Duhamel integral.

Cunoașterea răspunsului circuitului la o singură influență perturbatoare, i.e. funcție de conductivitate tranzitorie și/sau funcție de tensiune tranzitorie, puteți găsi răspunsul circuitului la o influență de formă arbitrară. Metoda, metoda de calcul folosind integrala Duhamel, se bazează pe principiul suprapunerii.

Când se folosește integrala Duhamel pentru a separa variabila peste care se realizează integrarea și variabila care determină momentul de timp în care este determinat curentul din circuit, prima este de obicei notă ca , iar a doua ca t.

Lăsați în momentul de față circuitul cu condiții inițiale zero (rețea pasivă cu două terminale PDîn fig. 1) este conectată o sursă cu o tensiune de formă arbitrară. Pentru a găsi curentul din circuit, înlocuim curba inițială cu un pas unu (vezi Fig. 2), după care, ținând cont de faptul că circuitul este liniar, însumăm curenții de la saltul inițial de tensiune și toate treptele de tensiune. până la momentul t, care intră în vigoare cu o întârziere.

La momentul t, componenta curentului total determinată de supratensiunea inițială este egală cu .

În acest moment, există o supratensiune , care, ținând cont de intervalul de timp de la începutul saltului până la punctul de timp de interes t, va determina componenta curentă.

Curentul total la momentul t este în mod evident egal cu suma tuturor componentelor curente de la supratensiuni individuale, ținând cont de , i.e.

Înlocuirea intervalului de increment de timp finit cu unul infinitezimal, i.e. trecând de la sumă la integrală scriem

.

(1)

Relația (1) se numește Duhamel integral.

Trebuie remarcat faptul că tensiunea poate fi determinată și folosind integrala Duhamel. În acest caz, în locul conductivității de tranziție, (1) va include funcția de tensiune de tranziție.

Secvența de calcul folosind
Duhamel integral

Ca exemplu de utilizare a integralei Duhamel, determinăm curentul din circuitul din Fig. 3, calculat în prelegerea anterioară folosind formula de includere.

Date inițiale pentru calcul: , , .

1. Conductivitate tranzitorie

.

18. Funcția de transfer.

Relația operatorului de influență cu propriul său operator se numește funcție de transfer sau funcție de transfer sub formă de operator.

O legătură descrisă de o ecuație sau ecuații sub formă simbolică sau operator poate fi caracterizată prin două funcții de transfer: o funcție de transfer pentru valoarea de intrare u; și funcția de transfer pentru mărimea de intrare f.

Şi

Folosind funcțiile de transfer, ecuația se scrie ca . Această ecuație este o formă condiționată, mai compactă de scriere a ecuației originale.

Alături de funcția de transfer sub formă de operator, funcția de transfer sub formă de imagini Laplace este utilizată pe scară largă.

Funcțiile de transfer sub formă de imagini Laplace și forma operatorului coincid până la notație. Funcția de transfer sub forma imaginii Laplace poate fi obținută din funcția de transfer sub formă de operator, dacă substituția p=s se face în acesta din urmă. În cazul general, aceasta rezultă din faptul că diferențierea originalului - înmulțirea simbolică a originalului cu p - în condiții inițiale zero corespunde înmulțirii imaginii cu un număr complex s.

Asemănarea dintre funcțiile de transfer sub forma imaginii Laplace și în forma operatorului este pur externă și apare numai în cazul legăturilor (sisteme) staționare, adică. numai în condiții inițiale zero.

Să considerăm un circuit RLC (serie) simplu, funcția sa de transfer W(p)=U OUT /U IN

integrala Fourier.

Funcţie f(x), definit pe întreaga linie numerică este apelat periodic, dacă există un număr astfel încât pentru orice valoare X egalitatea este valabilă . Număr T numit perioada functiei.

Să notăm câteva proprietăți ale acestei funcții:

1) Suma, diferența, produsul și câtul funcțiilor periodice ale perioadei T este o funcție periodică a perioadei T.

2) Dacă funcţia f(x) punct T, apoi funcția f(topor)are punct.

3) Dacă f(x) - funcţie periodică a perioadei T, apoi oricare două integrale ale acestei funcții, luate pe intervale de lungime T(în acest caz integrala există), adică pentru orice oŞi b egalitatea este adevărată .

Seria trigonometrică. Seria Fourier

Dacă f(x) este extins pe un segment într-o serie trigonometrică uniform convergentă: (1)

Atunci această expansiune este unică și coeficienții sunt determinați de formulele:

Unde n=1,2, . . .

Se numește seria trigonometrică (1) de tipul considerat cu coeficienți seria Fourier trigonometrică.

Forma complexă a seriei Fourier

Expresia se numește forma complexă a seriei Fourier a funcției f(x), dacă este definit prin egalitate

, Unde

Trecerea de la seria Fourier în formă complexă la seria în formă reală și înapoi se realizează folosind formulele:

(n=1,2, . . .)

Integrala Fourier a unei funcții f(x) este o integrală de forma:

, Unde .

Funcții de frecvență.

Dacă aplicați la intrarea unui sistem cu funcție de transfer W(p) semnal armonic

apoi, după finalizarea procesului de tranziție, vor fi stabilite oscilații armonice la ieșire

cu aceeași frecvență, dar amplitudine și fază diferite, în funcție de frecvența influenței perturbatoare. Din ele se pot judeca proprietățile dinamice ale sistemului. Sunt numite dependențe care conectează amplitudinea și faza semnalului de ieșire cu frecvența semnalului de intrare caracteristicile de frecvență(CH). Analiza răspunsului în frecvență al unui sistem pentru a studia proprietățile sale dinamice se numește analiza frecventei.

Să înlocuim expresiile pentru u(t)Şi y(t)în ecuația dinamicii

(aоp n + a 1 pn - 1 + a 2 p n - 2 + ... + a n)y = (bоp m + b 1 p m-1 + ... + b m)u.

Să luăm în considerare asta

pnu = pnU m ejwt = U m (jw)nejwt = (jw)nu.

Relații similare pot fi scrise pentru partea stângă a ecuației. Primim:

Prin analogie cu funcția de transfer, putem scrie:

W(j), egal cu raportul dintre semnalul de ieșire și semnalul de intrare atunci când semnalul de intrare se modifică conform legii armonice, se numește funcția de transfer de frecvență. Este ușor de observat că poate fi obținut prin simpla înlocuire a p cu j în expresia W(p).

