Analiza Fourier. Analiza spectrală bazată pe studiul Fourier cu transformată Fourier rapidă
Analiza spectrală
Analiza spectrală este o clasă largă de metode de procesare a datelor bazate pe reprezentarea lor în frecvență sau spectru. Spectrul este obținut prin descompunerea funcției inițiale, care depinde de timp (serie temporală) sau de coordonate spațiale (de exemplu, o imagine), în baza unei anumite funcții periodice. Cel mai adesea, pentru procesarea spectrală, se folosește spectrul Fourier obținut pe baza sinusului (descompunere Fourier, transformată Fourier).
Semnificația principală a transformării Fourier este că funcția inițială neperiodică a unei forme arbitrare, care nu poate fi descrisă analitic și, prin urmare, este dificil de procesat și analizat, este reprezentată ca un set de sinusuri sau cosinusuri cu frecvențe, amplitudini și inițiale diferite. faze.
Cu alte cuvinte, o funcție complexă este transformată în multe altele mai simple. Fiecare undă sinusoidală (sau undă cosinus) cu o anumită frecvență și amplitudine, obținută ca urmare a expansiunii Fourier, se numește componenta spectrală sau armonic. Componentele spectrale se formează Spectrul Fourier.
Vizual, spectrul Fourier este prezentat sub forma unui grafic pe care frecvența circulară, notată cu litera greacă „omega”, este reprezentată de-a lungul axei orizontale, iar amplitudinea componentelor spectrale, de obicei notată cu litera latină A. , este trasat de-a lungul axei verticale Apoi fiecare componentă spectrală poate fi reprezentată ca număr, poziție care corespunde pe orizontală frecvenței sale, iar înălțimea - amplitudinea sa. Se numește o armonică cu frecvență zero componentă constantă(în reprezentarea temporală aceasta este o linie dreaptă).
Chiar și o simplă analiză vizuală a spectrului poate spune multe despre natura funcției pe baza căreia a fost obținută. Este intuitiv clar că schimbările rapide ale datelor inițiale dau naștere la componente în spectrul cu ridicat frecventa, si cele lente - cu scăzut. Prin urmare, dacă amplitudinea componentelor sale scade rapid odată cu creșterea frecvenței, atunci funcția originală (de exemplu, o serie temporală) este netedă, iar dacă spectrul conține componente de înaltă frecvență cu amplitudine mare, atunci funcția originală va conține fluctuații ascuțite. . Astfel, pentru o serie de timp, aceasta poate indica o componentă aleatorie mare, instabilitate a proceselor pe care le descrie sau prezența zgomotului în date.
Procesarea spectrală se bazează pe manipularea spectrului. Într-adevăr, dacă reduceți (suprimați) amplitudinea componentelor de înaltă frecvență și apoi, pe baza spectrului modificat, restabiliți funcția inițială prin efectuarea unei transformări Fourier inverse, atunci aceasta va deveni mai netedă datorită eliminării frecvenței înalte. componentă.
Pentru o serie de timp, de exemplu, aceasta înseamnă eliminarea informațiilor despre vânzările zilnice, care sunt foarte susceptibile la factori aleatori, și lăsarea în urmă a unor tendințe mai consistente, cum ar fi sezonalitatea. Puteți, dimpotrivă, să suprimați componentele de joasă frecvență, care vor elimina modificările lente și vor lăsa doar cele rapide. În cazul unei serii temporale, aceasta va însemna suprimarea componentei sezoniere.
Folosind spectrul în acest fel, puteți obține modificarea dorită a datelor originale. Cea mai obișnuită utilizare este netezirea seriilor temporale prin eliminarea sau reducerea amplitudinii componentelor de înaltă frecvență din spectru.
Pentru a manipula spectrele, se folosesc filtre - algoritmi care pot controla forma spectrului, pot suprima sau spori componentele acestuia. Principal proprietate orice filtra este răspunsul său amplitudine-frecvență (AFC), a cărui formă determină transformarea spectrului.
Dacă un filtru trece doar componente spectrale cu o frecvență sub o anumită frecvență de tăiere, atunci se numește filtru trece-jos (LPF) și poate fi folosit pentru a netezi datele, a le șterge de zgomot și de valori anormale.
Dacă un filtru trece componente spectrale peste o anumită frecvență de tăiere, atunci se numește filtru trece-înalt (HPF). Poate fi folosit pentru a suprima modificări lente, cum ar fi sezonalitatea în seriile de date.
În plus, sunt folosite multe alte tipuri de filtre: filtre mid-pass, filtre band-stop și filtre bandpass, precum și altele mai complexe care sunt utilizate în procesarea semnalului în electronica radio. Selectând tipul și forma răspunsului în frecvență al filtrului, puteți obține transformarea dorită a datelor originale prin procesare spectrală.
Când se efectuează filtrarea în frecvență a datelor în scopul de a netezi și de a elimina zgomotul, este necesar să se specifice corect lățimea de bandă a filtrului trece-jos. Dacă îl selectați prea mare, gradul de netezire va fi insuficient, iar zgomotul nu va fi complet suprimat. Dacă este prea îngust, atunci împreună cu zgomotul, schimbările care aduc informatii utile. Dacă în aplicațiile tehnice există criterii stricte pentru determinarea caracteristicilor optime ale filtrelor, atunci în tehnologiile analitice este necesar să se utilizeze în principal metode experimentale.
Analiza spectrală este una dintre cele mai eficiente și mai bine dezvoltate metode de procesare a datelor. Filtrarea frecventei este doar una dintre numeroasele sale aplicații. În plus, este utilizat în corelație și analiză statistică, sinteza de semnale și funcții, construirea de modele etc.
Orice val de formă complexă poate fi reprezentat ca o sumă de unde simple.
Joseph Fourier a fost dornic să descrie în termeni matematici modul în care căldura trece prin obiectele solide ( cm. Schimb de căldură). Interesul lui pentru căldură s-ar putea să fi fost stârnit în timp ce se afla în Africa de Nord: Fourier l-a însoțit pe Napoleon în expediția franceză în Egipt și a locuit acolo de ceva timp. Pentru a-și atinge scopul, Fourier a trebuit să dezvolte noi metode matematice. Rezultatele cercetării sale au fost publicate în 1822 în lucrarea „Teoria analitică a căldurii” ( Theorie analytique de la chaleur), unde a explicat cum să analizăm problemele fizice complexe prin descompunerea lor într-o serie de altele mai simple.
Metoda de analiză s-a bazat pe așa-numita Seria Fourier. În conformitate cu principiul interferenței, seria începe cu descompunerea unei forme complexe în forme simple - de exemplu, o schimbare a suprafeței pământului este explicată printr-un cutremur, o schimbare a orbitei unei comete este explicată prin influență. a atracției mai multor planete, o modificare a fluxului de căldură se datorează trecerii acesteia printr-un obstacol de formă neregulată din material termoizolant. Fourier a arătat că o formă de undă complexă poate fi reprezentată ca o sumă de unde simple. De regulă, ecuațiile care descriu sistemele clasice pot fi rezolvate cu ușurință pentru fiecare dintre aceste unde simple. Mai mult, Fourier a arătat cum acestea solutii simple poate fi rezumat pentru a obține o soluție la întreaga problemă complexă în ansamblu. (Matematic vorbind, seria Fourier este o metodă de reprezentare a unei funcții ca sumă de armonici - unde sinus și cosinus, motiv pentru care analiza Fourier a fost cunoscută și sub numele de „analiza armonică”.)
Înainte de apariția computerelor la mijlocul secolului al XX-lea, metodele Fourier și genul lor erau cele mai bune arme din arsenalul științific atunci când atacau complexitățile naturii. De la apariția metodelor complexe Fourier, oamenii de știință au putut să le folosească pentru a rezolva nu numai probleme simple care pot fi rezolvate prin aplicarea directă a legilor mecanicii lui Newton și a altor ecuații fundamentale. Multe dintre marile realizări ale științei newtoniene în secolul al XIX-lea ar fi fost de fapt imposibile fără utilizarea metodelor introduse de Fourier. Ulterior, aceste metode au fost folosite pentru a rezolva probleme din diverse domenii - de la astronomie la inginerie mecanică.
Jean-Baptiste Joseph FOURIE
Jean-Baptiste Joseph Fourier, 1768-1830
matematician francez. Născut în Auxerre; la nouă ani a rămas orfan. Deja de mic a dat dovadă de aptitudini pentru matematică. Fourier a fost educat la o școală bisericească și la o școală militară, apoi a lucrat ca profesor de matematică. De-a lungul vieții a fost implicat activ în politică; a fost arestat în 1794 pentru apărarea victimelor terorii. După moartea lui Robespierre a fost eliberat din închisoare; a participat la crearea celebrei Școli Politehnice (Ecole Polytechnique) la Paris; poziția sa i-a oferit o trambulină pentru avansarea sub regimul lui Napoleon. L-a însoțit pe Napoleon în Egipt și a fost numit guvernator al Egiptului de Jos. La întoarcerea în Franța în 1801, a fost numit guvernator al uneia dintre provincii. În 1822 a devenit secretar permanent al Academiei Franceze de Științe, o poziție influentă în lumea științifică franceză.
