Proiectarea (sinteza) filtrelor digitale liniare. Nikonov I.V.

Știința rafinează mintea;

Învățarea îți va ascuți memoria.

Kozma Prutkov

capitolul 15

ELEMENTE DE SINTEZĂ A CIRCUITURILOR STATIONARE LINEARE

15.1. Întrebări studiate

CU sinteza rețelelor analogice cu două terminale. Sinteza cvadripolilor staționari în funcție de un răspuns în frecvență dat. Filtre Butterworth și Chebyshev.

Direcții. Când se studiază problemele, este necesar să se înțeleagă clar ambiguitatea rezolvării problemei de sinteză a rețelelor cu două terminale și modalități specifice de rezolvare a problemei în conformitate cu Foster și Cauer, precum și să dobândească capacitatea de a determina posibilitatea implementării unui anumit funcţie de rezistenţa de intrare a unei reţele cu două terminale. Atunci când sintetizează filtre electrice bazate pe filtre prototip, este important să înțelegem avantajele și dezavantajele aproximării caracteristicilor de atenuare Chebyshev și Butterworth. Este necesar să se poată calcula rapid parametrii elementelor oricărui tip de filtre (filtru trece jos, filtru trece înalt, PPF) folosind formule de transformare a frecvenței.

15.2. Informații teoretice scurte

În teoria circuitelor se obișnuiește să se vorbească despre sinteza structurală și parametrică. Sarcina principală a sintezei structurale este alegerea structurii (topologiei) unui circuit care satisface proprietăți predeterminate. În sinteza parametrică se determină doar parametrii și tipul elementelor unui circuit a cărui structură este cunoscută. În continuare vom vorbi doar despre sinteza parametrică.

La sintetizarea rețelelor cu două terminale, rezistența de intrare este de obicei folosită ca sursă

Dacă este dată o funcție, atunci aceasta poate fi implementată printr-un circuit pasiv dacă sunt îndeplinite următoarele condiții: 1) toți coeficienții polinoamelor numărătorului și numitorului sunt reali și pozitivi; 2) toate zerourile și polii sunt situate fie în semiplanul stâng, fie pe axa imaginară, iar polii și zerourile de pe axa imaginară sunt simple; aceste puncte sunt întotdeauna fie reale, fie formează perechi conjugate complexe; 3) puterea cea mai mare și cea mai mică ale polinoamelor numărătorului și numitorului diferă cu cel mult unul. De asemenea, trebuie remarcat faptul că procedura de sinteză nu este clară, adică aceeași funcție de intrare poate fi implementată în mai multe moduri.

Ca structuri inițiale ale rețelelor cu două terminale sintetizate, se folosesc de obicei circuitele Foster, care sunt o conexiune în serie sau paralelă în raport cu bornele de intrare, respectiv, a mai multor rezistențe și conductivități complexe, precum și circuite cu scară Cauer.

Metoda de sinteză a rețelelor cu două terminale se bazează pe faptul că o anumită funcție de intrare este supusă unei serii de simplificări succesive. În acest caz, la fiecare etapă, se identifică o expresie, care este asociată cu un element fizic al circuitului sintetizat. Dacă toate componentele structurii selectate sunt identificate cu elemente fizice, atunci problema de sinteză este rezolvată.

Sinteza rețelelor cu patru porturi se bazează pe teoria prototipurilor de filtre trece-jos. Opțiuni posibile prototipurile de filtre trece-jos sunt prezentate în Fig. 15.1.

Oricare dintre scheme poate fi utilizată în calcul, deoarece caracteristicile lor sunt identice. Denumirile din fig. 15.1 au următoarea semnificație: – inductanța unei bobine în serie sau capacitatea unui condensator paralel; – rezistența generatorului dacă , sau conductivitatea generatorului dacă ; – rezistența la sarcină , dacă sau conductivitatea sarcinii , dacă .

Valorile elementelor prototip sunt normalizate astfel încât frecvența de tăiere să fie . Trecerea de la filtrele prototip normalizate la un alt nivel de rezistență și frecvență se realizează folosind următoarele transformări ale elementelor circuitului:

;

.

Valorile cu numere prime se referă la prototipul normalizat, în timp ce cele fără numere prime se referă la circuitul convertit. Valoarea inițială pentru sinteză este atenuarea puterii de operare, exprimată în decibeli:

, dB,

– puterea maximă a generatorului cu rezistență internă și fem, – putere de ieșire în sarcină.

De obicei, dependența de frecvență este aproximată prin caracteristica cea mai plată (Butterworth) (Fig. 15.2, O)

Unde .

Cantitatea de atenuare de funcționare corespunzătoare frecvenței de tăiere este de obicei aleasă egală cu 3 dB. În același timp. Parametru n este egal cu numărul de elemente ale circuitului activ și determină ordinea filtrului.

Documente similare

Scopul filtrelor de frecvență de rezonanță trece-bandă. Elemente ale circuitelor oscilatorii în serie și paralele. Analiza proprietăților de frecvență ale diferitelor circuite folosind caracteristici amplitudine-frecvență. Un exemplu de calcul al unui filtru LC trece bandă.

lucrare curs, adăugată 21.11.2013


Calculul și justificarea frecvenței unui generator dat. Trasarea graficelor caracteristicilor studiate. Definirea expresiilor analitice pentru coeficientul de transmisie. Calculați atenuarea semnalului atunci când frecvența se modifică cu un factor de doi într-o bandă de oprire dată.

munca de laborator, adaugat 20.12.2015


Caracteristicile etapelor de dezvoltare a filtrelor recursive. Specificul unui filtru de frecvență arbitrar, deformarea scării de frecvență. Tipuri de filtre recursive de frecvență, caracteristici ale metodei de plasare a zerourilor și a polilor. Descrierea filtrelor selectoare.

articol, adăugat 15.11.2018


Determinarea scopului quadripolilor liniari cu proprietăți selective. Calculul unui filtru LC trece bandă. Determinarea spectrului de amplitudine al impulsurilor radio. Formarea cerințelor pentru un filtru trece-bandă. Calculul polilor filtrului ARC.

lucrare curs, adăugată 10.01.2017


Sinteza unui filtru-observator adaptiv al principalelor armonici ale semnalelor de ieșire (tensiuni și curenți) ale unui convertor de frecvență (FC) cu modulație pe lățime a impulsurilor (PWM), în care nu există diferențiere de semnal. Îmbunătățirea proprietăților de filtrare ale filtrului.

articol, adăugat 29.09.2018


Determinarea curentului redresat nominal mediu, rezistența la sarcină, coeficientul de netezire a filtrului. Calculul curenților de scurtcircuit. Dezvoltare electrică diagrama schematica convertor Calculul și selectarea elementelor de filtrare și a diodelor.

lucrare curs, adăugată 24.01.2013


Caracteristicile principalelor tipuri de filtre analogice. Studiul problemelor de sinteză a circuitelor selective în frecvenţă. Selectarea comenzii minime de filtrare. Modelare folosind pachetul software Micro-Cap. Analiza elementelor de bază ale alegerii unui amplificator operațional.

lucrare de curs, adăugată 21.01.2015


Reprezentarea grafică a dependenței de timp a tensiunii de ieșire ca răspuns la o creștere a tensiunii de intrare. Compensarea atenuării de înaltă frecvență folosind un filtru trece-înalt. Selectarea circuitului și calculul elementelor circuitelor rezistive ale amplificatorului.

lucrare de curs, adăugată 26.01.2015


Calcul redresor, elemente de filtrare și transformator. Selectarea tipului de circuit magnetic și verificarea conformității acestuia cu valorile turației în gol. Determinarea valorilor secțiunii transversale ale firelor de înfășurare, rezistența fiecărei înfășurări în stare încălzită și pierderile de tensiune.

test, adaugat 26.03.2014


Fundamentele teoretice ale procesului de filtrare. Clasificarea modernă a filtrelor periodice. Principiul de funcționare al vacuumului tamburului. Calculul suprafeței necesare a zonei de filtrare, selectarea filtrelor standard din cataloage și determinarea numărului acestora.

n1.docx

studii profesionale superioare

„Universitatea Tehnică de Stat din Omsk”

ANALIZA SI SINTEZA SCHEMA
CIRCUIT ELECTRIC
Orientări
la proiectarea cursurilor și CDS

Editura Universitatea Tehnică de Stat din Omsk

2010
Compilat de I. V. Nikonov

Orientările prezintă sinteza și analiza unui circuit electric cu unități funcționale analogice importante ale ingineriei radio: un filtru electric și un amplificator. Se analizează spectrul semnalului periodic complex de intrare, precum și semnalul la ieșirea circuitului electric (pentru modul de funcționare liniar).