W(j) este o funcție complexă, prin urmare:

unde P() - răspuns în frecvență reală (RFC); Q() - răspuns în frecvență imaginară (ICH); A() - răspuns la frecvență de amplitudine (AFC): () - răspuns în frecvență de fază (PFC). Răspunsul în frecvență oferă raportul dintre amplitudinile semnalelor de ieșire și de intrare, răspunsul de fază oferă defazajul cantității de ieșire în raport cu intrarea:

;

Dacă W(j) este reprezentat ca un vector pe plan complex, atunci când se trece de la 0 la + capătul său va desena o curbă numită odograf vectorial W(j), sau răspuns în frecvență amplitudine-fază (APFC)(Fig. 48).

Ramura AFC la schimbarea de la - la 0 poate fi obținută prin oglindirea acestei curbe în raport cu axa reală.

Folosit pe scară largă în TAU caracteristici de frecvență logaritmică (LFC)(Fig.49): răspuns în frecvență cu amplitudine logaritmică (LAFC) L() și răspuns în frecvență de fază logaritmică (LPFC) ().

Ele sunt obținute luând logaritmul funcției de transfer:

LAC se obține din primul termen, care se înmulțește cu 20 din motive de scalare și nu se folosește logaritmul natural, ci cel zecimal, adică L() = 20lgA(). Valoarea lui L() este trasată de-a lungul axei ordonatelor în decibeli.

O modificare a nivelului semnalului cu 10 dB corespunde unei modificări a puterii acestuia de 10 ori. Deoarece puterea semnalului armonic P este proporțională cu pătratul amplitudinii sale A, o modificare a semnalului de 10 ori corespunde unei modificări a nivelului său cu 20 dB, deoarece

log(P 2 /P 1) = log(A 2 2 /A 1 2) = 20log(A 2 /A 1).

Axa absciselor arată frecvența w pe o scară logaritmică. Adică, intervalele unitare de-a lungul axei absciselor corespund unei modificări în w cu un factor de 10. Acest interval se numește deceniu. Deoarece log(0) = -, axa ordonatelor este desenată în mod arbitrar.

LPFC obținut din al doilea termen diferă de răspunsul de fază doar în scara de-a lungul axei. Valoarea () este trasată de-a lungul axei ordonatelor în grade sau radiani. Pentru legăturile elementare nu depășește: - +.

Caracteristicile de frecvență sunt caracteristici cuprinzătoare ale sistemului. Cunoscând răspunsul în frecvență al sistemului, îi puteți restabili funcția de transfer și puteți determina parametrii acestuia.

Feedback.

Este în general acceptat că o legătură este acoperită de feedback dacă semnalul său de ieșire este alimentat la intrare printr-o altă legătură. Mai mult, dacă semnalul de feedback este scăzut din acțiunea de intrare (), atunci feedback-ul se numește negativ. Dacă semnalul de feedback este adăugat la acțiunea de intrare (), atunci feedback-ul se numește pozitiv.

Funcția de transfer a unui circuit închis cu feedback negativ - legătura acoperită de feedback negativ - este egală cu funcția de transfer a circuitului înainte împărțită la unu plus funcția de transfer a circuitului deschis

Funcția de transfer în buclă închisă cu feedback pozitiv este egală cu funcția de transfer în buclă înainte împărțită la unu minus funcția de transfer în buclă deschisă

22. 23. Cvadrupoli.

Când se analizează circuite electriceîn problemele de studiu a relației dintre variabilele (curenți, tensiuni, puteri etc.) a două ramuri ale unui circuit, teoria rețelelor cu patru terminale este utilizată pe scară largă.

Cvadrupol- Aceasta este o parte a unui circuit din orice configurație care are două perechi de terminale (de unde și numele), numite de obicei intrare și ieșire.

Exemple de rețea cu patru terminale sunt un transformator, un amplificator, un potențiometru, o linie de alimentare și alte dispozitive electrice în care se pot distinge două perechi de poli.

În general, cvadripolii pot fi împărțiți în activ, a căror structură include surse de energie și pasiv, ale căror ramuri nu conţin surse de energie.

Pentru a scrie ecuațiile unei rețele cu patru porturi, selectăm într-un circuit arbitrar o ramură cu singura sursă energie și orice altă ramură cu o anumită rezistență (vezi Fig. 1, a).

În conformitate cu principiul compensării, înlocuim rezistența inițială cu o sursă cu tensiune (vezi Fig. 1,b). Apoi, pe baza metodei de suprapunere pentru circuitul din Fig. 1b poate fi scris

Ecuațiile (3) și (4) sunt ecuațiile de bază ale cvadripolului; ele mai sunt numite ecuații cu patru poli în formă A (vezi Tabelul 1). În general, există șase forme de scriere a ecuațiilor unui cvadripol pasiv. Într-adevăr, o rețea cu patru terminale este caracterizată de două tensiuni și și doi curenți și. Oricare două mărimi pot fi exprimate în termenii celorlalte. Deoarece numărul de combinații de patru câte doi este de șase, atunci sunt posibile șase forme de scriere a ecuațiilor unui cvadripol pasiv, care sunt date în tabel. 1. Direcțiile pozitive ale curenților pentru diferite forme de scriere a ecuațiilor sunt prezentate în Fig. 2. Rețineți că alegerea uneia sau a altei forme de ecuații este determinată de aria și tipul problemei care se rezolvă.

Tabelul 1. Forme de scriere a ecuațiilor unui cvadripol pasiv

Formă	Ecuații	Relația cu coeficienții ecuațiilor de bază
în formă de A	; ;
în formă de Y	; ;	; ; ; ;
în formă de Z	; ;	; ; ; ;
în formă de H	; ;	; ; ; ;
în formă de G	; ;	; ; ; ;
Forma B	; .	; ; ; .

Impedanța și coeficientul caracteristic
propagarea unui cvadripol simetric

În telecomunicații, este utilizat pe scară largă modul de funcționare al unei rețele simetrice cu patru terminale, în care rezistența sa de intrare este egală cu rezistența de sarcină, adică.

.

Această rezistență este desemnată ca rezistenta caracteristica rețea simetrică cu patru porturi și modul de funcționare al rețelei cu patru porturi, pentru care este adevărat

,

Pentru a judeca capacitățile dispozitivelor electrice care primesc și transmit influențe de intrare, acestea recurg la studierea caracteristicilor tranzitorii și ale impulsurilor.

