odpowiedzi impulsowej jest liczbowo równy przewodności operatora obwodu

Na przykład dla RС-łańcuchy jakie posiadamy:

Ubieganie się o Y(P) twierdzenie o rozwinięciu, otrzymujemy:

W tabeli 1.1 podsumowuje wartości charakterystyk przejściowych i impulsowych prądu i napięcia dla niektórych obwodów pierwszego i drugiego rzędu.

Odpowiedź impulsowa(funkcja wagi) to odpowiedź układu na pojedynczy nieskończony impuls (funkcja delta lub funkcja Diraca) w zerowych warunkach początkowych. Funkcja delta jest definiowana przez równości

, .

Ten funkcja ogólna– obiekt matematyczny reprezentujący sygnał idealny, nr prawdziwe urządzenie nie da się go odtworzyć. Funkcję delta można uznać za granicę prostokątnego impulsu o powierzchni jednostkowej wyśrodkowanej w punkcie, gdy szerokość impulsu dąży do zera.

Teraz musimy przeanalizować granice tej kwoty. Musimy więc używać całek, aby właściwie zrozumieć tego typu układ. Do tego potrzebujemy splotu! W przypadku tego problemu załóżmy, że \\ jest większe od zera. Wypróbuj następujące dwie funkcje.

gdzie jest funkcją przenoszenia układu, dla której jest transformatą Laplace'a. Odpowiedź impulsowa układu z jednym integratorem ma tendencję do stałej wartości równej statycznemu współczynnikowi przenikania układu bez integratora. W przypadku układu z dwoma integratorami odpowiedź impulsowa asymptotycznie zmierza do linii prostej, przy trzech integratorach - do paraboli itp.

Odpowiedni sygnał dyskretny jest sekwencją. Rozważmy transformatę Fouriera sygnału ciągłego. Przybliżenie transformaty Fouriera uzyskuje się z sygnału dyskretnego metodą skrzynkową.

Kiedy suma zatrzyma się na ostatnim szczeblu, znajdujemy.

Układ liniowy ze skończoną odpowiedzią impulsową

Układ ten nazywa się przyczynowym, ponieważ stan wyjściowy zależy tylko od poprzednich stanów wejściowych. Zdefiniowano sygnał dyskretny.

W przypadku impulsu wejściowego układ liniowy wysyła sygnał.

Należy zauważyć, że sygnał wyjściowy jest wynikiem splotu sygnału wejściowego z odpowiedzią impulsową.

8. Metoda czasowa analizy procesów przejściowych w liniowych obwodach elektrycznych

8.1. Charakterystyka przejściowa i impulsowa obwodów elektrycznych

są wyznaczane przy zerowych warunkach początkowych w obwodzie. W zależności od rodzaju reakcji i rodzaju uderzenia (prąd lub napięcie) charakterystyki przejściowe i impulsowe mogą być wielkościami bezwymiarowymi lub mieć wymiary A/B lub V/A.

System ten jest filtrem o skończonej odpowiedzi impulsowej. Która jest dyskretną transformatą Fouriera odpowiedzi impulsowej. Rozważ jako prosty przykład

filtr implementujący średnią arytmetyczną dwóch kolejnych wartości wejściowych. T Stosowanie koncepcji charakterystyki przejściowej i impulsowej obwodu pozwala nam zredukować obliczenia odpowiedzi obwodu od działania nieokresowego sygnału o dowolnym kształcie do określenia odpowiedzi obwodu na najprostsze uderzenie, takie jak pojedyncza 1( T) lub funkcja impulsu d( T) lub d( T).

), za pomocą którego aproksymowany jest sygnał pierwotny. W tym przypadku wynikową reakcję łańcucha liniowego można znaleźć (stosując zasadę superpozycji) jako sumę reakcji łańcucha na wpływy elementarne 1(

Filtr środkowy jest filtrem dolnoprzepustowym. Przesunięcie fazowe zmienia się liniowo wraz z częstotliwością. Potwierdza to następujące wyrażenie odpowiedzi częstotliwościowej. Aby zasymulować wpływ tego filtra na sygnał, rozważ następujący sygnał ciągły i jego próbkę. Aby zostać przefiltrowanym sygnał dyskretny

Wszystkie częstotliwości sygnału ulegają temu samemu przesunięciu τ podczas przechodzenia przez filtr. τ - czas propagacji.