Destinat studenților specialităților 210401, 210402, 090104 și direcțiilor 21030062 forme de studiu cu frecvență și frecvență parțială, care studiază disciplinele „Fundamentele teoriei circuitelor”, „Inginerie electrică și electronică”.
Publicat prin hotărâre a consiliului editorial și editorial
Universitatea Tehnică de Stat din Omsk

© GOU VPO „Statul Omsk

Universitatea Tehnică”, 2010

1. Analiza specificaţiilor tehnice. Etapele principale de proiectare 5

2. Principii de bază și metode de proiectare electrică
filtre 6

2.1. Elementele fundamentale ale designului filtrelor 6

2.2. Metodologia de sintetizare a filtrelor pe baza parametrilor caracteristici 11

2.3. Metodologia de sintetizare a filtrelor pe baza parametrilor de funcționare 18

2.4. Un exemplu de sinteză a unui circuit echivalent al unui filtru electric 25

3. Principii de bază și etape de calcul schema electrica amplificator
tensiune 26

3.1.Principii de bază pentru calculul circuitelor electrice ale amplificatoarelor 26

3.2. Un exemplu de calcul al unui circuit amplificator de circuit electric
pe un tranzistor bipolar 28

4. Principii de bază și etape ale analizei complexe a spectrului
semnal periodic 30

4.1. Principii analiza spectrală 30

4.2. Formule de calcul pentru analiza spectrală 31

4.3. Exemplu de analiză a spectrului semnalului de intrare 32

5. Analiza semnalului la ieșirea circuitului electric. Recomandări
privind dezvoltarea unei scheme de circuit electric 33

5.1. Analiza trecerii semnalului printr-un circuit electric 33

6. Cerințe de bază pentru conținut, implementare, protecție
lucru de curs 35

6.1. Procedura și termenele limită pentru emiterea sarcinilor pentru proiectarea cursurilor 35

6.3. Proiectarea părții grafice a lucrării de curs (proiect) 36

6.4. Protecţie proiecte de curs(lucrări) 38

Bibliografie 39

Aplicații 40

Anexa A. Lista abrevierilor și simbolurilor 40

Anexa B. Opțiuni pentru datele de intrare pentru sinteza filtrului 41

Anexa B. Opțiuni pentru datele inițiale pentru calcularea amplificatorului 42

Anexa D. Opțiuni pentru datele de intrare pentru analiza spectrului
semnal 43

Anexa E. Parametrii tranzistorului pentru circuitul de conectare
OE(OI) 45

Anexa E. Formular de sarcină 46

INTRODUCERE
Sarcinile principale ale disciplinelor de inginerie electrică și inginerie radio sunt analiza și sinteza circuite electrice si semnale. În primul caz, curenții, tensiunile, coeficienții de transmisie, spectrele sunt analizate pentru modele, circuite, dispozitive și semnale cunoscute. În timpul sintezei, se rezolvă problema inversă - dezvoltarea analitică și modele grafice(scheme) de circuite și semnale electrice. Dacă calculele și dezvoltarea efectuate se completează cu producerea de documentație de proiectare și tehnologia, producerea de machete sau prototipuri, atunci termenul proiecta.

Primele discipline ale specialităților de inginerie radio ale instituțiilor de învățământ superior, în care sunt luate în considerare diverse probleme de analiză și sinteză, sunt disciplinele „Fundamentele teoriei circuitelor electrice” și „Inginerie electrică și electronică”. Principalele secțiuni ale acestor discipline:

– analiza în regim staționar a circuitelor electrice rezistive liniare, a circuitelor electrice liniare reactive, inclusiv a celor rezonante și a celor cu conexiuni negalvanice;

– analiza caracteristicilor complexe de frecvență ale circuitelor electrice;

– analiza circuitelor electrice liniare sub influențe periodice complexe;

– analiza circuitelor electrice liniare sub influențe pulsate;

– teoria cvadripolilor liniari;

– analiza circuitelor electrice neliniare;

– filtre electrice liniare, sinteza filtrelor electrice.

Secțiunile enumerate sunt studiate în timpul lecțiilor de la clasă, dar proiectarea cursului este, de asemenea, o parte importantă a procesului educațional. Tema lucrării de curs (proiect) poate corespunde uneia dintre secțiunile studiate, poate fi complexă, adică include mai multe secțiuni ale disciplinei, sau poate fi propusă de student.

Aceste linii directoare discută recomandări pentru finalizarea unui curs complex (proiect), în care este necesar să se rezolve probleme interdependente de sinteză și analiză pentru un circuit electric analog.

1. ANALIZA SPECIFICAȚIILOR TEHNICE.
PRINCIPALE ETAPE DE PROIECTARE
Ca o lucrare cuprinzătoare de curs (proiect), aceste ghiduri propun dezvoltarea de diagrame electrice echivalente și schematice ale unui circuit electric care conține un filtru electric și un amplificator, precum și o analiză a spectrului semnalului de intrare al unui generator de impulsuri și al unui analiza „trecerii” semnalului de intrare la ieșirea dispozitivului. Aceste sarcini sunt importante și utile practic, deoarece sunt dezvoltate și analizate unități funcționale utilizate pe scară largă în ingineria radio.

Schema structurală electrică a întregului dispozitiv pentru care este necesar să se efectueze calcule este prezentată în Figura 1. Opțiunile pentru sarcini pentru secțiuni individuale ale calculelor sunt prezentate în Anexele B, C, D. Numărul de opțiuni de sarcină corespunde cu numărul de elevi din lista grupului sau numărul opțiunii este format într-un mod mai complex. Dacă este necesar, elevii pot seta independent cerințe suplimentare pentru a proiecta, de exemplu, cerințe de greutate și dimensiune, cerințe pentru caracteristicile fază-frecvență și altele.

Generator

impulsuri

Filtru electric analogic

Amplificator de tensiune analogic

Orez. 1
Figura 1 prezintă valorile efective complexe ale tensiunilor electrice de intrare și ieșire ale unei forme armonice.

În timpul proiectării cursului, este necesar să se rezolve următoarele probleme:

A) sintetizați (dezvoltați) un circuit electric echivalent folosind orice metodă și apoi un circuit electric de bază folosind orice elemente radio. Efectuați calcule ale coeficientului de atenuare și transfer de tensiune, ilustrați calculele cu grafice;

B) elaborați o schemă de circuit electric a unui amplificator de tensiune folosind orice elemente radio. Efectuați calculele amplificatorului conform DC, analizați parametrii amplificatorului în modul de semnale variabile mici;

D) analizați trecerea tensiunii electrice de la generatorul de impulsuri printr-un filtru și amplificator electric, ilustrați analiza cu grafice a spectrului de amplitudine și fază a semnalului de ieșire.

În această secvență, se recomandă să efectuați calculele necesare și apoi să le aranjați sub forma unor secțiuni ale unei note explicative. Calculele trebuie efectuate cu o precizie de cel puțin 5%. Acest lucru ar trebui să fie luat în considerare atunci când faceți diferite rotunjiri, analiza aproximativă a spectrului de semnal și atunci când alegeți elemente radio standard care sunt apropiate ca valoare nominală de valorile calculate.

2.1. Principii de bază ale proiectării filtrelor

2.1.1. Cerințe de bază de proiectare

Filtrele electrice sunt circuite electrice liniare sau cvasi-liniare care au coeficienți complexi de transfer a puterii totale dependenți de frecvență. În acest caz, cel puțin unul dintre cei doi coeficienți de transmisie este, de asemenea, dependent de frecvență: tensiune sau curent. În locul coeficienților de transmisie fără dimensiuni, atenuarea (), măsurată în decibeli, este utilizată pe scară largă în analiza și sinteza filtrelor:

, (1)

unde , , sunt modulele coeficienților de transmisie (în formula (1) se folosește logaritmul zecimal).

Domeniul de frecvență în care atenuarea () se apropie de zero și transferul total de putere () se apropie de unitate se numește bandă de trecere (BP). Și invers, în gama de frecvente, unde coeficientul de transfer al puterii este aproape de zero și atenuarea este de câteva zeci de decibeli, se află banda de oprire (SB). Banda de oprire din literatura de specialitate a filtrelor electrice se mai numește și bandă de atenuare sau bandă de atenuare. Între PP și PP există o bandă de frecvență de tranziție. Pe baza locației benzii de trecere în domeniul de frecvență, filtrele electrice sunt clasificate în următoarele tipuri:

LPF – filtru trece jos, banda de trecere este la frecvențe inferioare;

HPF – filtru de trecere înaltă, banda de trecere este la frecvențe înalte;

PF – filtru trece-bandă, banda de trecere este într-un interval de frecvență relativ îngust;

RF este un filtru notch, banda de oprire este într-un interval de frecvență relativ îngust.

