Výpočet prechodových a impulzných charakteristík obvodu. Kroková a impulzná odozva Odozva obvodu na funkciu delta

Duhamelov integrál.

Poznanie odozvy obvodu na jediný rušivý vplyv, t.j. funkcia prechodovej vodivosti a/alebo funkcia prechodného napätia, môžete nájsť odozvu obvodu na vplyv ľubovoľného tvaru. Metóda, metóda výpočtu využívajúca Duhamelov integrál, je založená na princípe superpozície.

Pri použití Duhamelovho integrálu na oddelenie premennej, nad ktorou sa vykonáva integrácia, a premennej, ktorá určuje časový okamih, v ktorom je určený prúd v obvode, sa prvá zvyčajne označuje ako , a druhá ako t.

Pustite v okamihu do obvodu s nulovými počiatočnými podmienkami (pasívna dvojterminálna sieť PD na obr. 1) je pripojený zdroj s napätím ľubovoľného tvaru. Aby sme našli prúd v obvode, nahradíme pôvodnú krivku krokovou (pozri obr. 2), po ktorej, berúc do úvahy, že obvod je lineárny, spočítame prúdy z počiatočného skoku napätia a všetkých krokov napätia. do momentu t, ktoré nadobúdajú účinnosť s časovým oneskorením.

V čase t sa zložka celkového prúdu určená počiatočným napäťovým rázom rovná .

V momente času dochádza k prepätiu , ktorý s prihliadnutím na časový interval od začiatku skoku do časového bodu záujmu t určí aktuálnu zložku.

Celkový prúd v čase t sa zjavne rovná súčtu všetkých zložiek prúdu z jednotlivých napäťových rázov, berúc do úvahy , t.j.

Nahradenie konečného časového intervalu prírastkov nekonečne malým, t.j. prechod od súčtu k integrálu, píšeme

(1)

Vzťah (1) sa nazýva Duhamelov integrál.

Treba poznamenať, že napätie možno určiť aj pomocou Duhamelovho integrálu. V tomto prípade bude namiesto prechodovej vodivosti (1) zahŕňať funkciu prechodového napätia.

Postupnosť výpočtu pomocou
Duhamelov integrál

Ako príklad použitia Duhamelovho integrálu určíme prúd v obvode na obr. 3, vypočítané v predchádzajúcej prednáške pomocou inklúzneho vzorca.

Počiatočné údaje pre výpočet: , , .

Prechodná vodivosť

18. Prenosová funkcia.

Vzťah operátora vplyvu k jeho vlastnému operátorovi sa nazýva prenosová funkcia alebo prenosová funkcia vo forme operátora.

Prepojenie opísané rovnicou alebo rovnicami v symbolickej alebo operátorovej forme možno charakterizovať dvoma prenosovými funkciami: prenosovou funkciou pre vstupnú hodnotu u; a prenosová funkcia pre vstupnú veličinu f.

Pomocou prenosových funkcií sa rovnica zapíše ako . Táto rovnica je podmienená, kompaktnejšia forma zápisu pôvodnej rovnice.

Spolu s prenosovou funkciou vo forme operátora je široko používaná prenosová funkcia vo forme Laplaceových obrázkov.

Prenosové funkcie vo forme Laplaceových obrázkov a operátorovej formy sa zhodujú až po zápis. Prenosovú funkciu vo forme Laplaceovho obrazu možno získať z prenosovej funkcie vo forme operátora, ak sa v druhom prípade vykoná substitúcia p=s. Vo všeobecnom prípade to vyplýva z toho, že diferenciácia originálu - symbolické násobenie originálu p - za nulových počiatočných podmienok zodpovedá násobeniu obrazu komplexným číslom s.

Podobnosť medzi prenosovými funkciami vo forme Laplaceovho obrazu a vo forme operátora je čisto vonkajšia a vyskytuje sa iba v prípade stacionárnych väzieb (systémov), t.j. iba za nulových počiatočných podmienok.

Uvažujme jednoduchý RLC (sériový) obvod, jeho prenosovú funkciu W(p)=U OUT /U IN

Fourierov integrál.

Funkcia f(x), zadefinovaný na celom číselnom rade sa volá periodické, ak existuje číslo také, že pre akúkoľvek hodnotu X platí rovnosť . číslo T volal obdobie funkcie.

Všimnime si niektoré vlastnosti tejto funkcie:

1) Súčet, rozdiel, súčin a kvocient periodických funkcií periódy T je periodická funkcia bodky T.

2) Ak je funkcia f(x) obdobie T, potom funkciu f(sekera) má bodku.

3) Ak f(x) - periodická funkcia bodky T, potom ľubovoľné dva integrály tejto funkcie prevzaté z intervalov dĺžky T(v tomto prípade integrál existuje), teda pre ľubovoľný a A b rovnosť je pravda .

Trigonometrické série. Fourierov rad

Ak f(x) sa rozšíri na segmente do rovnomerne konvergentného trigonometrického radu: (1)

Potom je táto expanzia jedinečná a koeficienty sú určené vzorcami:

Kde n=1,2, . . .

Volá sa trigonometrický rad (1) typu uvažovaného s koeficientmi trigonometrické Fourierove rady.

Komplexná forma Fourierovho radu

Výraz sa nazýva komplexná forma Fourierovho radu funkcie f(x), ak je definovaná rovnosťou

, Kde

Prechod z Fourierovej série v komplexnej forme na sériu v reálnej forme a späť sa vykonáva pomocou vzorcov:

(n=1,2, . . .)

Fourierov integrál funkcie f(x) je integrálom tvaru:

, Kde .

Frekvenčné funkcie.

Ak aplikujete na vstup systému s prenosovou funkciou W(p) harmonický signál

potom po dokončení procesu prechodu sa na výstupe vytvoria harmonické oscilácie

s rovnakou frekvenciou, ale odlišnou amplitúdou a fázou, v závislosti od frekvencie rušivého vplyvu. Z nich možno posúdiť dynamické vlastnosti systému. Vzťahy, ktoré spájajú amplitúdu a fázu výstupného signálu s frekvenciou vstupného signálu, sa nazývajú frekvenčné charakteristiky(CH). Analýza frekvenčnej odozvy systému s cieľom študovať jeho dynamické vlastnosti sa nazýva frekvenčná analýza.

Nahraďte výrazy za u(t) A y(t) do dynamickej rovnice

(aоp n + a 1 pn - 1 + a 2 p n - 2 + ... + a n)y = (bоp m + b 1 p m-1 + ... + b m)u.

Zoberme si to do úvahy

pnu = pnU m ejwt = U m (jw)nejwt = (jw)nu.