Między przejściowymi G(T) i puls H(T) istnieje pewien związek między charakterystyką liniowego obwodu pasywnego. Można to wyznaczyć przedstawiając jednostkową funkcję impulsu poprzez przejście do granicy różnicy pomiędzy dwiema funkcjami jednostkowymi o wielkości 1/t, przesuniętymi względem siebie o czas t (patrz rys. 7.4):

tj. jednostkowa funkcja impulsu jest równa pochodnej funkcji jednostkowej. Ponieważ zakłada się, że rozpatrywany obwód jest liniowy, zależność (8.1) jest zachowana także dla reakcji impulsowych i przejściowych obwodu

Filtrowanie pasmowoprzepustowe nie zmienia kształtu sygnału. Izolując termin zawierający fazę, charakterystyka częstotliwościowa jest zapisywana zgodnie z wyrażeniem. Po zmianie zmiennej wyrażenie wzmocnienia jest wypisywane w sumie. Zapisano odpowiedź częstotliwościową. Biorąc pod uwagę granicę, otrzymujemy.

Otrzymuje się liniowy filtr fazowy o nieskończonej odpowiedzi impulsowej. Metoda ta jest równoznaczna z zastosowaniem prostokątnego okna do współczynników Fouriera.

Współczynniki Fouriera tej funkcji.

Wynik można wyrazić za pomocą sinusoidalnej funkcji kardynalnej i zależy jedynie od stosunku częstotliwości odcięcia do częstotliwości próbkowania.

tj. odpowiedź impulsowa jest pochodną odpowiedzi skokowej obwodu.

Równanie (8.2) obowiązuje w przypadku, gdy G(0) = 0 (zero warunków początkowych obwodu). Jeśli G(0) ¹ 0, następnie prezentacja G(T) w formularzu G(T) = , gdzie = 0, otrzymujemy dla tego przypadku równanie sprzężenia:

Do uzyskania odpowiedzi częstotliwościowej używana jest następująca funkcja. Oto wykres wzmocnienia i fazy filtra. Można zauważyć, że faza jest rzeczywiście liniowa w paśmie przepustowym, ale wzmocnienie charakteryzuje się bardzo silnymi tętnieniami. W tłumionym paśmie występują nieciągłości w fazie π. Oczywiście różnice w zakresie pożądanej funkcji przenoszenia wynikają z obcięcia odpowiedzi impulsowej.

Spróbujmy obciąć okno Hannah. Fale w paśmie przepustowym i tłumionym są znacznie zmniejszone. Liniowość fazowa w paśmie przepustowym jest zawsze zapewniona. Jeżeli opóźnienie τ ma pozostać stałe, należy jednocześnie zwiększyć częstotliwość próbkowania. Wybrano zaszumiony sygnał.

Aby znaleźć charakterystykę przejściową i impulsową obwodu, można zastosować metody klasyczne i operatorowe. Istotą metody klasycznej jest określenie odpowiedzi czasowej obwodu (w postaci napięcia lub prądu w poszczególnych gałęziach obwodu) na wpływ pojedynczego 1( T) lub impuls d( T) funkcje. Zwykle wygodnie jest określić odpowiedź przejściową metodą klasyczną G(T) i odpowiedź impulsową H(T) znaleźć za pomocą równań połączenia (8.2), (8.3) lub metody operatorowej.

Przykład. Skorzystajmy z klasycznej metody, aby znaleźć reakcję przejściową napięcia dla obwodu pokazanego na ryc. 8.1. Liczebnie g ty(T) dla danego obwodu pokrywa się z napięciem na pojemności w chwili jej załączenia T= 0 do źródła napięcia U 1 = l V:

Prawo zmiany napięcia tyC(T) określa równanie (6.27), w którym należy umieścić U= l V:

Podczas wyszukiwania cech G(T Ponadto, H(T) metodą operatorową obrazy funkcji 1( T), D( T) oraz metodykę obliczania procesów przejściowych określoną w rozdz. 7.