Mathcad are încorporate instrumente Fast Fourier Transform (FFT) care simplifică foarte mult procedura de analiză spectrală aproximativă.
FFT- algoritm rapid pentru transferul de informații despre o funcție specificată 2 m(m- întreg) probe în domeniul timp, în domeniul frecvenței.
elemente:
Fig.3 Analiza spectrală folosind FFT
Funcţie fft( v )implementează forward FFT returnează forward FFT 2 m-vector dimensional v, Unde v- un vector ale cărui elemente stochează mostre de funcții f(t). Rezultatul va fi un vector O dimensiuni 1 + 2 m- 1 cu elemente complexe - mostre în domeniul frecvenței. De fapt, părțile reale și imaginare ale vectorului sunt coeficienți Fourier un kŞi b k, ceea ce simplifică foarte mult primirea acestora.
Funcţie ifft( v) implementează FFT inversă - returnează FFT inversă a unui vector v cu elemente complexe. Vector v are 1 + 2 m – 1
Filtrare semnale analogice
Ø Filtrarea definiției- separarea unui semnal util de amestecul acestuia cu un semnal de interferență - zgomot. Cel mai comun tip de filtrare este filtrarea în frecvență. Dacă se cunoaște domeniul de frecvență ocupat de semnalul util, este suficient să izolați această zonă și să suprimați acele zone care sunt ocupate de zgomot.
Folosind FFT direct, semnalul zgomotos este convertit din domeniul timpului în domeniul frecvenței, creând un vector f din 64 de componente de frecvență.
Apoi se realizează o transformare a filtrului folosind funcția Heaviside
F (X) - Funcție de trepte grele.
Returnează 1 dacă X 0; altfel 0.
Semnal filtrat (vector g) este supusă unei FFT inversă și produce un vector de ieșire h.
O comparație a dependențelor de timp ale semnalelor sursă și de ieșire arată că semnalul de ieșire repetă aproape complet semnalul de intrare și este în mare parte lipsit de interferențe de zgomot de înaltă frecvență care maschează semnalul util.
Fig.4. Filtrarea semnalelor analogice
Figura 4 ilustrează tehnica de filtrare folosind FFT În primul rând, semnalul original este sintetizat, reprezentat de 128 de eșantioane vectoriale v. Zgomotul este apoi adăugat la acest semnal folosind un generator de numere aleatorii ( funcţie rnd ) și se formează un vector de 128 de mostre ale semnalului zgomotos.
.
Procedura pentru efectuarea lucrărilor de laborator
Sarcina 1. Calculați primele șase perechi de coeficienți ale expansiunii seriei Fourier a funcției f(t) pe segmentul .
Construiți grafice ale armonicii 1, 2 și 3.
Efectuați sinteza armonică a unei funcții f(t) pentru armonicile 1, 2 și 3. Rezultatele sintezei sunt afișate grafic.
Opțiuni de activitate 1
| № | f(t) | Opțiunea nr. | f(t) | Opțiunea nr. | f(t) |
| cos e |sin 3 t| |
Sarcina 2. Efectuați analiza spectrală clasică și sinteza funcției f(t). Afișați grafic spectrele de amplitudini și faze, rezultatul sintezei spectrale a funcției f(t).
Sarcina 3. Efectuați analize spectrale numerice și sinteza de funcții f(t). Pentru a face acest lucru, trebuie să setați funcția originală f(t) discret în 32 de mostre. Afișați grafic spectrele de amplitudini și faze, rezultatul sintezei spectrale a funcției f(t).
Sarcina 4. Efectuați analiza spectrală și sinteza funcției f(t) folosind FFT. Pentru a face acest lucru aveți nevoie de:
· setați funcția inițială f(t) discret în 128 de probe;
efectuați FFT direct folosind funcția fftși afișați grafic spectrele găsite de amplitudini și faze ale primelor șase armonice;
efectuați FFT invers folosind funcția ifftși afișați grafic rezultatul sintezei spectrale a funcției f(t).
Sarcina 5. Funcția de filtrare f(t) folosind FFT:
· sintetiza o functie f(t) sub forma unui semnal util reprezentat de 128 de probe vectoriale v;
la un semnal util v atașați zgomot folosind funcția rnd (rnd(2) - 1) și formează un vector de 128 de mostre ale semnalului zgomotos s;
Convertiți un semnal cu zgomot s din domeniul timpului în domeniul frecvenței utilizând forward FFT (funcția fft). Rezultatul va fi un semnal f din 64 de componente de frecvență;
· efectuați o transformare de filtrare folosind funcția Heaviside (parametrul de filtrare = 2);
folosind funcția ifft efectuați o FFT inversă și obțineți vectorul de ieșire h;
· construiți grafice ale semnalului util v iar semnalul obţinut prin filtrarea semnalului zgomotos s.
Subiectul 1. „Logica propozițională”
Exercita
1. Stabiliți dacă această formulă identic adevărat.
2. Scrieți această afirmație sub forma unei formule de logică propozițională. Construiți negația acestei afirmații sub forma unei formule care nu conține semne externe de negație. Traduceți în limbaj natural.
3. Stabiliți dacă acest raționament este corect (verificați dacă concluzia decurge din conjuncția de premise).
Opțiuni pentru sarcini individuale pe tema LP
Opțiunea #1
3. Dacă o persoană a luat o decizie și este crescută corect, atunci va depăși toate dorințele concurente. Bărbatul a luat o decizie, dar nu a depășit dorințele concurente. Prin urmare, a fost crescut incorect.
Opțiunea nr. 2
2. Plouă și ninge.
3. Dacă acest fenomen este mental, atunci este cauzat de o influență externă asupra corpului. Dacă este fiziologic, atunci se datorează și influențelor externe asupra organismului. Acest fenomen nu este nici mental, nici fiziologic. Prin urmare, nu este cauzată de influențe externe asupra corpului.
Opțiunea #3
2. Este un elev bun sau un sportiv bun.
3. Dacă suspectul a comis furtul, atunci ori a fost pregătit cu grijă, ori a avut complici. Dacă furtul ar fi fost pregătit cu grijă, atunci dacă ar fi fost complici, s-ar fi furat multe. Puțin a fost furat. Aceasta înseamnă că suspectul este nevinovat.
Opțiunea nr. 4
2. Dacă o roată de oțel este încălzită, diametrul acesteia va crește.
3. Dacă prețul titlurilor de valoare crește sau rata dobânzii scade, atunci prețul acțiunilor scade. Dacă rata dobânzii scade, atunci fie prețul acțiunilor nu scade, fie prețul acțiunilor nu crește. Pretul actiunilor scade. În consecință, rata dobânzii scade.
Opțiunea nr. 5
3. Fie martorul nu a fost intimidat, fie, dacă Henry s-a sinucis, atunci nota a fost găsită. Dacă martorul a fost intimidat, atunci Henry nu s-a sinucis. Nota a fost găsită. În consecință, Henry s-a sinucis.
Opțiunea #6
2. Învață la institut sau urmează cursuri de limbi străine.
3. Dacă un filozof este dualist, atunci nu este materialist. Dacă nu este un materialist, atunci este un dialectician sau un metafizician. El nu este un metafizician. Prin urmare, el este un dialectician sau dualist.
Opțiunea nr. 7
2. Este capabil și harnic.
3. Dacă investițiile rămân constante, cheltuielile guvernamentale vor crește sau va apărea șomajul. Dacă cheltuielile guvernamentale nu cresc, impozitele vor fi reduse. Dacă impozitele sunt reduse și investițiile rămân constante, șomajul nu va crește. Şomajul nu va creşte. În consecință, cheltuielile guvernamentale vor crește.
Opțiunea nr. 8
2. Această carte este dificilă și neinteresantă.
3. Dacă datele sursă sunt corecte și programul funcționează corect, atunci se obține rezultatul corect. Rezultatul este incorect. Prin urmare, datele de intrare sunt incorecte sau programul nu funcționează corect.
Opțiunea nr. 9
2. Este atât secerător, cât și suedez și trompetist.
3. Dacă prețurile sunt mari, atunci salariile sunt mari. Prețurile sunt mari sau se aplică controale de preț. Dacă se aplică controlul prețurilor, atunci nu există inflație. Există inflație. Prin urmare, salariile sunt mari...