Răspuns la pas h(t) a unui circuit liniar care nu conține surse independente este numeric egală cu răspunsul circuitului la influența unui singur salt de curent sau de tensiune sub forma unei funcții cu un singur pas 1( t) sau 1( t – t 0) în condiții inițiale zero (Fig. 14). Dimensiunea caracteristicii de tranziție este egală cu raportul dintre dimensiunea reacției și dimensiunea impactului. Poate fi adimensional, are dimensiunea lui Ohm, Siemens (Cm).

Orez. 14

Răspuns la impuls k(t) a unui circuit liniar care nu conține surse independente este numeric egală cu răspunsul circuitului la acțiunea unui singur impuls sub forma d( t) sau d( t – t 0) funcții cu condiții inițiale zero. Dimensiunea sa este egală cu raportul dintre dimensiunea reacției și produsul dimensiunii impactului și timpul, deci poate avea dimensiunile c –1, Ohms –1, Sms –1.

Funcția de impuls d( t) poate fi considerată derivata funcției pasului unitar d( t) = d 1(t)/dt. În consecință, răspunsul la impuls este întotdeauna derivata în timp a răspunsului pas: k(t) = h(0 +)d( t) + dh(t)/dt. Această relație este folosită pentru a determina răspunsul la impuls. De exemplu, dacă pentru un lanț h(t) = 0,7e –100t, Asta k(t) = 0,7d( t) – 70e –100 t. Răspunsul tranzitoriu poate fi determinat prin metoda clasică sau prin metoda operatorului de calcul al proceselor tranzitorii.

Există o legătură între caracteristicile de timp și frecvență ale unui circuit. Cunoscând funcția de transfer al operatorului, puteți găsi o imagine a reacției circuitului: Y(s) = W(s)X(s), adică funcția de transfer conține informatii complete despre proprietățile unui circuit ca sistem de transmitere a semnalelor de la intrarea la ieșire în condiții inițiale zero. În acest caz, natura impactului și reacției corespund celor pentru care este determinată funcția de transfer.

Funcția de transfer pentru circuitele liniare nu depinde de tipul de acțiune de intrare, deci poate fi obținută din răspunsul tranzitoriu. Astfel, atunci când o funcție pas unitară 1( t) funcția de transfer ținând cont de faptul că 1( t) = 1/s, este egal

W(s) = L [h(t)] / L = L [h(t)] / (1/s), Unde L [f(t)] - desemnarea transformării directe Laplace asupra unei funcții f(t). Răspunsul în trepte poate fi determinat prin funcția de transfer folosind transformarea Laplace inversă, adică h(t) = L –1 [W(s)(1/s)], Unde L –1 [F(s)] - desemnarea transformării Laplace inverse asupra unei funcții F(s). Astfel, răspunsul tranzitoriu h(t) este o funcție a cărei imagine este egală cu W(s) /s.

Când o funcție de un singur impuls d( t) funcția de transfer W(s) = L [k(t)] / L = L [k(t)] / 1 = L [k(t)]. Astfel, răspunsul la impuls al circuitului k(t) este originalul funcției de transfer. Din funcția de operator cunoscută a circuitului, folosind transformata Laplace inversă, se poate determina răspunsul la impuls: k(t) W(s). Aceasta înseamnă că răspunsul la impuls al circuitului determină în mod unic caracteristicile de frecvență ale circuitului și invers, deoarece

W(j w) = W(s)s = j w. Deoarece răspunsul tranzitoriu al unui circuit poate fi găsit dintr-un răspuns la impuls cunoscut (și invers), acesta din urmă este, de asemenea, determinat în mod unic de caracteristicile de frecvență ale circuitului.

Exemplul 8. Calculați caracteristicile tranzitorii și de impuls ale circuitului (Fig. 15) pentru curentul de intrare și tensiunea de ieșire la parametrii dați elemente: R= 50 ohmi, L 1 = L 2 = L= 125 mH,
CU= 80 uF.

Orez. 15

Soluţie. Să folosim metoda clasică de calcul. Ecuația caracteristică Zin = R + pL +
+ 1 / (pc) = 0 pentru parametrii dați ai elementelor are rădăcini complexe conjugate: p 1,2 =
= – d j w A 2 = – 100 j 200, care determină caracterul oscilator al procesului de tranziție. În acest caz, legile modificării curenților și tensiunilor și derivatele lor sunt, în general, scrise după cum urmează:

y(t) = (Mсosw A 2 t+ N sinw A 2 t)e–d t + y afară; dy(t) / dt =

=[(–M d+ N w A 2) cos w A 2 t – (M w A 2 + N d)sinw A 2 t]e–d t + dy afară / dt, unde w A 2 este frecvența oscilațiilor libere; y out - componentă forțată a procesului de tranziție.

În primul rând, să găsim o soluție pentru u C(t) Și IC(t) = C du C(t) / dt, folosind ecuațiile de mai sus, iar apoi folosind ecuațiile Kirchhoff vom determina tensiunile, curenții și, în consecință, caracteristicile tranzitorii și de impuls necesare.

Pentru a determina constantele de integrare, sunt necesare valorile inițiale și forțate ale funcțiilor indicate. Valorile lor inițiale sunt cunoscute: u C(0 +) = 0 (din definiție h(t) Și k(t)), pentru că IC(t) = eu L(t) = i(t), Asta IC(0 +) = eu L(0 +) = 0. Determinăm valorile forțate din ecuația compilată conform celei de-a doua legi a lui Kirchhoff pentru t 0 + : u 1 = R i(t) + (L 1 + L 2) i(t) / dt + u C(t), u 1 = 1(t) = 1 = const,

de aici u C() = u C out = 1, IC() = IC afară = i() = 0.

Să creăm ecuații pentru a determina constantele de integrare M, N:

u C(0 +) = M + u C afară (0 +), IC(0 +) = CU(–M d+ N w A 2) + IC out(0+); sau: 0 = M + 1; 0 = –M 100 + N 200; de aici: M = –1, N= –0,5. Valorile obținute ne permit să notăm soluțiile u C(t) Și IC(t) = i(t): u C(t) = [–cos200 t– -0,5sin200 t)e –100t+ 1] B, IC(t) = i(t) = e –100 t] = 0,02
sin200 t)e –100 t A. Conform celei de-a doua legi a lui Kirchhoff,

u 2 (t) = u C(t) + tu L 2 (t), tu L 2 (t) = tu L(t) = Ldi(t) / dt= (0,5cos200 t– 0,25sin200 t) e –100t B. Atunci u 2 (t) =

=(–0,5сos200 t– 0,75sin200 t) e –100t+ 1 = [–0,901sin(200 t + 33,69) e –100t+ 1] B.