Przykład. Wyznaczmy charakterystykę przejścia metodą operatorową g ty(T) RС-łańcuchy (patrz ryc. 8.1). Dla tego łańcucha, zgodnie z prawem Ohma, w postaci operatorowej (7.35) możemy zapisać:

Wreszcie dostajemy

Stąd, korzystając z twierdzenia o rozszerzaniu (7.31), znajdujemy

czyli taką samą wartość jak uzyskana metodą klasyczną.

Warto zaznaczyć, że wartość I(R)V równanie (8.4) jest liczbowo równe obrazowi przewodności przejścia. Podobny obraz odpowiedzi impulsowej jest liczbowo równy przewodności operatora obwodu

Na przykład dla RС-łańcuch (patrz rys. 8.1) mamy:

Ubieganie się o Y(P) twierdzenie o rozwinięciu (7.30), otrzymujemy:

Należy zauważyć, że wzór (8.5) określa wolną składową reakcji obwodu pod pojedynczym działaniem impulsowym. W ogólnym przypadku, w reakcji łańcuchowej, oprócz wykładniczych składników trybu swobodnego w T> 0 występuje człon impulsowy odzwierciedlający efekt, gdy T= 0 impulsów jednostkowych. Rzeczywiście, jeśli weźmiemy to pod uwagę RС-obwód (patrz ryc. 8.1) charakterystyka prądu przejściowego przy U= 1(T) zgodnie z (6.28) będzie

wówczas po zróżnicowaniu (8.6) zgodnie z (8.2) otrzymujemy odpowiedź impulsową RС-więzy Cześć(T) w formularzu

czyli reakcja HI(T) zawiera dwa terminy - impuls i wykładniczy.

Fizyczne znaczenie pierwszego członu w (8.7) oznacza, że kiedy T= 0 w wyniku oddziaływania na obwód napięcia impulsowego d( T) prąd ładowania natychmiast osiąga nieskończenie dużą wartość, natomiast w czasie od 0 – do 0 + element pojemnościowy zostaje przeniesiony ładunek skończony i jest on gwałtownie ładowany do napięcia I/RC. T Drugi człon określa proces swobodny w łańcuchu T> 0 i wynika z rozładowania kondensatora przez zwarte wejście (od kiedy T> 0 d( RC) = 0, co odpowiada zwarciu wejścia) przy stałej czasowej t = T. RС- obwód przerywa ciągłość ładunku na pojemności (druga zasada komutacji). Podobnie warunek ciągłości prądu w indukcyjności (pierwsza zasada komutacji) zostaje naruszony, jeśli napięcie ma postać d( T).

W tabeli 8.1 podsumowuje wartości charakterystyk przejściowych i impulsowych prądu i napięcia dla niektórych obwodów pierwszego i drugiego rzędu.

8.2. Całka Duhamela

Całkę Duhamela można otrzymać przez przybliżenie przyłożonej siły F 1 (T)Z wykorzystując funkcje jednostkowe przesunięte względem siebie o czas Dt (rys. 8.2).

Reakcja obwodu na każdy efekt schodkowy zostanie ustalony jako

Wynikową reakcję obwodu na układ stopniowych wpływów można znaleźć w oparciu o zasadę superpozycji:

Gdzie P - liczba aproksymujących odcinków, na które podzielony jest przedział 0 ... T.

Mnożąc i dzieląc wyrażenie pod znakiem sumy przez Dt i przechodząc do granicy, biorąc to pod uwagę, otrzymujemy jedną z postaci całki Duhamela:

Równanie (8.8) odzwierciedla reakcję obwodu na dane uderzenie, ponieważ funkcja aproksymująca dąży do pierwotnej. Drugą postać całki Duhamela można otrzymać korzystając z twierdzenia o splocie (patrz): , b), wówczas reakcję obwodu określa się metodą klasyczną lub operatorową, gdy dana gałąź jest połączona z aktywną siecią dwuzaciskową (ryc. 8.4, V

). Otrzymaną reakcję oblicza się jako sumę reakcji: .