Opțiunea nr. 10
2. Dacă apa este răcită, volumul acesteia va scădea.
3. Dacă sunt obosit, vreau să merg acasă. Dacă mi-e foame, vreau să merg acasă sau să merg la restaurant. Sunt obosit și foame. De aceea vreau să merg acasă.
Opțiunea nr. 11
2. Dacă un număr se termină cu zero, este divizibil cu 5.
3. Dacă mâine este frig, voi purta o jachetă caldă dacă mâneca este reparată. Mâine va fi frig și manșonul nu va fi reparat. Deci nu voi purta o jachetă caldă.
Opțiunea nr. 12
2. Corpul, lipsit de sprijin, cade la pământ.
3. Dacă ninge, va fi dificil să conduci mașina. Dacă e greu de condus, voi întârzia dacă nu plec devreme. Ninge și voi pleca devreme. Deci nu voi întârzia.
Opțiunea nr. 13
2. Ivan și Peter îl cunosc pe Fedor.
3. Dacă o persoană spune o minciună, atunci se înșală sau îi induce în eroare deliberat pe alții. Omul acesta spune o minciună și clar că nu se înșală. Aceasta înseamnă că în mod deliberat îi induce în eroare pe alții.
Opțiunea nr. 14
2. Această carte este utilă și interesantă.
3. Dacă ar fi fost deștept, și-ar fi văzut greșeala. Dacă ar fi fost sincer, i-ar fi mărturisit. Cu toate acestea, el nu este nici inteligent, nici sincer. În consecință, fie nu își va vedea greșeala, fie nu o va recunoaște.
Opțiunea nr. 15
2. Acest actor joacă în teatru și nu joacă în filme.
3. Dacă o persoană este un materialist, atunci el recunoaște cunoașterea lumii Dacă o persoană recunoaște cunoașterea lumii, atunci nu este un agnostic. Prin urmare, dacă o persoană nu este un materialist consecvent, atunci este un agnostic.
Opțiunea nr. 16
2. Dacă un câine este tachinat, acesta va mușca.
3. Dacă există dreptate în lume, atunci oamenii răi nu pot fi fericiți. Dacă lumea este creația unui geniu rău, atunci oamenii răi pot fi fericiți. Aceasta înseamnă că, dacă există dreptate în lume, atunci lumea nu poate fi creația unui geniu rău
Opțiunea nr. 17
2. Dacă dețineți engleză, te poți descurca cu această treabă.
3. Dacă Ivanov lucrează, atunci primește un salariu. Dacă Ivanov studiază, primește o bursă. Dar Ivanov nu primește un salariu și nici nu primește o bursă. Prin urmare, nu lucrează și nici nu studiază.
Opțiunea nr. 18
2. Dacă funcția este impară, atunci graficul ei este simetric față de origine.
3. Dacă mă duc la culcare, nu voi promova examenul. Dacă învăț noaptea, nici nu dau examenul. Prin urmare, nu voi trece examenul.
Opțiunea nr. 19
2. Dacă un număr este divizibil cu 3, atunci suma cifrelor sale este divizibil cu 3.
3. Dacă mă duc mâine la prima prelegere, va trebui să mă trezesc devreme. Dacă merg seara la o discotecă, mă voi culca târziu. Dacă mă culc târziu și mă trezesc devreme, mă voi simți rău. Prin urmare, trebuie să ratez prima prelegere sau să nu merg la discotecă.
Opțiunea nr. 20
2. Dacă un cuvânt este plasat la începutul unei propoziții, atunci este scris cu majusculă.
3. Dacă x 0 și y 0, atunci x 2 + y 2 > 0. Dacă x= 0 și y= 0, apoi expresia ( x – y):(x + y) nu are sens. Nu este adevărat că x 2 + y 2 > 0. Prin urmare, expresia ( x – y):(x + y).
Opțiunea nr. 21
2. Ivan și Marya se iubesc.
3. Dacă cartea pe care o citesc este inutilă, atunci nu este dificilă. Dacă o carte este dificilă, atunci nu este interesantă. Această carte este complexă și interesantă. Deci este util.
Opțiunea nr. 22
2. Un soldat rău este cel care nu visează să devină general.
3. Dacă mâine plouă, voi purta o haină de ploaie. Dacă bate vânt, voi purta o jachetă. Prin urmare, dacă nu este ploaie și vânt, nu voi purta haină de ploaie sau jachetă.
Opțiunea nr. 23
2. Dacă o serie converge, atunci termenul său comun tinde spre zero.
3. Dacă nu este un laș, atunci va acționa în conformitate cu propriile convingeri. Dacă este sincer, nu este un laș. Dacă nu este sincer, atunci nu își va recunoaște greșeala. Și-a recunoscut greșeala. Deci nu e un laș.
Opțiunea nr. 24
2. Nici Ivan, nici Fedor nu sunt studenți excelenți.
3. Dacă este încăpățânat, atunci poate face greșeli. Dacă este sincer, nu este încăpățânat. Dacă nu este încăpățânat, atunci nu poate să nu greșească și să fie sincer în același timp. Deci nu e încăpăţânat.
Opțiunea nr. 25
2. Ori Ivan, ori Peter îl cunoaște pe Fedor.
3. Dacă salariile sunt plătite la timp, atunci sunt așteptate fie alegeri, fie un protest. Salariul a fost plătit la timp. Nu sunt așteptate alegeri. Aceasta înseamnă că este așteptat un protest.
Opțiunea nr. 26
2. Dacă creați un algoritm și scrieți un program, puteți rezolva această problemă.
3. Dacă o persoană face sport, atunci este sănătoasă. Dacă o persoană este sănătoasă, atunci este fericită. Deci e fericit.
Opțiunea nr. 27
2. Seara vom merge la hochei sau ne vom uita la televizor.
3. Anton este obosit sau bolnav. Dacă este exagerat, se irită. Nu se enervează. De aceea este bolnav.
Opțiunea nr. 28
2. Dacă nu dorm suficient sau mi-e foame, nu pot face mișcare.
3. Dacă o companie este concentrată pe consolidarea marketingului, atunci intenționează să obțină profituri mari prin lansarea de noi produse. Dacă o companie intenționează să-și extindă rețeaua de distribuție, atunci intenționează să obțină profituri mari din creșterea vânzărilor. Compania intenționează să își consolideze marketingul sau își va extinde rețeaua de distribuție. Prin urmare, intenționează să obțină profituri mari.
Opțiunea nr. 29
2. Dacă impozitele nu sunt reduse, micii producători vor da faliment și vor părăsi producția.
3. Contractul va fi indeplinit daca si numai daca casa este finalizata in februarie. Dacă casa este terminată în februarie, atunci ne putem muta în martie. Contractul va fi indeplinit, prin urmare ne putem muta in martie.
Opțiunea nr. 30
2. Dacă echipa noastră nu ocupă primul loc, vom rămâne acasă și ne vom antrena.
3. Programul propus va reuși dacă inamicul este luat prin surprindere sau dacă pozițiile sale sunt prost apărate. Îl poți lua prin surprindere dacă este neglijent. Nu va fi neglijent dacă pozițiile sale sunt prost apărate. Aceasta înseamnă că programul va eșua.
Subiectul 2. Regresia liniară pe perechi
Acest subiect include șase lucrări de laborator dedicate construcției și studiului unei ecuații de regresie liniară de formă
Exemplul 1.1.
Pentru a determina relația dintre producția de cărbune în schimb per muncitor (variabilă Y, măsurată în tone) și grosimea stratului de cărbune (variabilă X, măsurată în metri) au fost efectuate studii la 10 mine, ale căror rezultate sunt prezentate într-un tabel.
| i | ||||||||||
| x i | ||||||||||
| y eu |
Lucrare de laborator nr 1
Calculul coeficienților ecuației LR
Scopul lucrării Calculul coeficienților ecuației de regresie liniară dintr-o probă spațială.
Ratele de calcul. Coeficienții determinați pe baza metodei celor mai mici pătrate sunt soluția sistemului de ecuații
Rezolvând acest sistem de ecuații, obținem
,
Unde m XY– valoarea eșantionului momentului de corelare, determinată de formula:
,
– valoarea eșantionului a variației cantității X, determinată de formula:
Soluţie
Să calculăm acești coeficienți folosind procesorul de foi de calcul Excel. Imaginea prezintă un fragment document Excel, în care:
a) datele din tabel sunt înregistrate;
b) se programează calculul coeficienților sistemului;
c) calculul este programat b 0 , b 1 prin formule.
Rețineți că funcția Excel MEDIE ( gama de celule).
În urma efectuării calculelor programate, obținem
b 0 = –2.75; b 1 = 1.016,
iar ecuația de regresie în sine va lua forma
Exercita. Folosind ecuația de regresie obținută, determinați productivitatea muncii minerului dacă grosimea stratului de cărbune este:
a) 8,5 metri (interpolare de date);
b) 14 metri (extrapolarea datelor).