Să verificăm corectitudinea rezultatului obținut folosind valoarea inițială: pe de o parte, u 2 (0 +) = –0,901 sin (33,69) + 1 = 0,5, iar pe de altă parte, u 2 (0 +) = u C (0 +) + tu L(0 +) = 0 + 0,5 - valorile sunt aceleași.

Ministerul Educației și Științei al Ucrainei

Universitatea Națională Donețk

Raport

pe tema: Circuite și semnale de inginerie radio

Student în anul 3 cu normă întreagă la NF-3

Dezvoltat de un student:

Alexandrovici S.V.

Verificat de profesor:

Dolbeshchenkov V.V.

INTRODUCERE

„Circuite și semnale de inginerie radio” (RTC și S)– un curs care este o continuare a cursului „Fundamentals of Circuit Theory”. Scopul său este de a studia principiile fundamentale asociate cu recepția semnalelor, transmiterea acestora prin canale de comunicație, procesarea și conversia în circuite radio. Metodele de analiză a semnalelor și a circuitelor de inginerie radio prezentate la cursul „RTC și C” utilizează informații matematice și fizice, cunoscute în principal de studenții de la disciplinele anterioare. Un obiectiv important al cursului „RTC și S” este acela de a-i învăța pe studenți să aleagă un aparat matematic adecvat problemei întâlnite și de a arăta cum funcționează acest aparat atunci când rezolvă probleme specifice din domeniul ingineriei radio. Este la fel de important să-i învățăm pe elevi să vadă legătura strânsă dintre descrierea matematică și latura fizică a fenomenului luat în considerare, pentru a putea compune modele matematice procesele studiate.

Principalele secțiuni studiate în cadrul cursului „Circuite și semnale de inginerie radio”:

1. Analiza temporală a circuitelor bazată pe convoluție;

2. Analiza spectrală semnale;

3. Semnale radio cu modulație în amplitudine și unghi;

4. Analiza corelației semnalelor;

5. Circuite liniare active;

6. Analiza trecerii semnalelor prin circuite de bandă îngustă;

7. Negativ feedbackîn circuite liniare;

8. Sinteza filtrului;

9. Circuite neliniare și metode de analiză a acestora;

10. Circuite cu parametri variabili;

11. Principii de generare a oscilațiilor armonice;

12. Principii de prelucrare a semnalelor de timp discrete;

13. Semnale aleatorii;

14. Analiza trecerii semnalelor aleatorii prin circuite liniare;

15. Analiza trecerii semnalelor aleatoare prin circuite neliniare;

16. Filtrarea optimă a semnalelor deterministe în zgomot;

17. Filtrarea optimă a semnalelor aleatorii;

18. Metode numerice de calcul a circuitelor liniare.

ANALIZA CIRCUITULUI DE TEMPORIZARE PE BAZĂ DE CONVOLUȚIE

Răspuns pas și impuls

Metoda timpului se bazează pe conceptul de caracteristici tranzitorii și de impuls ale unui circuit. Răspuns la pas lanțurile sunt răspunsul unui lanț la o influență sub forma unei funcții unitare. Indică răspunsul tranzitoriu al unui circuit g(t).Răspuns la impuls circuitele se numesc răspunsul unui circuit la o singură funcție de impuls (funcția d). Indică răspuns la impuls h(t). În plus, g(t) Și h(t) sunt determinate la condiții inițiale zero în circuit. În funcție de tipul de reacție și de tipul impactului (curent sau tensiune), caracteristicile tranzitorii și ale impulsului pot fi mărimi adimensionale sau au dimensiuni A/B sau V/A.

Utilizarea conceptelor de caracteristici tranzitorii și de impuls ale unui circuit ne permite să reducem calculul răspunsului circuitului de la acțiunea unui semnal neperiodic de formă arbitrară la determinarea răspunsului circuitului la cel mai simplu impact, cum ar fi un singur 1( t) sau funcția de impuls d( t), cu ajutorul căruia se aproximează semnalul inițial. În acest caz, reacția rezultată a unui lanț liniar se găsește (folosind principiul suprapunerii) ca sumă a reacțiilor lanțului la influențe elementare 1( t) sau d( t).

Între tranzitorie g(t) și puls h(t) există o anumită legătură între caracteristicile unui circuit pasiv liniar. Se poate stabili dacă reprezentăm o funcție de impuls unitară prin trecerea la limita diferenței a două funcții unitare de mărime 1/t, deplasate una față de cealaltă de timpul t:

adică, funcția de impuls unitar este egală cu derivata funcției de unitate. Deoarece circuitul luat în considerare este considerat liniar, relația rămâne aceeași pentru reacțiile de impuls și tranzitorii ale circuitului.

adică răspunsul la impuls este o derivată a răspunsului în trepte al circuitului.

Ecuația este valabilă pentru cazul în care g(0) = 0 (condiții inițiale zero pentru circuit). Dacă g(0) ¹ 0, apoi prezentând g(t) în formă g(t) = , unde = 0, obținem ecuația de cuplare pentru acest caz:

Pentru a găsi caracteristicile tranzitorii și de impuls ale unui circuit, puteți utiliza atât metodele clasice, cât și cele ale operatorului. Esența metodei clasice este de a determina răspunsul în timp al circuitului (sub formă de tensiune sau curent în ramurile individuale ale circuitului) la influența unui singur 1( t) sau impuls d( t) funcții. De obicei, este convenabil să se determine răspunsul tranzitoriu folosind metoda clasică g(t), și răspunsul la impuls h(t) găsiți folosind ecuațiile de cuplare sau metoda operatorului.

Trebuie remarcat faptul că valoarea eu(r)V ecuația este numeric egală cu imaginea conductivității tranzitorii. O imagine similară a răspunsului la impuls este numeric egală cu conductivitatea operatorului a circuitului

De exemplu, pentru RС-lanturi avem:

Aplicarea la Y(p) teorema expansiunii, obținem:

În tabel 1.1 rezumă valorile caracteristicilor tranzitorii și ale impulsului pentru curent și tensiune pentru unele circuite de ordinul întâi și al doilea.

Răspuns la impuls(funcția de greutate) este răspunsul sistemului la un singur impuls infinit (funcția delta sau funcția Dirac) în condiții inițiale zero. Funcția delta este definită de egalități

, .

Acest functie generica– un obiect matematic care reprezintă un semnal ideal, nu dispozitiv real incapabil să o reproducă. Funcția delta poate fi considerată ca limita a unui impuls dreptunghiular de unitate de suprafață centrată pe un punct, deoarece lățimea impulsului tinde spre zero.