8.3. Całka nałożenia H(T Przy znajdowaniu odpowiedzi obwodu za pomocą całki superpozycji wykorzystuje się odpowiedź impulsową obwodu F 1 (T). D Aby otrzymać ogólne wyrażenie na całkę superpozycji, przybliżamy sygnał wejściowy F) wykorzystując system impulsów o pojedynczym czasie trwania F t, amplitudy D 1(t) i pow

1(t)

t (ryc. 8.5). Odpowiedź wyjściowa obwodu na każdy z pojedynczych impulsów Stosując zasadę superpozycji, nie jest trudno uzyskać całkowitą odpowiedź obwodu na układ pojedynczych impulsów: Całka (8.12) nazywa się Całka nałożenia. Pomiędzy superpozycją a całkami Duhamela jest H(T) proste połączenie G(T, określony przez zależność (8.3) pomiędzy impulsem H(T i przejściowe

Przykład.) charakterystyka obwodu. Zastępując na przykład wartość RС) z (8.3) do wzoru (8.12), biorąc pod uwagę właściwość filtrującą funkcji d (7.23), otrzymujemy całkę Duhamela w postaci (8.11). U Przy wejściu

- obwód (patrz rys. 8.1) przykładany jest udar napięciowy H1. Określ odpowiedź obwodu na wyjściu, korzystając z całek superpozycji (8.12) i Duhamela (8.11).(T Odpowiedź impulsowa tego obwodu jest równa (patrz tabela 8.1): T / ty) = = (1/RC)e – H1. Określ odpowiedź obwodu na wyjściu, korzystając z całek superpozycji (8.12) i Duhamela (8.11).(T RC . Potem podmienianie– t) = (1/RC)e –( ty do wzoru (8.12) otrzymujemy:

Podobny wynik otrzymamy korzystając z funkcji przejścia tego obwodu i całki Duhamela (8.11):

Jeżeli początek oddziaływania nie pokrywa się z początkiem odliczania czasu, wówczas całka (8.12) przyjmuje postać

Całki superpozycji (8.12) i (8.13) reprezentują splot sygnału wejściowego z odpowiedzią impulsową obwodu i są szeroko stosowane w teorii obwodów elektrycznych i teorii transmisji sygnału. Jego fizyczne znaczenie polega na tym, że jest to sygnał wejściowy F 1 (t) jest niejako ważony za pomocą funkcji H(T- t): tym wolniej maleje z czasem H(T), tym większy wpływ na sygnał wyjściowy ma wartość wpływu wejściowego bardziej oddalona od momentu obserwacji.

Na ryc. 8,6, A pokazany sygnał F 1(t) i odpowiedź impulsowa H(T- t), co jest odbiciem lustrzanym H(t) i na ryc. 8,6, B pokazany jest splot sygnału F 1(t) Z funkcjonować H(T- t) (część zacieniona), liczbowo równa reakcji łańcucha w danym momencie T.

Z ryc. 8.6 pokazuje, że odpowiedź na wyjściu obwodu nie może być krótsza niż całkowity czas trwania sygnału T 1 i odpowiedź impulsowa t godz. Zatem, aby sygnał wyjściowy nie był zniekształcony, odpowiedź impulsowa obwodu musi zmierzać do funkcji d.

Oczywistym jest również, że w fizycznie realizowanym łańcuchu reakcja nie może nastąpić przed uderzeniem.

Oznacza to, że odpowiedź impulsowa fizycznie realizowanego obwodu musi spełniać warunek

Aby fizycznie możliwy do realizacji stabilny obwód był dodatkowo spełniony warunek absolutnej całkowalności odpowiedzi impulsowej:

Jeżeli akcja wejściowa ma złożony kształt lub jest określona graficznie, wówczas do obliczenia reakcji obwodu stosuje się metody graficzno-analityczne zamiast całki splotu (8.12).