Orez. 1.Calculul coeficienților de regresie liniară
Lucrare de laborator nr 2
Calculul coeficientului de corelare a probei
Scopul lucrării. Calculul coeficientului de corelație al eșantionului dintr-un eșantion spațial.
Ratele de calcul. Coeficientul de corelație al eșantionului este determinat de relație
Unde 
, 
, .
Soluţie
Fragment de document Excel care calculează valorile: coeficient de corelație
Orez. 2. Calculul coeficientului de corelare
Lucrare de laborator nr 3
Calculul estimărilor varianțelor LR perechi
Scopul lucrării. Calculați estimări pentru variațiile coeficienților b 0 , b 1 ,.
Ratele de calcul. Estimările pentru variațiile coeficienților sunt determinate de formulele:
, 
Unde 
- estimarea dispersiei.
Soluţie. Figura 3 prezintă un fragment dintr-un document Excel în care au fost calculate estimări ale varianței. Rețineți că
· valorile coeficienților sunt preluate din lucrarea de laborator nr. 1 iar celulele (B1, B2) în care sunt amplasate au adresare absolută ($B$1, $B$2) în expresii care calculează valori de regresie;
· valoarea (celula B19) se ia din lucrarea de laborator nr. 1. Se obtin urmatoarele valori:
.
Orez. 3. Calculul estimărilor pentru variațiile coeficienților
Lucrare de laborator nr 4
Funcții Excel pentru coeficienți LR perechi
Scopul lucrării. Calculați coeficienții unei ecuații de regresie liniară dintr-un eșantion spațial folosind funcții Excel.
Iată câteva funcții statistice Excel care sunt utile la construirea regresiei liniare perechi.
Funcția CUT.
SEGMENT( interval_de_valori ; interval_de_valori ).
Funcția TILT. Calculează coeficientul și inversiunea are forma
ÎNCLINAŢIE( interval_de_valori ; interval_de_valori ).
Funcția FORECAST. Calculează valoarea regresiei liniare în perechi pentru o valoare dată a variabilei independente (notat cu ) iar inversarea are forma
PREDICȚIE(; interval_de_valori ;gamă_de_valori_ ).
Funcția STOSYX. Calculează o estimare pentru abaterea standard a perturbațiilor, iar inversarea are forma (YX - litere latine):
STOSHYX( interval_de_valori ; interval_de_valori ).
Soluţie. Este dat un fragment dintr-un document Excel care calculează valorile necesare. Observați utilizarea adresei absolute la calcul.
Orez. 4. Utilizarea funcţiilor Excel
Exercita. Comparați valorile calculate cu valorile obținute în laboratoarele #1 și #3.
Lucrare de laborator nr 5
Construirea unei estimări de interval pentru funcția LR pereche
Scopul lucrării. Construirea unei estimări de interval pentru funcția de regresie 
cu o fiabilitate de g = 0,95, folosind în acest scop ecuația de regresie construită în lucrarea de laborator nr.1.
Ratele de calcul. Estimarea intervalului (interval de încredere) pentru (pentru o valoare dată) cu fiabilitatea (probabilitatea de încredere) egală cu g este determinată de expresie
Estimarea pentru varianța funcției are forma
,
Unde - estimarea dispersiei.
Astfel, două cantități (în funcție de ) și , calculate folosind funcția Excel:
STUDISCOVER().
Soluţie. Vom calcula valorile limitelor inferioare și superioare ale intervalului pentru 
.
Un fragment din documentul care efectuează aceste calcule este prezentat în figură
Fig.5. Construirea unei estimări de interval pentru
Valorile, , (celulele B16:B18) și coeficienții (B1:B2) sunt preluați din lucrările anterioare de laborator. Magnitudine = STUDASCOVER() = 2,31.
Lucrare de laborator nr 6
Verificarea semnificației ecuației LR folosind criteriul Fisher
Scopul lucrării. Conform datelor din tabel, estimați semnificația ecuației de regresie la nivelul a = 0,05
,
construit in lucrarea de laborator nr.1.
Ratele de calcul. O ecuație de regresie pe perechi este semnificativă la nivelul de semnificație a dacă este valabilă următoarea inegalitate:
Unde F g; 1; n-2 – valorile cuantile ale nivelului g F-distribuţii cu numere de grade de libertate k 1 = 1 și k 2 = n – 2.
Pentru a calcula cuantila puteți folosi următoarea expresie
FDISC().
Sumele sunt determinate de expresiile:
,
.
Criteriul este adesea numit Criteriul Fisher sau F-test.
Soluţie. Iată un fragment dintr-un document Excel care calculează valorile Q e, și criteriu F. În coloană D valorile sunt calculate folosind formula. Valorile coeficientului sunt luate din munca de laborator nr. 1.
S-au obţinut următoarele valori: , , . Calcularea cuantilei F 0,95; 1; 8 = 5,32. Inegalitatea este satisfăcută deoarece 24.04 > 5.32 și, prin urmare, ecuația de regresie semnificativ cu nivelul de semnificație a = 0,05.
Orez. 6. Calculul valorii F - criteriu
Subiectul 3 Regresie neliniară pe perechi
Acest subiect include două laboratoare care se concentrează pe construirea unei ecuații de regresie neliniară în perechi. Eșantionul spațial pentru construirea regresiei este luat din exemplul următor.
Exemplu Tabelul prezintă valorile variabilei independente (venitul familiei în mii de ruble) și valorile variabilei dependente (ponderea cheltuielilor cu bunuri de folosință îndelungată ca procent din cheltuielile totale).
| 13.4 | 15.4 | 16.5 | 18.6 | 19.1 |
Lucrare de laborator nr 7
Construirea unei regresii neliniare folosind
Adăugați comenzi Trendline
Scopul lucrării Folosind eșantionarea spațială, este necesar să construiți o ecuație de regresie neliniară a formei folosind comanda „Adăugați linia de tendință” și să calculați coeficientul de determinare.
Comanda „Adăugați linia de tendință”. Folosit pentru a evidenția tendințe (modificări lente) în analiza seriilor temporale.
Cu toate acestea, această comandă poate fi folosită și pentru a construi o ecuație de regresie neliniară, considerând timpul ca variabilă independentă.
Această comandă vă permite să construiți următoarele ecuații de regresie:
liniar
polinom 
();
logaritmică
· putere;
· exponenţial.
Pentru a construi una dintre regresiile enumerate, trebuie să efectuați următorii pași:
Pasul 1.În selectat Foaie Excel introduceți datele sursă pe coloane 
.
Pasul 2. Folosind aceste date, construiți un grafic în sistemul de coordonate carteziene.
Pasul 3. Plasați cursorul pe graficul trasat și faceți clic clic dreapta iar în a apărut meniul contextual executa comanda Adăugați o linie de tendință
Pasul 4.În caseta de dialog care apare, activați fila „Tip” și selectați ecuația de regresie dorită.
Orez. 2.1. Trasarea unui grafic pe baza datelor sursă
Orez. 2.2. Selectarea tipului de ecuație de regresie
Pasul 5. Activați fila „Opțiuni” și „activați” Opțiunile de care avem nevoie sunt:
· „Afișați ecuația pe diagramă” - diagrama va arăta ecuația de regresie selectată cu coeficienții calculați;
Orez. 2.3. Setarea opțiunilor de ieșire a informațiilor
· „Plasați valoarea de fiabilitate a aproximării (R^2) pe diagramă” - diagrama va arăta valoarea coeficientului de determinare (pentru regresie neliniară - indice de determinare), calculată prin formula
· Dacă este necesar să se facă o prognoză pe baza ecuației de regresie construită, atunci trebuie să indicați numărul de perioade de prognoză.
Scopul altor opțiuni este clar din numele lor.
Pasul 6. După ce ați specificat toate opțiunile enumerate, faceți clic pe butonul „OK” și pe diagramă vor apărea formula ecuației de regresie construită și valoarea indicelui de determinare (evidențiat cu umbrire).
Orez. 2.4. Graficul și ecuația regresiei construite
Soluţie.
Construim ecuația folosind pașii descriși mai sus. Obținem ecuația
,
pentru care coeficientul de determinare este egal cu . Această valoare indică o corespondență bună a ecuației construite cu datele originale.
Lucrare de laborator nr 8
Selectarea celei mai bune regresii neliniare
Scopul lucrării. Folosind eșantionarea spațială și comanda „Adăugați linia de tendință”, construiți șase ecuații de regresie neliniară (ecuația polinomială este construită cu și ), determinați pentru fiecare ecuație coeficientul de determinare (valoarea este afișată), coeficientul de determinare redus (valoarea este calculată) și, folosind valoarea maximă, găsiți cea mai bună ecuație de regresie neliniară.