Un adevărat filtru electric poate fi realizat pe diverse componente radio: inductori și condensatori, dispozitive de amplificare selectivă, piezoelectrice și dispozitive electromecanice, ghiduri de undă și multe altele. Există cărți de referință despre calcularea filtrelor pe anumite componente radio. Cu toate acestea, următorul principiu este mai universal: mai întâi, un circuit echivalent este dezvoltat folosind elemente LC ideale, iar apoi elementele ideale sunt convertite în orice componente radio reale. Cu această recalculare, se elaborează o schemă de circuit electric și o listă de elemente, sunt selectate componente radio standard sau componente radio necesare sunt proiectate independent. Cele mai multe varianta simpla Un calcul similar este dezvoltarea unei scheme de circuit a unui filtru reactiv cu condensatori și inductori, deoarece schema de circuit în acest caz este similară cu cea echivalentă.

Dar chiar și cu un astfel de calcul universal general, există mai multe metode diferite pentru a sintetiza un circuit echivalent al unui filtru LC:

– sinteza într-un mod coordonat din unități identice în formă de G, T, U. Această metodă este denumită și sinteza parametrilor caracteristici sau sinteza filtrului „k”. Avantaje: formule simple de calcul; atenuarea calculată (denivelarea atenuării) în banda de trecere () este luată egală cu zero. Defect: Această metodă de sinteză utilizează diverse aproximări, dar de fapt este imposibil să se realizeze potrivirea pe întreaga bandă de trecere. Prin urmare, filtrele calculate prin această metodă pot avea o atenuare a benzii de trecere de mai mult de trei decibeli;

– sinteza polinomială. În acest caz, coeficientul necesar de transfer al puterii este aproximat printr-un polinom, adică întregul circuit este sintetizat și nu legături individuale. Această metodă se mai numește sinteză în funcție de parametrii de funcționare sau sinteza conform cărților de referință ale filtrelor trece-jos normalizate. Când se utilizează cărți de referință, se calculează ordinea filtrului și este selectat un circuit de filtru trece-jos echivalent care îndeplinește cerințele sarcinii. Avantaje: calculele iau în considerare posibilele inconsecvențe și abateri ale parametrilor elementelor radio, filtrele trece-jos sunt ușor de transformat în filtre de alte tipuri; Defect: este necesar să se folosească cărți de referință sau programe speciale;

– sinteza prin puls sau caracteristici tranzitorii. Pe baza relației dintre caracteristicile de timp și frecvență ale circuitelor electrice prin diverse transformări integrale (Fourier, Laplace, Carson etc.). De exemplu, răspunsul la impuls () este exprimat în termeni de răspuns de transfer () folosind o transformată Fourier directă:

Această metodă și-a găsit aplicație în sinteza diferitelor filtre transversale (filtre cu întârzieri), de exemplu digitale, acustoelectronice, pentru care este mai ușor să se dezvolte circuite electrice bazate pe caracteristicile pulsului decât pe caracteristicile frecvenței. ÎN munca de curs La dezvoltarea circuitelor de filtrare, se recomandă utilizarea metodei de sinteză bazată pe parametrii caracteristici sau de funcționare.

Deci, în lucrările legate de sinteza unui filtru electric, este necesar, folosind una dintre metode, să se dezvolte un circuit electric echivalent folosind elemente reactive ideale, iar apoi un circuit electric de bază folosind orice elemente radio reale.

În sarcina de proiectare a cursului privind sinteza unui filtru electric (Anexa B), pot fi date următoarele date:

– tip de filtru sintetizat (LPF, HPF, PF, RF);

– – rezistența activă a circuitelor externe cu care filtrul trebuie să fie complet sau parțial adaptat în banda de trecere;

– – frecvența de tăiere a benzii de trecere a filtrului;

– – frecvența de tăiere a benzii de oprire a filtrului;

– – frecvența medie a filtrului (pentru PF și RF);

– – atenuarea filtrului în banda de trecere (nu mai);

– – atenuarea filtrului în banda de oprire (nu mai mică);

– – Banda de trecere PF sau RF;

– – banda de oprire PF sau RF;

– – coeficient de perpendicularitate al filtrului trece-jos, filtru trece-înalt;

– – coeficientul de perpendicularitate PF, RF.

Dacă este necesar, studenții pot selecta în mod independent date suplimentare sau cerințe de proiectare.

2.1.2. Normalizare și conversii de frecvență

Atunci când sintetizați diagrame echivalente și circuite ale filtrelor, este recomandabil să utilizați transformări de normalizare și frecvență. Acest lucru vă permite să reduceți numărul de tipuri diferite de calcule și să efectuați sinteza folosind ca bază un filtru trece-jos. Raționarea este după cum urmează. În loc să fie proiectate pentru frecvențe de operare și rezistență de sarcină date, filtrele sunt proiectate pentru rezistența la sarcină normalizată și frecvențe normalizate. Normalizarea frecvențelor se realizează, de regulă, în raport cu frecvența. . Cu această normalizare, frecvența este , iar frecvența este . La normalizare, este mai întâi dezvoltat un circuit echivalent cu elemente normalizate, iar apoi aceste elemente sunt recalculate la cerințele specificate folosind factori de denormalizare:

Posibilitatea de a utiliza normalizarea în sinteza circuitelor electrice rezultă din faptul că tipul de caracteristici de transfer necesare ale circuitului electric nu se modifică în timpul acestei operațiuni, ele sunt doar transferate la alte frecvențe (normalizate).

De exemplu, pentru circuitul divizor de tensiune prezentat în figura 2, coeficientul de transfer al tensiunii este similar atât pentru elementele radio date și pentru frecvența de operare, cât și pentru valorile normalizate - atunci când sunt utilizați factori de normalizare.

Orez. 2

Fără raționare:

, (5)

cu standardizare:

. (6)
În expresia (6), în caz general, factorii de normalizare pot fi numere reale arbitrare.

Utilizarea suplimentară a transformărilor de frecvență face posibilă simplificarea semnificativă a sintezei filtrelor de trecere înaltă, filtrelor de filtrare și filtrelor RF. Astfel, secvența recomandată de sinteză a filtrului trece-înalt atunci când se aplică conversii de frecvență este următoarea:

– sunt normalizate cerințele grafice pentru filtrul trece-înalt (se introduce axa frecvențelor normalizate);

– conversia de frecvență a cerințelor de atenuare se realizează datorită conversiei de frecvență:

– este proiectat un filtru trece-jos cu elemente standardizate;

– Filtrul low-pass este transformat într-un filtru high-pass cu elemente normalizate;

– elementele sunt denormalizate conform formulelor (3), (4).

– cerințele grafice pentru PF sunt înlocuite cu cerințe pentru filtrul trece jos pe baza condiției de egalitate a lățimilor de bandă și a întârzierilor acestora;

– se sintetizează un circuit de filtru trece-jos;

– conversia inversă a frecvenței este utilizată pentru a obține un circuit de filtru trece-bandă prin includerea unor elemente reactive suplimentare în ramurile filtrului trece-jos pentru a forma circuite rezonante.

– cerințele grafice pentru RF sunt înlocuite cu cerințe pentru filtrul de trecere înaltă pe baza condiției de egalitate a lățimilor de bandă și a întârzierilor acestora;

– se sintetizează un circuit de filtru trece-înalt, direct sau folosind un prototip de filtru trece-jos;

– circuitul de filtru trece-înalt este transformat într-un circuit de filtru cu crestătură prin includerea unor elemente reactive suplimentare în ramurile filtrului trece-înalt.

2.2. Tehnica de sinteză a filtrelor

2.2.1. Principii de bază ale sintezei după parametri caracteristici

Motivul pentru relațiile de bază calculate ale acestei metode de sinteză este după cum urmează.

Este considerată o rețea liniară cu patru porturi și este folosit un sistem de parametri pentru a o descrie:

unde sunt tensiunea și curentul la intrarea cvadrupolului și sunt tensiunea și curentul la ieșirea cvadrupolului.

Coeficienții de transmisie pentru un mod arbitrar (potrivit sau nepotrivit) sunt determinați:

unde este rezistența la sarcină (în cazul general, complex).