Podobné vzťahy možno napísať pre ľavú stranu rovnice. Získame:

Analogicky s prenosovou funkciou môžeme písať:

W(j), ktorý sa rovná pomeru výstupného signálu k vstupnému signálu, keď sa vstupný signál mení podľa harmonického zákona, sa nazýva funkcia prenosu frekvencie. Je ľahké vidieť, že ho možno získať jednoduchým nahradením p za j vo výraze W(p).

W(j) je komplexná funkcia, preto:

kde P() - skutočná frekvenčná odozva (RFC); Q() - imaginárna frekvenčná odozva (ICH); A() - amplitúdová frekvenčná odozva (AFC): () - fázová frekvenčná odozva (PFC). Frekvenčná odozva udáva pomer amplitúd výstupného a vstupného signálu, fázová odozva udáva fázový posun výstupnej veličiny vzhľadom na vstup:

;

Ak je W(j) reprezentovaný ako vektor v komplexnej rovine, potom pri zmene z 0 na + jeho koniec nakreslí krivku tzv. vektorový hodograf W(j), alebo amplitúdovo-fázová frekvenčná odozva (APFC)(obr. 48).

Vetvu AFC pri zmene z - na 0 je možné získať zrkadlením tejto krivky vzhľadom na skutočnú os.

TAU je široko používaný logaritmické frekvenčné charakteristiky (LFC)(Obr. 49): logaritmická frekvenčná odozva amplitúdy (LAFC) L() a logaritmická fázová frekvenčná odozva (LPFC) ().

Získajú sa logaritmovaním prenosovej funkcie:

LFC sa získa z prvého člena, ktorý sa z dôvodov škálovania vynásobí 20 a nepoužíva sa prirodzený logaritmus, ale desiatkový, teda L() = 20lgA(). Hodnota L() je vynesená pozdĺž ordinátnej osi v decibelov.

Zmena úrovne signálu o 10 dB zodpovedá 10-násobnej zmene jeho výkonu. Pretože výkon harmonického signálu P je úmerný druhej mocnine jeho amplitúdy A, desaťnásobná zmena signálu zodpovedá zmene jeho úrovne o 20 dB, pretože

log(P2/Pi) = log(A22/Ai2) = 20 log(A2/Ai).

Os x znázorňuje frekvenciu w na logaritmickej stupnici. To znamená, že jednotkové intervaly pozdĺž osi x zodpovedajú zmene w o faktor 10. Tento interval sa nazýva desaťročie. Pretože log(0) = -, ordináta osi je nakreslená ľubovoľne.

LPFC získaný z druhého členu sa líši od fázovej odozvy iba v mierke pozdĺž osi. Hodnota () je vynesená pozdĺž osi y v stupňoch alebo radiánoch. Pre elementárne odkazy neprekračuje: - +.

Frekvenčné charakteristiky sú komplexné charakteristiky systému. Keď poznáte frekvenčnú odozvu systému, môžete obnoviť jeho prenosovú funkciu a určiť jeho parametre.

Spätná väzba.

Všeobecne sa uznáva, že spojenie je pokryté spätnou väzbou, ak je jeho výstupný signál privádzaný na vstup cez nejaké iné spojenie. Navyše, ak sa spätnoväzbový signál odčíta od vstupnej akcie (), spätná väzba sa nazýva negatívna. Ak sa signál spätnej väzby pridá k vstupnej akcii (), spätná väzba sa nazýva kladná.

Prenosová funkcia uzavretej slučky so zápornou spätnou väzbou - spojenie pokryté negatívnou spätnou väzbou - sa rovná prenosovej funkcii v priamej slučke vydelenej jednou plus prenosová funkcia s otvorenou slučkou

Prenosová funkcia v uzavretej slučke s kladnou spätnou väzbou sa rovná funkcii prenosu v doprednej slučke vydelenej jednou mínus prenosová funkcia s otvorenou slučkou

22. 23. Štvorpóly.

Pri analýze elektrické obvody v problémoch štúdia vzťahu medzi premennými (prúdy, napätia, výkony atď.) dvoch vetiev obvodu sa široko používa teória štvorsvorkových sietí.

Štvorpólový- Toto je časť obvodu akejkoľvek konfigurácie, ktorá má dva páry svoriek (odtiaľ jeho názov), zvyčajne nazývané vstup a výstup.

Príklady štvorsvorkovej siete sú transformátor, zosilňovač, potenciometer, elektrické vedenie a iné elektrické zariadenia, v ktorých možno rozlíšiť dva páry pólov.

Vo všeobecnosti možno štvorpóly rozdeliť na aktívny, ktorých štruktúra zahŕňa zdroje energie, a pasívny, vetvy, ktoré neobsahujú zdroje energie.

Na písanie rovníc štvorbranovej siete vyberieme v ľubovoľnom obvode vetvu s jediný zdroj energie a akejkoľvek inej vetvy s určitým odporom (pozri obr. 1, a).

V súlade s princípom kompenzácie nahradíme pôvodný odpor zdrojom s napätím (viď obr. 1,b). Potom na základe metódy superpozície pre obvod na obr. 1b možno napísať

Rovnice (3) a (4) sú základné rovnice štvorpólu; nazývajú sa tiež štvorpólové rovnice v tvare A (pozri tabuľku 1). Vo všeobecnosti existuje šesť foriem zápisu rovníc pasívneho štvorpólu. V skutočnosti je štvorpólová sieť charakterizovaná dvoma napätiami a a dvoma prúdmi a. Akékoľvek dve veličiny môžu byť vyjadrené ako ostatné. Keďže počet kombinácií štyri krát dva je šesť, je možných šesť foriem zápisu rovníc pasívneho štvorpólu, ktoré sú uvedené v tabuľke. 1. Kladné smery prúdov pre rôzne formy zápisu rovníc sú na obr. 2. Všimnite si, že výber jednej alebo druhej formy rovníc je určený oblasťou a typom riešeného problému.

Tabuľka 1. Formy zápisu rovníc pasívneho štvorpólu

Formulár	Rovnice	Súvislosť s koeficientmi základných rovníc
A-tvar	; ;
Tvar Y	; ;	; ; ; ;
Z-tvar	; ;	; ; ; ;
H-tvar	; ;	; ; ; ;
G-tvar	; ;	; ; ; ;
B-tvar	; .	; ; ; .

Charakteristická impedancia a koeficient
šírenie symetrického štvorpólu

V telekomunikáciách sa hojne využíva prevádzkový režim symetrickej štvorkoncovej siete, pri ktorej sa jej vstupný odpor rovná odporu záťaže, t.j.