Coeficient de determinare redus. Coeficientul de determinare caracterizează apropierea regresiei construite de datele inițiale, care conțin o componentă aleatorie „nedorită”. Evident, prin construirea unui polinom de ordinul 5 din date, obținem valoarea „ideală”, dar o astfel de ecuație conține nu doar o variabilă independentă, ci o componentă, iar acest lucru reduce acuratețea utilizării ecuației construite pentru prognoză.
Prin urmare, atunci când alegeți o ecuație de regresie, este necesar să luați în considerare nu numai valoarea, ci și „complexitatea” ecuației de regresie, determinată de numărul de coeficienți ai ecuației.
O astfel de contabilitate este implementată cu succes în așa-numitul coeficientul de determinare dat:
,
unde este numărul de coeficienți de regresie calculați. Se poate observa că, la valori constante, o creștere scade valoarea lui . Dacă numărul de coeficienți ai ecuațiilor de regresie comparate este același (de exemplu, ), atunci selecția celei mai bune regresii poate fi efectuată în funcție de valoare. Dacă numărul de coeficienți din ecuațiile de regresie se modifică, atunci o astfel de selecție este adecvată din punct de vedere al valorii.
Soluţie. Pentru a construi fiecare ecuație, efectuăm pașii 2 – 6 (pentru prima ecuație și pasul 1) și plasăm șase ferestre într-un document în care sunt afișate ecuațiile de regresie găsite și valoarea. Apoi introducem formula ecuației în tabel. Apoi, calculăm coeficientul redus de determinare și introducem aceste valori în tabel.
Ca „cea mai bună” ecuație de regresie, alegem ecuația care are cel mai mare coeficient redus de determinare. O astfel de ecuație este o funcție de putere (în tabel, rândul cu această funcție este evidențiat cu gri).
,
având valoare = 0,9901.
| № | Ecuaţie | ||
 | 0.949 | 0.938 | |
| 0.9916 | 0.9895 | ||
| (polinom, ) | 0.9896 | 0.9827 | |
 (polinom, ) | 0.9917 | 0.9792 | |
| | 0.9921 | 0.9901 | |
 | 0.9029 | 0,8786 |
Exercita. Determinați cea mai „proasta” ecuație de regresie pe baza valorii acesteia.
Subiectul 4. Regresia multiplă liniară
Acest subiect include lucrări de laborator dedicate construcției și studiului unei ecuații de regresie multiplă liniară de formă
Eșantionul spațial folosit pentru a construi această ecuație este luat din exemplul următor.
Exemplu Date privind producția de cărbune în schimburi per muncitor (variabilă Y), grosimea rezervorului (variabilă X 1 și nivelul de mecanizare a muncii în mină (variabilă X 2) caracterizarea procesului de extragere a cărbunelui în 10 mine sunt date în tabel. Presupunând că există o relație liniară între variabilele Y, X 1, X 2, este necesar să se găsească o expresie analitică pentru această relație, i.e. construiți o ecuație de regresie liniară.
| Numărul meu i | x i 1 | x i 2, adică matrice a) contact Funcția Master și selectați categoria de funcție dorită, apoi specificați numele funcției și setați intervalele de celule corespunzătoare, b) introduceți numele funcției de la tastatură și setați intervalele corespunzătoare de celule. Transpunerea matricei efectuate cu ajutorul funcției TRANSPORT (categoria de funcții – Legături și matrice TRANSPA ( gama de celule), unde este parametrul gama de celule specifică toate elementele matricei (sau vectorului) care trebuie transpuse. Înmulțirea matricei efectuate cu ajutorul funcției MULTIPLE (categoria de funcții – Matematic).Apelul la funcție are forma: MUMNO( interval_1;gamă_2), unde este parametrul interval_1 specifică elementele primei dintre matricele multiplicate și parametrul interval_2 – elemente ale celei de-a doua matrice. În acest caz, matricele care se înmulțesc trebuie să aibă dimensiunile corespunzătoare (dacă prima matrice este, a doua este , atunci rezultatul va fi matricea ). Inversarea matricei (calculul matricei inverse) se realizează cu ajutorul funcției MOBR (categoria de funcții – Matematic). Apelul la funcție arată astfel: MOBR ( gama de celule), unde este parametrul gama de celule specifică toate elementele matricei inversabile, care trebuie să fie pătrate și nedegenerate. Când utilizați aceste caracteristici Trebuie urmată următoarea procedură: · selectați un fragment de celulă, în care se va introduce rezultatul executării funcțiilor matriceale (în acest caz, este necesar să se țină cont de dimensiunile matricelor originale); · introduceți o expresie aritmetică, care conține un acces la matrice Funcții Excel; · apăsați simultan tastele. Dacă acest lucru nu se face, atunci va fi calculat un singur element matricea sau vectorul rezultat. Modul de regresie a modulului Analiza datelor. Foaia de calcul Excel conține un modul Analiza datelor. Acest modul vă permite să efectuați analize statistice a datelor eșantionului (construcția histogramelor, calculul caracteristicilor numerice etc.). Mod de operare Regresia Acest modul calculează coeficienți de regresie multiplă liniară cu variabile, construiește intervale de încredere și testează semnificația ecuației de regresie. Pentru a apela modul Regresia modul Analiza datelor necesar: · accesați elementul de meniu Serviciu; · în meniul care apare, executați comanda Analiza datelor; · în lista modurilor de operare ale modulelor Analiza datelor selectați modul Regresiași faceți clic pe butonul Bine . După apelarea modului Regresia Pe ecran apare o casetă de dialog în care sunt setați următorii parametri: 1. Interval de intrare Y – se introduce un interval de adrese de celule care conțin valori (celulele trebuie să formeze o singură coloană).
Orez. 3.2. Caseta de dialog pentru modul de regresie 2. Intervalul de intrare X – este introdus un interval de adrese de celule care conține valorile variabilelor independente. Valorile fiecărei variabile sunt reprezentate într-o coloană. Numărul de variabile nu este mai mare de 16 (adică ). 3. Etichete – activată dacă primul rând din intervalul de intrare conține un titlu. În acest caz, numele standard vor fi create automat. 4. Nivelul de fiabilitate – Activarea acestei opțiuni specifică fiabilitatea la construirea intervalelor de încredere. 5. Constant-zero– când acest parametru este activat, coeficientul este . 6. Interval de ieșire – când este pornit, este activat un câmp în care trebuie să introduceți adresa celulei din stânga sus a intervalului de ieșire, care conține celule cu rezultatele calculelor modului Regresia. 7. Noua fișă de lucru – când această opțiune este activată, se deschide frunză nouă, în care, pornind de la celula A1, sunt introduse rezultatele modului Regresia. 8. Caiet nou de lucru- la activarea acestui parametru, se deschide o noua carte pe prima foaie din care, incepand din celula A1, se insera rezultatele modului Regresia. 9. Resturi – când este inclusă, se calculează coloana care conține reziduurile 10. Solduri standardizate – când este activată, se calculează o coloană care conține reziduurile standardizate. După acest mod Regresia iar în caseta de dialog vom seta parametrii necesari. Rețineți că, datorită „lățimii” mari a tabelelor în care sunt afișate rezultatele modului regresie, Unele dintre rezultate sunt plasate în alte celule. Să oferim o scurtă interpretare a indicatorilor ale căror valori sunt calculate în modul Regresia. Mai întâi, să ne uităm la indicatorii uniți prin nume Statistici de regresie(vezi Fig. 3.3). Multiplu - rădăcina pătrată a coeficientului de determinare. pătrat– coeficientul de determinare.
Orez. 3.3. Rezultatele modului de regresie Normalizat pătrat– coeficient redus de determinare (vezi formula (2.1)). Eroare standard– estimare pentru abaterea standard. Observatii– numărul de observații. Secțiunea Prezentare generală introductivă discută două foarte exemple simple(preluat din Shumway, 1988) pentru a ilustra natura analizei spectrale și a interpretării rezultatelor. Dacă nu sunteți familiarizat cu această metodă, este recomandat să vă uitați mai întâi la această secțiune a acestui capitol. Revizuire și fișier de date. Fișierul Sunspot.sta conține o parte din numerele cunoscute ale petelor solare (Wolfer) din 1749 până în 1924 (Anderson, 1971). Mai jos este o listă cu primele câteva date din fișierul exemplu. Se presupune că numărul de pete solare afectează vremea de pe pământ, precum și agricultura, telecomunicațiile etc. Folosind această analiză, se poate încerca să afle dacă activitatea petelor solare este într-adevăr de natură ciclică (de fapt, aceste date sunt discutate pe larg în literatură; vezi, de exemplu, Bloomfield, 1976 sau Shumway, 1988). Definiţia analizei. După rularea analizei, deschideți fișierul de date Sunspot.sta. Faceți clic pe butonul Variabile și selectați variabila Spots (rețineți că, dacă fișierul de date Sunspot.sta este cel curent deschide fișierul date, iar variabila Spots este singura variabilă din acest fișier, apoi când se deschide caseta de dialog Analiza serii temporale, Spots va fi selectat automat). Acum faceți clic pe butonul de analiză Fourier (spectrală) pentru a deschide caseta de dialog de analiză Fourier (spectrală).
