Principala caracteristică numerică a unei matrice pătrate este determinantul acesteia. Considerăm o matrice pătrată de ordinul doi

Un determinant sau un determinant de ordinul doi este un număr calculat conform următoarei reguli

De exemplu,

Să considerăm acum o matrice pătrată de ordinul trei

.

Un determinant de ordinul trei este un număr calculat folosind următoarea regulă

Pentru a reține combinația de termeni incluși în expresiile pentru determinarea determinantului de ordinul trei, se folosesc de obicei Regula lui Sarrus: primul dintre cei trei termeni incluși în partea dreaptă cu semnul plus este produsul elementelor situate pe diagonala principală a matricei, iar fiecare dintre ceilalți doi este produsul elementelor aflate pe o paralelă cu această diagonală și un element. din colțul opus al matricei.

Ultimii trei termeni, incluși cu semnul minus, sunt determinați în mod similar, doar în raport cu diagonala secundară.

Exemplu:

Proprietățile de bază ale determinanților matrici

1. Valoarea determinantului nu se modifică atunci când matricea este transpusă.

2. La rearanjarea rândurilor sau coloanelor matricei, determinantul schimbă doar semnul, păstrând valoarea absolută.

3. Determinantul care conține rânduri sau coloane proporționale este egal cu zero.

4. Factorul comun al elementelor unui anumit rând sau coloană poate fi scos din semnul determinant.

5. Dacă toate elementele unui anumit rând sau coloană sunt egale cu zero, atunci determinantul în sine este egal cu zero.

6. Dacă la elementele unui rând sau coloană separată a unui determinant adăugăm elemente dintr-un alt rând sau coloană, înmulțite cu un factor arbitrar nedegenerat, atunci valoarea determinantului nu se va modifica.

Minor O matrice este un determinant obținut prin ștergerea aceluiași număr de coloane și rânduri dintr-o matrice pătrată.

Dacă toți minorii de ordin mai mare decât , care pot fi compuse dintr-o matrice, sunt egali cu zero, iar dintre minorii de ordin cel puțin unul este diferit de zero, atunci numărul se numește rang această matrice.

Complement algebric element al determinantului de ordine îl vom numi ordinea minoră, obținută prin tăierea rândului și coloanei corespunzătoare la intersecția cărora se află un element luat cu semnul plus dacă suma indicilor este egală cu un număr par și cu un semn minus altfel.

Astfel

,

unde este ordinea minoră corespunzătoare.

Calcularea determinantului unei matrice prin extinderea rândului sau coloanei

Determinantul unei matrice este egal cu suma produselor elementelor oricărui rând (orice coloană) a matricei prin complementele algebrice corespunzătoare ale elementelor acestui rând (această coloană). Atunci când calculați determinantul unei matrice în acest fel, ar trebui să vă ghidați după următoarea regulă: selectați rândul sau coloana cu cel mai mare număr de elemente zero. Această tehnică vă permite să reduceți semnificativ cantitatea de calcule.

Exemplu: .

La calcularea acestui determinant am folosit tehnica descompunerii lui în elementele primei coloane. După cum se poate observa din formula de mai sus, nu este necesar să se calculeze ultimul dintre determinanții de ordinul doi, deoarece se inmulteste cu zero.

Calcularea matricei inverse

La rezolvarea ecuațiilor matriceale, matricea inversă este utilizată pe scară largă. Într-o anumită măsură, înlocuiește operația de divizare, care nu este prezentă în mod explicit în algebra matriceală.

Matricele pătrate de același ordin, al căror produs dă matricea de identitate, se numesc reciproce sau inverse. Se notează matricea inversă și pentru aceasta este valabilă următoarele:

Este posibil să se calculeze matricea inversă numai pentru o matrice pentru care .

Algoritm clasic pentru calcularea matricei inverse

1. Notați matricea transpusă în matrice.

2. Înlocuiți fiecare element al matricei cu un determinant obținut prin tăierea rândului și coloanei la intersecția cărora se află acest element.

3. Acest determinant este însoțit de un semn plus dacă suma indicilor elementului este pară, iar un semn minus în caz contrar.

4. Împărțiți matricea rezultată la determinantul matricei.

Să ni se dea un tabel (numit matrice) format din patru numere:

Matricea are două rânduri și două coloane Numerele care compun această matrice sunt indicate printr-o literă cu doi indici. Primul index indică numărul rândului, iar al doilea indică numărul coloanei în care apare numărul dat. De exemplu, înseamnă numărul din primul rând și a doua coloană; numărul din al doilea rând și prima coloană. Vom numi numerele elemente ale matricei.