Pentru un mod arbitrar, se introduce constanta de transmisie (), atenuare (), faza ():

. (11)

Slăbirea în non-pene este dată de
, (12)

iar în decibeli – după expresia

Într-un mod nepotrivit, caracteristicile de intrare, ieșire și transfer ale unei rețele cu patru porturi se numesc parametri de funcționare, iar într-un mod potrivit - parametri caracteristici. Valorile rezistențelor de intrare și ieșire potrivite la o frecvență de operare dată sunt determinate din ecuațiile cu patru porturi (8):

În modul de potrivire, ținând cont de expresiile (14), (15), constanta caracteristică de transmisie este determinată:

Ținând cont de relațiile pentru funcțiile hiperbolice

, (17)

(18)

Se determină relația dintre parametrii caracteristici ai modului de potrivire și elementele circuitului electric (parametrii). Expresiile arată ca

Expresiile (19), (20) caracterizează modul de potrivire al unei rețele liniare arbitrare cu două porturi. Figura 3 prezintă o diagramă a unui arbitrar
Legătură în formă de L, ai cărei parametri, în conformitate cu expresiile (8), sunt determinați:

Orez. 3

Cu includerea consecventă a unei legături în formă de L, expresiile (19), (20) sunt transformate în forma:

, (21)

. (22)

Dacă ramurile longitudinale și transversale ale circuitului în formă de L conțin diferite tipuri de elemente reactive, atunci circuitul este un filtru electric.

Analiza formulelor (21), (22) pentru acest caz ne permite să obținem o metodă de sintetizare a filtrelor pe baza parametrilor caracteristici. Principalele prevederi ale acestei tehnici:

– filtrul este proiectat din legături identice conectate în cascadă, potrivite în banda de trecere între ele și cu sarcini externe (de exemplu, legături de tip G);

– atenuarea în banda de trecere () este considerată egală cu zero, deoarece filtrul este considerat consistent pe întreaga bandă de trecere;

– valorile necesare ale rezistențelor active externe () pentru un mod de potrivire sunt determinate prin rezistențele „ramurilor” legăturii în formă de L conform formulei aproximative

– frecvența de tăiere a benzii de trecere () este determinată din condiție

– atenuarea legăturii () la frecvența de tăiere a benzii de oprire () este determinată (în decibeli) prin formula

; (25)

– numărul de legături G identice conectate în cascadă este determinat de expresia:

2.2.2. Secvența de sinteză a filtrului trece-jos (LPF).
conform parametrilor caracteristici

Formulele de calcul sunt obținute din principalele prevederi ale metodologiei de sinteză pe baza parametrilor caracteristici prevăzuți la paragraful 2.2.1 din prezentele ghiduri. În special, formulele (27), (28) pentru determinarea valorilor elementelor de legătură sunt obținute din expresiile (23), (24). La sintetizarea din parametrii caracteristici, succesiunea calculelor pentru filtrele trece-jos și filtrele trece-înalte este următoarea:

A) valorile inductanței și capacității ideale a secțiunii G a filtrului sunt calculate pe baza valorilor date ale rezistențelor de sarcină și generator și pe valoarea frecvenței de tăiere a benzii de trecere:

unde sunt valorile rezistențelor de sarcină și ale generatorului și este valoarea frecvenței de tăiere a benzii de trecere. Graficul cerințelor de atenuare și diagrama legăturii filtrului trece-jos în formă de L sunt prezentate în Figura 4 a, b. În imagini 5 a, b sunt date cerințele pentru atenuare și diagrama secțiunii filtrului trece-înalt în formă de L.

Orez. 4

Orez. 5

b) atenuarea legăturii () se calculează în decibeli la frecvența de tăiere a benzii de oprire () pe baza valorii specificate a coeficientului de pătrat (). Pentru filtru trece jos:

Pentru filtrul trece-înalt:

. (30)

În calculele care utilizează formulele (29), (30), se utilizează logaritmul natural;

B) numărul de legături () este calculat pentru o valoare dată a atenuării garantate la limita benzii de oprire, în conformitate cu formula (26):

Valoarea este rotunjită la cea mai apropiată valoare întreagă mai mare;

D) atenuarea filtrului se calculează în decibeli pentru mai multe valori de frecvență în banda de oprire (atenuarea calculată în banda de trecere, fără a lua în considerare pierderile termice, este considerată egală cu zero în această metodă). Pentru un filtru trece jos:

. (31)

Pentru filtrul trece-înalt:

; (32)
e) se analizează pierderile de căldură (). Pentru a aproxima calculul pierderilor de căldură folosind un prototip de frecvență joasă, rezistențele rezistive ale inductoarelor reale () sunt mai întâi determinate la frecvență la valori selectate independent ale factorului de calitate (). Inductoarele, pe viitor, în schema circuitului electric, vor fi introduse în locul inductanțelor ideale (condensatorii sunt considerați a fi de calitate superioară și pierderile lor rezistive nu sunt luate în considerare). Formule de calcul:

. (34)

Atenuarea filtrului în decibeli, ținând cont de pierderile de căldură, este determinată de:

iar modulul coeficientului de transfer de tensiune () se determină din relația care îl conectează cu atenuarea filtrului:

E) pe baza rezultatelor calculelor folosind formulele (35), (36), sunt trasate grafice ale atenuării și modulului coeficientului de transmisie a tensiunii pentru filtrul trece-jos sau filtrul trece-înalt;

G) folosind cărți de referință ale elementelor radio, condensatoarele standard și inductoarele cele mai apropiate ca valoare de elementele ideale sunt selectate pentru elaborarea ulterioară a unei scheme de circuit electric și a unei liste de elemente ale întregului circuit electric. Dacă nu există inductori standard cu ratingul necesar, va trebui să le dezvoltați singur. Figura 6 prezintă dimensiunile principale ale unei bobine cilindrice simple cu înfășurare cu un singur strat, necesare calculului acesteia.
Orez. 6

Numărul de spire ale unei astfel de bobine cu miez feromagnetic (ferită, fier carbonil) este determinat din expresie

unde este numărul de spire, este permeabilitatea magnetică absolută, este permeabilitatea magnetică relativă a materialului miezului,
este lungimea bobinei, , unde este raza bazei bobinei.
2.2.3. Secvența sintezei PF (RF)
conform parametrilor caracteristici

In poze 7 a, bși 8 a, b grafice ale cerințelor de atenuare și cele mai simple legături în formă de L sunt date, respectiv, pentru filtrele trece-bandă și crestătura.
Orez. 7

Orez. 8

Se recomandă sintetizarea PF și RF folosind calcule ale filtrelor prototip cu aceeași bandă de trecere și bandă de întârziere. Pentru PF, prototipul este un filtru trece-jos, iar pentru RF, un filtru trece-înalt. Procedura de sinteză este următoarea:

A) în prima etapă a sintezei, se aplică conversia de frecvență, în care cerințele grafice pentru atenuarea PF sunt convertite în cerințe pentru atenuarea filtrului trece-jos, iar cerințele grafice pentru atenuarea RF sunt convertite în cerințe pentru atenuarea filtrului trece-înalt :

B) conform metodei discutate anterior de sinteză a filtrelor trece-jos și filtrelor trece-înalt (punctele a–f
clauza 2.2.2) se dezvoltă un circuit electric, echivalent cu un filtru trece-jos pentru sinteza PF sau un filtru trece-înalt pentru sinteza RF. Pentru un filtru trece-jos sau un filtru trece-înalt, sunt reprezentate grafice ale coeficientului de atenuare și de transmisie a tensiunii;

C) circuitul de filtru trece-jos este transformat într-un circuit de filtru trece-bandă prin transformarea ramurilor longitudinale în circuite oscilatoare seriale și ramurilor transversale în circuite oscilatoare paralele prin conectarea unor elemente reactive suplimentare. Circuitul de filtru trece-înalt este transformat într-un circuit de filtru crestat prin conversia ramurilor longitudinale în circuite oscilatorii paralele și a ramurilor transversale în circuite oscilatoare seriale prin conectarea unor elemente reactive suplimentare. Elementele reactive suplimentare pentru fiecare ramură a filtrului low-pass (LPF) sunt determinate de valoarea frecvenței medii date a filtrului de trecere de bandă sau de crestătură () și de valorile calculate ale elementelor reactive ale ramurilor de low-pass. filtru de trecere (LPF), folosind expresia cunoscută pentru circuitele rezonante:

D) pentru circuitele PF sau RF, condensatoarele și inductoarele sunt dezvoltate sau selectate din cărțile de referință ale elementelor radio folosind aceeași metodologie care a fost discutată mai devreme în clauza 2.2.2 (clauza g) din prezentele ghiduri;

E) graficele de atenuare și coeficientul de transfer de tensiune al filtrului trece-jos (LPF) sunt convertite în grafice ale PF (RF) în conformitate cu relațiile dintre frecvențele acestor filtre. De exemplu, pentru a converti filtrul trece-jos în grafice PF:

, (41)

unde sunt frecvențele, respectiv, deasupra și sub frecvența medie a filtrului trece-bandă. Folosind aceleași formule, graficele filtrului de trecere înaltă sunt convertite în grafice ale filtrului de crestătură.