Tento odpor je označený ako a nazývaný charakteristickú odolnosť symetrická štvorportová sieť a prevádzkový režim štvorportovej siete, pre ktorý to platí

Na posúdenie schopností elektrických zariadení, ktoré prijímajú a prenášajú vstupné vplyvy, sa uchyľujú k štúdiu ich prechodových a impulzných charakteristík.

Kroková odozva h(t) lineárneho obvodu, ktorý neobsahuje nezávislé zdroje, sa číselne rovná odozve obvodu na vplyv jediného skoku prúdu alebo napätia vo forme jednokrokovej funkcie 1( t) alebo 1( t – t 0) pri nulových počiatočných podmienkach (obr. 14). Rozmer prechodovej charakteristiky sa rovná pomeru reakčného rozmeru k rozmeru nárazu. Môže byť bezrozmerný, mať rozmer Ohm, Siemens (Cm).

Ryža. 14

Impulzná odozva k(t) lineárneho obvodu, ktorý neobsahuje nezávislé zdroje, sa číselne rovná odozve obvodu na pôsobenie jediného impulzu v tvare d( t) alebo d( t – t 0) funkcie s nulovými počiatočnými podmienkami. Jeho rozmer sa rovná pomeru reakčného rozmeru k súčinu rozmeru dopadu a času, takže môže mať rozmery c –1, Ohmy –1, Sms –1.

Impulzná funkcia d( t) možno považovať za deriváciu jednotkovej krokovej funkcie d( t) = d 1(t)/dt. Podľa toho je impulzná odozva vždy časovou deriváciou skokovej odozvy: k(t) = h(0 +)d( t) + dh(t)/dt. Tento vzťah sa používa na určenie impulznej odozvy. Napríklad, ak pre nejaký reťazec h(t) = 0,7e –100t, To k(t) = 0,7 d( t) – 70e –100 t. Prechodová odozva môže byť určená klasickou alebo operátorskou metódou výpočtu prechodných procesov.

Medzi časovou a frekvenčnou charakteristikou obvodu existuje súvislosť. Keď poznáte funkciu prenosu operátora, môžete nájsť obrázok reakcie okruhu: Y(s) = W(s)X(s), t.j. prenosová funkcia obsahuje úplné informácie o vlastnostiach obvodu ako systému na prenos signálov z jeho vstupu na výstup za nulových počiatočných podmienok. V tomto prípade povaha nárazu a reakcie zodpovedá tým, pre ktoré je určená prenosová funkcia.

Prenosová funkcia pre lineárne obvody nezávisí od typu vstupnej akcie, takže ju možno získať z prechodovej odozvy. Keď teda jednotková kroková funkcia 1( t) prenosová funkcia zohľadňujúca skutočnosť, že 1( t) = 1/s, je rovnaký

W(s) = L [h(t)] / L = L [h(t)] / (1/s), kde L [f(t)] - označenie priamej Laplaceovej transformácie nad funkciou f(t). Krokovú odozvu možno určiť prostredníctvom prenosovej funkcie pomocou inverznej Laplaceovej transformácie, t.j. h(t) = L –1 [W(s)(1/s)], kde L –1 [F(s)] - označenie inverznej Laplaceovej transformácie nad funkciou F(s). Teda prechodná odozva h(t) je funkcia, ktorej obraz sa rovná W(s) /s.

Keď funguje jeden impulz d( t) prenosová funkcia W(s) = L [k(t)] / L = L [k(t)] / 1 = L [k(t)]. Teda impulzná odozva obvodu k(t) je originálom prenosovej funkcie. Zo známej operátorovej funkcie obvodu pomocou inverznej Laplaceovej transformácie je možné určiť impulznú odozvu: k(t) W(s). To znamená, že impulzná odozva obvodu jednoznačne určuje frekvenčné charakteristiky obvodu a naopak, pretože

W(j w) = W(s)s = j w. Pretože prechodovú odozvu obvodu možno zistiť zo známej impulznej odozvy (a naopak), táto je tiež jednoznačne určená frekvenčnými charakteristikami obvodu.

Príklad 8. Vypočítajte prechodové a impulzné charakteristiky obvodu (obr. 15) pre vstupný prúd a výstupné napätie pri dané parametre prvky: R= 50 ohmov, L 1 = L 2 = L= 125 mH,
S= 80 uF.

Ryža. 15

Riešenie. Použime klasický spôsob výpočtu. Charakteristická rovnica Zin = R + pL +
+ 1 / (PC) = 0 pre dané parametre prvkov má komplexné konjugované korene: p 1,2 =
= – d j w A2 = – 100 j 200, ktorý určuje oscilačnú povahu procesu prechodu. V tomto prípade sú zákony zmien prúdov a napätí a ich deriváty vo všeobecnosti napísané takto:

r(t) = (Mсsw A 2 t+ N hriech A 2 t)e–d t + r von; dy(t) / dt =

=[(–M d+ N w A 2) cos w A 2 t – (M w A 2 + N d) sinw A 2 t]e–d t + dy von / dt, kde w A 2 je frekvencia voľných kmitov; r out - nútená zložka procesu prechodu.

Po prvé, poďme nájsť riešenie u C(t) A iC(t) = C du C(t) / dt pomocou vyššie uvedených rovníc a následne pomocou Kirchhoffových rovníc určíme požadované napätia, prúdy a podľa toho prechodové a impulzné charakteristiky.

Na určenie integračných konštánt sú potrebné počiatočné a vynútené hodnoty uvedených funkcií. Ich počiatočné hodnoty sú známe: u C(0 +) = 0 (z definície h(t) A k(t)), pretože iC(t) = ja L(t) = i(t), To iC(0 +) = ja L(0 +) = 0. Vynútené hodnoty určíme z rovnice zostavenej podľa druhého Kirchhoffovho zákona pre t 0 + : u 1 = R i(t) + (L 1 + L 2) i(t) / dt + u C(t), u 1 = 1(t) = 1 = konšt.,

odtiaľto u C() = u C von = 1, iC() = iC von = i() = 0.

Vytvorme rovnice na určenie integračných konštánt M, N:

u C(0 +) = M + u C von (0 +), iC(0 +) = S(–M d+ N w A 2) + iC out(0+); alebo: 0 = M + 1; 0 = –M 100 + N 200; odtiaľto: M = –1, N= –0,5. Získané hodnoty nám umožňujú zapísať riešenia u C(t) A iC(t) = i(t): u C(t) = [–cos200 t– -0,5 sin200 t)e –100t+ 1] B, iC(t) = i(t) = e –100 t] = 0,02
hriech200 t)e –100 t A. Podľa druhého Kirchhoffovho zákona,

u 2 (t) = u C(t) + u L 2 (t), u L 2 (t) = u L(t) = Ldi(t) / dt= (0,5 cos200 t– 0,25 sin200 t) e –100t B. Potom u 2 (t) =

= (–0,5 s200 t– 0,75 sin200 t) e –100t+ 1 = [–0,901 sin(200 t + 33,69) e –100t+ 1] B.