Determinantul (sau determinantul) de ordinul doi corespunzător unei matrice date este numărul obținut după cum urmează:

Determinantul este notat prin simbol

Astfel,

Numerele se numesc elemente ale determinantului.

Să prezentăm proprietățile determinantului de ordinul doi.

Proprietatea 1. Determinantul nu se modifică dacă rândurile sale sunt schimbate cu coloanele corespunzătoare, adică.

Proprietatea 2.

La rearanjarea a două rânduri (sau coloane), determinantul își va schimba semnul în sens opus, păstrând valoarea absolută, adică.

Proprietatea 3. Determinantul cu două rânduri (sau coloane) identice este egal cu zero.

Proprietatea 4. Factorul comun al tuturor elementelor unui rând (sau coloanei) poate fi scos din semnul determinant:

Proprietatea 5. Dacă toate elementele unui rând (sau coloanei) sunt egale cu zero, atunci determinantul este egal cu zero.

Proprietatea 6. Dacă la orice rând (sau coloană) a determinantului adăugăm elementele corespunzătoare dintr-un alt rând (sau coloană), înmulțite cu același număr y, atunci determinantul nu își va modifica valoarea, adică.

Pentru a înmulți o matrice cu un număr, trebuie să înmulțiți fiecare element al matricei cu acel număr.

Consecinţă. Factorul comun al tuturor elementelor matricei poate fi scos din semnul matricei.

De exemplu, .

După cum puteți vedea, acțiunile de adunare, scădere a matricelor și înmulțire a unei matrice cu un număr sunt similare cu acțiunile asupra numerelor. Înmulțirea matricelor este o operație specifică.

Produsul a două matrice.

Nu toate matricele pot fi multiplicate. Produsul a două matrice OŞi ÎNîn ordinea enumerată AB posibil numai atunci când numărul de coloane al primului factor O egal cu numărul de rânduri ale celui de-al doilea factor ÎN.

De exemplu, .

Dimensiunea matricei O 33, dimensiunea matricei ÎN 23. Munca AB imposibil, munca VA Pot fi.

Produsul a două matrice A și B este a treia matrice C, al cărei element C ij este egal cu suma produselor perechi ale elementelor rândului i al primului factor și coloanei j a celui de-al doilea. factor.

S-a arătat că în în acest caz, produsul matricelor este posibil VA

Din regula existenței produsului a două matrici rezultă că produsul a două matrice în caz general nu se supune legii comutative, i.e. AB? VA. Dacă într-un anumit caz se dovedește că AB = BA, atunci astfel de matrici se numesc permutabile sau comutative.

În algebra matriceală, produsul a două matrice poate fi o matrice zero chiar și atunci când niciuna dintre matricele factorilor nu este zero, spre deosebire de algebra obișnuită.

De exemplu, să găsim produsul matricelor AB, Dacă

Puteți înmulți mai multe matrice. Dacă poți înmulți matrice O, ÎN iar produsul acestor matrici poate fi înmulțit cu matricea CU, atunci este posibil să compune produsul ( AB) CUŞi O(Soare). În acest caz are loc legea combinațională privind înmulțirea ( AB) CU = O(Soare).

Aici vom sublinia acele proprietăți care sunt de obicei folosite pentru a calcula determinanții în curs standard matematica superioara. Acesta este un subiect auxiliar la care ne vom referi din alte secțiuni, dacă este necesar.

Deci, fie o anumită matrice pătrată $A_(n\times n)=\left(\begin(array) (cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) fi dat & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \\ \ end( matrice) \right)$. Fiecare matrice pătrată are o caracteristică numită determinant (sau determinant). Nu voi intra aici în esența acestui concept. Dacă necesită clarificări, atunci vă rugăm să scrieți despre asta pe forum și voi aborda această problemă mai detaliat.

Determinantul matricei $A$ este notat cu $\Delta A$, $|A|$ sau $\det A$. Ordinea determinantă egal cu numărul de rânduri (coloane) din acesta.