2.3. Metodologie de sintetizare a filtrelor pe baza parametrilor de funcționare

2.3.1. Principii de bază ale sintezei pe baza parametrilor de funcționare
(sinteză polinomială)

În această metodă de sinteză, la fel ca și în sinteza folosind parametrii caracteristici, sunt specificate cerințele pentru tipul de filtru proiectat, rezistență activă sarcină, atenuare sau raport de transfer de putere în banda de trecere și banda de oprire. Cu toate acestea, se ține cont de faptul că impedanțele de intrare și de ieșire ale filtrului variază în banda de trecere. În acest sens, filtrul este sintetizat într-un mod inconsecvent, adică în funcție de parametrii de funcționare, care se reflectă în datele sursă de cerință. Metoda se bazează pe un calcul obligatoriu pentru orice tip de filtru al unui filtru low-pass - prototip (filtru low-pass). Calculele folosesc normalizarea () și conversiile de frecvență.

Circuitul de filtru echivalent nu este dezvoltat din legături identice individuale, ci complet simultan, de obicei sub forma unui circuit cu structură în lanț. Figura 9 prezintă o vedere a unui circuit în lanț în formă de U al unui filtru trece-jos, iar Figura 10 prezintă o vedere a unui circuit în formă de T al aceluiași filtru cu elemente nestandardizate.

Orez. 9

Orez. 10

Principalele etape ale calculelor pe care se bazează această sinteză sunt următoarele:

A) aproximare - înlocuire cerințe grafice la coeficientul de transfer de putere printr-o expresie analitică, de exemplu, raportul polinoamelor în puteri, care corespunde formulelor pentru caracteristicile de frecvență ale filtrelor reactive reale;

B) trecerea la forma operator de înregistrare a caracteristicilor frecvenței (înlocuirea unei variabile cu o variabilă în expresia analitică care aproximează coeficientul de transfer de putere);

B) trecerea la expresia pentru rezistența de intrare a filtrului, folosind relația dintre coeficientul de transfer al puterii, coeficientul de reflexie și rezistența de intrare a filtrului:

În expresia (44) se utilizează un singur coeficient de reflexie, care corespunde unui circuit electric stabil (polii acestui coeficient nu au o parte reală pozitivă);

D) descompunerea expresiei analitice pentru rezistența de intrare obținută din (44) într-o sumă de fracții sau într-o fracție continuă pentru a obține valorile echivalente ale circuitului și ale elementelor.

Sinteza polinomială în dezvoltările practice se realizează de obicei folosind cărți de referință cu filtre, în care se fac calcule pentru această metodă sinteză. Cărțile de referință oferă funcții de aproximare, circuite echivalente și elemente normalizate ale filtrelor trece-jos. În cele mai multe cazuri, polinoamele Butterworth și Chebyshev sunt folosite ca funcții de aproximare.

Atenuarea unui filtru trece-jos cu o funcție de aproximare Butterworth este descrisă prin expresia:

unde este ordinea filtrului (un număr întreg pozitiv egal numeric cu numărul de elemente reactive din circuitul echivalent al filtrului).

Ordinea filtrului este determinată de expresie

Tabelele 1, 2 prezintă valorile elementelor reactive normalizate cu aproximarea Butterworth, calculate pentru diferite ordine ale filtrului trece-jos (pentru circuite similare cu cele din figurile 9, 10).

Tabelul 1

Valorile elementelor normalizate ale filtrului trece-jos Butterworth al unui circuit în formă de U

Ministerul Educației și Științei al Federației Ruse

Institutul Tehnologic Biysk (filiala)

institutie de invatamant de stat

studii profesionale superioare

„Universitatea Tehnică de Stat din Altai

ei. I.I. Polzunov"
R.G. Gareeva
sinteza filtrelor liniare de frecventa

Biysk

Editura Altai State Technical

Universitatea poartă numele I.I. Polzunova

UDC 621.372.54(076.5)

Revizor: Aleksandrovich V.M., Ph.D.,

Conferențiar, Departament IUS BTI AltSTU

Gareeva, R.G.

CU
G 20
sinteza filtrelor liniare de frecvență: recomandări metodologice pentru efectuarea lucrărilor de laborator la disciplina „Conversia semnalelor de măsurare” / R.G. Gareeva; Alt. stat tehnologie. Universitatea, BTI. – Biysk: Editura Alt. stat tehnologie. Universitatea, 2011. – 21 p.

Recomandările metodologice conțin un scurt rezumat al informațiilor teoretice despre filtrele electrice, tipurile și principalele caracteristici ale acestora. Problema sintetizării filtrelor continue de tip Butterworth cu trecere joasă și pe baza acestora - filtre trece bandă și filtre trece înalt, este luată în considerare în detaliu.

UDC 621.372.54(076.5)

Revizuit și aprobat

La o întâlnire a departamentului MSIA.

Protocolul nr. 10 din 30 decembrie 2010

© Gareeva R.G., 2011

BTI AltSTU, 2011

1 PARTEA TEORETICĂ

1.1 Filtre electrice

Filtrarea sau filtrarea este un proces tehnologic utilizat și aplicat pe scară largă.

Filtre electrice sunt dispozitive incluse într-un circuit electric și concepute pentru a trece curenți sau tensiuni de anumite frecvențe și atenua curenți sau tensiuni de alte frecvențe. Filtrele electrice sunt realizate din inductori, condensatori și rezistențe.

Teoria filtrelor este de obicei împărțită în două domenii largi care sunt strâns legate între ele - analiză și sinteză. Sarcina analizei este de a găsi caracteristicile externe și interne ale unui sistem electric, a cărui structură este predeterminată, de exemplu, sub forma unei scheme de circuit. Sarcina de sinteză este diametral opusă - o caracteristică externă, cum ar fi coeficientul de transfer al tensiunii de frecvență, rezistența de intrare sau de ieșire etc., este considerată cunoscută. Este necesar să se găsească o structură de circuit care să implementeze această caracteristică.

Spre deosebire de analiză, sinteza în lanț este de obicei o procedură ambiguă. Prin urmare, printre multe structuri cu aceleași proprietăți, este necesar să găsim cea care este optimă într-un anumit sens. Astfel, este întotdeauna de dorit ca circuitul sintetizat să conţină numărul minim posibil de elemente. În multe cazuri, este necesar ca circuitul să fie insensibil la alegerea valorilor elementelor incluse în el.

Să luăm în considerare cea mai simplă problemă de sinteză a filtrelor de frecvență, care sunt cvadripoli liniari formați de elemente. L, CUŞi R. În toate cazurile, datele inițiale pentru sinteză vor fi specificate prin caracteristicile amplitudine-frecvență.

1.2 Tipuri de filtre electrice

Se disting următoarele tipuri de filtre:

1) Filtre Low Pass (LPF). Scopul principal al unor astfel de dispozitive este de a transmite la ieșire, cu o atenuare minimă, semnale ale căror frecvențe nu depășesc o anumită frecvență de tăiere, numită frecvența de tăiere a filtrului . Semnale cu mai mult frecvente inalte ar trebui să fie semnificativ slăbit.

Pentru un filtru trece-jos cu o frecvență de tăiere, răspunsul de frecvență de amplitudine ideal (AFC) este descris de formula

Și este prezentat în Figura 1.

Figura 1 – Filtru trece jos

2) Filtre de trecere înaltă (HPF). Scopul principal al filtrului trece-înalt este atenuarea maximă a semnalelor ale căror frecvențe nu depășesc o anumită frecvență de tăiere și atenuarea minimă a semnalelor cu frecvențe mai mari (Figura 2).

Figura 2 – Filtru High Pass

3) Filtre trece-bandă (PF). Filtrele trece-bandă trebuie să treacă semnale cu frecvențe care se află într-o anumită bandă în apropierea frecvenței , numit frecvența centrală a benzii de trecere , sau mai multe frecvențe
... (în acest caz, filtrul este numit Mai multe benzi ) (Figura 3).

Figura 3 – Filtru trece-bandă

4)Filtre cu crestătură (blocare). (RF). Scopul principal al unor astfel de filtre este de a suprima semnalele ale căror frecvențe sunt importante sau situat într-o bandă îngustă în raport cu frecvența (Figura 4).

