Como usar o programa maximal pro. Funções e comandos do sistema Maxima

Como esta série de artigos se concentrará em um programa matemático para cálculos simbólicos, primeiro algumas palavras sobre o que são esses cálculos simbólicos ou, como também são chamados, analíticos, em oposição aos cálculos numéricos. Sabe-se que os computadores operam com números (inteiro e ponto flutuante). Por exemplo, soluções para a equação x 2 = 2 x + 1 podem ser obtidas como −0,41421356 e 2,41421356, e 3 x = 1 como 0,33333333. Mas eu gostaria de ver não um registro digital aproximado, mas um valor exato, ou seja, 1±√2 no primeiro caso e 1/3 no segundo. A diferença entre cálculos numéricos e simbólicos começa com este exemplo simples. Mas, além disso, também existem problemas que não podem ser resolvidos numericamente. Por exemplo, equações paramétricas, onde na forma de uma solução é necessário expressar a incógnita através de um parâmetro; ou encontrar a derivada de uma função; Sim, quase qualquer problema bastante geral só pode ser resolvido de forma simbólica. Portanto, não é surpreendente que para esta classe de problemas tenham surgido programas de computador, operando não apenas com números, mas com quase todos os objetos matemáticos, de vetores a tensores, de funções a equações integro-diferenciais, etc.

Maxima na ciência e na educação

Entre os softwares matemáticos para cálculos analíticos (simbólicos), o mais conhecido é o comercial ( Bordo, Matemática); Esta é uma ferramenta muito poderosa para um cientista ou professor, estudante de pós-graduação ou estudante, permitindo automatizar a parte mais rotineira e exigente do trabalho, ao mesmo tempo que opera com um registo analítico de dados, ou seja, de facto, fórmulas matemáticas. Tal programa pode ser chamado de ambiente de programação, com a diferença de que os elementos da linguagem de programação são notações matemáticas familiares aos humanos.

O programa, que virou tema do artigo, funciona segundo os mesmos princípios e oferece funcionalidades semelhantes; A sua diferença mais radical é que não é comercial nem fechado. Em outras palavras, estamos falando de programa gratuito. Na verdade, o uso de software livre é mais natural para a ciência fundamental do que para a ciência comercial, uma vez que o modelo utilizado no software livre é um modelo de abertura e disponibilidade pública de todos os desenvolvimentos. Obviamente, essas mesmas propriedades são inerentes aos resultados da atividade científica. Usando esta semelhança de abordagens, pode-se realmente considerar extensões da funcionalidade do software livre ou bibliotecas adicionais que podem ser criadas para suas necessidades no processo de pesquisa científica como parte integrante dos resultados de tal pesquisa. E esses resultados podem ser utilizados e distribuídos a critério do usuário, sem levar em conta as restrições impostas pelas licenças do software fonte. No caso de software comercial, que é propriedade de seu fabricante, esse tipo de liberdade é significativamente limitado, variando desde a impossibilidade de transferir livre (e legalmente) esse próprio software junto com os desenvolvimentos e até possíveis reivindicações de patente do desenvolvedor do software. empresa no caso de distribuição de bibliotecas adicionais caseiras a ela.

Por outro lado, a principal direção, além do desenvolvimento científico, onde tais programas são procurados é o ensino superior;

e a utilização de software livre para necessidades educativas é uma oportunidade real tanto para a universidade como para estudantes e professores terem à sua disposição cópias legais de tal software sem grandes, ou mesmo quaisquer custos monetários significativos. Este artigo inicia uma série dedicada ao programa de computação analítica gratuito Máxima

. Nesta série tentarei dar-lhe a impressão mais completa do programa: será dedicado aos princípios e fundamentos do trabalho com o Maxima, bem como uma descrição de suas capacidades mais amplas e exemplos práticos.

A história do projeto, hoje conhecido como Maxima, começou no final dos anos 60 no lendário MIT (Massachusetts Institute of Technology), quando, no âmbito do grande projeto MAC que existia naquela época, começaram os trabalhos de computação simbólica programa que recebeu o nome Macsyma (de MAC Symbolic MAnipulation). A arquitetura do sistema foi desenvolvida em julho de 1968, a programação propriamente dita começou em julho de 1969. Lisp foi escolhida como linguagem de desenvolvimento do sistema, e a história mostra como foi a escolha certa: das linguagens de programação existentes naquela época , é o único que continua a desenvolver-se hoje - quase meio século após o início do projeto. Os princípios subjacentes ao projeto foram posteriormente emprestados pelos programas comerciais em desenvolvimento mais ativo atualmente - Mathematica e Maple; Assim, Macsyma realmente se tornou o fundador de toda a direção de programas de matemática simbólica. Naturalmente, Macsyma foi um projeto comercial fechado; foi financiado por organizações públicas e privadas, incluindo a histórica ARPA (Advanced Research Projects Agency; lembra-se da ARPAnet - o ancestral da Internet?), os Departamentos de Energia e Defesa dos EUA, DOE e DOD. O projeto estava se desenvolvendo ativamente e as organizações que o controlavam mudaram mais de uma vez, como sempre acontece com projetos encerrados de longa duração. em 1982, o professor William Schelter começou a desenvolver sua própria versão baseada no mesmo código, chamada Maxima. em 1998, a Shelter conseguiu obter do DOE os direitos para publicar o código sob a GPL. O projeto Macsyma original deixou de existir em 1999. William Shelter continuou a desenvolver o Maxima até sua morte em 2001. Mas, como é típico do software de código aberto, o projeto não morreu junto com seu autor e curador. Agora o projeto continua a se desenvolver ativamente e a participação nele é o melhor cartão de visita para matemáticos e programadores de todo o mundo.

Algumas palavras sobre o programa

Sobre no momento Maxima é lançado para duas plataformas: sistemas compatíveis com Unix, ou seja, Linux e *BSD, e MS Windows. É claro que falarei sobre a versão Linux.

O próprio Maxima é um programa de console e desenha todas as fórmulas matemáticas usando caracteres de texto comuns. Há pelo menos duas vantagens nisso. Por um lado, o próprio Maxima pode ser usado como um kernel, com interfaces gráficas construídas sobre ele para todos os gostos. Existem alguns deles hoje; desta vez vou focar nos dois mais populares (veja barra lateral) - e os mais visuais e fáceis de usar, e falaremos dos demais nas próximas edições; eles também são interessantes à sua maneira, embora mais específicos.