Înainte de a aplica analiza spectrală, trasați mai întâi numărul de pete solare. Rețineți că fișierul Sunspot.sta conține anii corespunzători ca nume de observație. Pentru a utiliza aceste nume în grafice cu linii, faceți clic pe fila Vizualizare serie și selectați Nume cazuri în secțiunea Puncte de etichetare. De asemenea, selectați Setează manual scara axei X și Min. = 1 și Pasul = 10. Apoi faceți clic pe butonul Grafic de lângă butonul Vizualizare selecție. variabilă.
Numărul de pete solare pare să urmeze un model ciclic. Tendința nu este vizibilă, așa că reveniți la fereastra Analiză spectrală și deselectați opțiunea Eliminare tendință liniară din grupul Transform Source Series. Este evident că media seriei este mai mare decât 0 (zero). Prin urmare, lăsați opțiunea Scădere medie selectată [altfel parodograma va fi „înfundată” cu un vârf foarte mare la frecvența 0 (zero)]. Acum sunteți gata să începeți analiza. Acum faceți clic pe OK (Analiza Fourier unidimensională) pentru a afișa caseta de dialog Rezultatele analizei spectrale Fourier.
Vedeți rezultatele. Secțiunea de informații din partea de sus a casetei de dialog arată câteva statistici rezumate pentru serie. De asemenea, arată cele cinci vârfuri cele mai mari ale parodogramei (după frecvență). Cele mai mari trei vârfuri sunt la frecvențele 0,0852, 0,0909 și 0,0114. Aceste informații sunt adesea utile atunci când se analizează serii foarte mari (de exemplu, cu mai mult de 100.000 de observații) care nu sunt ușor de reprezentat pe un singur grafic. În acest caz, însă, este ușor să vezi valorile parogramei; făcând clic pe butonul Periodogramă din secțiunea Periodogramă și grafice de densitate spectrală.
Graficul parodogramei arată două vârfuri clare. Maximul este la o frecvență de aproximativ 0,9. Reveniți la fereastra Rezultatele analizei spectrale și faceți clic pe butonul Rezumat pentru a vedea toate valorile periodogramei (și alte rezultate) în tabelul cu rezultate. Mai jos este o porțiune din tabelul de rezultate cu cel mai mare vârf identificat din periodogramă.
După cum sa discutat în secțiunea de revizuire introductivă, frecvența este numărul de cicluri pe unitatea de timp (unde fiecare observație este o unitate de timp). Astfel, Frecvența 0,0909 corespunde valorii a 11 Perioade (numărul de unități de timp necesare pentru ciclu complet). Deoarece datele privind petele solare din Sunspot.sta reprezintă observații anuale, se poate concluziona că există un ciclu distinct de 11 ani (poate puțin mai lung decât 11 ani) în activitatea petelor solare. Densitatea spectrală. De obicei, pentru a calcula estimările densității spectrale, parodograma este netezită pentru a elimina fluctuațiile aleatorii. Tipul mediei mobile ponderate și lățimea ferestrei pot fi selectate în secțiunea Ferestre spectrale. Secțiunea Prezentare generală introductivă discută aceste opțiuni în detaliu. Pentru exemplul nostru, să lăsăm fereastra implicită selectată (lățimea Hamming 5) și să selectăm graficul Densitate spectrală.
Cele două vârfuri sunt acum și mai distincte. Să ne uităm la valorile periodogramei în funcție de perioadă. Selectați câmpul Perioadă din secțiunea Program. Acum selectați graficul densității spectrale.
Din nou se poate observa că există un ciclu pronunțat de 11 ani în activitatea petelor solare; Mai mult, există semne ale existenței unui ciclu mai lung, de aproximativ 80-90 de ani. |
TRANSFORMA FOURIER SI ANALIZA SPECTRALA DIGITALA CLASICA. Introducere Analiza spectrală este una dintre metodele de procesare a semnalului care vă permite să caracterizați compoziția de frecvență a semnalului măsurat. Transformarea Fourier este un cadru matematic care leagă un semnal temporal sau spațial (sau un model al acelui semnal) cu reprezentarea în domeniul frecvenței sale. Metodele statistice joacă un rol important în analiza spectrală, deoarece semnalele, de regulă, sunt aleatorii sau zgomotoase în timpul propagării sau măsurării. Dacă caracteristicile statistice de bază ale unui semnal ar fi cunoscute cu precizie sau ar putea fi determinate dintr-un interval finit al acestui semnal, atunci analiza spectrală ar reprezenta o ramură a „științei exacte”. Cu toate acestea, în realitate, dintr-un segment de semnal se poate obține doar o estimare a spectrului său. Prin urmare, practica analizei spectrale este un fel de meșteșug (sau artă?) de natură destul de subiectivă. Diferența dintre estimările spectrale obținute ca urmare a procesării aceluiași segment de semnal prin metode diferite poate fi explicată prin diferența în ipotezele făcute cu privire la date, în diverse moduri ,
(1) Să discutăm pe scurt diferitele tipuri de transformată Fourier (pentru mai multe detalii, vezi).
Conversie inversă
O condiție suficientă mai puțin restrictivă este caracterul finit al energiei semnalului
Să prezentăm mai jos o serie de proprietăți de bază ale transformării Fourier și funcțiile utilizate, observând că o fereastră dreptunghiulară este definită de expresia
Funcția de eșantionare în domeniul timp este dată de
O altă proprietate importantă este stabilită de teorema lui Parseval pentru două funcții g(t) și h(t):
Dacă punem g(t) = h(t), atunci teorema lui Parseval se reduce la teorema energiei
Expresia (9) este, în esență, pur și simplu o formulare a legii conservării energiei în două domenii (timp și frecvență). În (9) din stânga este energia totală a semnalului, deci funcția
descrie distribuția de frecvență a energiei pentru un semnal determinist h(t) și de aceea se numește densitate de energie spectrală (SED). Utilizarea expresiilor
spectrele de amplitudine și fază ale semnalului h(t) pot fi calculate. Operații de prelevare și ponderare În secțiunea următoare, vom introduce seria Fourier în timp discret (DTFS) sau, altfel, transformata Fourier discretă (DFT) ca un caz special al transformării Fourier în timp continuu (CTFT) folosind două operatii de baza procesarea semnalului - prelevarea de mostre ( prelevarea de probe) Și cântărind folosind o fereastră. Aici luăm în considerare influența acestor operații asupra semnalului și transformarea acestuia. Tabelul 2 enumeră funcțiile care efectuează ponderare și eșantionare. Pentru citiri uniforme cu un interval de T secunde, frecvența de eșantionare F este egală cu 1/T Hz. Rețineți că funcția de ponderare și funcția de eșantionare în domeniul timpului sunt desemnate TW (eșantionare în timp) și, respectiv, TS (eșantionare în timp), iar în domeniul frecvenței - FW (eșantionare în frecvență) și FS (eșantionare în frecvență).
Să presupunem că sunt luate mostre ale unui semnal real continuu x(t) cu un spectru limitat, a cărui frecvență superioară este egală cu F0. NVFT a unui semnal real este întotdeauna o funcție simetrică cu o lățime completă de 2F0, vezi Fig. 1.
Fig. 1 - ilustrare a teoremei de eșantionare în domeniul timpului pentru un semnal real cu spectru limitat:
Convoluția lui X(f) cu transformata Fourier a funcției eșantionului F (TS)=Y1/T(f) continuă pur și simplu periodic X(f) cu un interval de frecvență de 1/T Hz. Prin urmare, XS(f) este un spectru extins periodic al lui X(f). În general, eșantioanele dintr-un domeniu (de exemplu, timp) conduc la continuarea periodică în domeniul transformării (de exemplu, frecvența). Dacă rata de eșantionare este selectată suficient de scăzută (F< 2Fo), то периодически продолженные
спектры будут перекрываться с соседними. Это перекрытие носит название
эффекта наложения в частотной области.