1. Valoarea determinantului nu se va modifica dacă rândurile sale sunt înlocuite cu coloanele corespunzătoare, adică. $\Delta A=\Delta A^T$.

   arată\ascunde

   Să înlocuim rândurile din el cu coloane conform principiului: „a fost un prim rând - a fost o primă coloană”, „a fost un al doilea rând - a fost o a doua coloană”:

   Să calculăm determinantul rezultat: $\left| \begin(array) (cc) 2 & 9 \\ 5 & 4 \end(array) \right|=2\cdot 4-9\cdot 5=-37$. După cum puteți vedea, valoarea determinantului nu s-a schimbat din cauza înlocuirii.

2. Dacă schimbați două rânduri (coloane) ale determinantului, semnul determinantului se va schimba în opus.

   Exemplu de utilizare a acestei proprietăți: show\hide

   Luați în considerare determinantul $\left| \begin(array) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(array) \right|$. Să-i găsim valoarea folosind formula nr. 1 din subiectul calculării determinanților de ordinul doi și trei:

   $$\stânga| \begin(array) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(array) \right|=2\cdot 4-5\cdot 9=-37.$$

   Acum să schimbăm prima și a doua linie. Obținem determinantul $\left| \begin(array) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(array) \right|$. Să calculăm determinantul rezultat: $\left| \begin(array) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(array) \right|=9\cdot 5-4\cdot 2=37$. Deci, valoarea determinantului inițial a fost (-37), iar valoarea determinantului cu ordinea rândurilor modificată este $-(-37)=37$. Semnul determinantului s-a schimbat la opus.

3. Un determinant pentru care toate elementele unui rând (coloană) sunt egale cu zero este egal cu zero.

   Exemplu de utilizare a acestei proprietăți: show\hide

   Deoarece în determinantul $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(array) \right|$ toate elementele celei de-a treia coloane sunt zero, apoi determinant este zero, adică $\stânga| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(array) \right|=0$.

4. Determinantul în care toate elementele unui anumit rând (coloană) sunt egale cu elementele corespunzătoare ale altui rând (coloană) este egal cu zero.

   Exemplu de utilizare a acestei proprietăți: show\hide

   Deoarece în determinantul $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(array) \right|$ toate elementele primului rând sunt egale cu corespunzătoare elementele celui de-al doilea rând, atunci determinantul este egal cu zero, adică. $\stânga| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(array) \right|=0$.

5. Dacă într-un determinant toate elementele unui rând (coloană) sunt proporționale cu elementele corespunzătoare ale altui rând (coloană), atunci un astfel de determinant este egal cu zero.

   Exemplu de utilizare a acestei proprietăți: show\hide

   Deoarece în determinantul $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(array) \right|$ Al doilea și al treilea rând sunt proporționale, adică. $r_3=-3\cdot(r_2)$, atunci determinantul este egal cu zero, i.e. $\stânga| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(array) \right|=0$.

6. Dacă toate elementele unui rând (coloană) au un factor comun, atunci acest factor poate fi scos din semnul determinant.

   Exemplu de utilizare a acestei proprietăți: show\hide

   Luați în considerare determinantul $\left| \begin(array) (cc) -7 și 10 \\ -9 și 21 \end(array) \right|$. Observați că toate elementele din al doilea rând sunt divizibile cu 3:

   $$\stânga| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(array) \right|=\left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(array) \right|$$

   Numărul 3 este factorul comun al tuturor elementelor din al doilea rând. Să le luăm pe cele trei din semnul determinant:

   $$\stânga| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(array) \right|=\left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(array) \right|= 3\cdot \left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -3 & 7 \end(array) \right| $$

7. Determinantul nu se va schimba dacă la toate elementele unui anumit rând (coloană) adăugăm elementele corespunzătoare ale altui rând (coloană), înmulțite cu un număr arbitrar.

   Exemplu de utilizare a acestei proprietăți: show\hide

   Luați în considerare determinantul $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|$. Să adăugăm elementelor din a doua linie elementele corespunzătoare ale celei de-a treia rânduri, înmulțite cu 5. Această acțiune se scrie astfel: $r_2+5\cdot(r_3)$. A doua linie va fi schimbată, liniile rămase vor rămâne neschimbate.

   $$\stânga| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right| \begin(array) (l) \phantom(0)\\ r_2+5\cdot(r_3)\\ \phantom(0) \end(array)= \left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9+5\cdot 2 & 21+5\cdot (-3) & 4+5\cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \end (matrice) \right|= \left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|. $$

8. Dacă un anumit rând (coloană) dintr-un determinant este o combinație liniară a altor rânduri (coloane), atunci determinantul este egal cu zero.