Por outro lado, por si só, sem quaisquer add-ons de interface, o Maxima é pouco exigente em termos de hardware e pode funcionar em computadores que ninguém considera computadores (isto pode ser relevante, por exemplo, para uma universidade ou laboratório científico, que provavelmente não têm dinheiro para atualizar sua frota de máquinas, mas pode surgir a necessidade de software para computação simbólica).

Os nomes de funções e variáveis ​​​​no Maxim diferenciam maiúsculas de minúsculas, ou seja, diferem em letras maiúsculas e minúsculas. Isso não será novidade para quem já trabalhou com sistemas compatíveis com POSIX ou linguagens de programação como, digamos, C ou Perl. Isto também é conveniente do ponto de vista de um matemático, para quem também é comum que letras maiúsculas e minúsculas possam denotar objetos diferentes (por exemplo, conjuntos e seus elementos, respectivamente).

Para começar a trabalhar com o programa você precisará do pacote Maxima; Se não estiver nos repositórios padrão da sua distribuição, você poderá obtê-lo no site do projeto, cujo endereço é fornecido na barra lateral.

Os princípios de trabalhar com o programa não dependem da interface que você escolher para ele, por isso tentarei abstrair o máximo possível de uma interface específica, limitando-me a apenas pequenos comentários nos casos em que se comportem de forma diferente.

Por agora versão mais recente programas - 5.9.3, é sobre isso que falarei; se sua distribuição contém atualmente mais de versão antiga, você pode, em princípio, usá-lo: tanto o 5.9.2, que foi relevante há alguns meses, quanto o 5.9.1, lançado no final do ano passado, não têm diferenças fundamentais do atual.

Interfaces gráficas para Maxima

Do ponto de vista de conhecer o próprio Maxima, duas interfaces são de maior interesse.

O primeiro é um programa gráfico independente separado chamado . Ele, assim como o próprio Maxima, além do Linux/*BSD, também existe em versão para MS Windows. No wxMaxima, você insere fórmulas em formato de texto, e a saída do Maxima é exibida graficamente, de uma forma familiar símbolos matemáticos. Além disso, grande ênfase é dada à conveniência de entrada: a linha de comando é separada da janela de E/S e botões adicionais e o sistema de menu permitem inserir comandos não apenas em texto, mas também em modo de diálogo. O chamado "preenchimento automático" em linha de comando na verdade, a única semelhança com ele é que é chamado pela tecla “Tab”. Infelizmente, ele se comporta apenas como um histórico de comandos inteligente, ou seja, chama o comando daqueles já inseridos nesta sessão que começa com os caracteres especificados na linha de comando, mas não complementa os nomes dos comandos e seus parâmetros. Assim, esta interface é mais conveniente quando você precisa fazer muitos cálculos e ver os resultados na tela; e também, talvez, se você realmente não gosta de inserir todos os comandos do teclado. Além disso, o wxMaxima fornece uma interface conveniente para documentação do sistema; embora, como a documentação chega formato HTML, você pode usar um navegador normal.

A segunda interface bastante interessante do Maxima é um modo adicional no editor . Embora este editor compartilhe um contexto histórico comum com o conhecido Emacs, como o nome sugere, existem poucas semelhanças práticas entre eles. O TeXmacs está sendo desenvolvido para edição visual de textos científicos, em que você vê o texto editado na tela quase na mesma forma em que será impresso. Em particular, possui o chamado modo de entrada matemática, que é muito conveniente para trabalhar com uma ampla variedade de fórmulas, e pode importar/exportar texto para LaTeX e XML/HTML. Maxima, chamado de TeXmacs, utiliza a capacidade de trabalhar com fórmulas. Na verdade, as fórmulas são exibidas na notação matemática usual, mas ao mesmo tempo podem ser editadas e copiadas para outros documentos, como texto comum. A sessão Maxima é chamada a partir do menu: “ inserir → Sessão → Este artigo inicia uma série dedicada ao programa de computação analítica gratuito", e um menu adicional com comandos do Maxima aparece. Após iniciar a sessão, você já pode alternar para o modo de entrada matemática dentro dela (o menu do modo de entrada é acessado pelo primeiro botão do painel de entrada) e também utilizar elementos de notação matemática ao entrar. Esta interface será mais conveniente para quem deseja utilizar resultados de cálculos em seus textos e gosta de editá-los visualmente.

Vamos começar

Após iniciar a sessão do Maxima, vemos as seguintes linhas:

Máxima reiniciou. (%i1)

A primeira é uma mensagem de que o kernel do Maxima acabou de iniciar (em vez disso, dependendo da versão e da compilação específica, podem ser exibidas breves informações sobre o programa);

o segundo é um convite para inserir o primeiro comando. Um comando no Maxim é qualquer combinação de expressões matemáticas e funções integradas, terminadas, no caso mais simples, por ponto e vírgula. Após inserir o comando e pressionar “Enter”, o Maxima irá imprimir o resultado e aguardar o próximo comando:

Para operações aritméticas, são utilizadas notações tradicionais: -, +, *, /; ** ou ^ para exponenciação, sqrt() para raiz quadrada.

Se para algumas notações não for óbvio como escrevê-las em uma linha, explicarei isso à medida que avançarmos. Como você pode ver, cada célula possui seu próprio rótulo; esse rótulo é o nome da célula entre parênteses. As células de entrada são nomeadas como %i com número (i de entrada - entrada), células de saída - como %o com o número correspondente (o de saída

- conclusão). Todos os nomes de serviços integrados começam com o sinal %: para, por um lado, torná-los suficientemente curtos e fáceis de usar e, por outro, para evitar possíveis sobreposições com nomes personalizados, que muitas vezes também são convenientes de manter curto. Graças a esta uniformidade, você não terá que lembrar, como costuma acontecer em outros sistemas, quais desses nomes curtos e convenientes estão reservados pelo programa e quais você pode usar para suas necessidades. Por exemplo, os nomes internos %e e %pi denotam constantes matemáticas bem conhecidas; e %c com um número denota constantes utilizadas na integração, para as quais o uso da letra “c” é tradicional em matemática.

Aqui %+47/59 é o mesmo que %o1+47/59 .

O resultado do cálculo nem sempre é necessário na tela; pode ser suprimido finalizando o comando com um símbolo $ em vez de; . O resultado silenciado ainda é avaliado; Como você pode ver, neste exemplo, as células %o1 e %o2 estão disponíveis, embora não sejam mostradas (a célula %o2 é acessada através do símbolo %, cujo significado está decifrado acima):

Cada comando subsequente não precisa ser escrito em uma nova linha; Se você inserir vários comandos em uma linha, cada um deles ainda terá seu próprio nome de célula. Por exemplo, aqui na linha após o rótulo %i1, são inseridas células de %i1 a %i4; a célula %i3 usa %i1 e %i2 (indicados por _ - entrada anterior):

Em wxMaxima e TeXmacs, o último ou único comando em uma linha não precisa ser seguido por um caractere final - isso funcionará da mesma forma como se tivesse sido finalizado; , ou seja, a saída não será silenciada. Em outros exemplos, frequentemente omitirei; . Se você escolher uma interface diferente, não esqueça de adicioná-la.