Ca rezultat (vezi Fig. 1 d), transformata Fourier originală este restaurată. . (15) Folosind teoreme de convoluție în domeniile timp și frecvență, obținem Expresia (15) este o notație matematică teoreme de eșantionare în domeniul timpului (teorema lui Whittaker, Kotelnikov, Shannon - UKSH), care afirmă că folosind formula de interpolare (15) un semnal real cu un spectru limitat poate fi restabilit cu precizie prin număr infinit eșantioane de timp cunoscute prelevate cu frecvența F = 2F0. Dualul la Teorema (15) este teorema eșantioane din domeniul frecvenței , (16) Operațiile din domeniul timpului, similare cu (14), sunt descrise de expresie
iar transformările corespunzătoare sunt expresii Astfel, NVPF X(f) al unui semnal cu o durată limitată poate fi restabilit fără ambiguitate din eșantioane echidistante ale spectrului unui astfel de semnal dacă intervalul de eșantionare a frecvenței selectat satisface condiția F1/2T 0 Hz, unde T 0 este semnalul. durată. Relații între transformări continue și discrete O pereche de transformări pentru definiția convențională a transformării Fourier discrete în N puncte (DFT) succesiune temporală Secvențe de transformată Fourier X[k] este dat de expresiile
Pentru a obține estimări spectrale din eșantioane de date în unitățile corespunzătoare de energie sau putere, scriem o serie Fourier în timp discret (DTFS), care poate fi considerată ca o aproximare a transformării Fourier în timp continuu (CTFT), bazată pe utilizarea unui număr finit de eșantioane de date:
Pentru a arăta natura conformității cu DVRF ( discret funcții atât în domeniile timp cât și în frecvență) și CVDF-uri (funcții continue în domeniile timp și frecvență), avem nevoie de o succesiune de patru operații comutative liniare: ponderare în domeniile timp și frecvență și prelevare sau prelevare de probe atât în domeniul timpului cât și al frecvenței. Dacă în una dintre aceste regiuni se efectuează o operație de ponderare, atunci, conform teoremei de convoluție, aceasta va corespunde unei operații de filtrare (convoluție) într-o altă regiune cu funcția sinc.
În mod similar, dacă discretizarea este efectuată într-o regiune, atunci se efectuează o operație de continuare periodică în alta. Deoarece cântărirea și prelevarea probelor sunt operații liniare și comutative, sunt posibile diverse moduri de ordonare a acestora, dând același rezultat final cu rezultate intermediare diferite. Figura 2 prezintă două secvențe posibile pentru efectuarea acestor patru operații.
(22)
Deci DVFT este pur și simplu transformarea Z calculată pe cercul unitar și înmulțită cu T.
unde k=-N/2, . . . ,N/2-1
unde n=0, . . . ,N-1 ,
și caracterizează energia unei secvențe de N eșantioane de date. Ambele secvențe x[n] și X[k] sunt periodice modulo N, deci (28) poate fi scrisă sub forma
unde 0 n N. Factorul T din (27) - (30) este necesar astfel încât (27) și (28) să fie de fapt o aproximare a transformării integrale în domeniul integrării
Zero umplutură Printr-un proces numit umplutură cu zerouri, seria Fourier în timp discret poate fi modificată pentru a interpola între N valori ale transformării originale. Fie ca eșantioanele de date disponibile x,...,x să fie completate cu valori zero x[N],...X. DVRF-ul acestei secvențe de date cu 2N puncte va fi dat de
(32) unde limita superioară a sumei din dreapta este modificată pentru a găzdui prezența datelor nule. Fie k=2m, deci
unde m=0,1,...,N-1, definește valorile pare ale lui X[k]. Acest lucru arată că pentru valorile pare ale indicelui k, seria Fourier în timp discret în 2N puncte este redusă la o serie în timp discret în N puncte. Valorile impare ale indicelui k corespund valorilor DVRF interpolate situate între valorile DVRF-ului original în N-puncte. Pe măsură ce se adaugă tot mai multe zerouri la secvența originală cu N puncte, pot fi obținute și mai multe date interpolate. În cazul limită al unui număr infinit de zerouri de intrare, DVRF poate fi considerată ca o transformată Fourier în timp discret a unei secvențe de date în N puncte:
Transformarea (34) corespunde nodului 6 din Fig. 2.
Fig.3.
Se poate arăta că durata echivalentă a unei ferestre (sau a oricărui alt semnal) și lățimea de bandă echivalentă a transformării acesteia sunt mărimi reciproc inverse: TeBe=1. Transformată Fourier rapidă Transformarea Fourier rapidă (FFT) nu este un alt tip de transformată Fourier, ci numele unui număr de efective algoritmi, conceput pentru calcularea rapidă a seriilor Fourier în timp discret. Principala problemă care apare în implementarea practică a DVRF constă în numărul mare de operații de calcul proporțional cu N2. Deși cu mult înainte de apariția computerelor au fost propuse mai multe scheme de calcul eficiente care ar putea reduce semnificativ numărul de operații de calcul, o adevărată revoluție s-a făcut prin publicarea în 1965 a unui articol de Cooly și Tukey cu un algoritm practic pentru rapid (număr de operații). Nlog 2 N) calcule ale DVRF . După aceasta, au fost dezvoltate multe variante, îmbunătățiri și completări la ideea de bază, constituind o clasă de algoritmi cunoscută sub numele de transformată Fourier rapidă. Ideea de bază a FFT este de a împărți un DVRF în N-puncte în două sau mai multe DVRF-uri mai mici, fiecare dintre acestea putând fi calculate separat și apoi însumate liniar cu celelalte pentru a obține DVRF-ul secvenței originale de N-puncte.
unde valoarea W N =exp(-j2 /N) se numește factor de întoarcere (în continuare în această secțiune, perioada de eșantionare este T=1). Să selectăm elemente cu numere pare și impare din șirul x[n]
Dar de atunci , (37) unde fiecare termen este o transformare de lungime N/2 (38) Rețineți că secvența (WN/2) nk este periodică în k cu perioada N/2. Prin urmare, deși numărul k din expresia (37) ia valori de la 0 la N-1, fiecare dintre sume este calculată pentru valorile lui k de la 0 la N/2-1. Este posibil să se estimeze numărul de operații complexe de înmulțire și adunare necesare pentru a calcula transformata Fourier în conformitate cu algoritmul (37)-(38). Două transformări Fourier în N/2 puncte conform formulelor (38) implică efectuarea a 2(N/2) 2 înmulțiri și aproximativ același număr de adunări. Combinarea a două transformări în N/2 puncte folosind formula (37) necesită încă N înmulțiri și N adunări. Prin urmare, pentru a calcula transformata Fourier pentru toate N valorile lui k, este necesar să se efectueze N+N 2 /2 înmulțiri și adunări. În același timp, calculul direct folosind formula (35) necesită înmulțiri și adunări cu N 2. Deja pentru N>2 inegalitatea N+N 2 /2 este satisfăcută< N 2 , и, таким образом, вычисления по алгоритму (37)-(38) требуют меньшего числа математических операций по сравнению с прямым вычислением преобразования Фурье по формуле (35). Так как вычисление N-точечного преобразования Фурье через два N/2-точечных приводит к экономии вычислительных операций, то каждое из N/2-точечных ДПФ следует вычислять путем сведения их к N/4-точечным преобразованиям: ,
(39)
(41) unde „transformările într-un punct” X 1 sunt pur și simplu mostre ale semnalului x[n]: X1 = x[q]/N, q=0,1,...,N-1. (42) Ca rezultat, putem scrie algoritmul FFT, care din motive evidente se numește : algoritm de subțiere a timpului X 2 = (x[p] + W k 2 x) / N, unde k=0,1, p=0,1,...,N/2-1; X 2N/M =X N/M + W k 2N/M X N/M , unde k=0,1,...,2N/M-1, p=0,1,...,M/2-1; X[k] = X N [k] =X N/2 + W k N X N/2 , (43) unde k=0,1,...,N-1 Procese aleatorii și densitate spectrală de putere Un proces aleator discret x poate fi considerat ca o anumită mulțime, sau ansamblu, de secvențe de timp (sau spațiale) discrete reale sau complexe, fiecare dintre acestea putând fi observată ca rezultat al unui experiment (n este indicele de timp, i este numărul de observație). Secvența obținută ca urmare a uneia dintre observații va fi notată cu x[n]. Operația de mediere asupra ansamblului (de ex. mediere statistică) vor fi notate de către operator<>. Astfel, Un proces aleatoriu se numește staționar în în sens larg, dacă valoarea medie a acestuia este constantă (independentă de timp), iar autocorelația depinde doar de diferența de indici de timp m=n1-n2 (decalare în timp sau întârziere între eșantioane). Astfel, un proces aleator discret staționar x[n] este caracterizat de o valoare medie constantă r xx [m] =< xx*[n] >. (44) Să remarcăm următoarele proprietăți ale transmisiei automate: r xx |r xx [m]| , r xx [-m] = r* xx [m] , (45)
Densitatea spectrală de putere (PSD) este definită ca transformată Fourier în timp discret (DTFT) a unei secvențe de autocorelare
PSD, a cărui lățime se presupune a fi limitată la ±1/2T Hz, este o funcție periodică a frecvenței cu o perioadă de 1/T Hz. Funcția PSD descrie distribuția de frecvență a puterii unui proces aleatoriu. Pentru a confirma numele ales pentru acesta, luați în considerare DVFT invers
calculat la m=0 Autocorelația la deplasarea zero caracterizează proces aleatoriu. Conform (48), aria de sub curba P xx (f) caracterizează puterea medie, deci P xx (f) este o funcție de densitate (putere pe unitate de frecvență) care caracterizează distribuția de frecvență a puterii. Perechea de transformări (46) și (47) sunt adesea numite Teorema Wiener-Khinchin
pentru cazul timpului discret. Deoarece r xx [-m]=r* xx [m], atunci PSD trebuie să fie o funcție pozitivă strict reală. Dacă ACP este o funcție strict reală, atunci r xx [-m]=r xx [m] și PSD poate fi scris sub forma transformării cosinus Fourier
. Proprietatea care permite efectuarea unei astfel de înlocuiri se numește ergodicitate. Se spune că un proces aleatoriu este ergodic dacă, cu o probabilitate egală cu unu, toate caracteristicile sale statistice pot fi prezise dintr-o implementare din ansamblu folosind media timpului. Cu alte cuvinte, mediile de timp ale aproape tuturor implementărilor posibile ale procesului converg cu probabilitatea unu la aceeași valoare constantă - media ansamblului
(51) În mod similar, observând valoarea produsului probelor de proces x[n] în două momente în timp, se poate aștepta ca valoarea medie să fie egală cu . (52) Această formă echivalentă a PSD se obține prin media statistică a modulului DVFT al setului de date ponderat împărțit la lungimea înregistrării de date, pentru cazul în care numărul de eșantioane crește la infinit.