   Exemplu de utilizare a acestei proprietăți: show\hide

   Permiteți-mi să explic imediat ce înseamnă expresia „combinație liniară”. Să avem s rânduri (sau coloane): $A_1$, $A_2$,..., $A_s$. Expresie

   $$ k_1\cdot A_1+k_2\cdot A_2+\ldots+k_s\cdot A_s, $$

   unde $k_i\in R$ se numește o combinație liniară de rânduri (coloane) $A_1$, $A_2$,..., $A_s$.

   De exemplu, luați în considerare următorul determinant:

   $$\stânga| \begin(array) (cccc) -1 & 2 & 3 & 0\\ -2 & -4 & -5 & 1\\ 5 & 0 & 7 & 10 \\ -13 & -8 & -16 & -7 \end(matrice) \right| $$

   În acest determinant, al patrulea rând poate fi exprimat ca o combinație liniară a primelor trei rânduri:

   $$ r_4=2\cdot(r_1)+3\cdot(r_2)-r_3 $$

   Prin urmare, determinantul în cauză este egal cu zero.

9. Dacă fiecare element dintr-un anumit k rând (k-a coloană) al unui determinant este egal cu suma a doi termeni, atunci un astfel de determinant este egal cu suma determinanților, primul dintre care în k-lea rând ( a k-a coloană) au primii termeni, iar cel de-al doilea determinant îi are pe al doilea rând în k-lea rând (k-a coloană). Alte elemente ale acestor determinanți sunt aceleași.

   Exemplu de utilizare a acestei proprietăți: show\hide

   Luați în considerare determinantul $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|$. Să scriem elementele coloanei a doua astfel: $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(array) \right|$. Atunci un astfel de determinant este egal cu suma a doi determinanți:

   $$\stânga| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) -7 & 3 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \end(array) \right|+ \left| \begin(array) (ccc) -7 & 7 & 0\\ -9 & 0 & 4 \\ 2 & -8 & 1 \end(array) \right| $$

10. Determinantul produsului a două matrici pătrate de același ordin este egal cu produsul determinanților acestor matrici, adică. $\det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B$. Din această regulă putem obține următoarea formulă: $\det \left(A^n \right)=\left(\det A \right)^n$.
11. Dacă matricea $A$ este nesingulară (adică determinantul său nu este egal cu zero), atunci $\det \left(A^(-1)\right)=\frac(1)(\det A)$.

Formule pentru calcularea determinanților

Pentru determinanții de ordinul doi și trei, următoarele formule sunt corecte:

\begin(equation) \Delta A=\left| \begin(array) (cc) a_(11) & a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \end(array) \right|=a_(11)\cdot a_(22)-a_( 12)\cdot a_(21) \end(equation) \begin(equation) \begin(aligned) & \Delta A=\left| \begin(array) (ccc) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_(32) & a_(33) \end(array) \right|= a_(11)\cdot a_(22)\cdot a_(33)+a_(12)\cdot a_(23)\cdot a_(31)+a_(21) )\cdot a_(32)\cdot a_(13)-\\ & -a_(13)\cdot a_(22)\cdot a_(31)-a_(12)\cdot a_(21)\cdot a_(33) )-a_(23)\cdot a_(32)\cdot a_(11)\end(aligned)\end(equation)

Exemple de utilizare a formulelor (1) și (2) sunt în subiectul "Formule pentru calcularea determinanților de ordinul doi și trei. Exemple de calculare a determinanților".

Determinantul matricei $A_(n\times n)$ poate fi extins în I-a linie folosind următoarea formulă:

\begin(equation)\Delta A=\sum\limits_(j=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(i1)A_(i1)+a_(i2)A_(i2)+\ ldots+a_(in)A_(in) \end(equation)

Un analog al acestei formule există și pentru coloane. Formula pentru extinderea determinantului în a j a coloană este următoarea:

\begin(equation)\Delta A=\sum\limits_(i=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(1j)A_(1j)+a_(2j)A_(2j)+\ ldots+a_(nj)A_(nj) \end(ecuație)

Regulile exprimate prin formulele (3) și (4) sunt ilustrate în detaliu cu exemple și explicate în subiectul Reducerea ordinii determinantului. Descompunerea determinantului într-un rând (coloană).