Além de usar nomes de células, é claro que podemos dar nomes a qualquer expressão. De outra forma, podemos dizer que atribuímos valores às variáveis, com a diferença de que qualquer expressão matemática pode atuar como valor de tal variável. Isso é feito usando dois pontos - o sinal de igual é deixado para as equações, que, dado o contexto matemático geral da notação, são mais fáceis e familiares de ler desta forma. Além disso, como o principal hobby do Maxima é a notação simbólica e os cálculos analíticos, as equações são usadas com bastante frequência. Por exemplo:

Em certo sentido, os dois pontos são ainda mais claros neste contexto do que o sinal de igual: isto pode ser entendido como significando que definimos uma determinada designação e depois usamos os dois pontos para decifrar exatamente o que ela significa. Depois que a expressão for nomeada, podemos chamá-la pelo nome a qualquer momento:

Qualquer nome pode ser limpo da expressão atribuída a ele usando a função kill(), e a memória ocupada por esta expressão pode ser liberada. Para fazer isso, basta digitar kill(name) , onde name é o nome da expressão a ser destruída;

além disso, pode ser um nome atribuído por você ou qualquer célula de entrada ou saída. Da mesma forma, você pode limpar toda a memória de uma vez e liberar todos os nomes digitando kill(all) . Neste caso, todas as células de E/S também serão apagadas e sua numeração começará novamente a partir de um. No futuro, se o contexto significar uma continuação lógica das linhas de E/S anteriores, continuarei a numeração (já usei esta técnica acima). Quando a nova “sessão” não tiver nenhuma ligação com a anterior, reiniciarei a numeração; este será um comando indireto para fazer "kill(all)" se você digitar exemplos no Maxima, já que nomes de variáveis ​​e células podem ser repetidos em tais "sessões".

Acesso à documentação do Maxima

Nos exemplos acima, usamos duas funções integradas. Como você pode facilmente adivinhar pelo contexto, resolver é uma função para resolver uma equação e diff é uma função de diferenciação. Quase todas as funcionalidades do Maxima são implementadas através de tais funções integradas. Uma função no Maxima pode ter um número variável de argumentos. Por exemplo, a função resolver, que usamos com um argumento, é mais frequentemente chamada com dois argumentos. A primeira especifica a equação ou função cujas raízes devem ser encontradas; a segunda é a variável para a qual a equação deve ser resolvida:

Se a fórmula que define a equação a ser resolvida contém apenas um símbolo, como no exemplo anterior, então o segundo argumento pode ser omitido, pois a escolha de como resolver a equação ainda é inequívoca.

A segunda função dos nossos novos amigos - diff - também pode receber um argumento; neste caso, encontra o diferencial da expressão dada:

Aqui del(x) e del(y) denotam os diferenciais dos símbolos correspondentes. Cada função embutida possui uma descrição na documentação do Maxima. Contém informações sobre quais argumentos a função aceita e em quais variantes, bem como uma descrição de suas ações em diferentes casos e exemplos específicos aplicações. Mas, claro, procure uma descrição de cada em documentação HTML ou páginas de informações nem sempre é conveniente, especialmente porque essas informações geralmente são necessárias durante o processo de trabalho. Portanto, o Maxima possui uma função especial - description(), que fornece informações da documentação para palavras específicas. Além disso, especificamente para a conveniência de obter informações de referência, existe uma versão abreviada da chamada desta função: ? nome em vez de descrever(nome) . Aqui? é o nome do operador e o argumento deve ser separado dele por um espaço (a expressão ?name é usada para chamar a função Lisp chamada name). descrever função e operador? exibe uma lista de seções de ajuda e nomes de funções que contêm o texto especificado e, em seguida, solicita que você insira o número da seção ou a descrição da função que deseja visualizar:

Ao selecionar uma seção, seu conteúdo será exibido:

Se for pela palavra que você digitou depois? ou description , uma única correspondência for encontrada, sua descrição será mostrada imediatamente.

Além da ajuda, muitas funções do Maxima possuem exemplos de seu uso. Um exemplo pode ser carregado com a função example(). Chamar esta função sem argumento exibirá uma lista de todos os nomes de exemplo disponíveis; uma chamada como example(name) será carregada na sessão atual e executada arquivo especificado exemplo:

Resolvendo o problema de inicialização do TeXmacs

Se você tiver problemas para iniciar uma sessão do Maxima a partir do TeXmacs, preste atenção em quem está executando sob o nome /bin/sh em seu sistema. O fato é que a inicialização de todas as diversas sessões é implementada no TeXmacs através de scripts shell chamados usando /bin/sh. E o script responsável pela sessão do Maxima utiliza um recurso que não é padronizado como exigido para /bin/sh , mas está presente em sua emulação bash. Em outras palavras, se o seu /bin/sh não é um link para /bin/bash , mas algo mais, então este pode ser o motivo da incapacidade de abrir uma sessão do Maxima (por exemplo, no Debian e distribuições baseadas nele, outras do que bash link /bin/sh também pode querer instalar um dash mais leve; neste caso, você pode restaurar o status quo usando dpkg-reconfigure dash). Se não for possível criar /bin/sh um link para /bin/bash, você pode tentar alterar #!/bin/sh para #!/bin/bash em /usr/lib/texmacs/TeXmacs/bin/maxima_detect . Escrevi para os desenvolvedores do TeXmacs sobre esse problema, mas ainda não recebi nenhuma resposta deles, portanto ainda não posso afirmar se essa falha será corrigida nas próximas versões.

Princípios básicos

O fato do Maxima ser escrito em Lisp fica claro para quem conhece esta linguagem já no início do trabalho com o programa. Na verdade, Maxim mostra claramente o princípio “Lisp” de trabalhar com dados, que se revela muito útil no contexto da matemática simbólica e dos cálculos analíticos. O fato é que no Lisp, em geral, não há separação entre objetos e dados: nomes de variáveis ​​​​e expressões podem ser usados ​​​​quase no mesmo contexto. No Maxima, esta propriedade é ainda mais desenvolvida: na verdade, podemos usar qualquer símbolo, independentemente de alguma expressão ser atribuída a ele. Por padrão, um símbolo associado a qualquer expressão representará essa expressão; um símbolo que não está conectado a nada representará a si mesmo, novamente interpretado como uma expressão. Vamos explicar com um exemplo:

Segue-se disso, em particular, que o valor do símbolo nele incluído é automaticamente substituído na expressão somente se esse valor tiver sido atribuído ao símbolo antes da definição da expressão:

Se um símbolo já tem algum significado, podemos usar o próprio símbolo em vez do seu significado numa expressão?