Acum trebuie să analizăm limitele acestei sume. Deci, trebuie să folosim integrale pentru a înțelege corect acest tip de sistem. Pentru asta avem nevoie de o circumvoluție! Pentru această problemă, presupunem că \\ este mai mare decât zero. Încercați următoarele două funcții.

,

unde este funcția de transfer a sistemului, care este transformata Laplace pentru. Răspunsul la impuls al unui sistem cu un integrator tinde spre o valoare constantă egală cu coeficientul de transfer static al unui sistem fără integrator. Pentru un sistem cu doi integratori, răspunsul la impuls tinde asimptotic spre o linie dreaptă, cu trei integratori - către o parabolă etc.

Semnalul discret corespunzător este o secvență. Să considerăm transformata Fourier a unui semnal continuu. Aproximația cu transformată Fourier este obținută din semnalul discret folosind metoda casetei.

Când suma este oprită la rangul final, găsim.

Sistem liniar cu răspuns la impuls finit

Acest sistem se numește cauzal deoarece starea de ieșire depinde doar de stările anterioare de intrare. Semnal discret definit.

Pentru un impuls de intrare, sistemul liniar emite un semnal.

Trebuie remarcat faptul că semnalul de ieșire este rezultatul convoluției semnalului de intrare cu un răspuns la impuls.

8. Metoda timpului pentru analiza proceselor tranzitorii în circuite electrice liniare

8.1. Caracteristicile tranzitorii și de impuls ale circuitelor electrice

Metoda timpului se bazează pe conceptul de caracteristici tranzitorii și de impuls ale unui circuit. Răspuns la pas lanțurile sunt răspunsul unui lanț la o influență sub forma unei funcții unitare (7.19). Indică răspunsul tranzitoriu al unui circuit g(t).Răspuns la impuls circuitele se numesc răspunsul circuitului la influența unei funcții de impuls unitar (funcția d) (7.21). Indică răspuns la impuls h(t). g(tÎn plus, h(t) ) Și

sunt determinate în condiții inițiale zero în circuit. În funcție de tipul de reacție și tipul impactului (curent sau tensiune), caracteristicile tranzitorii și ale impulsului pot fi mărimi adimensionale sau au dimensiuni A/B sau V/A.

Acest sistem este un filtru de răspuns la impuls finit. Care este transformata Fourier discretă a răspunsului la impuls. Consideră ca exemplu simplu

un filtru care implementează media aritmetică a două valori de intrare consecutive. t Utilizarea conceptelor de caracteristici tranzitorii și de impuls ale unui circuit ne permite să reducem calculul răspunsului circuitului de la acțiunea unui semnal neperiodic de formă arbitrară la determinarea răspunsului circuitului la cel mai simplu impact, cum ar fi un singur 1( t) sau funcția de impuls d( t) sau d( t).

), cu ajutorul căruia se aproximează semnalul inițial. În acest caz, reacția rezultată a unui lanț liniar se găsește (folosind principiul suprapunerii) ca sumă a reacțiilor lanțului la influențe elementare 1(

Filtrul mijlociu este un filtru trece jos. Defazatul variază liniar cu frecvența. Acest lucru este confirmat de următoarea expresie a răspunsului în frecvență. Pentru a simula efectul acestui filtru asupra unui semnal, luați în considerare următorul semnal continuu și eșantionul acestuia. Pentru a fi filtrat semnal discret

Toate frecvențele semnalului suferă aceeași deplasare τ atunci când trec prin filtru. τ - timpul de propagare.

Între tranzitorie g(t) și puls h(t) există o anumită legătură între caracteristicile unui circuit pasiv liniar. Se poate stabili prin reprezentarea unei funcții de impuls unitar prin trecerea la limita diferenței dintre două funcții unitare de mărime 1/t, deplasate una față de cealaltă de timpul t (vezi Fig. 7.4):

adică, funcția de impuls unitar este egală cu derivata funcției de unitate. Deoarece circuitul luat în considerare este considerat liniar, relația (8.1) este păstrată și pentru reacțiile de impuls și tranzitorii ale circuitului.

Forma semnalului nu este modificată prin filtrarea trece-bandă. Prin izolarea termenului care conține faza, răspunsul în frecvență se scrie conform expresiei. După modificarea variabilei, expresia câștigului este scoasă în sumă. Răspunsul în frecvență este scris. Ținând cont de limită, obținem.

Se obține un filtru de fază liniară cu răspuns la impuls infinit. Această metodă este echivalentă cu aplicarea unei ferestre dreptunghiulare la coeficienții Fourier.

Coeficienții Fourier ai acestei funcții.

Rezultatul poate fi exprimat folosind o funcție sinusoidală și depinde doar de raportul dintre frecvența de tăiere și frecvența de eșantionare.

adică răspunsul la impuls este o derivată a răspunsului în trepte al circuitului.

Ecuația (8.2) este valabilă pentru cazul în care g(0) = 0 (condiții inițiale zero pentru circuit). Dacă g(0) ¹ 0, apoi prezentând g(t) în formă g(t) = , unde = 0, obținem ecuația de cuplare pentru acest caz:

Următoarea funcție este utilizată pentru a obține răspunsul în frecvență. Iată un grafic al câștigului și fazei filtrului. Se poate observa că faza este într-adevăr liniară în banda de trecere, dar câștigul are ondulații foarte puternice. Există discontinuități în faza π în banda atenuată. Desigur, diferențele în ceea ce privește funcția de transfer dorită se datorează trunchierii răspunsului la impuls.

Să încercăm să trunchiem cu fereastra Hannah. Undele din banda de trecere și din banda atenuată sunt reduse semnificativ. Linearitatea de fază în banda de trecere este întotdeauna asigurată. Dacă întârzierea τ trebuie să rămână fixă, rata de eșantionare trebuie crescută simultan. Este selectat un semnal zgomotos.

Pentru a găsi caracteristicile tranzitorii și de impuls ale unui circuit, puteți utiliza atât metodele clasice, cât și cele ale operatorului. Esența metodei clasice este de a determina răspunsul în timp al circuitului (sub formă de tensiune sau curent în ramurile individuale ale circuitului) la influența unui singur 1( t) sau impuls d( t) funcții. De obicei, este convenabil să se determine răspunsul tranzitoriu folosind metoda clasică g(t), și răspunsul la impuls h(t) găsiți folosind ecuațiile de conexiune (8.2), (8.3) sau metoda operatorului.