Skontrolujme správnosť získaného výsledku pomocou počiatočnej hodnoty: na jednej strane, u 2 (0 +) = –0,901 sin (33,69) + 1 = 0,5 a na druhej strane, u 2 (0 +) = u C (0 +) + u L(0 +) = 0 + 0,5 - hodnoty sú rovnaké.

Ministerstvo školstva a vedy Ukrajiny

Doneckej národnej univerzity

Správa

na tému: Rádiotechnické obvody a signály

Študent 3. ročníka dennej formy štúdia NF-3

Vyvinuté študentom:

Aleksandrovič S.V.

Skontrolované učiteľom:

Dolbeščenkov V.V.

ÚVOD

"Rádiotechnické obvody a signály" (RTC a S)– kurz, ktorý je pokračovaním kurzu „Základy teórie obvodov“. Jeho cieľom je študovať základné zákony spojené s príjmom signálov, ich prenosom cez komunikačné kanály, spracovaním a konverziou v rádiových obvodoch. Metódy analýzy signálov a rádiotechnických obvodov prezentované v predmete "RTC a C" využívajú matematické a fyzikálne informácie, známe najmä študentom z predchádzajúcich odborov. Dôležitým cieľom predmetu "RTC a S" je naučiť študentov vybrať si matematický aparát, ktorý je adekvátny danej problematike, a ukázať, ako tento aparát funguje pri riešení konkrétnych problémov z oblasti rádiotechniky. Rovnako dôležité je naučiť študentov vidieť úzke prepojenie medzi matematickým popisom a fyzikálnou stránkou uvažovaného javu, aby boli schopní komponovať matematické modely procesy, ktoré sa študujú.

Hlavné časti štúdia v kurze "Rádiotechnické obvody a signály":

1. Časová analýza obvodov založená na konvolúcii;

2. Spektrálna analýza signály;

3. rádiové signály s amplitúdovou a uhlovou moduláciou;

4. Korelačná analýza signálov;

5. Aktívne lineárne obvody;

6. Analýza prechodu signálov úzkopásmovými obvodmi;

7. Negatívne spätná väzba v lineárnych obvodoch;

8. Syntéza filtra;

9. Nelineárne obvody a metódy ich analýzy;

10. Obvody s premenlivými parametrami;

11. Princípy generovania harmonických kmitov;

12. Princípy spracovania diskrétnych časových signálov;

13. Náhodné signály;

14. Analýza prechodu náhodných signálov cez lineárne obvody;

15. Analýza prechodu náhodných signálov cez nelineárne obvody;

16. Optimálna filtrácia deterministických signálov v šume;

17. Optimálne filtrovanie náhodných signálov;

18. Numerické metódy výpočtu lineárnych obvodov.

ANALÝZA ČASOVACIEHO OBVODU NA ZÁKLADE KONVOLÚCIE

Kroková a impulzná odozva

Časová metóda je založená na koncepcii prechodových a impulzných charakteristík obvodu. Kroková odozva reťazce sú odpoveďou reťazca na vplyv vo forme jednotkovej funkcie. Označuje prechodovú odozvu obvodu g(t).Impulzná odozva obvody sa nazývajú odozva obvodu na funkciu jediného impulzu (funkcia d). Označuje impulznú odozvu h(t). navyše g(t) A h(t) sú určené pri nulových počiatočných podmienkach v obvode. V závislosti od typu reakcie a typu nárazu (prúd alebo napätie) môžu byť prechodové a impulzné charakteristiky bezrozmerné veličiny, alebo môžu mať rozmery A/B alebo V/A.

Použitie konceptov prechodových a impulzných charakteristík obvodu nám umožňuje zredukovať výpočet odozvy obvodu z pôsobenia neperiodického signálu ľubovoľného tvaru na určenie odozvy obvodu na najjednoduchší vplyv, akým je napríklad jeden 1( t) alebo impulzná funkcia d( t), pomocou ktorého sa aproximuje pôvodný signál. V tomto prípade sa výsledná reakcia lineárneho reťazca zistí (princípom superpozície) ako súčet reakcií reťazca na elementárne vplyvy 1( t) alebo d( t).

Medzi prechodnými g(t) a pulz h(t) existuje určitá súvislosť medzi charakteristikami lineárneho pasívneho obvodu. Dá sa zistiť, ak jednotkovú impulznú funkciu reprezentujeme prechodom na hranicu rozdielu dvoch jednotkových funkcií veľkosti 1/t, vzájomne posunutých o čas t:

t.j. jednotková impulzná funkcia sa rovná derivácii jednotkovej funkcie. Pretože sa predpokladá, že uvažovaný obvod je lineárny, vzťah zostáva rovnaký pre impulzné a prechodné reakcie obvodu

t.j. impulzná odozva je derivátom skokovej odozvy obvodu.

Rovnica platí pre prípad, keď g(0) = 0 (nulové počiatočné podmienky pre obvod). Ak g(0) ¹ 0, potom prezentácia g(t) vo formulári g(t) = , kde = 0, získame väzbovú rovnicu pre tento prípad:

Na nájdenie prechodových a impulzných charakteristík obvodu môžete použiť klasické aj operátorské metódy. Podstatou klasickej metódy je určenie časovej odozvy obvodu (vo forme napätia alebo prúdu v jednotlivých vetvách obvodu) na vplyv jedinej 1( t) alebo impulz d( t) funkcie. Zvyčajne je vhodné určiť prechodovú odozvu klasickou metódou g(t) a impulzná odozva h(t) nájdite pomocou väzobných rovníc alebo operátorskej metódy.

Treba poznamenať, že hodnota ja(r)V rovnica sa číselne rovná obrazu prechodovej vodivosti. Podobný obraz impulznej odozvy sa číselne rovná vodivosti operátora obvodu

Napríklad pre RС- reťaze máme:

Uchádza sa o Y(p) expanznej vety, dostaneme:

V tabuľke 1.1 sumarizuje hodnoty prechodových a impulzných charakteristík prúdu a napätia pre niektoré obvody prvého a druhého rádu.