Certamente. Isso pode ser feito utilizando o sinal de apóstrofo - inserido antes de qualquer caractere ou expressão, impede seu cálculo:

O resultado da expressão %i12 seria semelhante se b e y não tivessem valores naquele momento; assim, podemos bloquear com segurança a avaliação de símbolos, mesmo sem lembrar (ou saber) se alguma expressão foi atribuída a eles.

Podemos fazer o mesmo com qualquer função integrada se não quisermos executá-la, mas sim usá-la em nosso contexto matemático. Por exemplo, a função de diferenciação já mencionada pode ser útil para denotar a derivada em uma equação diferencial; neste caso, é claro, não há necessidade de calculá-lo: Graças às características descritas, trabalhar no Maxim, por um lado, torna-se em muitos aspectos semelhante ao tradicional trabalho “manual” com fórmulas matemáticas, o que praticamente elimina a barreira psicológica ao começar a trabalhar com o programa. Por outro lado, mesmo nesta fase inicial você é realmente poupado das tarefas mais rotineiras, como acompanhar os valores atuais dos símbolos, para que você possa se concentrar inteiramente na tarefa em si. É claro que bloquear avaliações não é a única maneira de influenciar como o Maxima avalia uma dada expressão; este processo pode ser controlado de forma bastante flexível.

Assunto: Sistema de comando, cálculos em Maxima.

Alvo: continuar a familiarização com o programa Maxima, familiarizar-se com o sistema de comando Maxima; desenvolver memória, atenção; cultivar uma cultura de informação.

Progresso da lição:

Início organizacional:

Saudações.

Trabalhando com oficiais de plantão.

Início do treinamento repetitivo.

Trabalho individual usando cartões.

Cartão nº 1.

1. O conceito de sistema de cálculo matemático.

   Recursos do sistema cálculos matemáticos.

Cartão nº 2.

1. O conceito de álgebra computacional.

   Características da álgebra computacional.

Pesquisa oral individual.

Conceito máximo. Peculiaridades. Inicie o programa.

Interface Programas Maxima.

Trabalhe na compreensão e domínio do novo material.

Anunciando o tema e o propósito da lição.

Aprendendo novo material.

Inserindo comandos básicos no wxMaxima

Após iniciar o wxMaxima, a janela do programa aparece.

A parte superior gráfica da janela da interface do Maxima informa que a versão 5.14.0 foi baixada, que está distribuída sob a licença GNU, em qual site está disponível e quem é seu pai. Na janela inferior do campo ENTER: Maxima está pronto para aceitar comandos. O separador de comando é um caractere; (ponto e vírgula). Após inserir o comando, você deve pressionar Digite a chave para processá-lo e gerar o resultado.

Em versões anteriores do Maxima e alguns de seus shells (por exemplo, xMaxima), e em versão do console A presença de ponto e vírgula após cada comando é estritamente necessária. Portanto, recomendamos fortemente ao usar o Maxima

não se esqueça de adicionar ponto e vírgula; após cada comando. Caso uma expressão precise ser exibida e não calculada, ela deverá ser precedida de um sinal (") ( citação única). Mas este método não funciona quando a expressão tem um valor explícito,

por exemplo, Maxim trata a expressão sin(π) como zero mesmo na presença de um apóstrofo. A diversidade é difícil de imaginar opções possíveis use Máximas para calcular ou transformar expressões. Em casos difíceis, você pode tentar obter um certificado para Inglês. Para solicitar ajuda, basta escrever no campo ENTER. e pressione Enter.

Designação de comandos e resultados de cálculo

Após entrar, cada comando recebe um número de série. Na figura abaixo, os comandos inseridos são numerados de 1 a 3 e são designados (%i1), (%i2), (%i3) respectivamente. Os resultados dos cálculos possuem um número de série correspondente (%o1), (%o2), etc. Onde "i" é uma abreviatura de inglês. Entrada (entrada) e "o" é inglês. Saída

Este mecanismo permite, ao escrever comandos adicionais, referir-se aos escritos anteriormente, por exemplo (%i1)+(%i2) significará adicionar a expressão do segundo à expressão do primeiro comando, seguido do cálculo do resultado. Você também pode usar números de resultados de cálculos, por exemplo, como este (%o1)*(%o2).

Para o último comando executado no Maxima existe uma notação especial -%.

Exemplo: Calcular a derivada de uma função

no ponto x=1.

O comando (%i9) foi executado e o resultado (%o9) foi obtido. Portanto, o próximo comando (%i10) referia-se ao resultado já obtido, mas especificou o valor da variável x, portanto o comando recebeu a forma (%i10) (%o9), x=1.

Digitar informação numérica

As regras para inserir números no Maxima são exatamente as mesmas de muitos outros programas similares. As partes inteiras e fracionárias das frações decimais são separadas pelo símbolo de ponto. Os números negativos são precedidos por um sinal de menos.

O numerador e o denominador das frações ordinárias são separados pelo símbolo / (barra).

Observe que se o resultado da operação for alguma expressão simbólica, mas você precisar obter um valor específico valor numérico na forma de uma fração decimal, o uso do operador numérico resolverá esse problema. Em particular, permite passar de frações ordinárias para decimais

Aqui o Maxima agiu principalmente por padrão. Ela somou as frações 3/7 e 5/3 exatamente de acordo com as regras da aritmética: encontrou um denominador comum, reduziu as frações a um denominador comum e somou os numeradores. No final ela recebeu

44/21. Só depois que pedimos a ela uma resposta numérica, ela deu uma resposta numérica aproximada, com precisão de 16 dígitos, 2,095238095238095.

Constantes

Maxima possui um número de constantes incorporadas para facilitar o cálculo, as mais comuns são mostradas na tabela a seguir (Tabela 1):

Operações aritméticas

A notação das operações aritméticas no Maxima não é diferente da representação matemática clássica: + – * /.

A exponenciação pode ser denotada de três maneiras: ^, ^^, **. Extrair uma raiz de grau n é escrito como grau ^^(1/n). Vamos relembrar outra operação útil incorporada no Maxima – encontrar o fatorial de um número. Esta operação é indicada por um ponto de exclamação

Por exemplo, 6!=1⋅ 2⋅ 3⋅ 4⋅ 5⋅ 6=120.