Pytania i zadania do samodzielnego sprawdzenia

1. Zdefiniować charakterystykę przejściową i impulsową obwodu.

2. Wskazywać związek pomiędzy charakterystyką impulsową i przejściową.

3. Jak wyznaczyć odpowiedź przejściową i impulsową obwodu?

4. Jaka jest różnica między cechami przejściowymi, wyjaśnij ich znaczenie fizyczne.

5. Jak określić, który z czterech typów charakterystyk przejściowych lub impulsowych należy zastosować w każdym konkretnym przypadku przy obliczaniu odpowiedzi obwodu? G(T) I H(T)?

6. Jaka jest istota obliczania procesów przejściowych za pomocą

7. Jak określić reakcję łańcucha, jeśli efekt ma złożony kształt?

8. Jakie warunki musi spełniać obwód, aby zastosować całkę Duhamela?

10. Czy obliczanie reakcji łańcucha za pomocą całek Duhamela i superpozycji daje takie same czy różne wyniki?

11. Wyznaczać przejściową przewodność obwodu utworzonego z rezystancji i indukcyjności połączonych szeregowo.

12. Zdefiniuj obwód utworzony przez rezystancję i pojemność połączone szeregowo.

Odpowiedź: .

13. Uzyskaj trzecią postać całki Duhamela (8.10) z równania splotu (8.10).

Akademia Rosji

Wydział Fizyki

Wykład

Charakterystyka przejściowa i impulsowa obwodów elektrycznych

Orzeł 2009

Cele edukacyjne i edukacyjne:

Wyjaśnić studentom istotę charakterystyk przejściowych i impulsowych obwodów elektrycznych, pokazać powiązania między charakterystykami, zwrócić uwagę na wykorzystanie rozpatrywanych charakterystyk do analizy i syntezy obwodów elektrycznych oraz dążyć do wysokiej jakości przygotowania do zajęć praktycznych szkolenie.

Rozkład czasu wykładów

Część wprowadzająca…………………………………………………5 min.

Pytania do nauki:

1. Charakterystyki przejściowe obwodów elektrycznych……………15 min.

2. Całki Duhamela………………………………………………………...25 min.

3. Charakterystyki impulsowe obwodów elektrycznych. Zależność między cechami……………………………………….………...25 min.

4. Całki splotowe……………………………………….15 min.

Zakończenie…………………………………………………5 min.

1. Charakterystyki przejściowe obwodów elektrycznych

Przejściowa odpowiedź obwodu (podobnie jak odpowiedź impulsowa) odnosi się do tymczasowej charakterystyki obwodu, tj. wyraża pewien proces przejściowy pod określonymi wpływami i warunkami początkowymi.

Aby porównać obwody elektryczne pod kątem ich reakcji na te wpływy, konieczne jest umieszczenie obwodów w tych samych warunkach. Najprostsze i najwygodniejsze są zerowe warunki początkowe.

Przejściowa odpowiedź obwodu jest stosunkiem reakcji łańcucha na stopniowe uderzenie do wielkości tego uderzenia przy zerowych warunkach początkowych.

Z definicji

gdzie jest reakcja łańcucha na stopniowe oddziaływanie;

– wielkość efektu skokowego [B] lub [A].

Ponieważ i jest podzielone przez wielkość wpływu (tzn prawdziwa liczba), to faktycznie - reakcja obwodu na efekt jednostopniowy.

Jeżeli znana jest przejściowa odpowiedź obwodu (lub można ją obliczyć), to ze wzoru można znaleźć reakcję tego obwodu na efekt stopniowy przy zera NL

Ustalmy połączenie między funkcją przenoszenia operatora obwodu, która jest często znana (lub można ją znaleźć), a odpowiedzią przejściową tego obwodu. W tym celu korzystamy z wprowadzonej koncepcji funkcji przeniesienia operatora:

Stosunek reakcji łańcucha przekształconej Laplace'a do wielkości uderzenia jest charakterystyką przejściową operatora łańcucha:

Stąd .

Stąd można znaleźć charakterystykę przejścia operatora obwodu za pomocą funkcji przeniesienia operatora.

Aby określić odpowiedź przejściową obwodu, należy zastosować odwrotną transformatę Laplace'a:

korzystając z tabeli korespondencji lub (wstępnie) twierdzenia o rozkładzie.