Medierea statistică este necesară aici deoarece DVFT în sine este o variabilă aleatorie care se modifică pentru fiecare realizare a lui x[n]. Pentru a arăta că (52) este echivalentă cu teorema Wiener-Khinchin, reprezentăm pătratul modulului DVFT ca produs a două serii și schimbăm ordinea operațiilor de însumare și mediere statistică: , (54)
relația (53) poate fi redusă la următoarele:
Rețineți că în ultima etapă a derivației (55) a fost utilizată ipoteza că secvența de autocorelație „decade”, astfel încât
Dacă în expresia (52) nu luăm în considerare operația de așteptare matematică, obținem estimarea SPM care se numeste.
spectrul eșantionului Orez. 4. Relația dintre două metode de estimare a densității spectrale de putere Metoda periodogramei de estimare spectrală Mai sus am introdus două metode formale echivalente pentru determinarea densității spectrale de putere (PSD). Metoda indirectă se bazează pe utilizarea unei secvențe infinite de date pentru a calcula o secvență de autocorelare, a cărei transformată Fourier dă PSD-ul dorit. Metoda directă pentru determinarea PSD se bazează pe calcularea modulului pătrat al transformării Fourier pentru o secvență infinită de date folosind o medie statistică adecvată. PSD obținut fără o astfel de mediere se dovedește a fi nesatisfăcător, deoarece eroarea pătratică medie a unei astfel de estimări este comparabilă cu valoarea medie a acesteia. Acum vom lua în considerare metodele de mediere care oferă estimări spectrale netede și stabile statistic pentru un număr finit de eșantioane. Estimările SPD bazate pe transformarea directă a datelor și media ulterioară se numesc periodograme. Se numesc estimări PSD, pentru care estimările de corelație sunt mai întâi formate din datele inițiale. Atunci când folosește orice metodă de estimare PSD, utilizatorul trebuie să ia multe decizii de compromis pentru a obține estimări spectrale stabile statistic cu cea mai mare rezoluție posibilă dintr-un număr finit de eșantioane. Aceste compromisuri includ, dar nu se limitează la, alegerea ferestrei pentru ponderarea datelor și estimările de corelare și parametrii de mediere în domeniul timp și în domeniul frecvenței care echilibrează cerințele de reducere a lobilor laterali datorită ponderării, efectuării unei medii eficiente și oferind o rezoluție spectrală acceptabilă. În fig. Figura 5 prezintă o diagramă care prezintă etapele principale parodogramă
Orez. 5. Principalele etape ale estimării PSD prin metoda parogramei
Aplicarea metodei începe cu colectarea a N eșantioane de date, care sunt prelevate la un interval de T secunde per probă, urmate de un pas (opțional) de detendință. Pentru a obține o estimare spectrală stabilă din punct de vedere statistic, datele disponibile trebuie împărțite în segmente suprapuse (dacă este posibil) și apoi mediatizate spectrele de eșantion obținute pentru fiecare astfel de segment. Parametrii acestei medieri sunt modificați prin selectarea adecvată a numărului de eșantioane pe segment (NSAMP) și a numărului de eșantioane cu care trebuie deplasat începutul următorului segment (NSHIFT), vezi Fig. 6. Numărul de segmente este selectat în funcție de gradul de netezime (dispersie) necesar al estimării spectrale și de rezoluția spectrală necesară. O valoare mică pentru parametrul NSAMP are ca rezultat mai multe segmente peste care se va efectua medierea și, prin urmare, se vor obține estimări cu varianță mai mică, dar și rezoluție de frecvență mai mică. Creșterea lungimii segmentului (parametrul NSAMP) crește rezoluția, în mod natural datorită creșterii varianței estimării datorită unui număr mai mic de medii. Săgeata de întoarcere din Fig. 5 indică necesitatea mai multor treceri repetate prin date la lungimi și numere diferite de segmente, ceea ce ne permite să obținem mai multe informații despre procesul studiat. Fig.6. Împărțirea datelor în segmente pentru a calcula o periodogramă, care este comun tuturor metodelor clasice de estimare spectrală, este asociat cu ponderarea datelor. Windowing este folosit pentru a controla efectele lobilor laterali în estimările spectrale. Rețineți că este convenabil să luați în considerare înregistrarea de date finite existente ca o parte a secvenței infinite corespunzătoare, vizibilă prin fereastra aplicată. Astfel, secvența de date observate x 0 [n] din N eșantioane poate fi scrisă matematic ca produsul unei secvențe infinite x[n] și o funcție de fereastră dreptunghiulară
X 0 [n]=x[n] rect[n]. X0(f)=X(f)*DN(f), unde Funcția D N (f), numită funcție sinc discretă, sau nucleu Dirichlet, este un DCFT al unei funcții dreptunghiulare. Transformarea unei secvențe finite observate este o versiune distorsionată a transformării unei secvențe infinite. Efectul unei ferestre dreptunghiulare asupra unei sinusoide în timp discret cu frecvența f 0 este ilustrat în Fig. 7.
Fig.7. Ilustrare a polarizării transformării Fourier în timp discret din cauza scurgerilor din cauza ponderării datelor: a, b - secvențe originale și ponderate; b, d - transformatele lor Fourier. Transformările ferestrelor vor schimba amplitudinile vârfurilor spectrale adiacente (uneori numite bleed-through). Deoarece DVFT este o funcție periodică, suprapunerea lobilor laterali din perioadele învecinate poate duce la o părtinire suplimentară. Creșterea ratei de eșantionare reduce efectul aliasing-ului lobului lateral. Distorsiuni similare vor fi observate în mod natural în cazul semnalelor nesinusoidale. Sângerarea nu numai că introduce erori de amplitudine în spectrele semnalelor discrete, dar poate și masca prezența semnalelor slabe. Există o serie de alte caracteristici ale ferestrei care pot fi oferite care pot reduce nivelul lobilor laterali în comparație cu o fereastră dreptunghiulară.
Tabelul 3. Definiții tipice ferestrelor de timp discret în N puncteMax. nivelul lobului lateral, dB -31,5 Metoda corelogramei estimarea PSD este pur și simplu substituirea în expresia (46) a unei secvențe finite de valori pentru estimarea de autocorelație ( corelograme ) în loc de o succesiune infinită de valori de autocorelare adevărate necunoscute. Mai multe informații despre metoda corelogramelor de estimare spectrală pot fi găsite în. Literatură 4. Otnes R., Enokson L. Analiza aplicată a seriilor temporale - M.: Mir, 1982. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
.
. (2)
. (3)
. (4)
(5)
(6)
(7)
. (8)
. (9)
(11)
(12)
. (13)
,
(18)
. (19)
(23)
(24)
, (27)
,
(28)
,
(29)
, (30)
.(31)
,
(33)
.
(34)
unde W(f) este transformata Fourier în timp discret a funcției ferestre, de exemplu, dreptunghiulară (5). În mod similar, puteți intra durata echivalentă a ferestrei
, (35)
.
(46)
(47)
(48)
,
. (49)
. (50)
(53)
(55)
.
(56)
, (57)
. (46)