Para aumentar a prioridade de uma operação, como em matemática, parênteses () são usados ​​ao escrever comandos para o Maxima.

Variáveis

Variáveis ​​são usadas para armazenar os resultados de cálculos intermediários. Observe que ao inserir os nomes de variáveis, funções e constantes, o caso das letras é importante, portanto as variáveis ​​x e X são duas variáveis ​​diferentes.

A atribuição de um valor a uma variável é feita através do símbolo: (dois pontos), por exemplo x: 5;.

Se for necessário remover o valor de uma variável (limpá-la), então o método kill é usado:

kill (x) – exclui o valor da variável x;

kill (all) – exclui os valores de todas as variáveis ​​usadas anteriormente.

E além disso, o método kill inicia uma nova numeração para comandos executáveis ​​(observe que a resposta ao comando (%i 3) acima foi o número de resposta zero (%o 0) done , e então a numeração dos comandos continuou a partir de um) .

Funções matemáticas

Maxima possui um conjunto bastante grande de funções matemáticas integradas. Aqui estão alguns deles (Tabela 2). Deve-se ter em mente que alguns nomes de funções diferem dos nomes utilizados na literatura nacional: Em vez de tg - tan, em vez de ctg - cot, em vez de arcsin - asin, em vez de arcos - acos, em vez de arctg - atan , em vez de arcctg - acot, em vez de ln - log , em vez de cosec – csc .

Regra para escrever funções

Para escrever uma função, você deve indicar seu nome e, a seguir, escrever os valores dos argumentos entre parênteses, separados por vírgulas. Se o valor do argumento for uma lista, ele será colocado entre colchetes e os elementos da lista também serão separados por vírgulas.

integrar(sin(x),x,-5,5); plot2d(,,);

Funções personalizadas

O usuário pode definir suas próprias funções. Para isso, primeiro indique o nome da função, os nomes dos argumentos são listados entre colchetes, após os sinais: = (dois pontos e igual) há uma descrição da função. Uma vez especificada, a função definida pelo usuário é chamada exatamente da mesma maneira que as funções internas do Maxima.

Traduzindo expressões complexas em notação linear

Uma das tarefas mais difíceis para usuários iniciantes do Maxima é escrever expressões complexas contendo potências, frações e outras construções em forma linear (em forma de texto, usando caracteres ASCII, em uma linha).

Para alívio este processo Vale a pena dar algumas recomendações:

1. Não esqueça de colocar o sinal de multiplicação! Na janela gráfica do Maxima, de acordo com as regras da matemática, o valor duplo da variável x é escrito como 2x, mas na janela ENTER: o comando para o Maxima deve parecer-se com 2*x.

2. Em caso de dúvida é sempre melhor colocar “extra”, parênteses adicionais (). O numerador e o denominador de uma expressão devem sempre estar entre parênteses.

E também ao elevar a potência, é melhor sempre colocar a base e a potência entre colchetes.

3. Uma função não existe separada de seus argumentos (se houver). Portanto, por exemplo, ao elevar a uma potência, você pode pegar a função inteira com argumentos entre colchetes e, em seguida, elevar a construção resultante à potência desejada: (sin (x))**2.

Lembre-se também de que vários argumentos de função são escritos entre parênteses, separados por vírgulas, por exemplo, min(x1,x2,x3,xN);

5. Não é permitido escrever a função sin(2*x) na forma sin*2*x ou sin2x.

6. Se você estiver escrevendo uma expressão complexa, divida-a em vários componentes simples, insira-os separadamente e depois combine-os usando a notação discutida anteriormente para os comandos inseridos.

Exemplo: você deve inserir a seguinte expressão:

Vamos dividir esta expressão em três componentes: o numerador, a expressão entre colchetes e a potência. Vamos anotar cada componente e combiná-los em uma expressão.

Maxima irá simplificar a expressão

rato(expressão). converte uma expressão racional em sua forma canônica. Que

aí abre todos os colchetes, depois traz tudo para um denominador comum, soma e reduz; além disso, reduz todos os números em notação decimal finita a números racionais.

Trabalho de casa:

Stakhin N.A., de 10 a 18, notas de apoio.

Resumo da lição.

Para que se destina o programa Maxima?

Liste os principais elementos da interface do programa Maxima.

Liste os comandos básicos do Maxima.

Você pode baixá-lo gratuitamente conosco nova versão Aplicativo matemático Maxima em russo para Windows XP / Vista / 7/8/10 do servidor ou do site oficial.

Descrição do programa Maxima:

Como o programa realiza cálculos bastante sérios no campo da engenharia e da matemática superior, então para o usuário médioé improvável que seja necessário. Mas os especialistas que realizam cálculos científicos e de engenharia, assim como muitos estudantes, irão apreciar as suas enormes capacidades, a lista de tarefas suportadas e a excelente velocidade de trabalho.

Maxima é um dos aplicativos matemáticos mais poderosos disponíveis atualmente, que possui muitos recursos para calcular um grande número de funções diversas. Além das funções acima, o programa realiza cálculos numéricos de alta precisão usando frações exatas, inteiros e números de ponto flutuante de precisão arbitrária. O sistema permite plotar funções e estatísticas em duas e três dimensões.

Provavelmente, hoje não existe nenhuma área de cálculos matemáticos que este sistema não reconheça.

Interface do programa. Apesar de sua complexidade, é bastante simples. O painel de controle principal possui diversas seções de menu, nas quais são apresentados todos os métodos de cálculos matemáticos. Para começar a trabalhar com cada seção, o usuário precisa inserir a tarefa inicial e o programa exibirá solução ideal no modo automático.

Além disso, em alguns casos é possível obter o resultado na forma de evidências detalhadas com todos os procedimentos descritos e justificativas para aceitação do resultado final.

Maxima é descendente do lendário sistema de álgebra computacional Macsyma, desenvolvido no início dos anos 60 no MIT. É o único sistema baseado em Macsyma ainda disponível publicamente e possui uma comunidade de usuários ativa devido à sua abertura. Ao mesmo tempo, Macsyma revolucionou a álgebra computacional e influenciou muitos outros sistemas, incluindo Maple e Mathematica.

O pacote matemático Maxima é um dos melhores substitutos gratuitos para MathCAD.

Este tutorial (em formato pdf) pode ser usado nas disciplinas de análise matemática, equações diferenciais, pacotes programas aplicativos etc. em diversas especialidades em instituições de ensino superior educação profissional, caso a norma educacional estadual preveja o estudo da seção “Equações Diferenciais”, bem como como parte de disciplinas optativas. Também pode ser útil para introduzir sistemas matemáticos computacionais em aulas especializadas. instituições educacionais com estudo aprofundado de matemática e ciência da computação.