Przykład: wyznacz odpowiedź przejściową dla reakcji napięcia na kondensatorze w połączeniu szeregowym (ryc. 1):

Oto reakcja na stopniowy efekt wielkości:

skąd pochodzi charakterystyka przejścia:

Charakterystyki przejściowe najczęściej spotykanych obwodów można znaleźć i podać w literaturze.

2. Całki Duhamela

Odpowiedź przejściowa jest często wykorzystywana do znalezienia odpowiedzi obwodu na złożony bodziec. Ustanawiajmy te relacje.

Przyjmijmy, że wpływ jest funkcją ciągłą i działa na obwód w czasie , a warunki początkowe wynoszą zero.

Dane uderzenie można przedstawić jako sumę stopniowego uderzenia przyłożonego do obwodu w danym momencie i nieskończenie dużej liczby nieskończenie małych, stopniowych uderzeń, stale następujących po sobie. Jedno z tych elementarnych oddziaływań odpowiadające momentowi zastosowania pokazano na rysunku 2.

Znajdźmy wartość reakcji łańcuchowej w pewnym momencie.

Efekt stopniowy z różnicą w chwili czasu powoduje reakcję równą iloczynowi różnicy przez wartość odpowiedzi przejściowej obwodu w , tj. równy:

Nieskończenie mały efekt krokowy z różnicą powoduje nieskończenie małą reakcję , gdzie jest to czas, który upłynął od momentu zastosowania wpływu do momentu obserwacji. Ponieważ pod warunkiem funkcja jest ciągła, to:

Zgodnie z zasadą superpozycji reakcją będzie suma reakcji wywołanych ogółem wpływów poprzedzających moment obserwacji, tj.

Zwykle w ostatniej formule po prostu zastępuje się ją , ponieważ znaleziona formuła jest poprawna dla dowolnych wartości czasu:

Lub po kilku prostych przekształceniach:

Każda z tych zależności rozwiązuje problem obliczenia odpowiedzi liniowego obwodu elektrycznego na dane działanie ciągłe przy użyciu znanej odpowiedzi przejściowej obwodu. Relacje te nazywane są całkami Duhamela.

3. Charakterystyki impulsowe obwodów elektrycznych

Odpowiedź impulsowa obwodu jest stosunkiem odpowiedzi obwodu na działanie impulsowe do obszaru tego działania w zerowych warunkach początkowych.

Z definicji

gdzie jest reakcja obwodu na działanie impulsowe;

– obszar impulsu uderzeniowego.

Korzystając ze znanej odpowiedzi impulsowej obwodu, można znaleźć odpowiedź obwodu na zadany wpływ: .

Jako funkcję uderzenia często stosuje się efekt pojedynczego impulsu, zwany także funkcją delta lub funkcją Diraca.

Funkcja delta jest funkcją równą zeru wszędzie z wyjątkiem , a jej pole jest równe jedności ():

Pojęcie funkcji delta można uzyskać, biorąc pod uwagę granicę prostokątnego impulsu o wysokości i czasie trwania, gdy (ryc. 3):

Ustalmy związek między funkcją przenoszenia obwodu a jego odpowiedzią impulsową, do czego używamy metody operatorowej.

Z definicji:

Jeśli wpływ (oryginał) jest brany pod uwagę najbardziej przypadek ogólny w postaci iloczynu pola impulsu przez funkcję delta, czyli w postaci, wówczas obraz tego efektu zgodnie z tabelą korespondencji ma postać:

Wtedy natomiast stosunek reakcji obwodu przekształconej Laplace'a do obszaru impulsu uderzenia jest odpowiedzią impulsową operatora obwodu:

Stąd, .

Aby znaleźć odpowiedź impulsową obwodu, należy zastosować odwrotną transformatę Laplace'a:

To znaczy, właściwie.

Uogólniając wzory, otrzymujemy związek pomiędzy funkcją przenoszenia operatora obwodu a operatorową charakterystyką przejściową i impulsową obwodu:

Zatem znając jedną z cech obwodu, możesz określić dowolne inne.

Przeprowadźmy identyczne przekształcenie równości, dodając do części środkowej.

Wtedy będziemy mieli.