Impulzná odozva(váhová funkcia) je odozva systému na jeden nekonečný impulz (delta funkcia alebo Diracova funkcia) pri nulových počiatočných podmienkach. Funkcia delta je definovaná rovnosťami

, .

Toto generická funkcia– matematický objekt, ktorý predstavuje ideálny signál, č skutočné zariadenie neschopný ho reprodukovať. Funkciu delta možno považovať za hranicu pravouhlého impulzu jednotkovej plochy so stredom v bode, pretože šírka impulzu má tendenciu k nule.

Teraz musíme analyzovať hranice tejto sumy. Aby sme správne pochopili tento typ systému, musíme použiť integrály. Na to potrebujeme konvolúciu! Pre tento problém predpokladajme, že \\ je väčšie ako nula. Vyskúšajte nasledujúce dve funkcie.

kde je prenosová funkcia systému, pre ktorú je Laplaceova transformácia. Impulzná odozva systému s jedným integrátorom má tendenciu ku konštantnej hodnote rovnej koeficientu statického prenosu systému bez integrátora. Pre systém s dvoma integrátormi impulzná odozva asymptoticky smeruje k priamke, s tromi integrátormi - k parabole atď.

Zodpovedajúci diskrétny signál je sekvencia. Uvažujme Fourierovu transformáciu spojitého signálu. Aproximácia Fourierovej transformácie sa získa z diskrétneho signálu pomocou boxovej metódy.

Keď sa súčet zastaví na konečnom poradí, nájdeme.

Lineárny systém s konečnou impulznou odozvou

Tento systém sa nazýva kauzálny, pretože výstupný stav závisí len od predchádzajúcich vstupných stavov. Definovaný diskrétny signál.

Pre vstupný impulz vydá lineárny systém signál.

Treba poznamenať, že výstupný signál je výsledkom konvolúcie vstupného signálu s impulznou odozvou.

8. Časová metóda na analýzu prechodových procesov v lineárnych elektrických obvodoch

8.1. Prechodové a impulzné charakteristiky elektrických obvodov

Časová metóda je založená na koncepcii prechodových a impulzných charakteristík obvodu. Kroková odozva reťazce sú odpoveďou reťazca na vplyv vo forme jednotkovej funkcie (7.19). Označuje prechodovú odozvu obvodu g(t).Impulzná odozva obvody sa nazývajú odozva obvodu na vplyv jednotkovej impulznej funkcie (funkcia d) (7.21). Označuje impulznú odozvu h(t). g(t navyše h(t) ) A

sú určené pri nulových počiatočných podmienkach v obvode. V závislosti od typu reakcie a typu nárazu (prúd alebo napätie) môžu byť prechodové a impulzné charakteristiky bezrozmerné veličiny, alebo môžu mať rozmery A/B alebo V/A.

Tento systém je filter s konečnou impulznou odozvou. Čo je diskrétna Fourierova transformácia impulznej odozvy. Zvážte ako jednoduchý príklad

filter, ktorý implementuje aritmetický priemer dvoch po sebe idúcich vstupných hodnôt. t Použitie konceptov prechodových a impulzných charakteristík obvodu nám umožňuje zredukovať výpočet odozvy obvodu z pôsobenia neperiodického signálu ľubovoľného tvaru na určenie odozvy obvodu na najjednoduchší vplyv, akým je napríklad jeden 1( t) alebo impulzná funkcia d( t) alebo d( t).

), pomocou ktorého sa aproximuje pôvodný signál. V tomto prípade sa výsledná reakcia lineárneho reťazca zistí (princípom superpozície) ako súčet reakcií reťazca na elementárne vplyvy 1(

Stredný filter je dolnopriepustný filter. Fázový posun sa mení lineárne s frekvenciou. Potvrdzuje to nasledujúci výraz frekvenčnej odozvy. Ak chcete simulovať vplyv tohto filtra na signál, zvážte nasledujúci súvislý signál a jeho vzorku. Na filtrovanie diskrétny signál

Všetky frekvencie signálu podliehajú rovnakému posunu τ pri prechode cez filter. τ - doba šírenia.

Medzi prechodnými g(t) a pulz h(t) existuje určitá súvislosť medzi charakteristikami lineárneho pasívneho obvodu. Môže byť stanovená reprezentáciou jednotkovej impulzovej funkcie prechodom k hranici rozdielu medzi dvoma jednotkovými funkciami veľkosti 1/t, vzájomne posunutými o čas t (pozri obr. 7.4):

t.j. jednotková impulzná funkcia sa rovná derivácii jednotkovej funkcie. Pretože sa predpokladá, že uvažovaný obvod je lineárny, vzťah (8.1) je zachovaný aj pre impulzné a prechodové reakcie obvodu

Tvar signálu sa pásmovým filtrovaním nemení. Izoláciou členu obsahujúceho fázu sa frekvenčná charakteristika zapíše podľa výrazu. Po zmene premennej je na výstupe vyjadrenie zosilnenia v súčte. Frekvenčná charakteristika je napísaná. Ak vezmeme do úvahy limit, dostaneme.

Získa sa lineárny fázový filter s nekonečnou impulznou odozvou. Táto metóda je ekvivalentná aplikácii pravouhlého okna na Fourierove koeficienty.

Fourierove koeficienty tejto funkcie.

Výsledok možno vyjadriť pomocou sínusovej kardinálnej funkcie a závisí len od pomeru medznej frekvencie k vzorkovacej frekvencii.

t.j. impulzná odozva je derivátom skokovej odozvy obvodu.

Rovnica (8.2) platí pre prípad, keď g(0) = 0 (nulové počiatočné podmienky pre obvod). Ak g(0) ¹ 0, potom prezentácia g(t) vo formulári g(t) = , kde = 0, získame väzbovú rovnicu pre tento prípad:

Na získanie frekvenčnej odozvy sa používa nasledujúca funkcia. Tu je graf zisku filtra a fázy. Je vidieť, že fáza je skutočne lineárna v priepustnom pásme, ale zosilnenie má veľmi silné vlnky. V zoslabenom pásme sú diskontinuity vo fáze π. Samozrejme, rozdiely z hľadiska požadovanej prenosovej funkcie sú spôsobené skrátením impulznej odozvy.

Skúsme skrátenie pomocou okna Hannah. Vlny v priepustnom a zoslabenom pásme sú výrazne znížené. Fázová linearita v priepustnom pásme je vždy zabezpečená. Ak má zostať oneskorenie τ pevné, musí sa súčasne zvýšiť vzorkovacia frekvencia. Je zvolený zašumený signál.