Figura 4 – Filtru Notch

1.3 Proprietățile filtrelor implementate fizic

Să luăm în considerare o caracteristică mai generală decât frecvența a sistemului - funcția de transfer
. În majoritatea cazurilor practice, se obține prin înlocuirea variabilei
în răspunsul în frecvență
pe variabilă
, unde  este abscisa convergenței.

Funcția de transfer este introdusă prin analogie cu răspunsul în frecvență
după raport:

,

Unde
– Imagini Laplace ale funcțiilor
:

,
.

Pentru sistemele liniare cu parametri constanți, funcția de transfer are forma:

, (1)

Unde
– valoare constantă;

– rădăcinile polinomului numărătorului (zerurile funcției de transfer);

– rădăcinile polinomului numitorului (polii funcției de transfer).

Pentru stabilitatea filtrului electric, este necesar ca polii funcției sale de transfer să aibă o parte reală negativă, adică să fie localizați în semiplanul stâng al planului complex, formând perechi complexe conjugate (Figura 5) .

Figura 5 – Amplasarea stâlpilor unui sistem stabil

De obicei, se introduce o condiție suplimentară - numărul de zerouri al funcției de transfer G(p) nu trebuie să depășească numărul de poli (gradul polinomului numărătorului funcției trebuie să fie mai mic decât gradul polinomului numitorului m n).

Spre deosebire de poli, zerourile funcției G(p) stabil sistem liniar poate fi situat atât în ​​semiplanul stâng cât și în cel drept al variabilei p. Sunt numite sisteme care nu au zerouri ale funcției de transfer în semiplanul drept fază minimă .

Locația zerourilor funcției G(p) are legătură cu structura topologică a circuitului. În teoria circuitelor, se dovedește că faza minimă va fi orice rețea cu patru terminale pentru care transmiterea unui semnal de la intrare la ieșire poate fi oprită complet prin ruperea unei singure ramuri. Filtrele electrice necesită ca sistemul să fie în faza minimă.

Pentru fezabilitatea fizică a unui filtru electric, trebuie îndeplinit criteriul Paley-Wiener: răspunsul în frecvență trebuie să fie astfel încât integrala să existe

(2)

Caracteristicile de frecvență considerate anterior ale filtrelor ideale (Figurile 1-4) sunt în mod evident irealizabile, deoarece funcția dispare H() face imposibilă existența integralei (2).

Caracteristicile ideale trebuie aproximate prin astfel de dependențe analitice H(), care ar tinde spre zero, dar nu ajunge la el.

1.4 Caracteristicile de putere ale filtrelor

Când se calculează gradul de transmisie sau netransmisie a unui semnal cu o anumită frecvență de către un filtru, este convenabil să se utilizeze caracteristicile de putere sau energie.

Coeficientul de transfer al puterii Se obișnuiește să se numească pătratul modulului răspunsului în frecvență:

Spre deosebire de funcția complexă de răspuns în frecvență
este real, ceea ce este mult mai convenabil pentru specificarea datelor inițiale la sintetiza unui filtru. Conform formulei (3), coeficientul de transfer de putere este o funcție uniformă a frecvenței.

Dacă într-o funcţie în loc de o variabilă  înlocuiţi o variabilă p, apoi primesc functie de transfer de putere :

. (4)

Formula (4) stabilește următorul fapt: dacă punctul
este punctul singular (zero sau pol) al funcției G(p), apoi funcția K p (p) va avea același punct singular ca și cu
asa cu

Cu alte cuvinte, punctele singulare ale funcției de transfer de putere au simetria cadranelor , adică sunt situate pe plan complex, având un centru de simetrie la originea coordonatelor (Figura 6). Această proprietate face posibilă restabilirea funcției de transfer G(p) printr-o funcție cunoscută K p (p).

Figura 6 – Polii în simetrie de cadran

1.5 Etapele sintezei filtrelor electrice

Sinteza filtrelor de frecvență începe de obicei cu selectarea unei funcții idealizate care descrie dependența de frecvență a coeficientului de transfer de putere. K p ().

Întrucât răspunsul în frecvență idealizat este, de regulă, irealizabil fizic, a doua etapă a sintezei constă în aproximarea acestuia cu o funcție care poate aparține unui sistem realizabil fizic.

În funcție de tipul funcției de transfer, acestea efectuează implementare circuite, adică primesc o diagramă schematică a filtrului, inclusiv evaluările elementelor de intrare.

1.6 Sinteza filtrelor trece-jos continue

Din punct de vedere istoric, implementarea filtrelor a început cu filtre continue, pentru care au fost deja create dispozitive standard, au fost compilate cărți de referință etc. Filtrele continue servesc ca prototipuri pentru filtrele discrete.

Să începem prin a lua în considerare caracteristicile realizabile fizic ale filtrelor trece-jos, deoarece folosind filtre trece-jos, este posibil să se obțină filtre de alte tipuri.

Pentru un filtru trece-jos cu o frecvență de tăiere, dependența ideală de frecvență a coeficientului de transfer de putere este descrisă de formula

(adică frecvențele fizice >0) și este prezentată în Figura 7.

Figura 7 – Coeficientul de transfer al puterii pentru filtrul trece-jos

Această caracteristică este irealizabilă pentru sistemele fizice, deoarece contrazice criteriul Paley-Wiener (2).

Sarcina de a selecta o funcție de aproximare admisibilă este ambiguă. Puteți aproxima o tăietură abruptă folosind numeroase funcții, dar de fiecare dată va trebui să vă confruntați cu contradicții: fie atenuați semnalul în banda de trecere
, sau suprimați-l slab în afara benzii de trecere
, sau ambele împreună.

1.6.1 Filtre Butterworth

O modalitate de a aproxima răspunsul ideal al filtrului trece-jos este utilizarea unui coeficient de transfer al puterii de următoarea formă:

, (5)

Unde
– adimensional frecventa normalizata ;

n- un număr întreg numit ordinea de filtrare .

În cazul general, coeficientul de transfer de putere (5) poate conține un factor de scară arbitrar.

Se numește un filtru trece-jos care are astfel de proprietăți de frecvență filtrul cu caracteristica cea mai plată sau filtru Butterworth (numit după omul de știință care a propus funcția de aproximare (5)). Pentru orice n Acest tip de filtru este fezabil.

În banda de trecere a filtrului Butterworth, adică la , coeficientul de transfer al puterii scade ușor odată cu creșterea frecvenței. Deosebit de remarcată este netezimea (absența pulsațiilor) a funcției luate în considerare.

La frecvența de tăiere, indiferent de ordinea sistemului,
. Cu cât ordinea este mai mare n, cu atât este descris mai precis răspunsul ideal de joasă frecvență (Figura 8).

Ordinea filtrului este de obicei selectată pe baza cerințelor de atenuare a semnalelor cu frecvențe
. Pentru a evalua gradul de atenuare a semnalului, utilizați valoarea

Exprimat în decibeli.

Figura 8 – Coeficientul de transfer de putere al filtrelor Butterworth la n= 1 și n= 5

La
, adică la frecventa semnalului de intrare atenuarea introdusa de filtru este
.

Dacă frecvența semnalului depășește semnificativ frecvența de tăiere a filtrului (
), apoi din formula (5) rezultă că
, iar atenuarea este

1.6.2 Funcția de transfer al filtrului Butterworth

Pentru a sintetiza în continuare structura circuitului, este necesar să se treacă de la coeficientul de transfer de putere selectat în forma (5) la funcția de transfer. G(p). Pentru a face acest lucru, introducem frecvența complexă normalizată
și scrieți funcția de transfer de putere sub forma:

, (7)

Cum este clar că în avion funcţie
nu are zerouri și are 2 n poli, care sunt rădăcinile ecuației

, (8)

Folosind forma polară a notației, scriem rădăcina ca:

Prin urmare, toate rădăcinile ecuației (8) se află pe un cerc de rază unitară centrat la origine
. Prin urmare,

În sfârșit, obținem

Să luăm în considerare separat comenzile de filtrare pare și impare.

1) n – un număr par.

În acest caz

Unde
.

De exemplu, pentru
obținem patru rădăcini corespunzătoare unghiurilor:

.

Pentru
obținem opt rădăcini corespunzătoare unghiurilor:

Locația rădăcinilor pe planul complex pentru exemplele date este prezentată în Figura 9.

Figura 9 – Poli factor de transfer de putere

filtru Butterworth la n= 2 și n= 4

2) n – număr impar.

În acest caz

Unde
.