• Prefácio
• Capítulo 1. Noções básicas de trabalho no sistema matemático computacional Maxima
  • 1.1. Sobre o sistema Maxima
  • 1.2. Instalando Maxima em um computador pessoal
  • 1.3. Interface da janela principal do Maxima
  • 1.4. Trabalhando com células no Maxima
  • 1.5. Trabalhando com sistema de ajuda Máxima
  • 1.6. Funções e comandos do sistema Maxima
  • 1.7. Gerenciando o processo de cálculo no Maxima
  • 1.8. Transformações de expressão simples
  • 1.9. Resolvendo equações algébricas e seus sistemas
  • 1.10. Capacidades gráficas
• Capítulo 2. Métodos numéricos para resolver equações diferenciais
  • 2.1. Informações gerais sobre equações diferenciais
  • 2.2. Métodos numéricos para resolver o problema de Cauchy para uma equação diferencial ordinária de primeira ordem
    • 2.2.1. Método de Euler
    • 2.2.2. Método Euler-Cauchy
    • 2.2.3. Método Runge-Kutta 4 ordens de precisão
  • 2.3. Resolvendo problemas de valores de contorno para equações diferenciais ordinárias usando o método de diferenças finitas
  • 2.4. Método de grade para resolver equações diferenciais parciais
• Capítulo 3. Encontrando soluções para equações diferenciais no sistema Maxima
  • 3.1. Funções integradas para encontrar soluções para equações diferenciais
  • 3.2. Resolvendo equações diferenciais e seus sistemas de forma simbólica
  • 3.3. Construção de trajetórias e campos de direção de equações diferenciais.
  • 3.4. Implementação de métodos numéricos para resolução do problema de Cauchy para equações diferenciais ordinárias
    • 3.4.1. Método de Euler
    • 3.4.2. Método Euler-Cauchy
    • 3.4.3. Método Runge-Kutta
  • 3.5. Implementação de um método de diferenças finitas para resolver um problema de valor limite para equações diferenciais ordinárias
  • 3.6. Implementação do método de grade para equações diferenciais parciais
• Tarefas para solução independente
• Literatura

Prefácio

A teoria das equações diferenciais é um dos maiores ramos da matemática moderna. Uma das principais características das equações diferenciais é a conexão direta entre a teoria das equações diferenciais e suas aplicações. Ao estudar qualquer fenômeno físico, o pesquisador, antes de tudo, cria sua idealização matemática ou modelo matemático, escreve de forma matemática as leis básicas que regem esse fenômeno. Muitas vezes estas leis podem ser expressas na forma de equações diferenciais. Estes acabam sendo modelos de vários fenômenos da mecânica contínua, reações químicas, fenômenos elétricos e magnéticos, etc. Ao estudar as equações diferenciais resultantes juntamente com condições adicionais, que, via de regra, são especificadas na forma de condições iniciais e de contorno , o matemático obtém informações sobre o fenômeno ocorrido, às vezes consegue descobrir seu passado e futuro.

Para compilar um modelo matemático na forma de equações diferenciais, via de regra, você precisa conhecer apenas as conexões locais e não precisa de informações sobre todo o fenômeno físico como um todo. Um modelo matemático permite estudar um fenômeno como um todo, prever seu desenvolvimento e fazer avaliações qualitativas medições que ocorrem nele ao longo do tempo. Ondas eletromagnéticas foram descobertas com base na análise de equações diferenciais.

Podemos dizer que a necessidade de resolver equações diferenciais para as necessidades da mecânica, ou seja, de encontrar trajetórias de movimento, por sua vez, foi o impulso para Newton criar um novo cálculo. As aplicações do novo cálculo a problemas de geometria e mecânica foram feitas através de equações diferenciais ordinárias.

Considerando o desenvolvimento moderno equipamento informático e o desenvolvimento intensivo de uma nova direção - matemática computacional - complexos de software chamados sistemas matemáticos computacionais tornaram-se difundidos e procurados.

A matemática computacional é uma nova direção na ciência e na educação que surgiu na intersecção da matemática fundamental, da informação e das tecnologias de computação. Um sistema matemático computacional (SCM) é um conjunto de programas que fornece processamento automatizado, tecnologicamente unificado e em circuito fechado de problemas matemáticos ao especificar condições em uma linguagem especialmente projetada.

Os sistemas matemáticos computacionais modernos são programas com múltiplas janelas interface gráfica, um sistema de ajuda desenvolvido, que facilita seu desenvolvimento e uso. As principais tendências no desenvolvimento do SCM são o crescimento das capacidades matemáticas, especialmente no campo dos cálculos analíticos e simbólicos, uma expansão significativa das ferramentas de visualização para todas as etapas dos cálculos, a utilização generalizada de gráficos 2D e 3D, a integração de vários sistemas entre si e com os outros. programas, amplo acesso à Internet, organização de colaboração em projetos educacionais e científicos na Internet, utilização de ferramentas de animação e processamento de imagens, ferramentas multimídia, etc.

Uma circunstância significativa que até recentemente impedia o uso generalizado de SCM na educação é o alto custo do software matemático científico profissional. No entanto, em ultimamente muitas empresas que desenvolvem e distribuem tais programas apresentam (via Internet - http://www.softline.ru) para uso gratuito versões anteriores de seus programas, utilizam amplamente sistema de descontos para instituições de ensino, distribuem demonstração ou versões de teste programas

Além disso, aparecem análogos gratuitos sistemas matemáticos computacionais, por exemplo, Maxima, Scilab, Octave, etc.

Este tutorial examina as capacidades do sistema matemático computacional Maxima para encontrar soluções para equações diferenciais.

Por que Máxima?

Em segundo lugar, Maxima é um programa para resolver problemas matemáticos tanto em forma numérica como simbólica. A gama de suas capacidades é muito ampla: ações para transformar expressões, trabalhar com partes de expressões, resolver problemas de álgebra linear, análise matemática, combinatória, teoria dos números, análise tensorial, problemas estatísticos, construção de gráficos de funções no plano e no espaço em vários sistemas coordenadas, etc

Terceiro, o Maxima agora possui uma GUI multiplataforma poderosa, eficiente e fácil de usar chamada WxMaxima (http://wxmaxima.sourceforge.net).

Os autores do livro estudam sistemas matemáticos computacionais como Mathematica, Maple, MathCad há dez anos. Portanto, conhecendo as capacidades destes produtos de software, em particular para encontrar soluções para equações diferenciais, quis estudar a questão relacionada com a organização de cálculos em forma simbólica em sistemas matemáticos computacionais distribuídos gratuitamente.