Príklad. Použime klasickú metódu na nájdenie prechodovej odozvy napätia pre obvod znázornený na obr. 8.1. Číselne g u(t) pre daný obvod sa zhoduje s napätím na kapacite, keď je momentálne zapojený t= 0 na zdroj napätia U 1 = l V:

Zákon zmeny napätia uC(t) je určená rovnicou (6.27), kde je potrebné dať U= l V:

Pri hľadaní vlastností g(t navyše h(t) pomocou operátorovej metódy obrázky funkcií 1( t), d( t) a metodika výpočtu prechodných procesov uvedená v kap. 7.

Príklad. Určme prechodovú charakteristiku pomocou operátorovej metódy g u(t) RС-reťaze (pozri obr. 8.1). Pre tento reťazec, v súlade s Ohmovým zákonom, vo forme operátora (7.35) môžeme napísať:

Konečne sa dostávame

Odtiaľ pomocou expanznej vety (7.31) nájdeme

teda rovnakú hodnotu, aká sa získa klasickou metódou.

Treba poznamenať, že hodnota ja(r)V rovnica (8.4) sa číselne rovná obrazu prechodovej vodivosti. Podobný obraz impulznej odozvy sa číselne rovná vodivosti obvodu operátora

Napríklad pre RС-reťaz (pozri obr. 8.1) máme:

Uchádza sa o Y(p) teorém expanzie (7.30), dostaneme:

Treba poznamenať, že vzorec (8.5) určuje voľnú zložku reakcie obvodu pri pôsobení jediného impulzu. Vo všeobecnom prípade, v reťazovej reakcii, okrem exponenciálnych zložiek voľného režimu at t> 0 existuje impulzný člen odrážajúci účinok, keď t= 0 jednotkový impulz. V skutočnosti, ak to vezmeme do úvahy RС-obvod (pozri obr. 8.1) prúdová prechodová charakteristika pri U= 1(t) podľa (6.28) bude

potom po diferenciácii (8.6) podľa (8.2) dostaneme impulznú odozvu RС- reťaze h i(t) vo formulári

t.j. reakcia hi(t) obsahuje dva pojmy – impulzný a exponenciálny.

Fyzikálny význam prvého pojmu v (8.7) znamená, že keď t= 0 v dôsledku nárazu impulzného napätia d( t) nabíjací prúd okamžite dosiahne nekonečne veľkú hodnotu, pričom v čase od 0 – do 0 + sa kapacitnému prvku prenesie konečný náboj a je náhle nabitý na napätie ja/R.C.. t Druhý člen určuje voľný proces v reťazci pri t> 0 a je spôsobená vybitím kondenzátora cez skratovaný vstup (od r. t> 0 d( R.C.) = 0, čo je ekvivalentné skratu na vstupe) s časovou konštantou t = t. RС- obvod preruší kontinuitu náboja na kapacite (druhý zákon komutácie). Podobne je porušená podmienka kontinuity prúdu v indukčnosti (prvý zákon komutácie), ak napätie v tvare d( t).

V tabuľke 8.1 sumarizuje hodnoty prechodových a impulzných charakteristík prúdu a napätia pre niektoré obvody prvého a druhého rádu.

8.2. Duhamelov integrál

Duhamelov integrál možno získať aproximáciou aplikovanej sily f 1 (t)s pomocou jednotkových funkcií vzájomne posunutých o čas Dt (obr. 8.2).

Reakcia obvodu na každú z nich krokový efekt sa určí ako

Výslednú reakciu obvodu na sústavu stupňovitých vplyvov možno nájsť na princípe superpozície:

Kde p - počet aproximačných úsekov, na ktoré je interval 0 ... rozdelený t.

Vynásobením a delením výrazu pod znamienkom súčtu Dt a prechodom na limitu, berúc do úvahy túto skutočnosť, dostaneme jednu z foriem Duhamelovho integrálu:

Rovnica (8.8) odráža odozvu obvodu na daný náraz, keďže aproximačná funkcia smeruje k pôvodnej. Druhý tvar Duhamelovho integrálu možno získať pomocou konvolučnej vety (pozri: , b), potom sa reakcia obvodu určí klasickou alebo operátorovou metódou, keď je príslušná vetva pripojená k aktívnej dvojkoncovej sieti. (Obr. 8.4, V

). Výslednú reakciu nájdeme ako súčet reakcií: .

8.3. Úlohový integrál h(t Pri hľadaní odozvy obvodu pomocou superpozičného integrálu sa používa impulzná odozva obvodu f 1 (t). d Aby sme získali všeobecný výraz pre superpozičný integrál, aproximujeme vstupný signál f) pomocou systému jednorazových impulzov f t, amplitúdy d 1 (t) a plocha

1 (t)

t (obr. 8.5). Výstupná odozva obvodu na každý z jednotlivých impulzov Pomocou princípu superpozície nie je ťažké získať celkovú odozvu obvodu na systém jednotlivých impulzov: Volá sa integrál (8.12). vyraďovací integrál. Medzi superpozíciou a Duhamelovým integrálom je h(t) jednoduché pripojenie g(t, určený vzťahom (8.3) medzi pulzom h(t a prechodné

Príklad.) charakteristiky obvodu. Nahradením napríklad hodnotou RС) z (8.3) do vzorca (8.12), berúc do úvahy filtračnú vlastnosť d-funkcie (7.23), dostaneme Duhamelov integrál v tvare (8.11). U Pri vchode

- obvod (pozri obr. 8.1) pôsobí napäťový ráz h1. Určte odozvu obvodu na výstupe pomocou superpozičných integrálov (8.12) a Duhamela (8.11).(t Impulzná odozva tohto obvodu sa rovná (pozri tabuľku 8.1): t / u) = = (1/RC)e – h1. Určte odozvu obvodu na výstupe pomocou superpozičných integrálov (8.12) a Duhamela (8.11).(t R.C. . Potom nahrádzanie– t) = (1/RC)e –( u do vzorca (8.12) dostaneme:

Podobný výsledok získame pri použití prechodovej funkcie tohto obvodu a Duhamelovho integrálu (8.11):

Ak sa začiatok vplyvu nezhoduje so začiatkom odpočítavania času, potom má integrál (8.12) tvar

Superpozičné integrály (8.12) a (8.13) predstavujú konvolúciu vstupného signálu s impulznou odozvou obvodu a sú široko používané v teórii elektrických obvodov a teórii prenosu signálu. Jeho fyzikálny význam je, že vstupný signál f 1 (t) sa odváži pomocou funkcie h(t- t): čím pomalšie klesá s časom h(t), tým väčší vplyv na výstupný signál má hodnota vstupného vplyvu, ktorá je vzdialenejšia od okamihu pozorovania.