De exemplu, pentru
obținem două rădăcini corespunzătoare unghiurilor:

Pentru
obținem șase rădăcini corespunzătoare unghiurilor:

Locația rădăcinilor pentru exemplele date este prezentată în Figura 10.

Figura 10 – Poli factor de transfer de putere

filtru Butterworth la n= 1 și n= 3

Modelul general pentru orice n este după cum urmează: toți polii sunt situați la aceeași distanță unul de celălalt, egali . Pentru filtrele impare, există două rădăcini situate pe axa reală; Pentru filtrele cu numere pare, nu există rădăcini reale.

Pentru a ajunge la funcția de transfer a filtrului Butterworth, extindem numitorul funcției
la factori:

Acum să profităm de faptul că polii funcției de transfer de putere au simetrie de cadran, adică numărul și configurația locației lor în ambele semiplane sunt aceleași. Acest lucru ne permite să presupunem că numai polii aflați în semiplanul stâng corespund filtrului sintetizat. „Copiile în oglindă” ale acestora din semiplanul din dreapta se referă la funcție
și nu sunt luate în considerare Astfel, funcția de transfer a filtrului Butterworth ia forma (rădăcinile din semiplanul stâng sunt numerotate de la 1 la. n):

Filtru Butterworth de ordinul 1.

Avem:
;

Alegeți o rădăcină stabilă: .

Funcția de transfer va fi scrisă astfel:

.

Având în vedere că
, în sfârșit obținem:

. (11)

Astfel, în procesul de aproximare a răspunsului ideal al unui filtru trece-jos cu o frecvență de tăiere dată folosind aproximarea Butterworth de ordinul 1, se obține un pol
.

Filtru Butterworth de ordinul 2.

Avem:
.

Conform (9)

Să selectăm rădăcini stabile și să le numărăm:

Pentru legăturile de ordinul 2, rădăcinile vor fi întotdeauna conjugate complexe.

Funcția de transfer de legături va lua forma:

.

Să facem tranziția

(12)

Expresia generală pentru funcția de transfer a legăturilor de ordinul 2 este:

, (13)

Unde – frecvența proprie a oscilațiilor sistemului;

z– coeficientul de atenuare a sistemului (at
se numeste linkul oscilatoare , la
– aperiodic ).

Dintr-o comparație a funcțiilor (12) și (13) rezultă că filtrul Butterworth de ordinul 2 este un element oscilant cu un coeficient de amortizare
și frecvența de oscilație naturală egală cu frecvența de tăiere a filtrului
.

Filtru Butterworth de ordinul 3.

Avem:
Şi

Să selectăm rădăcini stabile și să le numărăm.

Prima rădăcină corespunde legăturii de ordinul 1 cu funcția de transfer
.

.

Astfel, filtrele Butterworth de ordine impare sunt o conexiune în serie a unui element de ordinul 1 și a mai multor elemente de ordinul 2 cu coeficienți de atenuare diferiți. Filtrele de ordin egal sunt construite prin conectarea legăturilor de ordinul 2 în serie cu coeficienți de atenuare diferiți.

1.7 Sinteza filtrului High Pass

Un filtru trece-înalt este proiectat pentru a trece oscilațiile cu atenuare scăzută la frecvențe mai mari decât frecvența de tăiere . Dacă se cunoaște implementarea unui filtru trece-jos, se poate obține destul de simplu un circuit de filtru trece-înalt cu aceeași frecvență de tăiere. Pentru a face acest lucru, folosim o tehnică cunoscută în teoria circuitelor ca conversie de frecvență .

Să trecem de la variabilă r, folosit pentru a descrie filtrul trece-jos, la o nouă variabilă de frecvență , astfel încât Hz, la o frecvență egală cu Hz, ar oferi atenuarea semnalului nu mai rău decât dB.

2. Pe baza pasului 1, efectuați sinteza unui filtru trece-bandă Butterworth, a cărui frecvență centrală a benzii de trecere este de 2 ori mai mare decât frecvența de tăiere a filtrului trece-jos.

Opțiunea 2.

1. Sintetizați un filtru Butterworth trece-jos, care, la o frecvență de tăiere egală cu Hz, la o frecvență egală cu Hz, ar oferi o atenuare a semnalului nu mai rea de dB.

2. Pe baza pasului 1, sintetizați un filtru Butterworth de trecere înaltă, a cărui frecvență de tăiere este egală cu frecvența de tăiere a filtrului de trecere jos.

2.2 Scopul și obiectivele muncii de laborator

Scop munca de laborator este sinteza filtrelor Butterworth diverse tipuri(LPF, HPF, PF), oferind o atenuare specificată a semnalului.

Pentru a atinge acest obiectiv, este necesar să rezolvăm următoarele sarcini :

1. 
   calcul folosind relațiile (5), (6) de ordinul cel mai mic al filtrului Butterworth trece-jos, care asigură o atenuare a semnalului dată;
2. 
   determinarea prin expresiile (9) sau (10) a unghiurilor corespunzatoare polilor functiei de transfer de putere;
3. 
   formarea de legături care formează un filtru din poli stabili (determinarea numărului și ordinii acestora);
4. 
   derivarea expresiilor pentru funcțiile de transfer ale legăturilor individuale de ordinul 1 sau 2 prin analogie cu expresiile (11), (12); pentru legăturile de ordinul 2, calculul coeficienților de atenuare conform expresiei (15);
5. 
   calculul răspunsului în frecvență al secțiunilor individuale și al filtrului în ansamblu, construcția graficelor acestora;
6. 
   calculul funcției de transfer a filtrului trece-înalt sau PF utilizând substituția (16) sau (17) în funcția de transfer a fiecăreia dintre legăturile care formează filtrul trece-jos;
7. 
   calculul și reprezentarea grafică a răspunsului în frecvență al unui filtru trece-înalt sau al filtrului filtru, comparație cu o caracteristică similară a unui filtru trece-jos.

2.3 Protecția muncii de laborator

Apărarea lucrărilor de laborator se realizează pe parcursul semestrului conform orarului de curs. Se desfășoară sub forma unui interviu individual dacă studentul are o parte de program care conține o soluție la sarcină și un raport, care ar trebui să includă tema și scopul lucrării de laborator, părți teoretice și practice, precum și o concluzie. sau concluzii.
LITERATURĂ

1. 
   Sadovsky, G.A. Baze teoretice ale tehnologiei informaţiei-măsurare / G.A. Sadovsky. – M.: Liceu, 2008. – 480 p.
2. 
   Baskakov, S.I. Circuite și semnale de inginerie radio / S.I. Baskakov. – M.: Liceu, 2005. – 462 p.
3. 
   Sergienko, A.B. Procesare digitală a semnalului / A.B. Sergienko. – M: Peter, 2002. – 604 p.

Gareeva Renata Ghegelevna

sinteza filtrelor liniare de frecventa

la disciplina „Conversia semnalelor de măsurare”

Editor Solovyova S.V.

Semnat pentru publicare la 15 februarie 2011. Format 6084 1/16

Condiţional p.l. - 1.2. Ed. academic. l. - 1.3

Imprimare - risografie, duplicare
dispozitiv „RISO EZ300”

Tiraj 65 exemplare. Ordin 2011-43

Editura Statului Altai

Universitatea Tehnică

656038, Barnaul, Lenin Ave., 46

Aspectul original a fost pregătit de IIO BTI AltSTU

Tipărit în IIO BTI AltSTU

59305, Biysk, str. Trofimova, 27

Teoria circuitelor este de obicei împărțită în două domenii largi care sunt strâns legate între ele - analiză și sinteză. Sarcina analizei este de a găsi caracteristicile externe și interne ale unui circuit electric, a cărui structură este predeterminată, de exemplu, sub forma unei scheme de circuit. Sarcina sintezei circuitelor este diametral opusă - o caracteristică externă, cum ar fi coeficientul de transfer al tensiunii de frecvență, rezistența de intrare sau de ieșire etc., este considerată cunoscută. Este necesar să se găsească o structură de circuit care să implementeze această caracteristică.

Spre deosebire de analiză, sinteza în lanț este de obicei o procedură ambiguă. Prin urmare, printre multe structuri cu aceleași proprietăți, este necesar să găsim cea care este optimă într-un anumit sens. Astfel, este întotdeauna de dorit ca circuitul sintetizat să conţină numărul minim posibil de elemente. În multe cazuri, este necesar ca circuitul să fie insensibil la alegerea valorilor elementelor incluse în el.