Exemplu. Să folosim metoda clasică pentru a găsi răspunsul tranzitoriu de tensiune pentru circuitul prezentat în Fig. 8.1. Numeric g u(t) pentru un circuit dat coincide cu tensiunea de pe capacitate atunci când este conectat în acest moment t= 0 la sursa de tensiune U 1 = l V:

Legea modificării tensiunii uC(t) se determină prin ecuația (6.27), unde este necesar să se pună U= l V:

La găsirea caracteristicilor g(tÎn plus, h(t) folosind metoda operatorului, imagini ale funcțiilor 1( t), d( t) și metodologia de calcul a proceselor tranzitorii prezentată în cap. 7.

Exemplu. Să determinăm caracteristica de tranziție folosind metoda operatorului g u(t) RС-lanţuri (vezi Fig. 8.1). Pentru acest lanț, în conformitate cu legea lui Ohm, în forma operatorului (7.35) putem scrie:

În sfârșit, obținem

De aici, folosind teorema de expansiune (7.31), găsim

adică aceeași valoare ca cea obținută prin metoda clasică.

Trebuie remarcat faptul că valoarea eu(r)V ecuația (8.4) este numeric egală cu imaginea conductivității tranziției. O imagine similară a răspunsului la impuls este numeric egală cu conductanța operatorului a circuitului

De exemplu, pentru RС-lanţ (vezi Fig. 8.1) avem:

Aplicarea la Y(p) teorema expansiunii (7.30), se obține:

Trebuie remarcat faptul că formula (8.5) determină componenta liberă a reacției circuitului sub o singură acțiune de impuls. În cazul general, într-o reacție în lanț, în plus față de componentele exponențiale ale modului liber la t> 0 există un termen de puls care reflectă efectul când t= 0 unitate de puls. Într-adevăr, dacă luăm în considerare că pt RС-circuit (vezi Fig. 8.1) caracteristica tranzitorie de curent la U= 1(t) conform (6.28) va fi

apoi după diferențierea (8.6) conform (8.2) obținem răspunsul la impuls RС-lanţuri h i(t) în formă

adică reacția hi(t) conține doi termeni - impuls și exponențial.

Sensul fizic al primului termen din (8.7) înseamnă că atunci când t= 0 ca urmare a impactului asupra circuitului a tensiunii de impuls d( t) curentul de încărcare atinge instantaneu o valoare infinit de mare, în timp ce în timpul de la 0 – la 0 + elementul de capacitate este transferat la o sarcină finită și este încărcat brusc la tensiune eu/R.C.. t Al doilea termen determină procesul liber în lanț la t> 0 și se datorează descărcării condensatorului prin intrarea în scurtcircuit (de când t> 0 d( R.C.) = 0, care este echivalent cu scurtcircuit de intrare) cu constanta de timp t = t. RС- circuitul întrerupe continuitatea sarcinii pe capacitate (a doua lege a comutației). În mod similar, condiția de continuitate a curentului în inductanță (prima lege a comutației) este încălcată dacă o tensiune de forma d( t).

În tabel 8.1 rezumă valorile caracteristicilor tranzitorii și de impuls ale curentului și tensiunii pentru unele circuite de ordinul întâi și al doilea.

8.2. Duhamel integral

Integrala Duhamel poate fi obținută prin aproximarea forței aplicate f 1 (t)Cu folosind funcții unitare deplasate între ele cu un timp Dt (Fig. 8.2).

Reacția circuitului la fiecare efect de treaptă va fi determinat ca

Reacția rezultată a circuitului la un sistem de influențe treptate poate fi găsită pe baza principiului suprapunerii:

Unde p - numărul de secțiuni aproximative în care se împarte intervalul 0 ... t.

Înmulțind și împărțind expresia de sub semnul sumei cu Dt și trecând la limită, ținând cont de acest lucru, obținem una dintre formele integralei Duhamel:

Ecuația (8.8) reflectă răspunsul circuitului la un impact dat, deoarece funcția de aproximare tinde spre cea inițială. A doua formă a integralei Duhamel poate fi obținută folosind teorema de convoluție (vezi: , b), apoi reacția circuitului este determinată prin metoda clasică sau prin metoda operatorului atunci când ramura în cauză este conectată la o rețea activă cu două terminale. (Fig. 8.4, V

). Reacția rezultată se găsește ca suma reacțiilor: .

8.3. Integrala de impunere h(t La găsirea răspunsului unui circuit utilizând integrala de suprapunere, se utilizează răspunsul la impuls al circuitului f 1 (t). d Pentru a obține o expresie generală pentru integrala de suprapunere, aproximăm semnalul de intrare f) folosind un sistem de impulsuri de o singură durată f t, amplitudini d 1 (t) și zonă

1(t)

t (Fig. 8.5). Răspunsul de ieșire al circuitului la fiecare dintre impulsurile individuale Folosind principiul suprapunerii, nu este dificil să se obțină răspunsul total al circuitului la un sistem de impulsuri individuale: Se numește integrala (8.12). integrală de impunere. Între suprapunere și integralele Duhamel există h(t) conexiune simplă g(t, determinată de relația (8.3) dintre puls h(tși tranzitorie

Exemplu.) caracteristicile circuitului. Înlocuind, de exemplu, valoarea RС) din (8.3) în formula (8.12), ținând cont de proprietatea de filtrare a funcției d (7.23), obținem integrala Duhamel în forma (8.11). U La intrare

- circuit (vezi Fig. 8.1) se aplică o supratensiune h1. Determinați răspunsul circuitului la ieșire folosind integralele de suprapunere (8.12) și Duhamel (8.11).(t Răspunsul la impuls al acestui circuit este egal cu (vezi Tabelul 8.1): t / u) = = (1/RC)e – h1. Determinați răspunsul circuitului la ieșire folosind integralele de suprapunere (8.12) și Duhamel (8.11).(t R.C. . Apoi, înlocuind– t) = (1/RC)e –( uîn formula (8.12), obținem:

Obținem un rezultat similar atunci când folosim funcția de tranziție a acestui circuit și integrala Duhamel (8.11):

Dacă începutul influenței nu coincide cu începutul numărării timpului, atunci integrala (8.12) ia forma

Integralele de suprapunere (8.12) și (8.13) reprezintă convoluția semnalului de intrare cu răspunsul la impuls al circuitului și sunt utilizate pe scară largă în teoria circuitelor electrice și în teoria transmisiei semnalului. Sensul său fizic este că semnalul de intrare f 1 (t) este, parcă, cântărit folosind funcția h(t- t): cu atât scade mai lent cu timpul h(t), cu atât influența asupra semnalului de ieșire este mai mare de valoarea influenței de intrare care este mai îndepărtată de momentul observării.