Na obr. 8,6, A zobrazený signál f 1(t) a impulzná odozva h(t- t), čo je zrkadlový obraz h(t) a na obr. 8,6, b je zobrazená konvolúcia signálu f 1 (t) s funkciu h(t- t) (tieňovaná časť), ktorá sa číselne rovná aktuálnej reakcii reťazca t.

Z obr. 8.6 ukazuje, že odozva na výstupe obvodu nemôže byť kratšia ako celková doba trvania signálu t 1 a impulzná odozva t h. Aby teda výstupný signál nebol skreslený, musí impulzná odozva obvodu smerovať k d-funkcii.

Je tiež zrejmé, že vo fyzikálne realizovanom reťazci nemôže reakcia nastať pred nárazom.

To znamená, že impulzná odozva fyzicky realizovaného obvodu musí spĺňať podmienku

Pre fyzicky realizovateľný stabilný obvod musí byť navyše splnená podmienka absolútnej integrovateľnosti impulznej odozvy:

Ak má vstupná akcia zložitý tvar alebo je špecifikovaná graficky, potom sa na výpočet reakcie obvodu namiesto konvolučného integrálu (8.12) použijú graficko-analytické metódy.

Otázky a úlohy na autotest

1. Definujte prechodové a impulzné charakteristiky obvodu.

2. Označte vzťah medzi impulznými a prechodovými charakteristikami.

3. Ako určiť prechodovú a impulznú odozvu obvodu?

4. Aký je rozdiel medzi prechodovými charakteristikami, vysvetlite ich fyzikálny význam.

5. Ako určiť, ktorý zo štyroch typov prechodových alebo impulzných charakteristík sa musí použiť v každom konkrétnom prípade pri výpočte odozvy obvodu? g(t) A h(t)?

6. Čo je podstatou výpočtu prechodných procesov pomocou

7. Ako určiť reakciu reťazca, ak má efekt zložitý tvar?

8. Aké podmienky musí spĺňať obvod pri použití Duhamelovho integrálu?

10. Vedie výpočet reakcie reťazca pomocou Duhamelových a superpozičných integrálov k rovnakým alebo odlišným výsledkom?

11. Určte prechodovú vodivosť obvodu tvoreného odporom a indukčnosťou zapojenými do série.

12. Definujte obvod tvorený odporom a kapacitou zapojenými do série.

odpoveď: .

13. Z konvolučnej rovnice (8.10) získajte tretí tvar Duhamelovho integrálu (8.10).

Akadémia Ruska

Katedra fyziky

Prednáška

Prechodové a impulzné charakteristiky elektrických obvodov

Eagle 2009

Výchovné a vzdelávacie ciele:

Vysvetliť študentom podstatu prechodových a impulzných charakteristík elektrických obvodov, ukázať súvislosť medzi charakteristikami, venovať pozornosť použitiu uvažovaných charakteristík na analýzu a syntézu elektrických obvodov a zamerať sa na kvalitnú prípravu na praktické školenia.

Rozdelenie času prednášok

Úvodná časť……………………………………………………… 5 min.

Študijné otázky:

1. Prechodové charakteristiky elektrických obvodov………………15 min.

2. Duhamelove integrály…………………………………………………………………...25 min.

3. Impulzové charakteristiky elektrických obvodov. Vzťah medzi charakteristikami……………………………………………….. 25 min.

4. Konvolučné integrály……………………………………………….15 min.

Záver……………………………………………………… 5 min.

1. Prechodové charakteristiky elektrických obvodov

Prechodová odozva obvodu (ako impulzná odozva) sa týka dočasných charakteristík obvodu, t.j. vyjadruje určitý prechodový proces pri vopred určených vplyvoch a počiatočných podmienkach.

Na porovnanie elektrických obvodov podľa ich odozvy na tieto vplyvy je potrebné umiestniť obvody do rovnakých podmienok. Najjednoduchšie a najpohodlnejšie sú nulové počiatočné podmienky.

Prechodná odozva obvodu je pomer reakcie reťazca na postupný náraz k veľkosti tohto nárazu pri nulových počiatočných podmienkach.

podľa definície

kde je reťazová odozva na postupný náraz;

– veľkosť krokového efektu [B] alebo [A].

Keďže a je delené veľkosťou nárazu (to je skutočné číslo), potom v skutočnosti - reakcia obvodu na jednokrokový efekt.

Ak je prechodová odozva obvodu známa (alebo sa dá vypočítať), zo vzorca môžete nájsť reakciu tohto obvodu na postupný efekt pri nule NL

Vytvorte spojenie medzi prenosovou funkciou operátora obvodu, ktorá je často známa (alebo ju možno nájsť), a prechodovou odozvou tohto obvodu. Na tento účel používame zavedený koncept funkcie prenosu operátora:

Pomer Laplaceovej transformovanej reakcie reťaze k veľkosti nárazu je operátorovou prechodnou charakteristikou reťaze:

Preto .

Odtiaľ sa pomocou funkcie prenosu operátora zistí prechodová charakteristika obvodu.

Na určenie prechodovej odozvy obvodu je potrebné použiť inverznú Laplaceovu transformáciu:

pomocou korešpondenčnej tabuľky alebo (predbežne) dekompozičnej vety.

Príklad: určte prechodovú odozvu pre reakciu napätia na kondenzátore v sériovom zapojení (obr. 1):

Tu je reakcia na postupný efekt veľkosti:

odkiaľ pochádza prechodová charakteristika:

Prechodové charakteristiky najčastejšie sa vyskytujúcich obvodov sú nájdené a uvedené v referenčnej literatúre.

2. Duhamelove integrály

Prechodná odozva sa často používa na nájdenie odozvy obvodu na komplexný stimul. Vytvorte si tieto vzťahy.

Dohodnime sa, že vplyv je spojitá funkcia a je aplikovaný na obvod v čase a počiatočné podmienky sú nulové.

Daný náraz môže byť reprezentovaný ako súčet stupňovitých nárazov aplikovaných na obvod v danom okamihu a nekonečne veľkého počtu nekonečne malých stupňovitých nárazov, ktoré kontinuálne nasledujú za sebou. Jeden z týchto elementárnych vplyvov zodpovedajúci momentu aplikácie je znázornený na obrázku 2.

Poďme nájsť hodnotu reťazovej reakcie v určitom časovom bode.