Sinteza circuitelor este o zonă dezvoltată a ingineriei radio teoretice moderne. Au fost dezvoltate o serie de metode de sinteză, uneori foarte complexe, cu care cititorul se poate familiariza. Metodele de sinteză a circuitelor au devenit extrem de importante în legătură cu introducerea sistemelor de proiectare asistată de calculator pentru dispozitivele de inginerie radio pe computere.

În acest capitol, vom studia cea mai simplă problemă de sinteză a filtrelor de frecvență, care sunt rețele liniare staționare cu două porturi formate din elementele L, C și R. Datele inițiale pentru sinteză în toate cazurile vor fi specificate de caracteristicile amplitudine-frecvență.

13.1. Caracteristicile de frecvență ale cvadripolilor

Cvadrupolii sunt circuite electrice care arată ca o „cutie neagră” cu două perechi de terminale accesibile. O pereche servește ca intrare, cealaltă ca ieșire de semnal. În modul de funcționare, o sursă de semnal este conectată la intrare, iar bornele de ieșire sunt încărcate cu rezistențe de sarcină

Se presupune că cititorul este familiarizat cu metodele de analiză a cvadripolilor, care sunt prezentate în cursul de teorie a circuitelor. Materialul din această secțiune evidențiază puncte individuale care sunt esențiale pentru sinteza cvadripolilor.

Descrierea matricei.

Cea mai importantă proprietate a unei rețele liniare staționare cu două porturi este aceea că patru amplitudini complexe la orice frecvență de influență externă sunt legate de două ecuații algebrice liniare. Două amplitudini complexe alese arbitrar pot fi luate ca mărimi independente, iar celelalte două trebuie determinate în funcție de acestea. Aceasta servește drept bază pentru descrierea matricei a cvadripolilor liniari. Astfel, o matrice de transfer (matrice) este adesea folosită, presupunând că tensiunea și curentul la ieșire sunt variabile independente. În același timp

Coeficienții A, B, C și D au dimensiuni fizice diferite și pot fi determinați din experimente cu circuit deschis și scurtcircuit. Matricele de transmisie sunt deosebit de convenabile pentru descrierea conexiunii în cascadă a cvadripolilor, deoarece matricea rezultată este produsul matricelor legăturilor individuale.

Dacă sunt date matricea cvadripolară și rezistența de sarcină, atunci se pot calcula așa-numitele funcții de circuit, care includ, de exemplu:

a) impedanța de intrare

b) rezistenţa la transfer

c) coeficientul de transfer al tensiunii de frecvenţă

Funcțiile circuitului depind în general de frecvență. Orice funcție a circuitului este exprimată prin elementele matricei cvadripolare și prin rezistența de sarcină. Deci, împărțind părțile stânga și dreaptă ale ecuației (13.1) una la alta, aflăm că rezistența de intrare

În mod similar, coeficientul de transfer al tensiunii de frecvență

Să observăm că funcția depinde de direcția transferului de energie în sistem. Dacă sursa și sarcina au schimbat locurile, atunci introduceți coeficientul de transmisie a frecvenței în direcția opusă (sarcina în stânga):

Funcția de transfer a unei rețele cu patru poli.

În viitor, nu numai frecvența variabilă, ci și complexă va fi folosită ca argument pentru coeficientul de transfer al frecvenței, adică, împreună cu funcția, mai mult caracteristici generale- functie de transfer. Funcția de transfer a unei rețele cu patru porturi are toate proprietățile funcțiilor de transfer ale sistemelor liniare staționare discutate în capitolul. 8.

Astfel, o rețea liniară cu patru porturi cu parametri constanți corespunde funcției

unde este o valoare constantă. Dacă lanțul este stabil, atunci polii ar trebui să fie localizați în semiplanul stâng, formând perechi conjugate complexe.

De obicei, se introduce o condiție suplimentară - numărul de poli ai funcției trebuie să depășească numărul de zerouri, adică într-un punct infinit îndepărtat trebuie să existe nu un pol, ci un zero al funcției de transfer. Apoi răspunsul la impuls al circuitului

se dovedește a fi limitat, deoarece cu o rază infinit de mare a conturului de integrare C, factorul exponențial al integrandului poate „suprima” integrala de-a lungul arcului.

Locația zerourilor funcției de transfer.

Spre deosebire de poli, zerourile funcției unui cvadripol liniar stabil pot fi situate atât în ​​semiplanul stâng, cât și în cel drept al variabilei. Într-adevăr, dacă atunci asta înseamnă doar că la un moment dat imaginea tensiunii de ieșire ajunge la zero. Acest lucru nu contrazice proprietățile sistemelor stabile.

Cvadrupolii care nu au zerouri ale funcției de transfer în semiplanul drept se numesc circuite de fază minimă. Dacă există zerouri în semiplanul drept, atunci astfel de rețele cu patru terminale se numesc circuite de fază neminimă.

Această terminologie este asociată cu următoarele circumstanțe. Să luăm în considerare planul de frecvență complex, pe care sunt desemnate unele puncte din semiplanurile din stânga și din dreapta. Fie aceste puncte zerourile funcției de transfer a rețelei cu patru poli. Dacă circuitul se află sub o influență externă armonică, atunci aceste puncte corespund la doi vectori pe planul complex: care corespund factorilor corespunzători din numărătorul formulei (13.5). Ambii vectori se rotesc și își schimbă lungimea pe măsură ce frecvența se schimbă. Diferența dintre ei este că un vector cu o schimbare a frecvenței de la la crește unghiul de fază al câștigului de frecvență pe radian, în timp ce un vector în aceleași condiții scade faza cu . aceeași sumă. Coeficientul de transmisie al unei rețele cu patru poli este o funcție fracțională-rațională, schimbându-i argumentul

Prin urmare, cu același număr de zerouri și poli, circuitul de fază neminimă asigură o modificare mai mare a valorii absolute a fazei coeficientului de transmisie în comparație cu circuitul de fază minimă.

Locația zerourilor funcției este legată de structura topologică a circuitului. În teoria circuitelor, se arată că orice rețea cu patru terminale cu următoarea proprietate va fi de fază minimă: transmiterea unui semnal de la intrare la ieșire poate fi oprită complet prin ruperea unei singure ramuri. În special, circuitele de fază minimă vor fi orice rețele cu patru poli ale unei structuri cu scări.

Rețelele cu patru terminale fără fază minimă au, de regulă, o structură de circuite în punte (încrucișate), în care semnalul de ieșire trece prin două sau mai multe canale. Cel mai simplu circuit fără fază minimă este o rețea simetrică cu patru porturi, formată din elemente. Aici, după cum este ușor de văzut, funcția de transfer de tensiune

Această funcție are un singur zero care se află în semiplanul drept.

Cu toate acestea, structura podului nu garantează automat că circuitul aparține clasei de fază non-minimă. În fiecare caz individual, ar trebui verificată prezența sau absența zerourilor funcției de transfer în semiplanul drept.

Relația dintre răspunsul de frecvență medie și răspunsul de fază al unui cvadrupol de fază minimă.

Funcția de transfer a oricărei rețele stabile cu patru porturi în semiplanul drept al variabilei este o funcție analitică. Dacă, în plus, această rețea cu patru porturi aparține circuitelor de tip fază minimă, atunci funcția sa de transfer în semiplanul drept nu are zerouri. Aceasta înseamnă că funcția se dovedește a fi analitică

În conformitate cu materialul din Cap. 5, valorile limită ale părților reale și imaginare ale funcției pe axa imaginară, adică atunci când sunt legate între ele printr-o pereche de transformări Hilbert:

Astfel, prin implementarea unui răspuns în frecvență dat de un tip de fază minimă cu patru porturi, este imposibil să se obțină vreun răspuns de fază.

Pe baza proprietăților transformărilor Hilbert, se poate argumenta, de exemplu, că, dacă răspunsul în frecvență al unei rețele cu două porturi cu fază minimă atinge un maxim la o anumită frecvență, atunci răspunsul de fază în vecinătatea acestei frecvențe trece prin zero. .

Dacă rețeaua cu patru porturi aparține clasei de circuite de fază non-minimă, atunci răspunsul în frecvență și răspunsul la fază sunt independente unul de celălalt. Dintre circuitele de fază neminimă, un rol deosebit de important îl joacă așa-numiții cvadripoli all-pasivi, în care modulul coeficientului de transmisie este constant și nu depinde de frecvență. Un exemplu este o punte simetrică - rețea cu patru terminale, pentru care, în conformitate cu egalitatea (13.6)

Cvadripoli similari sunt utilizați pentru corectarea de fază a semnalelor. Ele fac posibilă compensarea parțială a distorsiunilor sub formă de semnale transmise prin dispozitivele radio.