Să indicăm o altă formulă pentru calcularea determinanților matricilor triunghiulare superioare și triunghiulare inferioare (pentru o explicație a acestor termeni, vezi subiectul „Matrici. Tipuri de matrici. Termeni de bază”). Determinantul unei astfel de matrice este egal cu produsul elementelor de pe diagonala principală. Exemple:

\begin(aligned) &\left| \begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \end(array) \right|= 2\cdot 9\cdot 4\cdot (-6)=-432.\\ &\left| \begin(array) (cccc) -3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 10 \end(array) \ dreapta|= -3\cdot 0\cdot 1 \cdot 10=0. \end(aliniat)

Cele mai multe modele matematice din economie sunt descrise folosind matrici și calcul matriceal.

Matrice este un tabel dreptunghiular care conține numere, funcții, ecuații sau alte obiecte matematice aranjate în rânduri și coloane.

Obiectele care alcătuiesc o matrice sunt numite elemente . Matricele sunt notate cu litere mari latine

iar elementele lor sunt litere mici.

Simbol
înseamnă că matricea are
linii şi coloane, element la intersecție -a linia și -a coloană
.

.

Ei spun că matricea O egal cu matricea ÎN : A=B, dacă au aceeași structură (adică același număr de rânduri și coloane) și elementele lor corespunzătoare sunt identic egale
, pentru toată lumea
.

Tipuri particulare de matrice

În practică, matricele de tip special sunt destul de des întâlnite. Unele metode implică, de asemenea, transformări ale matricilor de la un tip la altul. Cele mai comune tipuri de matrice sunt prezentate mai jos.

Elemente de matrice cu numere de rând și coloane egale, adică o ii formează diagonala principală a matricei.

Operații pe matrice.

.

Proprietăți ale operațiilor pe matrice

Proprietăți specifice operațiunilor

Dacă produsul matricelor
– există, apoi lucrarea
poate să nu existe. În general vorbind,
. Adică, înmulțirea matriceală nu este comutativă. Dacă
, Asta Şi se numesc comutative. De exemplu, matricele diagonale de același ordin sunt comutative.

Dacă
, apoi opțional
sau
. Adică, produsul matricelor non-nule poate da o matrice zero. De exemplu

Operație de exponențiere definit numai pentru matrice pătrată. Dacă
, Asta

.

Prin definiție ei cred
, și este ușor să arăți asta
,
. Rețineți că de la
nu rezulta asta
.

Exponentiație în funcție de elemente O. m =
.

Operația de transpunere matricea constă în înlocuirea rândurilor unei matrice cu coloanele sale:

,

De exemplu

,
.

Proprietăți de transpunere:

Determinanți și proprietățile lor.

Pentru matrice pătrată conceptul este adesea folosit determinant – un număr care se calculează din elementele matricei folosind reguli strict definite. Acest număr este o caracteristică importantă a matricei și este notat prin simboluri

.

Determinant de matrice
este elementul ei .

Determinant de matrice
calculat conform regulii:

adică produsul elementelor diagonalei suplimentare se scade din produsul elementelor diagonalei principale.

Pentru a calcula determinanții de ordin superior (
) este necesară introducerea conceptelor de minor și complement algebric al unui element.

Minor
element este determinantul care se obține din matrice , tăind -a linia și a coloana.

Luați în considerare matricea dimensiune
:

,

atunci, de exemplu,

Complement algebric element ei îl numesc minor înmulțit cu
.

,

Teorema lui Laplace: Determinantul unei matrice pătrate este egal cu suma produselor elementelor oricărui rând (coloană) prin complementele lor algebrice.

De exemplu, în descompunere
pe baza elementelor primei linii, obținem:

Ultima teoremă oferă o modalitate universală de calculare a determinanților de orice ordine, începând cu a doua. Rândul (coloana) este întotdeauna ales să fie cel cu cel mai mare număr de zerouri. De exemplu, trebuie să calculați determinantul de ordinul al patrulea

În acest caz, puteți extinde determinantul de-a lungul primei coloane:

sau ultima linie:

Acest exemplu arată, de asemenea, că determinantul unei matrici triunghiulare superioare este egal cu produsul elementelor sale diagonale. Este ușor de demonstrat că această concluzie este valabilă pentru orice matrice triunghiulară și diagonală.

Teorema lui Laplace face posibilă reducerea calculului determinantului -al-lea ordin de calculat determinanți
de ordinul al-lea și, în cele din urmă, la calculul determinanților de ordinul doi.