În fig. 8.6, O semnal afișat f 1(t) și răspuns la impuls h(t- t), care este o imagine în oglindă h(t), iar în fig. 8.6, b este afișată convoluția semnalului f 1(t) Cu funcţie h(t- t) (partea umbrită), numeric egală cu reacția lanțului în momentul de față t.

Din fig. 8.6 arată că răspunsul la ieșirea circuitului nu poate fi mai scurt decât durata totală a semnalului t 1 și răspuns la impuls t h. Astfel, pentru ca semnalul de ieșire să nu fie distorsionat, răspunsul la impuls al circuitului trebuie să tindă spre funcția d.

De asemenea, este evident că într-un lanț realizat fizic reacția nu poate avea loc înainte de impact.

Aceasta înseamnă că răspunsul la impuls al unui circuit implementat fizic trebuie să satisfacă condiția

Pentru un circuit stabil realizabil fizic, în plus, trebuie îndeplinită condiția de integrabilitate absolută a răspunsului la impuls:

Dacă acțiunea de intrare are o formă complexă sau este specificată grafic, atunci se folosesc metode grafico-analitice pentru a calcula reacția circuitului în locul integralei de convoluție (8.12).

Întrebări și sarcini pentru autotest

1. Definiți caracteristicile tranzitorii și de impuls ale unui circuit.

2. Indicați relația dintre impuls și caracteristicile tranzitorii.

3. Cum se determină răspunsul tranzitoriu și la impuls al unui circuit?

4. Care este diferența dintre caracteristicile tranzitorii, explicați semnificația lor fizică.

5. Cum se determină care dintre cele patru tipuri de caracteristici tranzitorii sau de impuls trebuie aplicate în fiecare caz specific atunci când se calculează răspunsul unui circuit? g(t) Și h(t)?

6. Care este esența calculării proceselor tranzitorii folosind

7. Cum se determină reacția unui lanț dacă efectul are o formă complexă?

8. Ce condiții trebuie să îndeplinească un circuit atunci când se folosește integrala Duhamel?

10. Calcularea reacției unui lanț folosind integrale Duhamel și suprapunere conduce la rezultate identice sau diferite?

11. Determinați conductivitatea tranzitorie a unui circuit format din rezistență și inductanță conectate în serie.

12. Definiți un circuit format din rezistență și capacitate conectate în serie.

Răspuns: .

13. Obține a treia formă a integralei Duhamel (8.10) din ecuația de convoluție (8.10).

Academia Rusiei

Departamentul de Fizică

Curs

Caracteristicile tranzitorii și de impuls ale circuitelor electrice

Vulturul 2009

Obiective educaționale și educaționale:

Explicați studenților esența caracteristicilor tranzitorii și de impuls ale circuitelor electrice, arătați legătura dintre caracteristici, acordați atenție utilizării caracteristicilor luate în considerare pentru analiza și sinteza circuitelor electrice și urmăriți pregătirea de înaltă calitate pentru practici practice. antrenament.

Repartizarea timpului de curs

Partea introductivă…………………………………………………… 5 min.

Întrebări de studiu:

1. Caracteristicile tranzitorii ale circuitelor electrice………………15 min.

2. Integrale Duhamel……………………………………………………………...25 min.

3. Caracteristicile impulsurilor circuitelor electrice. Relația dintre caracteristici…………………………………………………….……...25 min.

4. Integrale de convoluție……………………………………….15 min.

Concluzie……………………………………………………5 min.

1. Caracteristicile tranzitorii ale circuitelor electrice

Răspunsul tranzitoriu al unui circuit (cum ar fi răspunsul la impuls) se referă la caracteristicile temporare ale circuitului, adică exprimă un anumit proces tranzitoriu sub influențe predeterminate și condiții inițiale.

Pentru a compara circuitele electrice prin răspunsul lor la aceste influențe, este necesar să se plaseze circuitele în aceleași condiții. Cele mai simple și mai convenabile sunt condițiile inițiale zero.

Răspunsul tranzitoriu al circuitului este raportul dintre reacția unui lanț la un impact treptat și magnitudinea acestui impact în condiții inițiale zero.

Prin definiție,

unde este răspunsul în lanț la impactul treptat;

– magnitudinea efectului de treaptă [B] sau [A].

Deoarece și este împărțit la magnitudinea impactului (acesta este număr real), apoi de fapt - reacția circuitului la un efect de un singur pas.

Dacă răspunsul tranzitoriu al circuitului este cunoscut (sau poate fi calculat), atunci din formulă puteți găsi reacția acestui circuit la un efect treptat la zero NL

.

Să stabilim o legătură între funcția de transfer de operator a unui circuit, care este adesea cunoscută (sau poate fi găsită), și răspunsul tranzitoriu al acestui circuit. Pentru a face acest lucru, folosim conceptul introdus de funcție de transfer de operator:

.

Raportul dintre reacția transformată de Laplace a lanțului și mărimea impactului este caracteristica tranzitorie a operatorului a lanțului:

Prin urmare .

De aici, caracteristica de tranziție a operatorului a circuitului este găsită folosind funcția de transfer operator.

Pentru a determina răspunsul tranzitoriu al circuitului, este necesar să se aplice transformarea Laplace inversă:

folosind tabelul de corespondență sau (preliminar) teorema de descompunere.

Exemplu: determinați răspunsul tranzitoriu pentru reacția tensiunii pe un condensator într-un circuit în serie (Fig. 1):

Iată reacția la un efect treptat de magnitudine:

,

de unde provine caracteristica de tranziție:

.

Caracteristicile tranzitorii ale circuitelor cele mai frecvent întâlnite sunt găsite și date în literatura de referință.

2. Integrale Duhamel

Răspunsul tranzitoriu este adesea folosit pentru a găsi răspunsul unui circuit la un stimul complex. Să stabilim aceste relații.

Să fim de acord că influența este o funcție continuă și se aplică circuitului la momentul , iar condițiile inițiale sunt zero.

Un impact dat poate fi reprezentat ca suma unui impact treptat aplicat circuitului la un moment dat și un număr infinit de mare de impacturi în trepte infinitezimale, care se succed continuu. Unul dintre aceste impacturi elementare corespunzătoare momentului de aplicare este prezentat în Figura 2.

Să aflăm valoarea reacției în lanț la un moment dat.