Postupný efekt s rozdielom v časovom okamihu spôsobí reakciu rovnajúcu sa súčinu rozdielu o hodnotu prechodovej odozvy obvodu pri , t.j. rovnú:

Infinitezimálny stupňovitý efekt s rozdielom spôsobuje nekonečne malú reakciu , kde je čas, ktorý uplynul od okamihu aplikácie vplyvu do okamihu pozorovania. Keďže podľa podmienky je funkcia spojitá, potom:

V súlade s princípom superpozície sa reakcia bude rovnať súčtu reakcií spôsobených súčtom vplyvov predchádzajúcich momentu pozorovania, t.j.

Zvyčajne ho v poslednom vzorci jednoducho nahradia znakom , pretože nájdený vzorec je správny pre akékoľvek časové hodnoty:

Alebo po niekoľkých jednoduchých transformáciách:

Ktorýkoľvek z týchto vzťahov rieši problém výpočtu odozvy lineárneho elektrického obvodu na danú súvislú činnosť pomocou známej prechodovej odozvy obvodu. Tieto vzťahy sa nazývajú Duhamelove integrály.

3. Impulzové charakteristiky elektrických obvodov

Impulzná odozva obvodu je pomer odozvy obvodu na pulznú akciu k oblasti tejto akcie pri nulových počiatočných podmienkach.

podľa definície

kde je odozva obvodu na impulznú akciu;

– oblasť nárazového pulzu.

Pomocou známej impulznej odozvy obvodu je možné nájsť odozvu obvodu na daný vplyv: .

Ako nárazová funkcia sa často používa jediný impulzný efekt, nazývaný aj delta funkcia alebo Diracova funkcia.

Funkcia delta je funkcia rovnajúca sa nule všade okrem , a jej plocha sa rovná jednotke ():

K pojmu delta funkcie možno dospieť zvážením limitu výšky a trvania pravouhlého impulzu, keď (obr. 3):

Vytvorte spojenie medzi prenosovou funkciou obvodu a jeho impulznou odozvou, na čo použijeme operátorskú metódu.

Podľa definície:

Ak sa vplyv (pôvodný) považuje za najviac všeobecný prípad vo forme súčinu plochy impulzu delta funkciou, teda vo forme, potom má obraz tohto efektu podľa korešpondenčnej tabuľky tvar:

Potom, na druhej strane, pomer Laplace-transformovanej reakcie obvodu k oblasti nárazového impulzu je impulzná odozva obvodu:

Preto, .

Na nájdenie impulznej odozvy obvodu je potrebné použiť inverznú Laplaceovu transformáciu:

Teda vlastne.

Zovšeobecnením vzorcov získame spojenie medzi prenosovou funkciou operátora obvodu a prechodovými a impulznými charakteristikami operátora obvodu:

Keď teda poznáte jednu z charakteristík obvodu, môžete určiť ďalšie.

Urobme identickú transformáciu rovnosti pridaním do strednej časti.

Potom budeme mať.

Keďže ide o obraz derivácie prechodovej charakteristiky, pôvodnú rovnosť možno prepísať ako:

Presunutím do oblasti originálov získame vzorec, ktorý nám umožňuje určiť impulznú odozvu obvodu z jeho známej prechodnej odozvy:

Ak teda.

Inverzný vzťah medzi týmito charakteristikami má tvar:

Pomocou prenosovej funkcie je ľahké určiť prítomnosť termínu vo funkcii.

Ak sú mocniny čitateľa a menovateľa rovnaké, potom bude daný výraz prítomný. Ak je funkcia správnym zlomkom, potom tento výraz nebude existovať.

Príklad: určite impulzné charakteristiky pre napätia a v sériovom obvode znázornenom na obrázku 4.

Poďme definovať:

Pomocou tabuľky zhody prejdime k originálu:

Graf tejto funkcie je znázornený na obrázku 5.

Ryža. 5

Prenosová funkcia:

Podľa tabuľky zhody máme:

Graf výslednej funkcie je na obrázku 6.

Dovoľte nám poukázať na to, že rovnaké výrazy je možné získať pomocou vzťahov vytvárajúcich spojenie medzi a .

Impulzná odozva vo svojom fyzikálnom význame odráža proces voľných oscilácií a z tohto dôvodu možno tvrdiť, že v reálnych obvodoch musí byť vždy splnená nasledujúca podmienka:

4. Konvolučné (prekryvné) integrály

Uvažujme o postupe určenia odozvy lineárneho elektrického obvodu na komplexný vplyv, ak je známa impulzná odozva tohto obvodu. Budeme predpokladať, že náraz je po častiach spojitá funkcia znázornená na obrázku 7.

Nech je potrebné nájsť hodnotu reakcie v určitom časovom bode. Pri riešení tohto problému si predstavme náraz ako súčet pravouhlých impulzov s nekonečne malým trvaním, z ktorých jeden, zodpovedajúci časovému okamihu, je znázornený na obrázku 7. Tento impulz je charakterizovaný trvaním a výškou.

Z vyššie uvedeného materiálu je známe, že reakciu obvodu na krátky impulz možno považovať za rovnakú ako súčin impulznej odozvy obvodu a oblasti impulzného pôsobenia. V dôsledku toho sa nekonečná zložka reakcie v dôsledku tejto impulznej akcie v danom čase bude rovnať:

pretože plocha impulzu sa rovná , a čas prechádza od okamihu jeho aplikácie do okamihu pozorovania.

Pomocou princípu superpozície možno celkovú reakciu obvodu definovať ako súčet nekonečne veľkého počtu nekonečne malých komponentov spôsobených sekvenciou nekonečne malých plošných impulzov, ktoré predchádzajú časovému okamihu.

Takto:

Tento vzorec platí pre všetky hodnoty, takže premenná je zvyčajne jednoducho označená. potom:

Výsledný vzťah sa nazýva konvolučný integrál alebo superpozičný integrál. Funkcia, ktorá sa zistí ako výsledok výpočtu konvolučného integrálu, sa nazýva konvolúcia a .

Iný tvar konvolučného integrálu môžete nájsť, ak vo výslednom výraze zmeníte premenné:

Príklad: nájdite napätie na kapacite sériového obvodu (obr. 8), ak na vstupe pôsobí exponenciálny impulz v tvare:

Použime konvolučný integrál:

Výraz pre bola prijatá skôr.

teda , A .

Rovnaký výsledok možno získať aplikáciou Duhamelovho integrálu.

Literatúra:

Beletsky A.F. Teória lineárnych elektrických obvodov. – M.: Rádio a spoje, 1986. (učebnica)

Bakalov V.P. a kol. – M.: Rádio a spoje, 1998. (učebnica);

Kachanov N. S. a kol. M.: Vojenské. vyšlo, 1974. (Učebnica);

Popov V.P. Základy teórie obvodov - M.: Higher School, 2000. (Učebnica)