Este manual fala sobre as possibilidades de organização do processo de busca de soluções para equações diferenciais baseadas no sistema Maxima, contém informações gerais na organização do trabalho no sistema.

O manual consiste em 3 capítulos. O primeiro capítulo apresenta aos leitores a interface gráfica wxMaxima do sistema Maxima, os recursos de trabalho nele e a sintaxe da linguagem do sistema. A consideração do sistema começa com onde você pode encontrar a distribuição do sistema e como instalá-la. O segundo capítulo discute perguntas gerais teorias de equações diferenciais, métodos numéricos para sua solução.

O terceiro capítulo é dedicado às funções integradas do sistema matemático computacional Maxima para encontrar soluções para equações diferenciais ordinárias de 1ª e 2ª ordem na forma simbólica. Ainda no terceiro capítulo é mostrada a implementação de métodos numéricos para resolução de equações diferenciais no sistema Maxima. No final do manual existem tarefas para solução independente.

Esperamos que o manual se interesse por uma ampla gama de usuários e que ele se torne seu assistente no domínio de uma nova ferramenta para resolução de problemas matemáticos.

T. N. Gubina, E. V. Andropova
Yelets, julho de 2009

P.S. Início rápido: para executar comandos e funções no mwMaxima, você deve primeiro inserir o comando em si e depois pressionar crtl+Enter.

Operações de análise matemática

Valores

A função sum é usada para encontrar somas. Sintaxe da função:

Soma(expressão, variável, limite inferior de mudança de variável, limite superior de mudança de variável)

Por exemplo:

Se você atribuir o valor da variável de sistema infinito positivo "inf" ao último argumento, isso indicará a ausência de um limite superior e uma soma infinita será calculada. Além disso, uma soma infinita será calculada se você atribuir o valor da variável de sistema infinito negativo "minf" ao argumento "limite inferior de mudança de variável". Os mesmos valores são usados ​​em outras funções de análise matemática.

Por exemplo:

Funciona

Para encontrar produtos finitos e infinitos, use a função produto. Tem os mesmos argumentos da função sum.

Por exemplo:

Limites

Para encontrar limites, use a função limite.

Sintaxe da função:

limite(expressão, variável, ponto de interrupção)

Se o argumento "breakpoint" estiver definido como "inf", isso indicará a ausência de uma borda.

Por exemplo:

Para calcular os limites unilaterais, é utilizado um argumento adicional, que tem o valor positivo para calcular os limites à direita e menos para a esquerda.

Por exemplo, vamos estudar a continuidade da função arctan(1/(x - 4)). Esta função é indefinida no ponto x = 4. Vamos calcular os limites à direita e à esquerda:

Como podemos ver, o ponto x = 4 é um ponto de descontinuidade de primeiro tipo para esta função, pois existem limites à esquerda e à direita, que são iguais a -PI/2 e PI/2, respectivamente.

Diferenciais

A função diff é usada para encontrar diferenciais. Sintaxe da função:

diff(expressão, variável1, ordem derivada para variável1 [,variável2, ordem derivada para variável2,...])

onde a expressão é a função que é diferenciada, o segundo argumento é a variável em relação à qual a derivada deve ser tomada, o terceiro (opcional) é a ordem da derivada (o padrão é de primeira ordem).

Por exemplo:

Em geral, apenas o primeiro argumento é necessário para a função diff. Neste caso, a função retorna o diferencial da expressão. O diferencial da variável correspondente é denotado por del(nome da variável):

Como podemos ver pela sintaxe da função, o usuário tem a oportunidade de definir simultaneamente diversas variáveis ​​de diferenciação e definir a ordem de cada uma delas:

Se você usar uma função paramétrica, a forma de escrita da função muda: após o nome da função são escritos os símbolos ":=", e a função é acessada através de seu nome com um parâmetro:

A derivada pode ser calculada em um determinado ponto. Isso é feito assim:

A função diff também é usada para denotar derivadas em equações diferenciais, conforme discutido abaixo.

Integrais

Para encontrar integrais no sistema, use a função de integração. Para encontrar integral indefinida A função usa dois argumentos: o nome da função e a variável sobre a qual ocorre a integração. Por exemplo:

Se a resposta for ambígua, Maxima pode fazer uma pergunta adicional:

A resposta deve conter o texto da pergunta. EM nesse caso, se o valor da variável y for maior que “0”, será “positivo” (positivo), caso contrário - “negativo” negativo). Neste caso, apenas a primeira letra da palavra poderá ser inserida.

Para encontrar uma integral definida em uma função, argumentos adicionais devem ser especificados: limites da integral:

Maxima também permite limites de integração infinitos. Para fazer isso, os valores "-inf" e "inf" são usados ​​para o terceiro e quarto argumentos da função:

Para encontrar o valor aproximado da integral na forma numérica, conforme observado anteriormente, você deve selecionar o resultado na célula de saída e chamá-lo menu de contexto e selecione o item “To Float” (converta para um número de ponto flutuante).

O sistema também é capaz de calcular integrais múltiplas. Para fazer isso, as funções de integração são aninhadas umas nas outras. A seguir estão exemplos de cálculo de integral dupla indefinida e integral dupla definida:

Soluções de equações diferenciais

Em termos de capacidade de resolução de equações diferenciais, o Maxima é visivelmente inferior, por exemplo, ao Maple. Mas o Maxima ainda permite resolver equações diferenciais ordinárias de primeira e segunda ordem, bem como seus sistemas. Para isso, dependendo da finalidade, são utilizadas duas funções. Para a solução geral de equações diferenciais ordinárias, utiliza-se a função ode2, e para encontrar soluções para equações ou sistemas de equações com base nas condições iniciais, utiliza-se a função desolve.

A função ode2 possui a seguinte sintaxe:

ode2(equação, variável dependente, variável independente);

A função diff é usada para indicar derivadas em equações diferenciais. Mas neste caso, para mostrar a dependência de uma função em seu argumento, ela é escrita como “diff(f(x), x), e a própria função é f(x).

Exemplo. Encontre a solução geral para a equação diferencial ordinária de primeira ordem y" - ax = 0.

Se o valor do lado direito da equação for zero, ele poderá ser totalmente omitido. Naturalmente, o lado direito da equação pode conter uma expressão.

Como você pode ver, ao resolver equações diferenciais, o Maxima utiliza a constante de integração %c, que, do ponto de vista matemático, é uma constante arbitrária determinada a partir de condições adicionais.