Un efect treptat cu o diferență în momentul de timp determină o reacție egală cu produsul diferenței cu valoarea răspunsului tranzitoriu al circuitului la , adică egală cu:

Un efect în trepte infinitezimal cu o diferență provoacă o reacție infinitezimală , unde este timpul scurs din momentul aplicării influenței până în momentul observării. Deoarece prin condiție funcția este continuă, atunci:

În conformitate cu principiul suprapunerii, reacția va fi egală cu suma reacțiilor provocate de totalitatea influențelor premergătoare momentului observației, adică.

.

De obicei, în ultima formulă, pur și simplu o înlocuiesc cu , deoarece formula găsită este corectă pentru orice valoare de timp:

.

Sau, după câteva transformări simple:

.

Oricare dintre aceste relații rezolvă problema calculării răspunsului unui circuit electric liniar la o acțiune continuă dată folosind un răspuns tranzitoriu cunoscut al circuitului. Aceste relații se numesc integrale Duhamel.

3. Caracteristicile impulsurilor circuitelor electrice

Răspunsul la impuls al circuitului este raportul dintre răspunsul circuitului la o acțiune pulsată și aria acestei acțiuni în condiții inițiale zero.

Prin definiție,

unde este răspunsul circuitului la acțiunea impulsului;

– zona pulsului de impact.

Folosind răspunsul la impuls cunoscut al circuitului, se poate găsi răspunsul circuitului la o influență dată: .

Un singur efect de impuls, numit și funcție delta sau funcție Dirac, este adesea folosit ca funcție de impact.

O funcție delta este o funcție egală cu zero peste tot, cu excepția , iar aria sa este egală cu unitatea ():

.

Conceptul de funcție delta poate fi ajuns prin luarea în considerare a limitei unui impuls dreptunghiular de înălțime și durată atunci când (Fig. 3):

Să stabilim o legătură între funcția de transfer a unui circuit și răspunsul său la impuls, pentru care folosim metoda operatorului.

Prin definiție:

.

Dacă impactul (original) este considerat cel mai mult caz general sub forma produsului ariei pulsului prin funcția delta, adică sub formă, atunci imaginea acestui efect conform tabelului de corespondență are forma:

.

Apoi, pe de altă parte, raportul dintre reacția transformată de Laplace a circuitului și aria impulsului de impact este răspunsul la impulsul operatorului al circuitului:

.

Prin urmare, .

Pentru a găsi răspunsul la impuls al unui circuit, este necesar să se aplice transformata Laplace inversă:

Adică, de fapt.

Generalizând formulele, obținem o legătură între funcția de transfer de operator a circuitului și caracteristicile tranzitorii și de impuls ale operatorului:

Astfel, cunoscând una dintre caracteristicile circuitului, puteți determina oricare altele.

Să realizăm transformarea identică a egalității adăugând la partea de mijloc.

Atunci vom avea.

Deoarece este o imagine a derivatei caracteristicii de tranziție, egalitatea originală poate fi rescrisă ca:

Trecând la zona originalelor, obținem o formulă care ne permite să determinăm răspunsul la impuls al unui circuit din răspunsul său tranzitoriu cunoscut:

Dacă, atunci.

Relația inversă dintre aceste caracteristici are forma:

.

Folosind funcția de transfer, este ușor să determinați prezența unui termen în funcție.

Dacă puterile numărătorului și numitorului sunt aceleași, atunci termenul în cauză va fi prezent. Dacă funcția este o fracție adecvată, atunci acest termen nu va exista.

Exemplu: determinați caracteristicile de impuls pentru tensiuni și în circuitul în serie prezentat în Figura 4.

Să definim:

Folosind tabelul de corespondență, să trecem la original:

.

Graficul acestei funcții este prezentat în Figura 5.

Orez. 5

Funcția de transfer:

Conform tabelului de corespondență avem:

.

Graficul funcției rezultate este prezentat în Figura 6.

Să subliniem că aceleași expresii ar putea fi obținute folosind relații care stabilesc o legătură între și .

Răspunsul la impuls în sensul său fizic reflectă procesul de oscilații libere și din acest motiv se poate susține că în circuitele reale trebuie întotdeauna îndeplinită următoarea condiție:

4. Integrale de convoluție (suprapunere).

Să luăm în considerare procedura de determinare a răspunsului unui circuit electric liniar la o influență complexă dacă răspunsul la impuls al acestui circuit este cunoscut. Vom presupune că impactul este o funcție continuă pe bucăți prezentată în Figura 7.

Să fie necesar să se găsească valoarea reacției la un moment dat. Rezolvând această problemă, să ne imaginăm impactul ca o sumă de impulsuri dreptunghiulare de durată infinitezimală, dintre care unul, corespunzător momentului în timp, este prezentat în Figura 7. Acest impuls este caracterizat prin durată și înălțime.

Din materialul discutat anterior se știe că reacția unui circuit la un impuls scurt poate fi considerată egală cu produsul răspunsului la impuls al circuitului și aria acțiunii impulsului. În consecință, componenta infinitezimală a reacției datorată acestei acțiuni de impuls în momentul de timp va fi egală cu:

deoarece aria pulsului este egală cu , iar timpul trece din momentul aplicării lui până în momentul observării.

Folosind principiul suprapunerii, reacția totală a unui circuit poate fi definită ca suma unui număr infinit mare de componente infinitezimale cauzate de o succesiune de impulsuri cu suprafață infinit de mici precedând momentul în timp.

Astfel:

.

Această formulă este valabilă pentru orice valoare, deci, de obicei, variabila este pur și simplu indicată. Apoi:

.

Relația rezultată se numește integrală de convoluție sau integrală de suprapunere. Funcția care se găsește ca rezultat al calculului integralei de convoluție se numește convoluție și .

Puteți găsi o altă formă a integralei de convoluție dacă modificați variabile în expresia rezultată:

.

Exemplu: găsiți tensiunea pe capacitatea unui circuit serial (Fig. 8), dacă la intrare acționează un impuls exponențial de forma:

Să folosim integrala de convoluție:

.

Expresie pentru a fost primit anterior.

Prin urmare, , Și .

Același rezultat poate fi obținut prin aplicarea integralei Duhamel.

Literatură:

Beletsky A.F. Teoria circuitelor electrice liniare. – M.: Radio și comunicații, 1986. (Manual)

Bakalov V.P. Teoria circuitelor electrice. – M.: Radio și Comunicații, 1998. (Manual);

Kachanov N. S. și colab. Dispozitive de inginerie radio liniară. M.: Militar. publicat, 1974. (Manual);

Popov V.P. Fundamentele teoriei circuitelor - M.: Liceu, 2000. (Manual)