Ponieważ jest to obraz pochodnej charakterystyki przejścia, pierwotną równość można przepisać jako:

Przechodząc do obszaru oryginałów, otrzymujemy wzór, który pozwala wyznaczyć odpowiedź impulsową układu na podstawie jego znanej odpowiedzi przejściowej:

Jeśli więc.

Odwrotna zależność pomiędzy tymi cechami ma postać:

Korzystając z funkcji przenoszenia, łatwo jest określić obecność wyrazu w funkcji.

Jeśli potęgi licznika i mianownika są takie same, wówczas dany termin będzie obecny. Jeśli funkcja jest ułamkiem właściwym, to wyraz ten nie będzie istniał.

Przykład: wyznacz charakterystykę impulsową dla napięć i w połączeniu szeregowym pokazanym na rysunku 4.

Zdefiniujmy:

Korzystając z tabeli korespondencji, przejdźmy do oryginału:

Wykres tej funkcji pokazano na rysunku 5.

Ryż. 5

Funkcja przenoszenia:

Według tabeli korespondencji mamy:

Wykres wynikowej funkcji pokazano na rysunku 6.

Zwróćmy uwagę, że te same wyrażenia można uzyskać stosując relacje ustanawiające połączenie pomiędzy i .

Odpowiedź impulsowa w sensie fizycznym odzwierciedla proces swobodnych oscylacji i z tego powodu można postawić tezę, że w obwodach rzeczywistych zawsze musi być spełniony warunek:

4. Całki splotowe (nakładkowe).

Rozważmy procedurę określania odpowiedzi liniowego obwodu elektrycznego na złożony wpływ, jeśli znana jest odpowiedź impulsowa tego obwodu. Zakładamy, że wpływ jest odcinkowo ciągłą funkcją pokazaną na rysunku 7.

Niech będzie wymagane znalezienie wartości reakcji w pewnym momencie. Rozwiązując ten problem, wyobraźmy sobie uderzenie jako sumę impulsów prostokątnych o nieskończenie krótkim czasie trwania, z których jeden, odpowiadający chwili w czasie, pokazano na rysunku 7. Impuls ten charakteryzuje się czasem trwania i wysokością.

Z wcześniej omawianego materiału wiadomo, że reakcję obwodu na krótki impuls można uznać za równą iloczynowi odpowiedzi impulsowej obwodu i pola działania impulsu. W konsekwencji nieskończenie mała składowa reakcji wywołanej tym działaniem impulsowym w danym momencie będzie równa:

ponieważ powierzchnia impulsu jest równa , a czas mija od momentu jego zastosowania do momentu obserwacji.

Korzystając z zasady superpozycji, całkowitą reakcję obwodu można zdefiniować jako sumę nieskończenie dużej liczby nieskończenie małych składowych wywołanych sekwencją nieskończenie małych impulsów obszarowych poprzedzających daną chwilę.

Zatem:

Ta formuła jest prawdziwa dla dowolnych wartości, więc zwykle zmienna jest po prostu oznaczana. Następnie:

Wynikową relację nazywa się całką splotu lub całką superpozycji. Funkcja znaleziona w wyniku obliczenia całki splotu nazywa się splotem i .

Inną formę całki splotu można znaleźć, jeśli zmienisz zmienne w wynikowym wyrażeniu:

Przykład: znajdź napięcie na pojemności obwodu szeregowego (ryc. 8), jeśli na wejściu działa impuls wykładniczy w postaci:

Skorzystajmy z całki splotowej:

Wyrażenie dla otrzymano wcześniej.

Stąd, , I .

Ten sam wynik można uzyskać, stosując całkę Duhamela.

Literatura:

Beletsky A.F. Teoria liniowych obwodów elektrycznych. – M.: Radio i Łączność, 1986. (Podręcznik)

Bakalov V.P. i in. Teoria obwodów elektrycznych. – M.: Radio i Łączność, 1998. (Podręcznik);

Kachanov N. S. i in. Liniowe urządzenia inżynierii radiowej. M.: Wojskowy. opublikowano, 1974. (Podręcznik);

Popov V.P. Podstawy teorii obwodów - M .: Szkoła wyższa, 2000. (Podręcznik)