Existe outra maneira de resolver uma equação diferencial ordinária, que é mais fácil para o usuário. Para fazer isso, execute o comando Equations > Solve ODE e insira os argumentos da função ode2 na janela Solve ODE.

Maxima permite resolver equações diferenciais de segunda ordem. A função ode2 também é usada para isso. Para denotar derivadas em equações diferenciais, é utilizada a função diff, na qual é adicionado mais um argumento - a ordem da equação: "diff(f(x), x, 2). Por exemplo, a solução para um segundo ordinário- ordem da equação diferencial a·y"" + b·y" = 0 será semelhante a:

Juntamente com a função ode2, você pode usar três funções, cujo uso permite encontrar uma solução sob certas restrições com base na solução geral de equações diferenciais obtidas pela função ode2:

1. ic1 (resultado da função ode2, valor inicial da variável independente na forma x = x 0, valor da função no ponto x 0 na forma y = y 0). Projetado para resolver uma equação diferencial de primeira ordem com condições iniciais.
2. ic2(resultado da função ode2, valor inicial da variável independente na forma x = x 0, valor da função no ponto x 0 na forma y = y 0, valor inicial para a primeira derivada da variável dependente em relação ao variável independente na forma (y,x) = dy 0). Projetado para resolver uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais
3. bc2(resultado da função ode2, valor inicial da variável independente na forma x = x 0, valor da função no ponto x 0 na forma y = y 0, valor final da variável independente na forma x = x n, valor da função no ponto x n na forma y = y n). Projetado para resolver um problema de valor limite para uma equação diferencial de segunda ordem.

A sintaxe detalhada destas funções pode ser encontrada na documentação do sistema.

Vamos resolver o problema de Cauchy para a equação de primeira ordem y" - ax = 0 com a condição inicial y(n) = 1.

Vamos dar um exemplo de resolução de um problema de valor limite para uma equação diferencial de segunda ordem y""+y=x com condições iniciais y(o) = 0; y(4)=1.

Deve-se ter em mente que muitas vezes o sistema não consegue resolver equações diferenciais. Por exemplo, ao tentar encontrar uma solução geral para uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, obtemos:

Nestes casos, o Maxima ou emite uma mensagem de erro (como neste exemplo) ou simplesmente retorna "falso".

Outra opção para resolver equações diferenciais ordinárias de primeira e segunda ordem é projetada para encontrar soluções com condições iniciais. É implementado usando a função desolve.

Sintaxe da função:

resolver(equação diferencial, variável);

Se um sistema de equações diferenciais estiver sendo resolvido ou houver diversas variáveis, então a equação e/ou variáveis ​​são apresentadas na forma de uma lista:

desolve([lista de equações], [variável1, variável2,...]);

Tal como acontece com a versão anterior, a função diff é usada para denotar derivadas em equações diferenciais, que tem a forma “diff(f(x), x).

Os valores iniciais de uma variável são fornecidos pela função atvalue. Esta função possui a seguinte sintaxe:

atvalue(função, variável = ponto, valor no ponto);

Neste caso, prevê-se que os valores das funções e (ou) suas derivadas sejam zero, portanto a sintaxe da função atvalue é:

atvalue(função, variável = 0, valor no ponto "0");

Exemplo. Encontre uma solução para a equação diferencial de primeira ordem y"=sin(x) com a condição inicial.

Observe que mesmo que não haja condição inicial, a função também funcionará e produzirá o resultado:

Isso permite que a solução seja testada para um valor inicial específico. Na verdade, substituindo o valor y(0) = 4 no resultado resultante, obtemos y(x) = 5 - cos(x).

A função desolver permite resolver sistemas de equações diferenciais com condições iniciais.

Vamos dar um exemplo de resolução de um sistema de equações diferenciais com condições iniciais y(0) = 0; z(0) = 1.

Processamento de dados

Análise estatística

O sistema permite calcular estatísticas descritivas estatísticas básicas, com a ajuda das quais são descritas as propriedades mais gerais dos dados empíricos. As estatísticas descritivas básicas incluem média, variância, desvio padrão, mediana, moda, valores máximos e mínimos, faixa de variação e quartis. As capacidades do Maxima nesse aspecto são um tanto modestas, mas a maioria dessas estatísticas são bastante fáceis de calcular com sua ajuda.

A maneira mais fácil de calcular estatísticas descritivas estatísticas é usar a paleta Estatísticas.

O painel contém diversas ferramentas agrupadas em quatro grupos.

1. Indicadores estatísticos (estatísticas descritivas):
   • média (média aritmética);
   • mediana(mediana);
   • variância (variância);
   • desvio (desvio padrão).
2. Testes.
3. Construção de cinco tipos de gráficos:
   • histograma. É usado principalmente em estatísticas para representar séries intervalares de distribuições. Durante sua construção, as partes ou frequências são plotadas ao longo do eixo das ordenadas, e os valores do atributo são plotados no eixo das abcissas;
   • gráfico de dispersão (diagrama de correlação, campo de correlação, gráfico de dispersão) - um gráfico de pontos quando os pontos não se conectam. Usado para exibir dados de duas variáveis, uma das quais é um fator e a outra um resultado. Com a sua ajuda, é realizada uma representação gráfica dos pares de dados na forma de um conjunto de pontos (“nuvens”) no plano de coordenadas;
   • Gráfico de barras - um gráfico em forma de colunas verticais;
   • setor ou gráfico de pizza (gráfico de pizza). Tal diagrama está dividido em vários segmentos-setores, cuja área de cada um é proporcional à sua parte;
   • box plot (caixa com bigode, caixa com bigode, Box Plot, diagrama de caixa e bigode). É o mais utilizado para exibir dados estatísticos. As informações neste gráfico são muito informativas e úteis. Apresenta simultaneamente vários valores que caracterizam as séries de variação: valores mínimos e máximos, média e mediana, primeiro e terceiro quartis.
4. Ferramentas para ler ou criar uma matriz. Para usar as ferramentas da paleta, você deve ter os dados iniciais na forma de uma matriz - uma matriz unidimensional. Você pode criá-lo no documento com a sessão atual e posteriormente substituir seu nome como entrada nas janelas de ferramentas da paleta, da mesma forma que resolve equações usando o painel General Math. Você também pode inserir os dados diretamente nas janelas de entrada de dados de entrada. Nesse caso, são inseridos na forma aceita no sistema, ou seja, entre colchetes e separados por vírgula. É claro que a primeira opção é muito melhor, pois requer apenas uma entrada de dados única.

Além do painel, todas as ferramentas estatísticas também podem ser utilizadas através das funções correspondentes.